Уравнения с двумя корнями: Иррациональные уравнения | ЮКлэва

2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Ласточкин хвост / Этюды // Математические этюды

По неко­то­рым источ­ни­кам, Саль­ва­дор Дали рисо­вал кри­вую по графику Рене Тома. Мы не смогли подо­брать сече­ние ласточ­ки­ного хво­ста, совпа­дающее с кри­вой Дали. Возможно, дело в том, что ласточ­ки­ным хво­стом назы­вают не только дис­кри­ми­нант­ную поверх­ность урав­не­ний чет­вёр­той степени, но и про­сто осо­бен­ность такого вида (когда взгляд чисто топо­логи­че­ский).

Рене Том (René Frédéric Thom, 1923—2002) полу­чил в 1958 году медаль Фил­дса за созда­ние тео­рии кобор­дизмов. Впо­след­ствии занялся тео­рией ката­строф — обла­стью, объеди­няющей важ­ный раз­дел матема­тики «тео­рию осо­бен­но­стей» и при­ложе­ния этой тео­рии к объяс­не­нию явле­ний окружающего нас мира.

В 60—70-х годах XX века тео­рия ката­строф была чрезмерно попу­лярна. Состо­я­лась встреча Рене Тома и Саль­ва­дора Дали, ока­завшая на испанца большое вли­я­ние. Даже в своей ответ­ной речи «Гала, Велас­кес и Золо­тое руно», будучи выбран­ным в ино­стран­ные члены Ака­демии изящ­ных искусств (Académie des beaux-arts) Инсти­тута Франции ⁠⁠24 мая 1978 года, Саль­ва­дор Дали упоми­нал и Рене Тома, и тео­рию ката­строф.

Серия «Тео­рия ката­строф» Саль­ва­дора Дали (1983):

• ⁠⁠«Топо­логи­че­ское похище­ние Европы. Посвяще­ние Рене Тому», внизу нари­со­ван ласточ­кин хвост и выпи­сан много­член, чья про­из­вод­ная явля­ется много­чле­ном чет­вёр­той степени без куби­че­ского члена;
• ⁠⁠без назва­ния;
• ⁠⁠без назва­ния, «Ласточ­кин хвост и вио­лон­чели»;
• ⁠⁠без назва­ния, «Ласточ­кин хвост».

По неко­то­рым источ­ни­кам, Дали оформил множе­ством рисун­ков (а книж­ная графика у Дали бога­тейшая) работу Тома «Пара­болы и ката­строфы. Беседы о матема­тике, науке и фило­софии».

Как вспоми­нал Том, «Не знаю, с чего вдруг я удо­сто­ился такой чести. Дали я видел не более пяти минут, и к тому же дав­ным-давно. Мне ска­зали, что его послед­няя кар­тина «Топо­логи­че­ское похище­ние Европы» посвящена моим рабо­там. Думаю, дело ско­рее в навяз­чи­вых идеях мэтра, именно им я обя­зан запоз­да­лым и чрезмер­ным энту­зи­азмом по поводу моих иссле­до­ва­ний, давно уже извест­ных среди учё­ных».

Леопольд Кро­не­кер, автор знаме­ни­той фразы «Бог создал целые числа, всё осталь­ное — дело рук чело­ве­че­ских» (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk) в ста­тье 1878 года ана­ли­ти­че­ски, не рисуя графи­ков, пол­но­стью иссле­до­вал дис­кри­ми­нант­ную поверх­ность урав­не­ний чет­вёр­той степени. Для инте­ре­сующихся напишем неко­то­рые формулы и мы.

Для урав­не­ний любой степени, а не только квад­рат­ных, можно напи­сать дис­кри­ми­нант — много­член от коэффици­ен­тов урав­не­ния, рав­ный нулю тогда и только тогда, когда урав­не­ние имеет крат­ные корни (не обя­за­тельно действи­тель­ные). 2$ для $\alpha \le 0$) в фио­ле­то­вую область симмет­рично за вершину.

Лите­ра­тура

Васи­льев В. А. Геомет­рия дис­кри­ми­нанта. — М.: МЦНМО, 2017. — (Биб­лио­тека «Матема­ти­че­ское про­свеще­ние»; Вып. 41).

