Уравнения с корнем под корнем: Иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Иррациональное уравнение с корнем под корнем. Пример решения.

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Напомним алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

• Сначала нужно от иррационального уравнения перейти к более простому в плане решения уравнению, для чего нужно по кругу необходимое число раз выполнить следующие три действия:
  • Уединение радикала.
  • Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощение вида полученного уравнения.
• Дальше необходимо решить полученное уравнение.
• Наконец, если на первом этапе хотя бы раз осуществлялось возведение в четную степень, нужно каким-либо образом отсеять посторонние корни, например, путем проверки.

Чуть-чуть забежим вперед и скажем, что нам на первом шаге потребуется два раза осуществить проход цикла, содержащего три действия – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида, это позволит освободиться и от внешнего корня, и от корня под ним. Сделаем это.

Уединяем радикал: .

Так как показатель корня равен пяти, то возводим обе части уравнения в пятую степень: .

Упрощаем вид полученного уравнения, осуществляя преобразование уравнений. Первое преобразование – это замена выражения в левой части тождественно равным ему выражением , которая базируется на определении корня. Второе преобразование – это замена числового выражения в правой части его значением – минус единицей. В результате этих преобразований приходим к уравнению . Теперь видна возможность уединить радикал, чтобы дальше вновь прибегнуть к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Так

Видим один оставшийся корень, поэтому еще раз проделаем по кругу три действия первого шага алгоритма.

Уединять радикал не нужно, так как он уже уединен.

Здесь корень квадратный, поэтому возводим обе части в квадрат: .

Упрощаем вид:
x²+4·x+4=9
x²+4·x+4−9=0
x²+4·x−5=0.

Итак, после второго прохода цикла мы полностью освободились от радикалов, получили квадратное уравнение. Уравнения этого вида мы решать умеем, поэтому на этом завершаем первый этап и переходим ко второму этапу — решению полученного уравнения.

Решить квадратное уравнение x²+4·x−5=0 легко, например, через дискриминант (в данном случае удобнее использовать четвертую часть дискриминанта, так как коэффициент при x четный):

Так мы нашли два корня квадратного уравнения. На этом второй этап завершен.

Остается пройти последний этап метода возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень – отсеивание посторонних корней. В нашем случае провести проверку на наличие посторонних корней необходимо, ведь на первом этапе при втором проходе цикла мы обе части уравнения возводили в квадрат – в четную степень, а, как известно, это преобразование приводит к уравнению-следствию, значит, в результате его проведения могли появиться посторонние корни. Подставим найденные выше корни x₁=−5 и x₂=1 в исходное иррациональное уравнение . Имеем

Проверка показала, что среди найденных на втором этапе корней нет посторонних для исходного уравнения, значит, они оба являются искомыми корнями.

Решение радикальных уравнений — УРОКИ КЕЙТ ПО МАТЕМАТИКЕ

Что такое радикальное уравнение? Радикальное уравнение — это уравнение с переменной внутри радикала . Если вы занимаетесь алгеброй 2, вы, вероятно, будете иметь дело с уравнениями, в которых переменная находится внутри квадратного корня. Приведенное ниже уравнение является примером радикального уравнения. ​Как решить радикальное уравнение? Когда мы решаем математические уравнения, мы используем обратные операции, чтобы получить переменную саму по себе. Например, если у вас есть уравнение x — 1 = 5, вы должны отменить вычитание, используя сложение. Если бы у вас было уравнение 2x = 14, вы бы отменили умножение, разделив обе части на 2. Сложение и вычитание обратны, они сокращают друг друга. Умножение и деление обратны, вы можете использовать одно, чтобы отменить то, что сделало другое. А как насчет радикальных уравнений? Если в уравнении есть квадратный корень, как убрать квадратный корень? Вы квадрат обе стороны, чтобы отменить квадратный корень. Давайте сначала рассмотрим простое радикальное уравнение. В этом радикальном уравнении квадратный корень из некоторого числа равен 8. Возможно, вы уже знаете, что это такое, но давайте попрактикуемся в решении этого уравнения, чтобы вы знали, что делать с более сложными уравнениями. Чтобы отменить квадратный корень, мы можем возвести в квадрат обе стороны. Когда мы делаем это, квадратный корень сокращается, и у нас остается то, что находится внутри радикала с левой стороны.

Добро пожаловать на уроки математики Кейт! Учителя, обязательно ознакомьтесь с учебными пособиями и заданиями.

Проверить ответ на этот вопрос довольно просто. Квадратный корень из 64 равен 8? Да. Ответ правильный.

Вот радикальное уравнение, которое немного сложнее

​В этом уравнении, если вы прибавите 3 к х, а затем извлечете квадратный корень, ответ будет 5.  Нам нужно работать в обратном направлении, чтобы найти х. Во-первых, нам нужно отменить квадратный корень. Мы можем отменить квадратный корень, возведя в квадрат обе стороны. Когда вы возводите в квадрат левую часть, знак квадратного корня просто аннулируется, и вы остаетесь с x + 3, который был внутри него.

После того, как мы извлекли квадратный корень, осталось решить довольно простое уравнение. Чтобы отменить сложение, мы используем обратную операцию и вычитаем 3 из обеих сторон, чтобы получить x сам по себе.

Всегда полезно проверить свой ответ, если можете. Чтобы узнать, является ли 22 правильным ответом, нам нужно подставить его вместо x в исходном уравнении . Если мы добавим 3, а затем возьмем квадратный корень, мы получим квадратный корень из 25. Квадратный корень из 25 действительно дает 5, поэтому у нас есть правильный ответ.

Давайте попробуем еще несколько шагов:

Когда вы решаете уравнение, думайте об этом, как о том, что вы идете в обратном направлении, чтобы выяснить, что такое x. Если бы вы знали, что такое x, и подставляли его, вы бы сначала умножили его на 3, затем извлекли квадратный корень, умножили это число на 2 и затем прибавили 5. Теперь нам нужно вернуться назад и отменить все эти шаги, чтобы найти x. Когда вы видите квадратный корень в своем уравнении, не возводите в квадрат сначала обе стороны

. В этой ситуации 5 было добавлено последним, поэтому наш первый шаг должен состоять в том, чтобы вычесть 5 с обеих сторон.

Может быть полезно представить, что радикальная часть — это просто x, и подумать о шагах, которые вы предпримете, чтобы получить x сам по себе. Например, если бы у вас было уравнение 2x + 5 = 17, вы бы сначала вычли 5, а затем разделили бы на 2.  

Если у вас есть радикал в стороне уравнения, вы можете отменить квадратный корень, возведя в квадрат обе части.

Проверьте свой ответ, подставив 12 вместо x в исходном уравнении. Следуйте порядку операций, чтобы упростить левую часть, и убедитесь, что она действительно равна 17, если вы подставите свой ответ.

Работает! Это означает, что 12 — правильный ответ.

Посторонние решения

Я не совсем сказал всю правду выше о проверке вашего ответа. Конечно, всегда полезно проверить свой ответ, когда это возможно, но если в вашем уравнении есть радикал, вы ДОЛЖНЫ проверить свой ответ. Почему? Когда вы возводите в квадрат обе части уравнения, иногда создаются «решения», которые на самом деле не работают. Вот пример:

Мы можем выполнить шаги для решения этого уравнения

При решении этой задачи мы не ошиблись. Все шаги точны. Но посмотрите, что происходит, когда мы идем проверять наш ответ:

Это пример так называемого

постороннего решения

. Иногда в процессе решения уравнения вы приходите к ответу, который на самом деле не работает. Это может произойти, когда вы имеете дело с радикалами в своем уравнении.

Почему это происходит? Это немного сложно объяснить, но вот простой пример.

Посмотрите, что получится, если возвести в квадрат обе стороны. Мы начали с двух чисел, которые не были равны, и закончили с двумя числами, которые равны.

Когда вы возводите в квадрат обе части уравнения, это может создать «лишние» решения, которые на самом деле не являются решениями. У некоторых уравнений будет «Нет решения», потому что уравнение, с которого вы начали, на самом деле было ложным. Сопоставив обе стороны в квадрат, вы создали лишнее решение, которое на самом деле не работает, когда вы его подключаете. Это означает, что крайне важно всегда проверяйте свои ответы при решении радикальных уравнений, чтобы отсеять все «лишние» ответы.

​Как узнать, является ли ответ посторонним? Всегда подставляйте свой ответ обратно в исходное уравнение. Если ответ будет посторонним, две части уравнения дадут два разных числа.
​

Радикальные уравнения с

переменными с обеих сторон

Если ваше радикальное уравнение включает переменные с обеих сторон, решить его немного сложнее. Давайте рассмотрим несколько примеров, которые немного сложнее, чем приведенные выше.

Радикал сам по себе находится на левой стороне, поэтому наш первый шаг — возведение обеих сторон в квадрат. Это отменит знак квадратного корня, и у нас останется то, что находится внутри радикала.

​Иногда, когда вы возводите обе стороны в квадрат, вы получаете квадратное уравнение. Существует несколько различных способов решения квадратных уравнений. Самый быстрый способ, как правило, установить его равным 0 и попытаться разложить его на множители. Если это не сработает, вы можете использовать квадратную формулу для решения уравнения.

После того, как вы разложили квадратное число на множители, вы можете использовать свойство нулевого произведения и установить каждый множитель равным 0. Это дает нам два возможных  ответов.

Возникает искушение остановиться здесь и сказать, что есть два ответа: 6 и -2. Проблема в том, что одно или оба из них могут быть посторонними решениями. Нам нужно подключить возможные ответы и посмотреть, являются ли они реальными решениями или нет. Всегда возвращайтесь к исходному уравнению, чтобы проверить свои ответы.

​
Это работает, когда мы подключаем его к x, поэтому 6 является решением. Теперь нам нужно проверить второй возможный ответ.

Этот не работает. Это означает, что -2 НЕ является решением. У этой задачи есть только один ответ: x = 6.

Давайте попробуем еще одну с переменными с обеих сторон.

Радикал уже сам по себе находится в левой части уравнения, поэтому наш первый шаг — возвести обе части в квадрат, чтобы исключить квадратный корень. Это шаг, где вы должны быть очень осторожны. В правой части два термина. Если вы возведете в квадрат х + 4, вы не просто возведете в квадрат х и возведете в квадрат 4. Вам нужно умножить бином сам по себе и использовать FOIL, чтобы упростить его.

Будьте осторожны! Студенты часто делают ошибку на этом этапе и пропускают средний срок. Не просто возведите в квадрат x и возведите в квадрат 4. Обязательно возведите в квадрат весь бином и используйте FOIL для упрощения.

У нас осталось квадратное уравнение, которое нужно решить. Помните, что вы можете решать квадратные уравнения, устанавливая уравнение равным нулю и разлагая на множители или используя квадратную формулу.

Итак, у нас есть два возможных решения: x = -5 или x = -2. Они могут работать оба, может работать только один, или они оба могут быть посторонними решениями. Единственный способ сказать это — подключить их обратно к исходному уравнению и посмотреть. Если обе стороны приходят к одному и тому же числу, это решение. Если вы подключите его, а левая и правая стороны получат разные ответы, это не решение. Будьте особенно осторожны, когда речь идет об отрицательных числах. Учащиеся, как правило, делают здесь ошибки в знаках, поэтому было бы неплохо перепроверить свою работу с помощью калькулятора, если можете.

Когда мы подставили -5 вместо x, это не сработало. Обе стороны пришли к разным числам. Это говорит нам о том, что -5 является посторонним решением. Теперь нам нужно проверить второй возможный ответ (x = -2) и посмотреть, работает ли он.

Этот работает. Обе стороны упростились до одного и того же ответа, так что это говорит нам о том, что x = -2 является решением.

Видео радикальных уравнений

Хотите увидеть еще один пример? Посмотрите короткое видео ниже.

​Практика

Готовы решить несколько задач самостоятельно? Нажмите кнопку СТАРТ ниже, чтобы пройти пробный тест.

Работает на Interact

Хотите научиться решать логарифмическое или показательное уравнение?

6.4 Радикальные функции и уравнения – Алгебра колледжа для управленческих наук

Наряду с радикальными функциями и уравнениями мы также должны рассматривать рациональные показатели.

Напомним, что   В целом, .

На самом деле мы можем пойти еще дальше и посмотреть на . Помните, что было бы разумно сказать, что или .

Для любого номера в домене и отличного от нуля:

Когда мы говорим о радикальной функции, мы также можем рассматривать функции рационального показателя: эквивалентно   Мы также можем рассматривать такие функции, как .

На следующих графиках показаны несколько различных функций радикальных и рациональных показателей:

Функция кубического корняФункция квадратного корня

 

 

x в функции степени 2/3

Обратите внимание, что область определения равна, а область определения равна Мы можем найти кубические корни отрицательных чисел, и фактически мы можем найти корень n-й степени любого отрицательного числа, когда n нечетно. Однако, когда n четное, домен будет ограничен тем, что находится под знаком квадратного корня, превышающим ноль.

Найдите домен:

a.

Поскольку это четный корень, нам нужно убедиться, что то, что находится под радикалом, неотрицательно, поэтому домен будет где или

b.

Поскольку рациональный показатель имеет нечетное число в знаменателе, домен не имеет ограничений, поэтому домен равен

.

Решение уравнений с рациональными показателями

Когда мы решаем уравнения, мы хотим изолировать переменную . Учтите, что если мы возьмем обе стороны в степень, то мы уменьшим степень 1/2:

.

  значит

1. Изолировать выражение, приведенное к рациональному показателю
2. Возведите обе части в степень обратной величины этого показателя
3. Решить полученное уравнение
4. ВСЕГДА проверяйте наличие посторонних растворов

Этот метод может привести к решениям, которые на самом деле не делают уравнение верным, они называются посторонними решениями. По этой причине важно всегда проверять свои ответы в исходном уравнении.

а. Решите уравнение: .

Возьмем обе стороны в степень:

Помните, что это
Итак

b. Решите уравнение 
Это уравнение включает рациональные показатели, а также разложение рациональных показателей на множители. Во-первых, поместите переменные члены в одну часть уравнения и 0 в другую.

Теперь мы хотим кое-что вынести, так что давайте вынесем меньший показатель степени.

Откуда взялся?

Считаем:

Теперь имеем так:
или

Итак или

Возводим второе в 4 степени:
или

а. Решите уравнение

б. Решите уравнение

Решение радикальных уравнений

Радикальные уравнения — это уравнения, содержащие переменные в подкоренной части (выражение под подкоренным символом), например

   

Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному. Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, так как нет ничего необычного в том, чтобы найти посторонние решения. Это когда мы правильно решаем уравнение, а одно или несколько возможных решений неверны из-за возведения обеих частей в степень и потери отрицательных значений. Поэтому крайне важно, чтобы решения радикальных уравнений всегда проверялись в исходном уравнении.

Уравнение, содержащее члены с переменной в подкоренной величине, называется радикальным уравнением .

Чтобы решить подкоренное уравнение:

1. Выделите подкоренное выражение с одной стороны и поместите все остальные члены с другой стороны. (Если есть более одного радикала, сначала выберите тот, который кажется самым сложным.)
2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите в квадрат обе части уравнения. Если это кубический корень, возведите в куб обе стороны… если это n-й корень, возведите обе стороны в n-ю степень.
3. Решите оставшееся уравнение.
4. Если радикальный термин все еще остается, повторите шаги 1–3.
5. ВСЕГДА подтверждайте решения, подставляя их в исходное уравнение для поиска посторонних решений.

Решить

Возвести в квадрат обе стороны:




или

Проверить наши решения:
-5:

ЛОЖЬ
решение уравнения, это постороннее решение)
3:

ИСТИНА

Таким образом, решение этого уравнения ( является посторонним)

Решите радикальное уравнение:

Подсказка: помните, что

Решите:

Нам нужно выбрать один для выделения, он выглядит как более сложный, поэтому давайте вычтем из обеих сторон:

Теперь возведем в квадрат обе стороны:

У нас все еще есть радикал, поэтому мы имеем чтобы изолировать его сейчас:

Снова квадрат с обеих сторон:

Мы можем избавиться от дроби, умножив обе части на 64:

Поскольку это квадратично, давайте возьмем все с одной стороны и 0 с другой и попробуем разложить на множители:


Итак, или

Теперь мы должны проверить наши решения в исходных уравнениях:
3:
Верно, так же как и решение уравнения.