Частные производные функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию от двух переменных:
\[f=f\left( x,y \right)\]
Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:
Частная производная функции $f$ в точке $M=\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ по переменной $x$ — это предел
\[{{{f}’}_{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x;{{y}_{0}} \right)}{\Delta x}\]
Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :
\[{{{f}’}_{y}}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}+\Delta y \right)}{\Delta y}\]
Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.
Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:
$\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}+10xy \right)}_{x}}^{\prime }={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+10y\cdot {{\left( x \right)}^{\prime }}_{x}=2x+10y, \\ & {{\left( {{x}^{2}}+10xy \right)}_{y}}^{\prime }={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+10x\cdot {{\left( y \right)}^{\prime }}_{y}=0+10x=10x. \\\end{align}$
Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.
Что такое «частная производная»?
Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $y\left( x \right)$ или $t\left( x \right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.
Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.
Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.
Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $z\left( xy \right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.
На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.
Задачи с радикалами и многочленами
Задача № 1
Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.
\[z\left( x,y \right)=\sqrt{\frac{y}{x}}\]
Для начала напомню такую формулу:
\[{{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.
В этом случае производная $z$ считается следующим образом:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}\]
Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $\frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:
\[{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{y}’}}_{x}}\cdot x-y\cdot {{{{x}’}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{0\cdot x-y\cdot 1}{{{x}^{2}}}=-\frac{y}{{{x}^{2}}}\]
Возвращаемся к нашему выражению и записываем:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left( -\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)\]
В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:
\[\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left( -\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}=\]
\[=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y\cdot {{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{{{x}^{3}}}}\]
Ответ найден. Теперь займемся $y$:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}\]
Выпишем отдельно:
\[{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{y}’}}_{y}}\cdot x-y\cdot {{{{x}’}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=\frac{1\cdot x-y\cdot 0}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{x}\]
Теперь записываем:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \frac{1}{x}=\]
\[=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y\cdot {{x}^{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\]
Все сделано.
Задача № 2
\[z\left( x,y \right)=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}\]
Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.
Приступаем к делу:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
Давайте посчитаем:
\[{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left( x \right)}^{\prime }}=y\cdot 1=y\]
Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:
\[{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot y+x\cdot {{\left( y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.
Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:
\[{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{{1}’}_{x}}=2x+0+0\]
Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:
\[\frac{{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{y\cdot \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{y\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{y\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:
\[{{{z}’}_{y}}=\frac{x\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.
Нюансы решения
Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».
Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:
\[{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=-y\frac{1}{{{x}^{2}}}\]
Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:
\[{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{{x}’}_{x}}=y\cdot 1=y\]
Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:
\[{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}=2x+0+0=2x\]
Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.
Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами
Задача № 1
\[z\left( x,y \right)=\sqrt{x}\cos \frac{x}{y}\]
Запишем следующие стандартные формулы:
\[{{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin x\]
Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
Отдельно выпишем одну переменную:
\[{{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]
Возвращаемся к нашей конструкции:
\[=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \left( -\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}-\frac{\sqrt{x}}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]
Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
Опять же посчитаем одно выражение:
\[{{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot x\cdot \left( -\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\]
Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:
\[=0\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \frac{x}{{{y}^{2}}}\sin \frac{x}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}\cdot \sin \frac{x}{y}\]
Все сделано.
Задача № 2
\[z\left( x,y \right)=\ln \left( x+\ln y \right)\]
Запишем необходимую нам формулу:
\[{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x}\]
Теперь посчитаем по $x$:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \ln \left( x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[=\frac{1}{x+\ln y}\cdot \left( 1+0 \right)=\frac{1}{x+\ln y}\]
По $x$ найдено. Считаем по $y$:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \ln \left( x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=\]
\[=\frac{1}{x+\ln y}\left( 0+\frac{1}{y} \right)=\frac{1}{y\left( x+\ln y \right)}\]
Задача решена.
Нюансы решения
Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.
Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.
Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $\cos \frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».
Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:
\[{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=1+0=1\]
\[{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}\]
Задачи с показательными функциями и логарифмами
Задача № 1
\[z\left( x,y \right)={{e}^{x}}{{e}^{\frac{x}{y}}}\]
Для начала запишем такую формулу:
\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x}}\]
Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left( {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
Давайте решим отдельно следующее выражение:
\[{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{x}’}}_{x}}\cdot y-x.{{{{y}’}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=\frac{1\cdot y-x\cdot 0}{{{y}^{2}}}=\frac{y}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{y}\]
Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\left( 1+\frac{1}{y} \right)\]
Все, по $x$ посчитано.
Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:
\[{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\]
В этом запишем так:
\[{{\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot {{\left( x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot \left( 1+\frac{1}{y} \right)\]
В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.
Теперь посчитаем по $y$:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left( {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
\[=0\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
Давайте решим одно выражение отдельно:
\[{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{x}’}}_{y}}\cdot y-x\cdot {{{{y}’}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=\frac{0-x\cdot 1}{{{y}^{2}}}=-\frac{1}{{{y}^{2}}}=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\]
Продолжим решение нашей исходной конструкции:
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \left( -\frac{x}{{{y}^{2}}} \right)=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\cdot {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\]
Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.
Задача № 2
\[z\left( x,y \right)=x\ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\]
Посчитаем по $x$:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( x \right)}_{x}}\cdot \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\]
Давайте посчитаем одно выражение отдельно:
\[{{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+y}\]
Продолжим решение исходной конструкции: $$
\[1\cdot \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+x\cdot \frac{2x}{{{x}^{2}}+y}=\ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+y}\]
Вот такой ответ.
Осталось по аналогии найти по $y$:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( x \right)}^{\prime }}_{y}.\ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\]
Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:
\[{{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{{y}’}_{y}}=0+1=1\]
Продолжаем решение основной конструкции:
\[x\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1=\frac{x}{{{x}^{2}}+y}\]
Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.
Нюансы решения
Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:
\[{{{z}’}_{x}}=\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left( {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left( 1+\frac{1}{y} \right)\]
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( {{e}^{x}}.{{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}.{{\left( x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left( 1+\frac{1}{y} \right)\]
При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:
\[{{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 2x\]
\[{{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1\]
В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.
Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными
Задача № 1
\[z\left( x,y \right)={{3}^{x\sin y}}\]
Давайте запишем такие формулы:
\[{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\cdot \ln a\]
\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\]
Давайте теперь решать наше выражение:
\[{{{z}’}_{x}}={{\left( {{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{x}={{3}^{x.\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left( x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=\]
Отдельно посчитаем такую конструкцию:
\[{{\left( x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}={{{x}’}_{x}}\cdot \sin y+x{{\left( \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Продолжаем решать исходное выражение:
\[={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:
\[{{{z}’}_{y}}={{\left( {{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{y}={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left( x\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=\]
Решим одно выражение отдельно:
\[{{\left( x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{y}={{{x}’}_{y}}\cdot \sin y+x{{\left( \sin y \right)}^{\prime }}_{y}=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Решаем до конца нашу конструкцию:
\[={{3}^{x\cdot \sin y}}\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Задача № 2
\[t\left( x,y,z \right)=x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}}\]
На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.
Находим по $x$:
\[{{{t}’}_{x}}={{\left( x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left( y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]
\[={{\left( x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{y}}+x\cdot {{\left( {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot {{e}^{y}}+x\cdot o={{e}^{y}}\]
Теперь разберемся с $y$:
\[{{{t}’}_{y}}={{\left( x\cdot {{e}^{y}}+y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{\left( y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]
\[=x\cdot {{\left( {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{e}^{z}}\cdot {{\left( y \right)}^{\prime }}_{y}=x\cdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}\]
Мы нашли ответ.
Теперь остается найти по $z$:
\[{{{t}’}_{z}}={{\left( x\cdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}={{\left( x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{z}+{{\left( y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=0+y\cdot {{\left( {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=y\cdot {{e}^{z}}\]
Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.
