Уравнения с фигурной скобкой как решать: Решение систем уравнений — метод как решить систему линейных уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Тип урока: урок –открытие нового знани я

Форма урока: урок-исследование

Цель

• Научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом.

• Рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений.

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

7 класс

Что называют системой уравнений?

Рассмотрим два линейных уравнения:

1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой.

Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

y – 2 x = – 3

x + y = 3

Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1. Приводим оба уравнения к виду линейной функции

y = k x + m.

2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.

3. Строим графики функций в одной координатной плоскости.

4. Определяем число решений:

• Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения;
• Если прямые параллельны, то нет решений;
• Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.

5. Записываем ответ.

Решение системы графическим способом

Выразим у

через х

у – х = 2,

у + х = 10;

y

y=x+2

10

у = х + 2,

у = 10 – х ;

Построим график

первого уравнения

6

у = х + 2

y=10 — x

х

0

-2

у

2

2

0

1

Построим график

второго уравнения

1

0

-2

x

4

10

у = 10 – х

х

0

10

Ответ: (4; 6)

у

10

0

Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3

у = 3 – x

x

y

A(0;3)

D(3;3)

3

0

0

3

M(2;1)

у =1

B(3;0)

X=2

у = 2x – 3

y

x

0

– 3

C(0; – 3)

3

3

Ответ: (2; 1)

Y=0,5x+2

x

y

B(2;3)

0

2

2

A(0;2)

3

D(2;0)

C(0;-1)

Y=0,5x-1

Графики функций параллельны и не пересекаются.

y

x

0

-1

0

2

Говорят, что система несовместна.

Решим систему уравнений : Y= 0 ,5 x+2 Y= 0,5x-1

Ответ: Система не имеет решений.

Y=x+3

D( 1

; 4 )

y

x

Система

Y=x+3

Y=x+3

A(0;3)

0

3

C( -1 ; 2 )

0

— 3

B( — 3;0)

Y=x + 3

Графики функций совпадают.

y

x

4

1

2

-1

Говорят, что система неопределенна

Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Если система уравнений имеет бесконечно много решений, то она называется неопределённой.

Достоинство графического способа – наглядность.

Недостаток графического способа– приближённые значения переменных.

Проверим, что у нас получилось !

Зарядка для глаз

Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)

Решите систему уравнений графическим способом (памятка)

у = 3 х + 4

у = 3 х — 2

у = 3 х + 4

х

у

0

-2

у = 3 х — 2

Х

У

0

2

Самостоятельная работа

Решите систему уравнений

графическим способом

у = 2 х — 3

у = 3 х — 4

у = — х + 3

у = 0,5 х + 1

У = 2х — 3

У = — х + 3

У = 0,5 х + 1

У = 3 х — 4

Проверим, что у нас получилось !

у

у

.

.

.

.

.

.

В(2;2)

.

А(2;1)

.

х

х

.

.

Ответ: В ( 2; 2)

Ответ: А ( 2; 1)

вывод:

1) угловые коэффициенты не равны ,

2) прямые пересекаются.

Найдём координаты точек пересечения графиков

2х – 3 = — х + 3,

2х + х = 3 + 3,

3х = 6,

х = 2,

у = 2 • 2 — 3,

у = 1.

3х – 4 = 0,5х + 1,

3х – 0,5х = 1 + 4,

2,5х = 5,

х = 2,

у = 3 • 2 – 4,

у = 2.

Ответ: В ( 2; 2).

Ответ: А ( 2; 1).

Решите систему уравнений

графическим способом

у = 2х — 4

у = — 3х + 6

у = 2х — 4

х

у

0

3

У = — 3х + 6

х

у

0

1

Работа с учебником:

№ 1010, 1012, 1016, 1018.

С п а с и б о за у р о к

Б ы л о п р и я т н о

с В а м и

р а б о т а т ь!

Проект по математике «Уравнения и системы уравнений в ОГЭ»

 

 

Основные понятия

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

 Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0

Рациональные уравнения

 – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения.  

Линейные уравнения

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным.

1-й шаг. Если выражения, стоящие в левой или правой части уравнения, содержат скобки, то раскрываем их по правилам.

2-й шаг. Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а без переменных в правую.

3-й шаг. Приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения, приводя его к виду ax = b.

4-й шаг. Решаем получившееся линейное уравнение, равносильное исходному, в зависимости от значений коэффициентов a и b.

ax = b, где х – переменная, a, b – любое число.

Если a ≠ 0, то x = b/a ; 

Если а = 0 и  b = 0, то х – любое;

Если а = 0 и  b ≠ 0, то нет корней.

Образцы решения линейных уравнений

 

 

 

 

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Способы  решений квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)² + 2ах • b + b²) — b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² — 4ac,

2ax + b = ± √ b² — 4ac,

2ax = — b ± √ b² — 4ac,

 

 

а) Решим уравнение: 4х² + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, 

D = b² — 4ac = 7² — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D >0, два разных корня;

b

б) Решим уравнение: 4х² — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, 

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0, D = 0, один корень;

в) Решим уравнение: 2х² + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, 

D = b² — 4ac = 3² — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D<0.

Данное уравнение корней не имеет.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х² + px + c = 0. 

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x₁ x₂ = q,

x₁ + x₂ = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

Например,

x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2  и p = — 3

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = — 7 и x₂ = — 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Например, x² + 4x – 5 = 0; x₁ = — 5 и x₂ = 1, так как q= — 5 и p = 4;

x² – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = — 1, так как q = — 9 и p = — 8

Решение уравнений с использованием теоремы Виета (обратной)

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

1. Решить уравнение х² +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что х₁ +х₂ = — 3 и х₁х₂ = — 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями уравнения.

Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение х² — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х² — 2х — 8 = х² — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -42).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(х -4)=0.

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = -2, а также при х = 4. Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х² — 2х — 8 = 0.

 Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение х² + 6х — 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как   х² + 2• х • 3 + 3² = (х + 3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х² + 6х — 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х² + 6х — 7 = х² + 2• х • 3 + 3² — 3² — 7 = (х + 3)² — 9 — 7 = (х + 3)² — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² — 16 =0, (х + 3)² = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = с/а.

 Пример.

Решим уравнение 132х² – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х₁ = 1, х₂ = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

 Пример.

Решим уравнение 3х² -14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k² – ac = (- 7)² – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D >0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х² + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

 

принимает вид:

 

 

Данную формулу  особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнениех² – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 =7±Ö 49+15 =7±Ö64=7±8

Ответ: х₁ = 15; х₂ = -1.

 Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении х² + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = — px -q.

Построим графики зависимости у = х² и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1).  

 

Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

 

Примеры.

1)    Решим графически уравнение х² — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4.

Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с

абсциссами х₁ = — 1 и х₂ = 4. Ответ: х₁ = — 1; х₂ = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х² — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 2х — 1.

Построим параболу у = х² и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х² — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 5х — 5. Построим параболу у = х² и прямую у = 2х -5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х² — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

 

 

Рациональные уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

Алгоритм решения рационального уравнения

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: 

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Пример

Решить уравнение: 

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант: 

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

Получаем два корня: 

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: 

Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.

Системы уравнений

Способы решения систем уравнений

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

 

Новосибирская область

Барабинский район

МКОУ Новониколаевская СОШ

 

 

 

 

 

 

Работу выполнила:

ученица 9 класса

Мельникова Анастасия

Руководитель:

Моисеенко Р. Ф.

2019-2020 уч. год

 

Цель проекта: создание брошюры по подготовке к ГИА  по теме «Уравнения и системы уравнений»

  Задачи:

— определить основные понятия по данной теме;

— выяснить в каких типовых заданиях в ОГЭ встречается тема «Уравнения и системы уравнений»;

— сделать подборку заданий с образцами решений и необходимой теорией;

— оформить брошюру.

Актуальность проекта. В современном мире сдача государственной итоговой аттестации по математике обязательна для всех учащихся. Подготовка к экзаменам это ответственное и трудоемкое дело, а задания по теме «Уравнения и системы уравнений» включены в экзаменационную работу.

Гипотеза: использование подготовленной брошюры поможет учащимся в подготовке к ГИА по математике.

Свою работу я начала с того, что нашла и систематизировала основные определения по теме «Уравнения и системы уравнений».

Основные понятия: уравнение, система уравнений, корень уравнения, решить уравнение, решить систему уравнений, линейное уравнение, квадратное уравнение, рациональное уравнение. Все данные понятия представлены в брошюре в первом разделе.

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

 Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

На втором этапе работы, мною были изучены разные варианты экзаменационных работ, для определения в каких типовых заданиях встречаются темы «Уравнения», «Системы уравнений». И выяснила, что это задания № 9 в первой части, № 21 во второй части. Они могут быть сформулированы следующим образом:

— найти корень уравнения;

-решите систему уравнений;

-решите уравнение.

Далее, к каждому виду заданий, я оформила в виде образца алгоритм решения уравнения и системы уравнений. Добавила необходимый теоретический материал по данной тематике. Изучив разную литературу и интернет-ресурсы, сделала выборку подходящих уравнений и систем уравнений. Оформила все это, в виде брошюры.

В данной брошюре рассмотрены:

— линейные уравнения;

— квадратные уравнения;

— рациональные уравнения;

— системы уравнений.

Данная брошюра будет находиться в кабинете математики. Её могут использовать одноклассники и другие учащиеся не только для подготовки к экзаменам, но и при изучении темы «Уравнения и системы уравнений».

Работая над проектом, я систематизировала и улучшила свои знания по теме «Уравнения и системы уравнений». И посоветую всем у кого проблемы с уравнениями воспользоваться данной брошюрой.

