Найти корни уравнения, многочлена 4 степени онлайн
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициенты могут быть как вещественными так и комплексными числами.
В онлайн сервисах Вы такого не найдете.
Матрица смежности онлайнX 4 5 решение.
Уравнения онлайн. Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемыСервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно.
Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн. Вы можете получить как общее решение уравнения, так и частное для указанных вами числовых значений коэффициентов.
2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные.
После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение.
Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
I. Линейные уравнения
II. Квадратные уравнения
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным
Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:
Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения.
Многие уравнения более высоких
степеней можно привести к квадратным.
III. Уравнения, приводимые к квадратным.
замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2
2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида
3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или
ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a
Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .
Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0
Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,
, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0
– уравнение не имеет корней.
4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd
Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:
Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.
5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.
Ответ: -2; -0,5; 0
IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?
Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + …+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0
Рассмотрим метод понижения степени уравнения.
Известно, что, если коэффициенты a являются
целыми числами и a n = 1 , то целые
корни уравнения P n (x ) = 0
находятся среди делителей свободного члена a 0 .
Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2
– 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5;
–5; 1; –1. Тогда P 4 (1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим
степень уравнения P 4 (x ) = 0 с
помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1,
получаем
P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).
Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).
| 1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
| 1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
| 1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.
Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0
Что мы делали? Понижали степень уравнения.
V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.
а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0
| 2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
| –1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
| 1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
x = –1
Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2
+ 5x + 2) = 0.
Значит, корни уравнения: 1; 1; –1;
–2; –0,5.
VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.
Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…
Приложение
Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается.
На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему.
Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.
Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее.
Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений.
Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно.
Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции.
Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета.
Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории.
В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность.
Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их.
Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи.
Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы.
Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители.
Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение.
В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах.
Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы.
Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная.
Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов.
Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц.
Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн , вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
| Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
| 1. Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х — 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2. Находим дискриминант D. 3. Находим корни уравнения. | 1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6. Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2.
Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 — 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете
для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн .
При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.
сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения.
Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.
Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена.
Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
| Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 — 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 — 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последнее число — это остаток от деления.
Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = (x — 2)(2x3 + 9x2 + 7x — 6)
Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x3 + 9x2 + 7x — 6.
Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена
Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:
| Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) — 6 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x2 + 5x — 3)
Многочлен 2x2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители.
Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3
| Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) — 3 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)
А корнями уравнения являются:
x = ±2; 3; 0.
5
Решение квадратных уравнений онлайн
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Решение уравнений четвертой степени
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Решение биквадратных уравнений четвёртой степени
2. Решение возвратных уравнений 4 степени
В общем случае решение уравнения четвёртой степени осуществляется с использованием методов решения уравнений для высших степеней, например, методом Феррари или с помощью схемы Горнера. Но некоторые уравнения 4-ой степени имеют более простое решение.
Существует несколько особых типов уравнений четвертой степени, со способами решения которых вы познакомитесь ниже:
- Биквадратное уравнения $ax^4+bx^2+c=0$;
- Возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Уравнения вида $ax^4+b=0$.
4+b=0$Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05.03.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Алгебраические уравнения и способы их решения.
Уравнения третьей и четвертой степениЧто делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.
В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.
Вспомним основные понятия.
Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.
Например, уравнения и равносильны. Их корни совпадают: или
Замена переменной – ключ к решению многих задач.
Решим уравнение:
Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.
Сделаем замену Тогда
С новой переменной уравнение стало проще:
Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:
Корни этого уравнения: или
Вернемся к переменной
Если , то
Отсюда
Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
Если , то Получим квадратное уравнение для :
У этого уравнения два корня: или Это ответ.
Решим уравнение
Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.
Посмотрим на уравнение внимательно.
На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки
Сделаем замену , тогда .
Тогда:
Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
И еще одна замена: .
Обычное квадратное уравнение. Замечательно!
Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что
; отсюда , .
Если , то нет решений.
Если , то Тогда или
Если , то .
Если , то .
Ответ: 4; –8.
Дальше – еще интереснее.
3. Решите уравнение
Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.
.
Получили квадратное уравнение:
Если , то
Если , то
Ответ:
Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.
4. Решите уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:
Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:
.
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Записывается это так:
Ответ: -2; 1; 4.
У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.
Такой знак означает «или».
Запись читается как « или или ».
Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.
5. Решите уравнение
Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.
Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.
Выпишем целые делители числа 24:
1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24
Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:
Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
, где .
Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.
Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!
Ответ: 2; 3; 4.
6. Решите уравнение
группируем слагаемые:
А если сделать замену ?