Нюансы решения
Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.
В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.
Ключевые моменты
Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:
- Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
- При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.
Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!
Смотрите также:
- Работа с формулами в задаче B12
- Как решать квадратные уравнения
- Площадь круга
- Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 7 (без производной)
- Задачи про температуру и энергию звезд
www.berdov.com
Частные производные второго порядка, теория и примеры
Если задана функция и вычислены ее частные производные и то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных и а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если найти частную производную по переменной от частной производной первого порядка то получаем частную производную второго порядка от функции которую взято два раза по переменной Это производная обознается как:
Итак,
Если взять частную производную по переменной от производной то получим частную производную второго порядка функции , которую взято вначале по переменной а потом – по переменной Такая производная называется смешанной производной и обозначается
Аналогично, частная производная по переменной от первой производной по переменной дает вторую смешанную частную производную функции
ТЕОРЕМА Смешанные производные, если они непрерывны, не зависят от порядка дифференцирования, то есть
Частная производная по переменной от производной первого порядка есть второй частной производной от функции по переменной Ее обозначают следующим образом:
Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение определяет производную третьего порядка функции найденную три раза по переменной Аналогично – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной и от полученной производной найдена один раз производная по переменной
ПРИМЕР| Задание | Найти все частные производные второго порядка функции |
| Решение | Чтобы найти производные второго порядка, вначале вычислим частные производные первого порядка:
Переходим к нахождению частных производных второго порядка. Для нахождения второй производной продифференцируем выражение по переменной
Аналогично
Смешанные производные:
Получили, что Таким же образом находим оставшиеся смешанные производные:
Проверка: Аналогично
и равенство выполняется. |
| Ответ |
ru.solverbook.com
12.6 Частные производные высших порядков — ПриМат
Пусть $f – $ действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^n.$Предположим, что на этом множестве у нее существует $i — $я частная производная. Это $–$ тоже функция на $E$. Может оказаться, что и у этой функции существует частная производная, например, по переменной $x^{j}$. Она называется частной производной функции $f$ второго порядка и обозначается
По индукции определяются частные производные любого порядка. Частная производная порядка $q$, взятая по переменным $x^{i_1},x^{i_2},…,x^{i_q}$, в точке $x_0$ обозначается
$$ \frac{\partial^q f}{\partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_q}}\left(x_0\right). $$
Если среди индексов $i^1,…i^q$ имеются различные, то соответствующая частная производная называется смешанной.
Пример. Пусть $f\left( x, y \right) = x^3 y − 2xy^2$. Частные производные первого порядка равны $f^{\prime}_x = 3x^2y−2y^2,f^{\prime}_y = x^3 − 4xy.$ Частные производные второго порядка равны $f^{\prime\prime}_{xx} = f^{\prime\prime}_{x^2} = 6xy, f^{\prime\prime}_{xy} = 3x^2 − 4xy,f^{\prime\prime}_{yy} = f^{\prime\prime}_{y^2} = −4x,f^{\prime\prime}_{yx} = 3x^2−4y.$
Две различные смешанные производные оказались равными. Возникает вопрос: всегда ли это так?
Пример функции, у которой смешанные производные различные.
Пусть
$$\displaystyle \begin{equation*}f\left(x,y\right) = \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, x^2+y^2>0\\ 0, x\:=\:y\:=\:0 \end{cases}\end{equation*}$$
Найдем
$$f^{\prime}_x = y\left[\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+x\frac{2x(x^2+y^2)-2x\left(x^2-y^2\right)}{ (x^2+y^2)^2}\right] =$$ $$=\:\frac{y}{x^2+y^2}\left(x^2-y^2+\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}\right),\:\left(x^2+y^2 > 0\right) \: ,$$ $$f_x^{\prime}\left(0,0\right)\:=\:0 , f_{xy}^{\prime\prime} = \lim\limits_{y\to 0}\frac{f^{\prime}_x\left(0,y\right)\:-\: f^{\prime}_x(0,0)}{y} = -1 , f_{yx}^{\prime\prime}\left(0,0\right) = 1.$$
Итак, получили, что смешанные производные не равны между собой.
