Уравнения линий второго порядка: 1.16. Общее уравнение линии второго порядка

2=0x2=0; здесь aaa, bbb и ppp – действительные числа, не равные нулю.

Исследование линий 2-го порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Для этого вводятся т. н. инварианты линий 2-го порядка – выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения линий 2-го порядка, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат (ниже aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij​=aji​),

Δ=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣,  δ=∣a11a12a21a22∣,  S=a11+a22.\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \;\delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\; S=a_{11} + a_{22}.Δ=​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​,δ=​a11​a21​​a12​a22​​​,S=a11​+a22​.Например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ≠0Δ ≠ 0Δ=0; положительное значение инварианта δδδ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ<0δ<0δ<0, для парабол δ=0δ=0δ=0).

Различить случаи действительного или мнимого эллипса позволяет сопоставление знаков инвариантов ΔΔΔ и SSS: если ΔΔΔ и SSS разных знаков, то эллипс действительный, если ΔΔΔ и SSS одного знака, то эллипс мнимый.

Три основных инварианта ΔΔΔ, δδδ и SSS определяют линии 2-го порядка (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ\DeltaΔ, δδδ и SSS двух линий совпадают, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости.

Существуют классификации линий 2-го порядка с использованием других групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, группы аффинных преобразований эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные линии 2-го порядка являются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами линий 2-го порядка позволяет установить классификация с использованием проективной геометрии.

Кроме аналитического способа определения линий 2-го порядка (с помощью уравнения), существуют и другие способы. Например, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью – конические сечения.

Редакция математических наук

Дата публикации:  7 июня 2022 г. в 12:35 (GMT+3)

Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. Нормальное уравнение прямой § 31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду § 32. Отрезки на осях § 33. Уравнение прямой в отрезках § 34. Преобразование координат (постановка вопроса) § 35. Перенос начала координат § 36. Поворот осей § 37. Алгебраические линии и их порядок § 38. Окружность § 39. Нахождение центра и радиуса окружности § 40. Эллипс как сжатая окружность § 41. Другое определение эллипса § 42. Построение эллипса по его осям § 43. Гипербола § 44. Форма гиперболы; вершины и оси § 45. Построение гиперболы по ее осям § 46. Асимптоты гиперболы § 47. Сопряженные гиперболы § 48. Парабола § 49. Построение параболы по данному параметру p § 50. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

12.2: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

90995

• Russell Herman
• University of North Carolina Wilmington 9{1}\), состоящее из вещественных функций над некоторой областью. Пусть \(f\) и \(g\) — векторы в этом функциональном пространстве. \(L\) является линейным оператором , если для двух векторов \(f\) и \(g\) и скаляра \(a\) имеем
  1. \(L(f+g)=Lf+Lg\)
  2. \(L(a f)=a L f\).

  Примечание

  Мы предполагаем, что читатель знаком с понятиями линейной алгебры. Далее по тексту мы напомним определение векторного пространства и увидим, что линейная алгебра стоит на заднем плане изучения многих понятий решения дифференциальных уравнений.

  Обычно решают \(\eqref{eq:1}\), находя общее решение однородной задачи, \[L y_{h}=0\nonumber \] и частное решение неоднородной задачи, \[ L y_{p}=f .\nonumber \] Тогда общее решение \(\eqref{eq:1}\) просто задается как \(y=y_{h}+y_{p}\). Это верно из-за линейности \(L\). А именно, \[\begin{align} L y &=L\left(y_{h}+y_{p}\right)\nonumber \\ &=L y_{h}+L y_{p}\nonumber \\ &=0+f=f .\label{eq:3} \end{align}\]

  Существуют методы нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения. Эти методы варьируются от простого предположения, метода неопределенных коэффициентов, метода вариации параметров или функций Грина. Мы рассмотрим эти методы позже в этой главе.

  Нахождение решений однородной задачи \(L y_{h}=0\) не всегда просто. Однако многие ныне известные математики и физики изучали множество линейных уравнений второго порядка и избавили нас от необходимости находить решения дифференциальных уравнений, которые часто встречаются в приложениях. Со многими из них мы столкнемся в следующих главах. Сначала мы начнем с некоторых простых однородных линейных дифференциальных уравнений. 9{n}\) является линейно независимым множеством тогда и только тогда, когда \[c_{1} y_{1}(x)+\ldots+c_{n} y_{n}(x)=0\nonumber \] подразумевает \ (c_{i}=0\), для \(i=1, \ldots, n\).

  Для \(n=2, c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)=0\). Если \(y_{1}\) и \(y_{2}\) линейно зависимы, то коэффициенты не равны нулю и \(y_{2}(x)=-\frac{c_{1}}{c_ {2}} y_{1}(x)\) и кратно \(y_{1}(x)\).

  Линейную независимость также можно установить, взглянув на вронскиан решений. {\prime}(x) y_{2}(x) .\label{eq:4}\] Решения линейно независимы, если вронскиан не равен нулю. 9{-x} .\номер \]

  Пример \(\PageIndex{5}\)

  \(y»+4y=\sin x\).

  Решение

  Это пример неоднородной задачи. Однородная задача фактически была решена в примере \(\PageIndex{3}\). Согласно теории, достаточно найти частное решение неоднородной задачи и добавить его к решению последнего примера, чтобы получить общее решение.

  Конкретное решение может быть получено простым предположением, обоснованным предположением или методом вариации параметров. Мы не будем рассматривать все эти методы сейчас. Из-за простой формы управляющего члена мы сделаем разумное предположение \(y_{p}(x)=A \sin x\) и определим, каким должно быть \(A\). Вставка этого предположения в дифференциальное уравнение дает \((-A+4 A) \sin x=\sin x\). Итак, мы видим, что \(A=1/3\) работает. Таким образом, общее решение неоднородной задачи имеет вид \(y(x)=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)+\frac{1}{3} \sin x\ ). 9{\ альфа х} (c_1 \ соз (\ бета х) + с_2 \ грех (\ бета х)) \).

---

Эта страница под названием 12.2: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Расселом Херманом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами Платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Рассел Герман

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://people. {n-1}} + \cdots + A_{ n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)yLn​(y)≡dtndny​+A1​(t)dtn−1dn−1y​+⋯+An−1​(t) dtdy​+An​(t)y
      .
   2. Когда

      f(t)=0f(t)=0f(t)=0

      , уравнения называются однородными линейными дифференциальными уравнениями. (Иначе уравнения называются неоднородными уравнениями).
   3. Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, решения которых можно складывать, чтобы получить другие решения.

Ключевые слова

• линейный : имеющий форму линии; прямой
• дифференциальное уравнение : уравнение, включающее производные функции

Линейные дифференциальные уравнения имеют вид

Ly=fLy = fLy=f

, где дифференциальный оператор

LLL

— линейный оператор,

yyy

— неизвестная функция (например, функция времени

y(t)y(t)y(t)

), а правая часть

fff

 является заданной функцией того же характера, что и

yyy

 (называется исходным термином). {n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D + A_n(t)\right] y}Ln​(y)≡[Dn+A1​(t)Dn−1+⋯+An−1​(t)D+An​(t)]y 92} + A_1(t)\frac{dy}{dt} + A_2(t)y = f(t)}dt2d2y​+A1​(t)dtdy​+A2​(t)y=f(t)

где

A1(t)A_1(t)A1​(t)

,

A2(t)A_2(t)A2​(t)

, и

f(t)f(t)f (t)

— непрерывные функции. При

f(t)=0f(t)=0f(t)=0

уравнения называются однородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. (Иначе уравнения называются неоднородными уравнениями.)

Простой маятник : Простой маятник в условиях отсутствия демпфирования и малой амплитуды описывается уравнением движения, которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. 92} + A_1(t)\frac{dy}{dt} + A_2(t)y = f(t)dt2d2y​+A1​(t)dtdy​+A2​(t)y=f(t)

, где

f(t)f(t)f(t)

отлично от нуля.

Цели обучения

Определите, когда линейное дифференциальное уравнение второго порядка может быть решено аналитически

Основные выводы

Ключевые моменты

• Примеры однородных или неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка можно найти во многих различных дисциплинах, таких как физика, экономика и инженерия. .
• В простых случаях, например, когда коэффициенты

  A1(t)A_1(t)A1​(t)

  и

  A2(t)A_2(t)A2​(t)

  являются константами, уравнение может быть аналитически решено. В общем случае решение дифференциального уравнения можно получить только численно.
• Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, решения которых можно складывать, чтобы получить другие решения.

Ключевые термины

• линейность : связь между несколькими величинами, которую можно считать пропорциональной и выражать в терминах линейной алгебры; любое математическое свойство отношения, операции или функции, аналогичное такой пропорциональности, удовлетворяющее требованиям аддитивности и однородности 92} + A_1(t)\frac{dy}{dt} + A_2(t)y = f(t)}dt2d2y​+A1​(t)dtdy​+A2​(t)y=f(t)

  где

  A1(t)A_1(t)A1​(t)

  ,

  A2(t)A_2(t)A2​(t)

  , и

  f(t)f(t)f (t)

   являются непрерывными функциями. При

  f(t)=0f(t)=0f(t)=0

  уравнения называются однородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. В противном случае уравнения называются неоднородными уравнениями. Примеры однородных или неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка можно найти во многих различных дисциплинах, таких как физика, экономика и инженерия.

  Теплопередача : Такие явления, как теплопередача, могут быть описаны с использованием неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

  В простых случаях, например, когда коэффициенты

  A1(t)A_1(t)A1​(t)

  и

  A2(t)A_2(t)A2​(t)

   являются константами, уравнение можно решить аналитически. (Можно использовать либо метод неопределенных коэффициентов, либо метод вариации параметров.) В общем случае решение дифференциального уравнения можно получить только численно. Однако есть очень важное свойство линейного дифференциального уравнения, которое может оказаться полезным при поиске решения. 92} + A_1(t)\frac{dy}{dt} + A_2(t)y = f(t)}dt2d2y​+A1​(t)dtdy​+A2​(t)y=f(t)

  , то любая произвольная линейная комбинация

  y1(t)y_1(t)y1​(t)

   и

  y2(t)y_2(t)y2​(t)

   — то есть

  y( x)=c1y1(t)+c2y2(t)y(x) = c_1y_1(t) + c_2 y_2(t)y(x)=c1​y1​(t)+c2​y2​(t)

  для константы

  c1c_1c1​

  и

  c2c_2c2​

  — также является решением этого дифференциального уравнения. В этом можно убедиться, подставив

  y(x)=c1y1(t)+c2y2(t)y(x) = c_1y_1(t) + c_2 y_2(t)y(x)=c1​y1​(t)+c2​y2​(t )

  в уравнение и используя тот факт, что оба

  y1(t)y_1(t)y1​(t)

   и

  y2(t)y_2(t)y2​(t)

   являются решениями уравнение.

  Приложения дифференциальных уравнений второго порядка

  Линейное дифференциальное уравнение второго порядка обычно встречается в физике, экономике и технике.

  Цели обучения

  Определение задач, требующих решения неоднородных и однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка 92 x = \frac{F(t)}{m}dt2d2x​+2ζω0​dtdx​+ω02​x=mF(t)​

  .

Ключевые термины

• демпфирование : уменьшение амплитуды колебаний за счет рассеяния энергии
• гармонический осциллятор : система, которая при смещении из положения равновесия испытывает восстанавливающую силу, пропорциональную смещению в соответствии с законом Гука, где

  kkk

  — положительная постоянная

Примеры однородных или неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка можно найти во многих различных дисциплинах, таких как физика, экономика и инженерия. В этом атоме мы узнаем о гармоническом осцилляторе, который является одной из самых простых, но наиболее важных механических систем в физике.

Гармонический осциллятор

В классической механике гармоническим осциллятором называется система, которая при смещении из положения равновесия испытывает восстанавливающую силу,

FFF

, пропорциональную смещению,

xxx

:

F⃗=−kx⃗ \vec F = -k \vec x \,F

=−kx

, где

kkk

— положительная константа. Рассматриваемая система может быть объектом, прикрепленным к пружине, маятнику и т. д. Электронные схемы, такие как схемы RLC, также описываются аналогичными уравнениями. 92} + k x = 0}mdt2d2x​+kx=0

Обратите внимание, что функция

x(t)=Acos⁡(ω0t+ϕ)x(t) = A\cos\left( \omega_0 t+\phi\ right)x(t)=Acos(ω0​t+ϕ)

 удовлетворяет уравнению, где

ω0=km=2πT\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi {T}ω0​=mk​

​=T2π​

. {\,2} x = 0}dt2d2x​+2ζω0​dtdx​+ω02​x=0

, где

ζ=c2mk\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}}ζ=2mk

​c​

 называется «коэффициентом демпфирования».

Затухающие гармонические осцилляторы : Решение затухающего гармонического осциллятора. Кривые разных цветов показывают различные отклики в зависимости от коэффициента демпфирования.

Управляемый гармонический осциллятор: Управляемые гармонические генераторы представляют собой затухающие осцилляторы, на которые дополнительно воздействует внешняя приложенная сила

F(t)F(t)F(t)

. 2-й закон Ньютона ( 92 x = \frac{F(t)}{m}}dt2d2x​+2ζω0​dtdx​+ω02​x=mF(t)​

, которое является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Решения серии

Метод степенных рядов используется для поиска решения степенных рядов некоторых дифференциальных уравнений.