Тогда .
Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!
Если , то , нет решений.
Если , то
, .
Ответ: .
7. Решите уравнение
Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.
Такое уравнение называется симметрическим.
Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.
Теперь группируем слагаемые:
Сделаем замену .
Тогда
Получили уравнение . Легко!
Ответ:
Симметрические уравнения
1. Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид
ах3 + bx2 + bх + a = 0.Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:
а) У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.б) У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.
в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.
Пример.
х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.
Решение.
У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х3 + 2x2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:
. 1 2 2 1 -1 1 2 – 1 = 1 2 – 1 = 1 1 – 1 = 0 х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.
Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.
Ответ: -1.
2. Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид
ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.Алгоритм решения подобных уравнений таков:
а) Разделить обе части исходного уравнения на х2. Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.
б) С помощью группировки привести уравнение к виду:
а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.
в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).
Проделаем преобразования:t2 = x2 +2 + 1/x2. Если теперь выразить x2 + 1/x2, то t2 – 2 = x2 + 1/x2.
г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:
аt2 + bt + c – 2a = 0.
д) Сделать обратную подстановку.
Пример.
6х4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.
Решение.
6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.
6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.
Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:
6t2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 или t = 10/3.
Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:
1) x + 1/x = -5/2;
х2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 или х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
х2 – 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 или х = 1/3.
Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.
Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней
1. Уравнения, которые имеют вид (х + а)n + (х + b)n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2. Этот метод называется методом симметризации.
Примером такого уравнения может быть уравнение вида (х + а)4 + (х + b)4 = c.
Пример.
(х + 3)4 + (х + 1)4 = 272.
Решение.
Делаем подстановку, о которой говорилось выше:
t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.
(t – 2 + 3)4 + (t – 2 + 1)4 = 272.
(t + 1)4 + (t – 1)4 = 272.
Убрав скобки с помощью формул, получим:
t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 + t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 = 272.
2t4 + 12t2 – 270 = 0.
t4 + 6t2 – 135 = 0.
t2 = 9 или t2 = -15.
Второе уравнение корней не дает, а вот из первого имеем t = ±3.
После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.
Ответ: -5; 1.
Для решения подобных уравнений часто оказывается эффективным и метод разложения на множители левой части уравнения.
2. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.
Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.
Пример.
(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Решение.
Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:
((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,
(х2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 24.
Сделав замену х2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение
t(t + 2) = 24, оно является квадратным:
t2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 или t = 4.
После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.
Ответ: -5; 0.
3. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах2, где аd = cb.
Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х2 и решении совокупности квадратных уравнений.
Пример.
(х + 12)(х + 2)(x + 3)(x + 8) = 4х2.
Решение.
Перемножив в левой части первые две и последние две скобки получим:
(х2 + 14х + 24)(х2 + 11х + 24) = 4х2. Делим на х2 ≠ 0.
(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заменой (х + 24/х) = t приходим к квадратному уравнению:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t2 + 25х + 150 = 0.
t = 10 или t = 15.
Произведя обратную замену х + 24/х = 10 или х + 24/х = 15, находим корни.
Ответ: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4. Решить уравнение (3х + 5)4 + (х + 6)3 = 4х2 + 1.
Решение.
Данное уравнение сразу трудно классифицировать и выбрать метод решения. Поэтому сначала преобразуем, используя разность квадратов и разность кубов:
((3х + 5)2 – 4х2) + ((х + 6)3 – 1) = 0. Затем, после вынесения общего множителя, придем к простому уравнению:
(х + 5)(х2 + 18х + 48) = 0.
Ответ: -5; -9 ± √33.
Задача.
Составить многочлен третьей степени, у которого один корень, равный 4, имеет кратность 2 и корень, равный -2.
Решение.
По следствию из теоремы Безу, если у многочлена есть корень кратности 2 равный 4 и есть корень -2, то он без остатка должен поделиться на (х – 4)2(х + 2), значит:
f(x)/((х – 4)2(х + 2)) = q(x) или f(x) = (х – 4)2(х + 2)q(x).
Умножив первые две скобки, и приведя подобные слагаемые, получим: f(x) = (х3 – 6x2 + 32)q(х).
х3 – 6x2 + 32 – многочлен третьей степени, следовательно, q(x) – некоторое число из R (т. е. действительное). Пусть q(x) есть единица, тогда f(x) = х3 – 6x2 + 32.
Ответ: f(x) = х3 – 6x2 + 32.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решение уравнений полиномиальные уравнения 4-й степени
Коэффициенты полинома 4 степени Initial polynomial Cubic rezolventa Roots of a cubic rezolventa Корни установленного полинома 4 градуса AUXILIER COEFICICICICICICICICICICICIN Этот калькулятор позволяет вычислить корни любого многочлена четвертой степени.
Коэффициенты могут быть как действительными, так и комплексными числами.
Использовалась некая методика, которая нигде не описана и не разобрана.
Не стал пользоваться формулами Феррари — не интересно.
Несмотря на свой путь, вы все равно утыкаетесь в задачу решения вспомогательного уравнения третьей степени, так называемого кубического резольвента. И скорее всего избежать этого никак не получится.
Но дальше все идет по другому.
По любому из значений корня резольвенты, вычисляем три вспомогательных параметра.
Зная эти три параметра, мы легко можем найти все четыре корня исходного уравнения.
Есть только один нюанс, с которым сталкивались предшественники, мне иногда приходится несколько определять знак + или тоже — для одного вспомогательного параметра.
Теперь в виде формул
Замена замена получаем так называемый заданный многочлен
Решение этого уравнения ищем в виде сумм двух функций
9008 параметров связаны с коэффициентами данного многочлена следующими соотношениямиВыражая любой из вспомогательных параметров, мы получаем в том или ином виде кубическую резольвенту
Например, если мы выражаем F2
Это кубическое уравнение, подстановка которого резольвента.
Теперь о нюансе, о котором говорили ранее. Какой знак брать при вычислении корней?
Критерий получается очень простой. Берем любой корень резольвенты и сравниваем его
если это условие истинное ставится + (плюс), если условие неверное — (минус)
Далее все эти параметры подставляются в формулу
и определяются корни уравнения 4 степени.
Еще хотелось бы поговорить о критерии. Вдумчивый читатель спросит: «А что, если любой корень резольвенты является комплексным числом? Какой в этом случае критерий?»
В лучшем случае я посчитал за подстановку корня в исходное уравнение. Для этого существует простой алогритический способ, описанный в статье Значение производной полинома методом Горнера. Если выражение обращается к нулю, то есть верно, то знак не меняется. Если иначе то знак ставим минус.
Теперь можно достаточно просто и быстро решать сложные уравнения 4 степени. Вы не найдете его в онлайн-сервисах.
Попробуйте решить уравнение
Один из корней равен
Кто считает, что действительной частью можно пренебречь и отбросить как «почти ноль», глубоко ошибается.
Отбросив его, мы будем иметь значение функции , а не нулевое.И только с учетом «такой маленькой» действительной части уравнение становиться одинаковым. Поэтому точность в расчетах очень важна. Если вдруг заметили ошибку в расчетах (а вдруг?), просьба сообщить. Но я надеюсь, что этого не произойдет.
Несколько примеров:
Начальный многочлен Кубический резольвента Корни кубической резольвенты Корни многочлена множества 4 степени Вспомогательные коэффициенты F2= F1= Т= Начальный многочлен Кубический резольвента Корни кубической резольвенты Корни многочлена множества 4 степени Вспомогательные коэффициенты F2= F1= Т= Калькулятор корней полинома, показывающий работу
- Калькуляторы
- ::
- Полиномиальные калькуляторы
- ::
- Калькулятор корней полинома
Этот бесплатный математический инструмент находит корни (нули) заданного многочлена.
Калькулятор вычисляет точные решения квадратных, кубических и уравнений четвертой степени.
Также отображается пошаговое решение с подробным объяснением.работающий…
Полиномиальные калькуляторы
Факторинг полиномов
- Полиномиальные корни
- Синтетический отдел
- Полиномиальные операции
- Графические полиномы
- Расширить и упростить
- Генерировать из корней
Рациональные выражения
Упрощение
- Умножение/деление
- Сложение/вычитание
Подкоренные выражения
Рационализировать знаменатель
- Упрощение
Решение уравнений
Квадратные уравнения (с шагами)
- Полиномиальные уравнения
- Решение уравнений — с шагами
Квадратное уравнение
Решение (с шагами)
- Квадратичный плоттер
- Факторинг трехчленов
Геометрия
Равносторонний треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Косой треугольник
- Калькулятор площади
- Калькулятор прямоугольника
- Калькулятор круга
Калькулятор шестиугольника
- Калькулятор ромба
Комплексные номера
Модуль, обратный, полярная форма
- Подразделение
- Упростить выражение
Системы уравнений
Система 2х2
- Система 3х3
- Система 4×4
Матрицы
Векторы (2D и 3D)
- Сложить, вычесть, умножить
- Калькулятор определителя
- Матрица обратная
- Характеристический полином
- собственные значения
- Собственные векторы
- Разложение матрицы
Расчетные калькуляторы
Калькулятор лимита
- Калькулятор производных
- Интегральный калькулятор
Последовательности и серии
Арифметические последовательности
- Геометрические последовательности
- Найти n th Срок
Аналитическая геометрия
Расстояние и середина
- Калькулятор треугольника
- Графические линии
- Пересечение линий
- Двухточечная форма
- Расстояние от линии до точки
- Параллельно/Перпендикулярно
- Уравнение окружности
- Круг из 3 точек
- Пересечение круговой линии
Тригонометрия
Градусов в Радиан
- Триггер Уравнения
Номера
Длинная дивизия
- Вычислить выражения
- Калькулятор дробей
- Наибольший общий делитель НОД
- Наименее распространенное кратное LCM
- Простые множители
- Научная нотация
- Калькулятор процентов
- Dec / Bin / Hex
- Калькулятор вероятности
- Распределения вероятностей
Описательная статистика
- Стандартное отклонение
- Z — Калькулятор очков
- Нормальное распределение
- Калькулятор Т-теста
- Корреляция и регрессия
Финансовые калькуляторы 92-4 \cdot 2 \cdot (-14)}}{2\cdot2} \\ x_1, x_2 &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 2 \cdot 14}}{4} \\ x_1, x_2 &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{121}}{4} \\ x_1, x_2 &= \dfrac{-3 \pm 11}{4} \\ x_1 &= \dfrac{-3 + 11}{4} = \dfrac{8}{4} = 2 \\ x_2 &= \dfrac{-3 — 11}{4} = \dfrac{-14}{4} = -\dfrac{7}{2} \end{выровнено} $$
решить с помощью калькулятора
Квадратное уравнение — частные случаи
Иногда гораздо проще не использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
92 = \ гидроразрыв {3} {2} \\
x_1x_2 = \ pm \ sqrt {\ frac {3} {2}}
\end{выровнено}
$$227 477 088 решенных задач
Калькулятор уравнений — Решить для калькулятора x квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.
уравнение_решатель онлайн
Описание:
Уравнение — это алгебраическое равенство, включающее одно или несколько неизвестных. Решить уравнение — это то же самое, что определить то неизвестное или неизвестные. Неизвестное также называют переменной. это калькулятор уравнений может решать уравнения с неизвестным, Калькулятор может решить уравнения с переменными с обеих сторон , а также уравнения со скобками :
- Решение линейного уравнения
- Решение квадратного уравнения
- Решение кубического уравнения
- Решение уравнения с нулевым произведением
- Решение уравнения абсолютного значения (уравнение с функцией абс. )
- Решение показательного уравнения
- Решение логарифмического уравнения (уравнения с логарифмами)
- Решение тригонометрического уравнения (уравнение с косинусом или синусом)
- Решить онлайн дифференциальное уравнение первой степени
- Решить онлайн дифференциальное уравнение второй степени
Решение линейного уравнения онлайн
Уравнение первой степени представляет собой уравнение формы `ax=b`. Этот тип уравнения также называется линейным уравнением . Для решения этих уравнений мы используем следующую формулу `x=b/a`.
линейное решение уравнения вида ax=b s делается очень быстро, когда переменная не неоднозначна, просто введите уравнение до решить и затем нажмите решить, затем результат возвращается решателем . Также отображаются детали расчетов, которые привели к решению линейного уравнения.
Чтобы решить линейное уравнение после 3x+5=0, просто введите выражение
3x+5=0
в области расчета, затем нажмите кнопку «решить», результат возвращается `[x=-5/3]`.
можно и решать уравнения в форме `(ax+c)/g(x)=0` или уравнения, которые могут быть в этой форме
, g(x) представляет собой функцию.
Когда вы вводите выражение без знака ‘=’; функция возвращает при возможных значениях, для которых выражение равно нулю.
Например, введите x+5, вернитесь к x+5=0 и решите.Уравнения с переменными с обеих сторон
Калькулятор может решать уравнения с переменными с обеих сторон, например: «3x+5=2x», просто введите 3x+5=2x, чтобы получить результат. 92-4ас`.