Теорема Шварца: Пусть $f – $ действительная функция, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ и имеющая всюду в этой окрестности частные производные $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^i}, \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$. Если смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$ непрерывна в точке $x_0$, то в этой точке существует и другая смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}(x_0)$, и при этом справедливо равенство
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}\left(x_0\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}\left(x_0\right).$$
Достаточно доказать теорему для случая $n = 2$, поскольку в ней по существу идет речь только о функциях двух переменных при фиксированных всех остальных. Итак, предположим, что задана функция двух переменных $f\left(x,y\right)$ и существуют $f^{\prime}_x, f^{\prime}_y, f^{\prime\prime}_{xy}$. Нужно доказать, что существует $f^{\prime\prime}_{yx}\left(x_0,y_0\right)$ и она равна $f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$.
Рассмотрим разностное отношение
$$Q(h) = \frac{f^{\prime}_y(x_0+h,y_0)\:-\:f^{\prime}_y(x_0,y_0)}{h}$$
Заметим, что при любом $x$
$$f^{\prime}_y\left(x,y_0\right)\: = \: \lim\limits_{\mu \to 0}\frac{f\left(x,y_0\:+\:\mu\right) \:-\:f\left(x,y_0\right)}{\mu}.$$
Обозначим
$$\varphi_{\mu}(x)\:\equiv\: \frac{f(x,y_0\:+\:\mu)\:-\:f(x,y_0)}{\mu},$$
$$Q^{\ast}(h,\mu)\:\equiv\: \frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\:-\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}.$$
Если $h$ фиксировано, то
$$\lim\limits_{\mu\to 0}Q^{\ast}(h,\mu) \:=\: Q(h).$$
Далее, пользуясь формулой конечных приращений, получаем
$$\frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\: -\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}\:=\: \frac{d \varphi_{\mu}}{dx \left(x_0\:+\:\theta_1 h\right)}\: = $$
$$=\: \frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1 h,y_0\:+\: \mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}.$$
Теперь воспользуемся формулой конечных приращений по $y$ и получим, что последнее отношение равно
$$\frac{d\varphi_{\mu}}{dx}\left(x_0\:+\: \theta_1h\right)\:=\:\frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\:\theta_1h,y_0\:+\:\mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0 \:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}\: =$$
$$=\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\: \theta_2\mu\right),$$
где $\theta_1,\theta_2\: –$ величины, зависящие от $h,\mu$ и заключены в интервале $\left(0,1\right).$
Итак, получили $$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\:\theta_2\mu\right).$$ Но поскольку $f^{\prime\prime}_{xy}$ непрерывна в точке $\left(x_0,y_0\right)$ по условию, то получаем
$$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)\:+\:\varepsilon\left(h,\mu\right),$$
где $\varepsilon\left(h,\mu\right) \to 0$ при $\left(h,\mu\right) \to \left(0,0\right)$.
Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем такое $\delta > 0$, что при $0 < |h| < \delta, \: 0 < |\mu| < \delta$ справедливо неравенство $|\varepsilon(h,\mu)| < \varepsilon$. Поэтому при указанных значениях $h,\mu$ имеет место неравенство
$$|Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:-\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| < \varepsilon .$$
Теперь фиксируем $h, 0<|h|<\delta $,и $\mu$ устремляем к нулю. Тогда получим
$$|Q\left(h\right)\:-\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| \leq \varepsilon.$$
Это означает, что $\lim\limits_{h\to 0}Q\left(h\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$. Отсюда следует справедливость теоремы Шварца.
Определение: Пусть $q\:–$ натуральное число. Действительная функция $f$, определенная на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$,называется функцией класса $C^q$ на этом множестве, если она имеет все частные производные до порядка $q$ включительно, непрерывные на этом множестве.
Теорема: Если $f\:–\:$функция класса $C^q$ на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$, то значение любой смешанной производной порядка $q\:$ не зависит от последовательности, в которой выполняется дифференцирование.
Эта теорема доказывается с помощью теоремы Шварца по индукции. Мы не будем приводить это доказательство.
Примеры решения задач
- Найти частные производные второго порядка функции $f\left(x,y\right)\:=\:x^3\:+\:y^3\:-\:3xy.$ Решение
- Найти частные производные второго порядка функции $f(x,y)\:= \:\sin x\:-\:x^2y.$ Решение
- Найти дифференциал $df$ функции $f\left(x,y,z\right)\:=\:\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}$ Решение
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:3x^2\:-\:3y$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:3y^2\:-\:3x$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\:=\:6x$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\:=\:6y$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\:=\:-3.$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:\cos{x}\:-\:2xy$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:-x^2$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\:=\:-\sin x\:-\:2y$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\:=\:0$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\:=\:-2x$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\:=\:-2x.$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:\frac{x}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:\frac{y}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\:=\:\frac{z}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
$\displaystyle df \:=\: \frac{x}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}} dx\:+\:\frac{y}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}} dy\:+\:\frac{z}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}dz.$
Лимит времени: 0
Информация
Пройдите тест, чтобы проверить свои знания
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- Математический анализ 0%
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
Частная производная по переменной $x$ функции $f(x,y) = x^2+y$ равна :
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 6
Согласно Теореме Шварца,(при условии, что $f – $ действительная функция, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ и имеющая всюду в этой окрестности частные производные $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^i}, \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$) если смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}\:\: — \:\:\left(1\right)$ непрерывна в точке $x_0$, то
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 6
Пусть $q\:–$ натуральное число. Действительная функция $f$, определенная на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$,называется функцией класса $C^q$ на этом множестве, если
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
Совместите функции с соответствующими частными производными.
- $2x(y\:+\:z)$
- $2xz$
- $2xy$
$f(x,y,z)\:=\: x^2\:+2xyz+xz^2$ по переменной $z$
$f(x,y,z)\:=\: x^2z \:+y^3z^2$ по переменной $x$
$f(x,y,z)\:=\: xy^2\:+\:xz$ по переменной $y$
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 6
Найти $\displaystyle \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y}$, если $u\:=\:x\ln{\left(xy\right)}$
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 6
Найти $d^3u$, если $u\:=\:x^3\:+\:y^3\:-\:3xy(x\:-\:y).$
Правильно
Неправильно
См. также:
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т.I. — М.: ФМЛ, 1962
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1. — М.: Дрофа, 2003
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И, Курс математического анализа. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003
- Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. — М.: Наука, 1983
- <Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», Отдел 6, Параграф 2
Поделиться ссылкой:
Похожее
ib.mazurok.com
Частные производные от функции f (X, y), заданной неявно
Пусть F(x, y, z)
— функция,
определенная на некотором множестве М точек пространства 
.
Рассмотрим уравнение:
F (x, y, z) = 0. (5)
Если каждой точке
(x, y)
множества 
соответствует
единственное
значение z такое, что
и выполнено равенствоF (x, y, z)
= 0, то
говорят, что на множестве D уравнение (5) неявно определяет функцию z = z (x, y).
При этом, если функция F (x, y, z)
имеет непрерывные частные производные
по всем своим аргументам и
,
то частные производные неявной функцииz = z (x, y)
также существуют и их можно вычислить
по формулам:
(6)
Задание 5.
Найти частные производные 
и
функции, заданной неявно уравнением
Решение. Данное уравнение запишем в виде F (x, y, z) = 0:
Функция определена для любых x и y и z ≠ 0.
