Уравнения 4 степени решение онлайн: Уравнение четвертой степени | Онлайн калькулятор

Содержание

Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени

Калькулятор ниже решает уравнение 4-й степени степени с одной неизвестной. В общем виде уравнение выглядит следующим образом: . В результате получается четыре комплексных или вещественных корня. Формулы, использующиеся для решения описаны сразу под калькулятором.

PLANETCALC, Уравнение 4-й степени
Уравнение 4-й степени
Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

save Сохранить extension Виджет

Первым шагом разделим все коэффициенты уравнения на a и получим эквивалентное уравнение следующего вида:

Далее решаем кубическое уравнение вида:

Это уравнение можно решить, например, способом описанным тут: Кубическое уравнение.
Один вещественный корень этого уравнения u1 мы будем использовать далее для вычисления корней квадратных уравнений. Если вещественных корней уравнения несколько, то нужно выбрать среди них один u1 таким образом, чтобы p и q в следующих выражениях были тоже вещественными:
 

Вычислив p1, p

2,q1,q2, подставляем их в квадратные уравнения в правой части следующего выражения:

Четыре корня двух квадратных уравнений в правой части будут соответствовать корням исходного уравнения. Знаки в выражениях для pi и qi выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия:

Фактически можно проверить только третье условие и если оно не выполняется — поменять q1 и q2 местами.
Решение можно проверить, получив значение полинома при помощи этого калькулятора: Вычисление значения полинома с комплексными числами.

Найти корни уравнения, многочлена 4 степени онлайн

Данный калькулятор позволяет высчитывать корни произвольного полинома четвертой степени.  Коэффициенты могут быть как вещественными  так и комплексными числами.

Использовалась определенная методика, которая нигде не описана и не разобрана.

Формулами Феррари не стал пользоваться - не интересно.

Несмотря на свой собственный путь, все равно утыкаешься в задачу решения вспомогательного уравнения третьей степени, так называемой кубической резольвенты.

И по всей видимости избежать её никак не получится.  

Но дальше все идет по другому.

По любому значения корня резольвенты, мы высчитываем три вспомогательный параметра.

Зная эти три параметра, мы можем легко найти все четыре корня исходного уравнения.

Есть только один нюанс с которым сталкивались предшественники, мне тоже надо иногда каким то определять знак + или - для одного вспомогательного  параметра. 

Теперь в виде формул

Заменой   мы получаем так называемый приведенный многочлен

Решение данного уравнения ищем в виде сумм двух функций

Три вспомогательных параметра связаны к коэффициентами приведенного полинома через следующие соотношения

Выражая любой из вспомогательных параметров мы получаем, в том или ином виде кубическую резольвенту

Например, если выразим F2

Это кубическое уравнение которое подстановкой  превращается к классическую кубическую резольвенту.

Теперь о нюансе о котором говорил раньше. Какой же знак брать когда высчитываем корни?

Критерий оказывается очень простой. Берем любой корень резольвенты и сравниваем его

если это условие верное  то ставится +(плюс), если условие неверное то -(минус)

Дальше все эти параметры подставляются в формулу

  и определяются корни уравнения 4 степени.

Еще хотелось бы поговорить про критерий. Вдумчивый читатель спросит: "А что если любой корень резольвенты является комплексным числом? Какой в этом случае критерий?"

Лучшим способом, я посчитал для подстановка корня в исходное уравнение. Для этого есть простой алогритический способ описанный в статье Значение производной многочлена по методу Горнера. Если выражение обращается в ноль, то есть является верным, то знак не меняется. Если иначе то знак ставим минус.

Решать комплексные уравнения 4 степени теперь можно достаточно легко и быстро. В онлайн сервисах Вы такого не найдете.

Попробуйте решить уравнение   

Один из корней равен  

Кто считает  что действительной частью можно принебречь и отбросить как "почти ноль" глубоко ошибается. Отбросив его у нас значение функции будет , а не ноль.

И только с учетом "такой маленькой" действительной части уравнение становиться тождественным.

Поэтому точность  в вычислениях очень важны.

Если Вы вдруг заметили ошибку в расчетах ( а вдруг?) , просьба сообщить. Но я надеюсь, что такого не произойдет.

Несколько примеров: 

 

 

  • Найти число по остатку от деления >>

Уравнения 4 степени с помощью решателя онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решения данного рода уравнений можно выполнять по общей схеме решения уравнений высших степеней. Данного рода уравнения имеют решения в радикалах благодаря методу Феррари, позволяющему свести решения к кубическому уравнению. Однако в большинстве случаев с помощью разложения многочлена на множители удается быстро найти решение уравнения.

Решить уравнения 4 степени

Так же читайте нашу статью "Решить уравнения онлайн по алгебре решателем"

Допустим, дано двучленное уравнение четвертой степени:

\[4x^4 + 1 = 0\]

Выполним разложение \[4x^4+1\] на множители многочлена:

\[4x^4+1=4x^4+4x^2-4x^2+1=(2x^2+1)^2-4x^2=(2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1)\]

Определяем корни первого квадратного трехчлена:

\[2x^2-2x+1=0\]

\[D=(-2)^2-4 \cdot2 \cdot1=-4\]

\[x_1= \frac{2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} +i\]

\[x_2=\frac{2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} -i\]

Определяем корни второго трехчлена:

\[2x^2+2x+1=0\]

\[D=2^2-4\cdot2\cdot1=-4\]

\[x_3= \frac{-2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} +i\]

\[x_4= \frac{-2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} -i\]

В результате, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня:

\[x=\frac{1}{2}\pm i\]

\[x=-\frac{1}{2}\pm i\]

Где можно решить уравнения 4 степени онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Калькулятор уравнения четвертой степени | BBF.RU

Решить {$ main.types[data.type] $}