Дискриминант — это число, определяющее количество решений уравнения.- При положительном дискриминанте уравнение второй степени допускает два решения, которые даются формулой `(-b-sqrt(Delta))/(2a)` и `(-b+sqrt(Delta))/(2a)`;
- Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение допускает только одно решение, говорят, что оно является двойным корнем, которое дается формулой
`(-b)/(2a)`;
92-1)/(x-1)=0` возвращает -1, все определение учитывается при вычислении числителя допускает два корня 1
и -1, но знаменатель равен нулю при x = 1, 1 не может быть решением уравнения. n=0`, если A является меньшей степенью полинома или равен 2.
92-1)(x+2)(x-3)=0` возвращает `[1;-1;-2;3]`.
Решение уравнения абсолютного значения
Решатель позволяет решать уравнение , включающее абсолютное значение он может решать линейные уравнения с использованием абсолютных значений, квадратные уравнения с абсолютными значениями, а также многие другие типы уравнений с абсолютными значениями.
Вот два примера использования калькулятора уравнений для решения уравнения с абсолютным значением: 92-4)=4`, решатель показывает этапы расчета для решения квадратного уравнения с абсолютным значением.
4+b=0$
Уравнения третьей и четвертой степени
Отбросив его, мы будем иметь значение функции , а не нулевое.
Калькулятор вычисляет точные решения квадратных, кубических и уравнений четвертой степени. Решение показательного уравнения
Калькулятор уравнений позволяет решать уравнение , включающее экспоненциальное число .
он может решать линейные уравнения, используя экспоненциальные,
квадратные уравнения, включающие экспоненциальные, а также многие другие типы уравнений
с экспоненциальным.
Вот два примера использования калькулятора для решения уравнения с экспонентой: 92-4)=4`, решатель показывает этапы расчета для решения квадратного уравнения с экспонентой.
Решение логарифмического уравнения
Решите логарифмическое уравнение , т.е. возможны некоторые уравнения, включающие логарифмы. Помимо предоставления результата, калькулятор предоставляет подробные шаги и расчеты, которые привели к решению логарифмического уравнения. Чтобы решить следующее логарифмическое уравнение ln(x)+ln(2x-1)=0, просто введите выражение в области расчета, затем нажмите кнопку расчета.
Решение тригонометрического уравнения
Калькулятор уравнений позволяет решать круговые уравнения , он способен решить уравнение с косинусом вида cos(x)=a или уравнение с синусом вида sin(x)=a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать уравнения типа
`cos(x)=1/2`
или же
`2*sin(x)=sqrt(2)`
с этапами расчета.
Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
Функция уравнения_решателя может решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y’+y=0, вы должны ввести уравнение_решателя(`y’+y=0;x`).
Решение дифференциального уравнения второго порядка
Функция уравнения_решателя может решать дифференциальное уравнение второго порядка онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y»-y=0, вы должны ввести уравнение_решателя(`y»-y=0;x`).
Игры и викторины по решению уравнений
Для отработки различных методов расчета предлагается несколько викторин по решению уравнений.
Синтаксис:
уравнение_решатель(уравнение;переменная), переменный параметр может быть опущен, если нет двусмысленности.
Примеры:
Разрешение уравнения первой степени
- уравнения_решателя(`3*х-9`) равно записи Equation_solver(`3*x-9=0;x`) возвращенный результат равен 3. 93=0`) возвращает три решения.
Решение дифференциального уравнения
- Equation_solver(`y’+y=0;x`) возвращает `[y=k*exp(-x)]` k представляет собой константу.
- equation_solver(`y»-y=0;x`) возвращает `[y=a*exp(-x)+b*exp(x)]` а и b являются константами.
Расчет в режиме онлайн с помощью Equation_solver (калькулятор решения для x)
полиномы — Решение уравнения четвертой степени
спросил 92+9x+27)=0\tag2$$
Тогда это будет легко решить… Но мой вопрос в том, как я могу перейти от $(1)$ к $(2)$?
многочлены
$\endgroup$
2
$\begingroup$
На случай, если кто-нибудь когда-нибудь снова заглянет в этот вопрос. 3 — 92−162x−243$.
Тогда $a+c=6, ac+b+d=-9, ad+bc=-162, bd=-243$.
Вы можете попробовать $a,b,c,d$ как целые числа, и, поскольку число возможных вариантов конечно, это выполнимо.
В противном случае, подставив $c=6-a$ и $d=-243/b$, вы получите квадратное уравнение для $b$ с коэффициентами, зависящими от $a$. Этот метод очень грязный, но выполнимый.