Найдем частные производные функции F (x,y,z):
при y, z = const
:
при x, z = const
при x, y = const
Применяя формулы (6), получим:
Частные производные второго порядка функции f (X, y)
Частными производными второго порядка называются частные производные от частных производных первого порядка. Обозначается:
или 
;
или 
;
или 
;
или 
Частные производные 
и 
,
отличающиеся порядком дифференцирования,
называются смешанными
частными производными второго порядка. В области непрерывности
смешанных производных, отличающихся
только порядком дифференцирования, их
значения равны друг другу,
т. е. 
.
Задание 6. Найти частные производные функции
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка:
Действительно,
смешанные частные производные 
и
оказались равными друг другу при 
.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть
уравнение F (x, y, z)
= 0 определяет функцию z = z (x, y),
заданную неявно на некотором множестве
точек
.
Совокупность точекM (x, y, z(x, y)),
где
,
в пространстве
образует некоторую поверхность 
,
которая называется графиком функции z = z (x, y).
Пусть — точка поверхности
.
Проведем две произвольные линииL и L1,
целиком лежащие на поверхности 
и проходящие через точкуM0.
Касательные прямые к линиям L
в точкеM0. Прямая,
проходящая через точку M0 перпендикулярно
к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Уравнение касательной
плоскости к поверхности 
в точке
M0 (x0, y0, z0) имеет вид:
(7)
Уравнение нормали
к поверхности 
в точкеM0:
(8)
Если поверхность задана явно уравнением z = f (x, y), то уравнения касательной плоскости и нормали будут иметь вид:
(9)
(10)
Задание 7. Составить уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности
в точке
Решение. Поверхность задана неявно уравнением вида с функцией
Найдем частные производные функции F(x, y, z) и вычислим их значения в точке M0:
Используя (7), получаем уравнение касательной плоскости в виде:
что после упрощения дает:
Уравнение нормали к поверхности, согласно (8), имеет вид:
. Производная по направлению
Пусть функция u= u (M)
определена и дифференцируема в некоторой
окрестности точки
и
—
какой-либо фиксированный вектор в
.
Производной функции u=u(M)
в точке M0 в направлении
вектора 
называется
предел отношения приращения функции 
в точкеM0 в направлении
вектора к расстоянию между точкамиM и
,
когда точка M→M0 так, что вектор 
остается
сонаправленным данному вектору
,
т. е.:
Если вектор 
задан
координатами, т. е.и функцияu=u (M)
дифференцируема в точке M0,
то производная по направлению вычисляется
по формуле:
(11)
где
—
направляющие косинусы вектора
.
Они равны
(12)
Производная 
характеризует
скорость изменения функции u (M)
в точке M0 в направлении
данного вектора 
.
Если
,
то функция возрастает в направлении 
со скоростью
при 
Задание 8. Вычислить производную функции 
в
точкеM0 (0, e,
–1) в направлении вектора
Решение. Найдем частные производные функции
так как
и функция 
—
показательная относительно x;
и 
—
степенная функция относительноy;
Вычислим значения
частных производных 
в точке:
.
Определим модуль и направляющие косинусы вектора по формулам (12):
Применяя формулу (11), имеем
Следовательно,
функция в точке M0 в направлении вектора 
возрастает со скоростью
единиц скорости.
studfiles.net
Частные производные
Аналогично определяются частные производные 3-го,4-гои т. д. порядков.
|
| ∂ |
| ∂ | 2 | z |
| ∂ |
| ∂ | 3 | z |
|
| ∂ | 4 | z |
|
|
|
|
Так z′′′ | = |
|
| , |
|
|
| = |
| (или (z′′′ | )′ | = z(4) | 2 ). | ||||||||
| ∂x2 |
|
|
|
| ∂x∂y∂x2 | |||||||||||||||
xxy |
| ∂y |
| ∂x | ∂x∂y∂x |
| xyx | x | xyx |
| |||||||||||
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,
z′′ | , | ∂3z | , z′′′. | |
∂x∂y2 | ||||
xy |
| xyx |
Пример. Найти частные производные второго порядка функции z = х4 — 2х2у3 + у5 + 1.
Решение: Так как z′ | = 4×3 −4xy3 и z′ | = −6x2y2+ 5y4, то | |||
|
| x | y |
|
|
z′′ | = (4×3 −4xy3 )′ | = −12xy2 , |
|
| |
xy | y |
|
|
|
|
z′′ | = (−6×2 y2 +5y | 4 )′ | = −12xy2.Оказалось, чтоz′′ | = z′′ | |
yx |
| x |
| xy | yx |
Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.
Теорема Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для z = f(х;у) имеем: ∂2 z = ∂2 z .
∂x∂y∂y∂x
Полный дифференциал функции
1°. Полное приращение функции.
Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой окрестности точкиМ(х;у).
Полным приращением функции z=f(х,у)называется разность z= f(x, y) = f(x+ x, y+ y) − f(x, y) .
2°. Полный дифференциал и дифференцируемость функции.
Составим полное приращение функции в точке М: z = f (x + x;y + y)− f (x;y).
Функция z = f(x; у) называетсядифференцируемой в точкеМ(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
z = A x+ B y+ α x+ β | y , (1) |
гдеα = α (x;y)→ 0 иβ = β ( | x;y)→ 0 приx → 0,y → 0 . |
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z = f(х; у), линейная относительноx иy , называетсяполным дифференциалом этой функции и обозначается символомdz:
dz = A x+ B | y . (2) |
Выражения A | x иB yв равенстве (1) называют частными дифференциалами.Для |
независимых переменных х иу полагаютx = dx иy = dy . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде
dz = A dx+ B dy .(3)
studfiles.net
Частные производные, все формулы и примеры
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Составим отношение Если при стремлении к нулю указанное соотношение стремится к определенному пределу, то этот предел называется частной производной по переменной и обозначается:
Итак,
Аналогично определяются частные производные заданной функции по переменным и Частная производная по переменной
а по переменной
Частные производные нескольких переменных
Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных проводится по тем же правилам, что и для производных функции одной переменной. При этом нужно иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.
Если продифференцировать, например, первую частную производную заданной функции по переменной еще раз по этой переменной, то получим частную производную второго порядка, взятую два раза по то есть производную
Аналогично получаем еще две вторые производные по переменным и
Если же продифференцировать по переменной первую производную взятую по переменной то получим смешанную производную
Аналогично вводятся и остальные смешанные производные:
Известен тот факт, что значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, то есть
Примеры вычисления частных производных
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
36
36. Частные производные ФНП, их нахождение. Частные производные ФДП, их геометрический смысл. Примеры.
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю. Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Частные производные функции нескольких переменных
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – эточастное приращение функции z по аргументу x;– это частное приращение функцииz по аргументу у. Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: – это частная производная функции z по аргументуx; – это частная производная функцииz по аргументу у. Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1. z = 2x5 + 3x2y + y2 – 4x + 5y — 1
Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0). Находим частные производные: Найдем частные производные в точке А(1;1)Находим вторые частные производные: Найдем смешанные частные производные:
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
Остановимся
на функции двух переменных.
Если каждой паре значений x, y из множества D ставится в соответствие одно определённое значение z из множества E, то z называется функцией двух независимых друг от друга переменных x и y и обозначается z= f(x, y).
Множество D называется областью определения функции z, а множество E – множеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами.
Частным значениям аргументов
Соответствует частное значение функции
Пример 4.Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами
и
которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет
В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y) плоскости xOy.
Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y).
Ставя в соответствие каждой точке
аппликату z = f(x, y), мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхности. Поэтому равенство z = f(x, y) называют уравнением поверхности.
Пример 5. Пусть задана функция
Её область определения найдём из равенства
т.е.
Это круг с центром в начале координат и радиусом r. Графиком функции
является верхняя половина сферы
(разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции z: и
studfiles.net