 

 

 

Фигурная скобка над кратным уравнением — TeX

спросил 1 год, 4 месяца назад

Изменено 1 год, 4 месяца назад

Просмотрено 1к раз

У меня вопрос по фигурным скобкам в тексте. Пока не нашел хорошего решения задачи:

У меня есть следующие формулы:

 \начало{уравнение}
  \begin{выровнено}
    f (х) &= х + 1 \\
    г (х) &= х + 2 \\
    ч (х) &= х + 3 \\
    к (х) &= х + 4 \\
    л(х) &= х + 5
  \end{выровнено}
\end{уравнение}
 

Теперь я хочу, чтобы f(x) и g(x) были заключены в фигурные скобки с правой стороны, и я хочу написать что-то за фигурной скобкой. И мне также нужна фигурная скобка за h(x), k(x) и l(x). Как я могу это сделать, а также убедиться, что все пять уравнений выровнены по знаку «=»?

Я только что попытался поместить формулы в \begin{rcases} … \end{rcases}, но тогда формулы больше не выравниваются.

Заранее большое спасибо!

С уважением!

• уравнения
• скобки

1

Вы можете использовать nicematrix и его мощные методы.

 \documentclass{статья}
\usepackage{аммат}
\usepackage{nicematrix}
\AtBeginEnvironment{NiceArray}{\tracinglostchars=0 }
\начать{документ}
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1. 2}
\begin{NiceArray}{ @{} r @{} >{{}}c<{{}} @{} l l}
  f(x) &=& x + 1 & \Block{2-1}{\text{независимо}}\\
  г(х) &=& х + 2 \\
  h(x) &=& x + 3 & \Block{3-1}{\text{что-то еще}}\\
  к(х) &=& х + 4 \\
  л(х) &=& х + 5 \\
\CodeAfter
\Подматрица.{1-3}{2-3}\}
\Подматрица.{3-3}{5-3}\}
\end{NiceArray}
\]
\конец{документ}
 

Странная настройка \tracinglostchars заключается в том, чтобы избежать ложных предупреждений (но они заслуживают некоторого изучения).

Спецификации для столбцов являются обычными для имитации , выровненных по , включая настройку \arraystretch . Мы строим две «подматрицы» с пустым разделителем слева и фигурными скобками справа, а также два блока, охватывающих две и три строки соответственно.

Пара прогонов LaTeX необходима для стабилизации выходных данных, поскольку украшения устанавливаются последовательными шагами после измерения объекта.

2

Один из способов — определить новый тип столбца для выравнивания по адресу = следующим образом:

 \newcolumntype{e}{@{{{$\mspace{\thinmuskip}$}}c@{{}} }
 

NiceArray from nicematrix хорошо подходит для таких целей

 \documentclass[11pt, a4paper]{article}
\usepackage{nicematrix}
\newcolumntype{e}{@{{$\mspace{\thinmuskip}$}}c@{{}}}
\начать{документ}
\begin{уравнение*}
    \everymath{\displaystyle}
    \begin{NiceArray}[cell-space-limits=3. 7pt]{r e @{\quad}l}
        f(x) &= x + 1 & \Block[l]{2-1}{\text{Текст для $f(x)$} \\ \text{и $g(x)$}}
    \\
        г(х) &= х + 2 &
    \\
        h(x) &= x + 3 & \Block[l]{3-1}{\text{Текст для $h(x)$,} \\ \text{$k(x)$, и $k( х)$}}
    \\
        к (х) &= х + 4 &
    \\
        л(х) &= х + 5 &
    \CodeAfter
    \SubMatrix{.}{1-1}{2-2}{\}}[extra-height=-1.1pt]
    \SubMatrix{.}{3-2}{5-2}{\}}[extra-height=-1.1pt]
    \end{NiceArray}
\end{уравнение*}
\конец{документ}
 

Я не уверен, правильно ли я понял ваш вопрос. Насколько я понимаю, следующее должно помочь

 \documentclass{article}
   
\usepackage{аммат}
\начать{документ}
    
\begin{уравнение}
\begin{выровнено}
&\left.\begin{выровнено}
    f (х) &= х + 1 \\
    г (х) &= х + 2 \\
\end{выровнено}\right\}\hspace{0,5 см}\text{кое-что}\\
&\left.\begin{выровнено}
    ч (х) &= х + 3 \\
    к (х) &= х + 4 \\
    л(х) &= х + 5
\конец{выровнено}\справа\}
\end{выровнено}
\end{уравнение}
\конец{документ}
 

Получение

Если правая часть всех уравнений имеет одинаковую длину, внутренние выравнивания &, к счастью, дадут желаемое выравнивание. Однако, если вы действительно хотите принудительно выполнить выравнивание, решение менее простое, и я предлагаю вам взглянуть на следующий вопрос: ЗДЕСЬ

Зарегистрируйтесь или войдите

Зарегистрироваться через Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.