В общем, я не думаю, что есть чистый способ сделать это. Формула тоже очень запутанная, поэтому часто, когда вы сталкиваетесь с этим как с упражнением, вы можете разложить их на простые (метод 1: попробуйте целые числа!). 92-162X-243$. Чтобы ввести «$ X $», вы должны нажать ALPHA, а затем кнопку с $ X $ над ней. В моем калькуляторе $X$ находится над закрывающей скобкой «)», «SHIFT» — слева вверху, «ALPHA» — сразу после «SHIFT».
Нажмите SHIFT, затем РАСЧЕТ (РЕШЕНИЕ), затем «$=$». Когда получен первый реальный результат (например, $X=-1,854101966$, нажмите SHIFT и RCL (STO), затем нажмите $A$, чтобы создать новую переменную $A=-1,854101966$. 3-92-162X-243}{X-A}$, затем SHIFT, CALC (РЕШИТЬ) в указанном порядке, затем два раза нажмите «$=$». Калькулятор автоматически вычислит другой действительный корень, это не может быть $A$, потому что это нарушает заданное условие. Нажмите SHIFT, RCL (STO), $B$ в указанном порядке, чтобы получить вторую переменную, в данном случае $B=4,854101966$. Я пробовал это, и для получения результата требуется довольно много времени, около минуты.
Теперь снова используйте калькулятор, чтобы вычислить сумму и произведение двух переменных: 9{15}$ Итак, мы знаем, что $q$ должно быть степенью $3$ с точностью до знака. Если мы подставим $q = 2 + t$, то получим полиномиальное уравнение относительно $t$, имеющее постоянный член, равный правой. уравнения (3) для $q = 2$, что равно $-14610113$, имеет простые множители $7$, $29$ и $71971$. Добавление 2 к этим возможным решениям дает соответствующее значение для $q$, но оно должно быть степенью $3$ с точностью до знака. Это означает, что $q=9$ и $q = -27$ являются единственными возможными решениями.
Подстановка $q = 9$ в (2) дает $p = 3$, а подстановка $q = -27$ в (2) дает $p = -9x−243=0$
равно
$(9/2)(-1+i√3)$
$(9/2)(-1-i√3)$
$(3/2) )(1+√5)$
$(3/2)(1-√5)$
$\endgroup$
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Решение кубических уравнений – методы и примеры
Решение полиномиальных уравнений более высокого порядка является важным навыком для всех, кто изучает естественные науки и математику. Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.
В этой статье мы обсудим, как решать кубические уравнения с использованием различных методов, таких как метод деления, факторная теорема и разложение на множители путем группировки.
Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.
Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в котором знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.
Общая форма полинома: + kx + l, где каждой переменной соответствует константа в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены. Примеры многочленов: 3х+1,х 2 + 5xy – ax – 2ay, 6x 2 + 3x + 2x + 1 и т. д.
Кубическое уравнение – это алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубической функции: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx 1 + d. И кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — константа.
Традиционный способ решения кубического уравнения состоит в том, чтобы свести его к квадратному уравнению, а затем решить его с помощью факторизации или квадратной формулы.
Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два действительных корня , кубическое уравнение может иметь, возможно, три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь действительного решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.
Два других корня могут быть действительными или мнимыми.
Всякий раз, когда вам дают кубическое уравнение или любое уравнение, вы всегда должны сначала привести его в стандартную форму.
Например, если вам дали что-то подобное, 3x 2 + x – 3 = 2/x, вы переведете в стандартный вид и запишите его так: 3x 3 + x 2 – 3x – 2 = 0. Тогда вы можете решить это любым подходящим метод.
Давайте посмотрим на несколько приведенных ниже примеров для лучшего понимания:
Пример 1
Определите корни кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 – 3 + 3x 2 – 3 + 3x 2 –1 –1 –1 –70486 3 + 3x 2 – 3 + 3x 2 – 3 + 3x 2 – 3 .
Так как d = 6, то возможные множители 1, 2, 3 и 6.
Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.
f (1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0
Следовательно, x = 2 — первый корень.
Остальные корни уравнения можно получить методом синтетического деления.
= (x – 2) (ax 2 + bx + c)
= (x – 2) (2x 2 + bx + 3)
= (x – 2) (2x 2 + 7x + 3) )
= (х – 2) (2х + 1) (х +3)
Следовательно, решения x = 2, x = -1/2 и x = -3.
Пример 2
Найдите корни кубического уравнения x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0
Solution
000909..