Клейн Ф. Элемен­тар­ная матема­тика с точки зре­ния высшей. Т. 1: Арифме­тика, алгебра, ана­лиз. — 4-е изд. — М.: Физмат­лит, 1987. — С. 137—147. — [Пер­вое изда­ние на рус­ском: Клейн Ф. Вопросы элемен­тар­ной и высшей матема­тики. — Одесса: Mathesis, 1912. — С. 154—166].

Арнольд В. И. Тео­рия ката­строф. — 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1990.

Kronecker L. Über Sturmsche Functionen // Monatsberichte der Königlicli Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — Feb. 1878. — P. 95—121.

⁠⁠Дис­кри­ми­нант // Матема­ти­че­ские этюды.

Другие этюды раздела «Геометрия формул»

  Лестница в бесконечность  Геометрическая прогрессия: легенда о шахматах  Убывание геометрической прогрессии  ДискриминантОбновлено  Наибольший общий делитель

Математические этюды

Построение квадратного уравнения с заданными корнями

Если α и β — два корня квадратного уравнения, то формула для построения квадратного уравнения: 0

То есть

x ²   — (сумма корней)x + произведение корней = 0

Если квадратное уравнение задано в стандартной форме, мы можем найти сумму и произведение корней, используя коэффициент x ² , x и постоянный член.

Рассмотрим квадратное уравнение в стандартной форме приведенного выше квадратного уравнения.

Тогда формула для получения суммы и произведения корней квадратного уравнения:

Примечание:

Иррациональные корни квадратного уравнения встречаются в сопряженных парах.

То есть, если (m + √n) является корнем, то  (m — √n) является другим корнем того же уравнения квадратного уравнения.

Пример 1:

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 3.

Решение:

Сумма корней равна

= 2 + 3

= 5

Произведение корни

= 2 x 3

= 6

Составление квадратного уравнения:

x ² — (сумма корней)x + произведение корней = 0

x ² — 5x + 6 = 0,900 03

Пример 2 :

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 1/4 и -1.

Решение:

Сумма корней составляет

= 1/4 + (-1)

= 1/4 — 1

= 1/4 — 4/4

= (1 — 4)// 4

= -3/4

Произведение корней равно

= (1/4) x (-1)

= -1/4

Составление квадратного уравнения:

x ^{2 9000 6  — ( сумма корней)x + произведение корней = 0}

x ²  — (-3/4)x + (-1/4) = 0

x ²  + (3/4)x — 1/4 = 0

Умножьте каждую сторону на 4.

4x ²  + 3x — 1 = 0

Пример 3 :

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2/3 и 5/2.

Решение:

Сумма корней равна

= 2/3 + 5/2

Наименьшее общее умножение знаменателей 3 и 2 равно 6.

Превратите каждый знаменатель в 6, используя multi пликация.

Тогда

= 4/6 + 15/6

= (4 + 15)/6

= 19/6  

Произведение корней равно

= 2/3 x 5/2

= 5/3

Составление квадратного уравнения :

x ²  — (сумма корней)x + произведение корней = 0

x ²  — (19/6)x + 5/3 = 0

Умножьте каждую сторону на 6.

6x ²  — 19x + 10 = 0

9000 2 Пример 4 :

Если один корень квадратного уравнения (2 + √3), затем составьте уравнение, учитывая, что корни иррациональны.

Решение:

(2 + √3) — иррациональное число.

Мы уже знаем, что иррациональные корни квадратного уравнения встречаются в сопряженных парах.

То есть, если (2 + √3) является одним корнем квадратного уравнения, то (2 — √3) будет другим корнем того же уравнения.

Итак, (2 + √3) и (2 — √3) являются корнями искомого квадратного уравнения.

Сумма корней равна

= (2 + √3) + (2 — √3)

= 4

Произведение корней равно

= (2 + √3)(2 — √3)

= 2 ² — √3 ²

= 4 — 3

= 1

9 0002 Составление квадратного уравнения :

x ² — (сумма корней) x + Продукт корней = 0

x ² — 4x + 1 = 0

Пример 5:

Если α и β- корни x ² + 7x + 12 = 0, найдите квадратное уравнение, корни которого равны

(α + β) ² и (α — β) ²

Решение:

Дано: α и β — корни x ²  + 7x + 12 = 0.