Цели обучения

Определите этапы и опишите применение метода степенных рядов

Основные выводы

Ключевые моменты

• Метод степенных рядов требует построения решения степенного ряда 9kf=∑k=0∞​Ak​zk
  для линейного дифференциального уравнения

  f′′+a1(z)a2(z)f′+a0(z)a2(z)f=0f»+{a_1( z)\over a_2(z)}f’+{a_0(z)\over a_2(z)}f=0f′′+a2​(z)a1​(z)​f′+a2​(z)a0 ​(z)​f=0

  .
• В методе предполагается степенной ряд с неизвестными коэффициентами, затем подставляется это решение в дифференциальное уравнение, чтобы найти рекуррентное соотношение для коэффициентов.
• Дифференциальное уравнение Эрмита

  f′′−2zf′+λf=0; λ=1f»-2zf’+\lambda f=0;\;\lambda=1f′′−2zf′+λf=0;λ=1 97+\cdots\right)f=A0​(1+2−1​x2+8−1​x4+240−7​x6+⋯)+A1​(x+61​x3+241​x5+1121​x7+ ⋯)

  .

Ключевые термины

• рекуррентное соотношение : уравнение, которое рекурсивно определяет последовательность; каждый член последовательности определяется как функция предыдущих членов
• аналитические функции : функция, локально заданная сходящимся степенным рядом

Метод степенных рядов используется для поиска решения степенных рядов некоторых дифференциальных уравнений. Как правило, такое решение предполагает степенной ряд с неизвестными коэффициентами, а затем подставляет это решение в дифференциальное уравнение, чтобы найти рекуррентное соотношение для коэффициентов.

Степенной ряд Маклорена экспоненциальной функции : Экспоненциальная функция (выделена синим) и сумма первых

n+1n+1n+1

членов ее степенного ряда Маклорена (красный). С помощью степенных рядов можно решить линейное дифференциальное уравнение общего вида.

Метод

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: )+a_1(z)f'(z)+a_0(z)f(z)=0a2​(z)f′′(z)+a1​(z)f′(z)+a0​(z)f (г)=0

Предположим, что

a2a_2a2​

 отлично от нуля для всех

zzz

. Затем мы можем разделить все, чтобы получить:

f′′+a1(z)a2(z)f′+a0(z)a2(z)f=0\displaystyle{f»+{a_1(z)\over a_2(z)}f’+{a_0(z)\over a_2(z)}f=0}f»+a2​(z)a1​(z)​f’+a2​(z)a0​( z)​f=0

Предположим далее, что

a1a2\frac{a_1}{a_2}a2​a1​

 и

a1a2\frac{a_1}{a_2}a2​a1​

 являются аналитическими функции. {k-2}}f=k=0∑∞​Ak​zkf′=k=0∑∞ kAkzk−1f′′=k=0∑∞k(k−1)Akzk−2 9k \end{align}​=∑_k+2=0∞(k+2)((k+2)−1)A_k+2z(k+2)−2−∑_k=0∞2kA_kzk+∑_k=0 ∞A_kzk=∑_k=0∞(k+2)(k+1)A_k+2zk−∑_k=0∞2kA_kzk+∑_k=0∞A_kzk=∑_k=0∞((k+2)(k+1 )A_k+2+(−2k+1)A_k)zk​​

Если этот ряд является решением, то все эти коэффициенты должны быть равны нулю, поэтому:

(k+2)(k+1)Ak+2 +(−2k+1)Ak=0(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k=0(k+2)(k+1)Ak+2​ +(−2k+1)Ak​=0

Мы можем изменить это, чтобы получить рекуррентное соотношение для

Ak+2A_{k+2}Ak+2​

:

Ak+2=(2k−1 ) (k + 2) (k + 1) Ak \ displaystyle {A_ {k + 2} = {\ frac {(2k-1)} {(k + 2) (k + 1)} A_k}} Ak + 2 ​=(k+2)(k+1)(2k−1)​Ak​ 97+ \cdots \right)}f=A0​(1+2−1​x2+8−1​x4+240−7​x6+⋯)+A1​(x+61​x3+241​x5+1121​ x7+⋯)

Лицензии и атрибуты

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и доработка. Предоставлено : Boundless.com. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike

Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства

• Линейное дифференциальное уравнение. Предоставлено : Википедия. Расположен по адресу : https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_Differential_equation#Homogeneous_equations_with_constant_coefficients. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• линейная. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• дифференциальное уравнение. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Маятник. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY: Attribution
• Линейное дифференциальное уравнение. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• линейность. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Маятник. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY: Attribution
• Теплопередача. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY: Attribution
• Гармонический осциллятор. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• гармонический осциллятор. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• демпфирование. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Маятник. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY: Attribution
• Теплопередача. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY: Attribution
• Гармонический осциллятор. Предоставлено : Википедия.

  No related posts.