98989898989898989898989879898. + 11x — 6 = 0
4. – 6
(x – 1) – один из факторов.
Делением x 3 − 6x 2 + 11x – 6 на (x – 1),
⟹ (x – 1) (x 2 – 5x + 6) = 0
⟹ (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0
Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.
Пример 3
Решите x 3 – 2x 2 – x + 2
Решение
Разложите уравнение на множители.
x 3 – 2x 2 – x + 2 = x 2 (x – 2) – (x – 2)
= (x 2 – 1) (x – 90 2) 900 8 2 (х + 1) (х – 1) (х – 2)
х = 1, -1 и 2,
Пример 4
Решить кубическое уравнение x 3 — 23x 2 + 142x — 120
раствор
90
раствор
90
.
x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = (x — 1) (x 2 — 22x + 120)
, но x 2 — 22x + 120 = x 2 — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 12x — 10x + 120
= x (x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
Следовательно, x 3 – 23x 2 + 142x – 120 = (x – 1) (x – 10) (x – 12)
Приравнять каждый множитель к нулю.
х – 1= 0
х = 1
х – 10 = 10
х – 12 = 0
х = 12
Пример 5
Решите кубическое уравнение x 3 – 6 x 2 + 11x – 6 = 0.
Решение
6 ;пусть x = 2
Разделите полином на x-2 до
(x 2 – 4x + 3) = 0.
Теперь решите квадратное уравнение (x 2 – 4×0 + 3) = 0. чтобы получить x= 1 или x = 3
Следовательно, решения равны x = 2, x= 1 и x =3.
Пример 6
Решить кубическое уравнение x 3 — 7x 2 + 4x+ 12 = 0
раствор
9089. + 4x + 12Поскольку d = 12, возможные значения 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Методом проб и ошибок находим, что f (–1) = –1 – 7 – 4 + 12 = 0
Итак, (x + 1) – это фактор функции.
x 3 – 7x 2 + 4x + 12
= (x + 1) (x 2 – 8x + 12)
= (x + 1) (x – 2) (x90–60)
Следовательно, x = –1, 2, 6
Пример 7
Решите следующее кубическое уравнение:
x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.
Solution
x 3 + 3x 2 + x + 3
= (x 3 + 3x 2 ) + (x + 3)
= x 2 (x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (x 2 + 1)
Следовательно, x = -1 ,1 -3 . Пример 80090
x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0
Приравнивание каждого множителя к нулю дает;
x = 1, x = 2 и x = 3
Пример
Решение x 3 — 4x 2 — 9x + 36 = 0
986 2 — 9x + 36 = 0
9984 2 — 9x + 36 = 0
9984 2 — 90. два термина.
x 2 (x — 4) — 9(x — 4) = 0
Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить
(x 2 − 9) (x − 4) = 0
Теперь разложим на множители разность двух квадратов
(x + 3) (x − 3) (x − 4) = 0
. Приравняв каждый множитель к ноль, получаем;
x = −3, 3 or 4
Example 10
Solve the equation 3x 3 −16x 2 + 23x − 6 = 0
Solution
Divide 3x 3 −16x 2 + 23x – 6 на x -2, чтобы получить 3x 2 – 1x – 9x + 3
= х (3х – 1) – 3(3х – 1)
= (х – 3) (3х – 1)
Следовательно, 3х 3 -16х 2 + 23х — 6 = (х- 2) (x – 3) (3x – 1)
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить
x = 2, 3 и 1/3
– 3x 2 – 90x=0
Решение
разложить 3x
3x 3 ≥ 3x x 2 – 0486 2
Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма −1.
⟹- 6 * 5 = -30
⟹ -6 + 5 = -1
Перепишите уравнение, заменив термин «bx» выбранными коэффициентами.
⟹ 3x [(x 2 – 6x) + (5x – 30)]
Фактор уравнения;
⟹ 3x [(x (x – 6) + 5(x – 6)]
= 3x (x – 6) (x + 5)
Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:
x = 0, 6, -5
Решение кубических уравнений графическим методом
Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графически. Для этого вам нужно иметь точный набросок данного кубического уравнения.
Точки, где его график пересекает ось x, являются решением уравнения. Количество действительных решений кубических уравнений равно количеству пересечений их графика с осью абсцисс.
Пример 12
Найдите корни x 3 + 5x 2 + 2x – 8 = 0 графически.
Решение
Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:
f (x) = x 3 + 5x 2 + 2x – 8
На графике решения следующие:
x = 1, x = -2 и x = -4.
Калькулятор квадратичных формул | Комплекс
Создано Богной Шик и Домиником Черня, кандидатом наук
Отзыв Стивена Вудинга
Последнее обновление: 10 мая 2022 г.
Содержание:- Что такое квадратичная формула?
- Коэффициенты квадратного уравнения
- Как использовать решатель квадратных формул
- Решение квадратных уравнений с отрицательным определителем
- Дополнительные ресурсы
Если вам нужно решить уравнение вида Ax² + Bx + C = 0 , этот калькулятор квадратичных формул здесь, чтобы помочь вам. Всего за несколько кликов вы сможете решить даже самые сложные задачи. В этой статье подробно описывается, что такое квадратичная формула и что обозначают символы A, B и C. Также объясняется, как решать квадратные уравнения, которые имеют отрицательный определитель и не имеют действительных корней.
Что такое квадратичная формула?
Квадратичная формула является решением полиномиального уравнения второй степени следующего вида:
Ax² + Bx + C = 0 Если вы можете переписать уравнение в такой форме, это означает, что его можно решить с помощью квадратичной формулы. Решение этого уравнения также называют корнем уравнения.
Формула квадрата выглядит следующим образом:
x = (-B ± √Δ)/2A где:
-
Δ = B² - 4AC
Используя эту формулу, вы можете найти решение любого квадратного уравнения. Обратите внимание, что возможны три варианта получения результата:
- Квадратное уравнение имеет два уникальных корня при Δ > 0. Тогда первое решение квадратной формулы
x₁ = (-B + √Δ)/2A, а второеx₂ = (-B - √Δ)/2A. - Квадратное уравнение имеет только один корень при Δ = 0. Решение равно
x = -B/2A. Иногда его называют повторным или двойным корнем. - Квадратное уравнение не имеет действительных решений при Δ < 0.
Вы также можете построить график функции г = Ax² + Bx + C . Его форма — парабола, а корни квадратного уравнения — точки пересечения этой функции по оси x.
💡 Мы используем квадратичную формулу во многих областях нашей жизни, не только в математике или физике, но и в строительстве. Например, можно спланировать плавный переход между двумя наклонными дорогами , используя формулу вертикальной кривой, основанную на квадратном уравнении.
Коэффициенты квадратного уравнения
A, B и C — коэффициенты квадратного уравнения. Все они действительные числа, не зависящие от х. Если А = 0, то уравнение не квадратное, а линейное.
Если B² < 4AC , то определитель Δ будет отрицательным. Это означает, что такое уравнение не имеет действительных корней.
Как использовать решатель квадратичных формул
Запишите уравнение.
Предположим, что это 4x² + 3x - 7 = -4 - x.Приведите уравнение к виду
Ax² + Bx + C = 0. В этом примере мы сделаем это в следующие шаги:4x² + 3x - 7 = -4 - x4x² + (3+1)x + (-7+4) = 04x² + 4x - 3 = 0Вычислите определитель.
Δ = B² - 4AC = 4² - 4*4*(-3) = 16 + 48 = 64.Определите, больше, равен или меньше 0 определитель. В нашем случае определитель больше 0, а это значит, что это уравнение имеет два уникальных корня.
Вычислите два корня по квадратной формуле.
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-4 +√64) / (2*4) = (-4+8) / 8 = 4/8 = 0,5x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-4 -√64) / (2*4) = (-4-8) / 8 = -12/8 = -1,5Корни вашего уравнения:
x₁ = 0,5иx₂ = -1,5.
Вы также можете просто ввести значения A, B и C в наш калькулятор квадратных уравнений, и он выполнит все расчеты за вас.
Убедитесь, что вы записали правильное количество цифр, используя наш калькулятор значащих цифр.
Решение квадратных уравнений с отрицательным определителем
Хотя калькулятор квадратных формул показывает, что уравнение не имеет действительных корней, можно найти решение квадратного уравнения с отрицательным определителем. Эти корни будут комплексными числами.
Комплексные числа имеют действительную и мнимую части. Мнимая часть всегда равна числу i = √(-1) , умноженному на действительное число.
В этом случае квадратичная формула остается той же.
x = (-B ± √Δ)/2A Обратите внимание, что при Δ < 0 квадратный корень определителя будет мнимой величиной. Отсюда:
Re(x) = -B/2A Im(x) = ± (√Δ)/2A Альтернативный способ работы с квадратными уравнениями — разложение трехчленов на множители. И это действительно помогает, если вы способны быстро распознавать совершенные квадратные трехчлены.