Тогда

сумма корней = -коэффициент x/коэффициент x ²

α + β = -7/1

= -7

произведение корней = постоянный член/коэффициент x ²

αβ = 12/1

= 12

Квадратное уравнение с корнями (α + β ) ²  и (α — β) ² равно

x ² — [(α + β) ²  + (α — β) ² ]x + (α + β) ² (α — β) ²  = 0 —-(1)

Найдите значения (α + β) ² и (α — β) ² .

(α + β) ²  = (-7) ²

(α + β) ²  = 49

(α — β) ^{2  9000 6 = (α + β) 2  — 4αβ}

(α — β) ² = (-7) ²  — 4(12)

(α — β) ² = 49 — 48

(α — р) ²  = 1

Итак, искомое квадратное уравнение

(1)—-> x ²  — [49 + 1]x + 49 ⋅ 1 = 0

x ²  — 50x + 49 = 0

Пример 6 :

Если α и β корни x ²  + px + q = 0, найдите квадратное уравнение, корни которого равны

α/β и β/α

Решение:

Дано: β — корни x ²  + px + q = 0.

Тогда

сумма корней = -коэффициент x/коэффициент x ²

α + β = -p/1

α + β = -p

произведение корней = постоянный член/коэффициент x ²

αβ = q/1

9 0002 αβ = q

Квадратное уравнение с корнями α/β и β/α   равно

x ²  — (α/β + β/α)x + (α/β)(β/α) = 0

x ² — [α/β + β/α]x + 1 = 0 —-(1)

Найдите значение (α/β + β/α).

α/β + β/α = α ² /αβ + β ² /αβ

= (α ²  + β ² )/αβ

= [(α   + β) ² — 2αβ]/αβ

= (p ^{2  9000 6 — 2q)/q}

Итак, искомый квадратичный уравнение

(1)—-> x ²  -[(p ²  — 2q)/q]x + 1 = 0

Умножьте каждую сторону на q.

qx ²  — (p ²  — 2q)x + q = 0

Пожалуйста, присылайте ваши отзывы на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Биоматематика: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень(и) квадратного уравнения. Корни также называют х — точками пересечения или нулями. Квадратичная функция графически изображается параболой с вершиной, расположенной в начале координат ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевые корни. Когда нас просят решить квадратное уравнение, на самом деле нас просят найти его корни. Мы уже видели, что завершение квадрата является полезным методом решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. На самом деле корни функции f ( x ) = ax 2 + bx + c даются квадратичной формулой. Корни функции это x — перехваты. По определению координата х точек, лежащих на оси х , равна нулю. Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение ах 2 + бх + в = 0. Мы можем сделать это, заполнив квадрат как, Решая для x и упрощая имеем, Таким образом, корни квадратичной функции задаются как, Эта формула называется квадратичной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась. Мы называем терм b 2 −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если 1. b 2 −4 ac < 0 Действительных корней нет. 2. b 2 −4 ac = 0 Имеется один действительный корень. 3. b 2 −4 ac > 0 Имеются два действительных корня. Мы рассмотрим каждый случай индивидуально. Случай 1: нет действительных корней Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает x — ось. Поскольку квадратичная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен относительно действительной прямой. Пример квадратичной функции без действительных корней: . ф ( х ) = х 2 — 3 х + 4. Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный, б 2 -4 а.с. = (-3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = -7. Эта функция графически представлена ​​параболой, которая направлена ​​вверх, вершина которой лежит над осью x. Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже, Вариант 2: один реальный корень Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает x — ось в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b 2 −4 ac = 0 в квадратичной формуле, чтобы получить Обратите внимание, что это координата x вершины параболы. Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень: . у = х 2 , , где реальный корень равен x = 0, . Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем дается выражением . f ( x ) = −4 x 2 + 12 x − 9, Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю, б 2 −4 ак = (12) 2 − 4 · −4 · −9 = 144 − 144 = 0, Эта функция графически представлена ​​параболой, которая раскрывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,     Случай 3: два действительных корня Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x — перехваты). No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт