Уравнения с модулем дробные: Как решать дробные уравнения с модулем. Методическая разработка «Уравнения с модулем

Урок «Дробные рациональные уравнения» | План-конспект урока по алгебре (8 класс):

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

СОЛНЕЧНОГОРСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПОВАРОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

     141540 Московская область, Солнечногорский

                                                                                                                                                                       район,  посёлок Поварово

672-375 – канцелярия; учительская;                                                                                                                                                                                [email protected]                                                                                                              

672-385 – директор; факс.                                            

Открытый урок в 8 классе

«Дробные рациональные уравнения»

 

Разработала Морозова Н. С., учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ Поваровской СОШ

Тема урока «Дробные рациональные уравнения».

Цель урока: Систематизация и обобщение материала, полученного при

                       изучении данной темы, осуществлять перенос полученных

                       знаний в новые условия.                  

Задачи урока : 

  • образовательные:

закрепление навыка решать дробные рациональные уравнения,

применение ЗУН упрощения рациональных выражений,

контроль уровня усвоения знаний по решению дробных рациональных уравнений, по приведению подобных слагаемых, приведению к общему знаменателю, вычислительных навыков;

  • развивающие:

развитие умений выделять главное в изучаемом материале,

формирование умений сравнивать, классифицировать, обобщать факты и понятия,

закрепление навыка пользоваться алгоритмом,

развитие у учащихся познавательного интереса, внимания, математической зоркости, самостоятельности в мышлении и в учебной деятельности,

  • воспитательные:  

содействие формированию мировоззренческих понятий на основе патриотизма и экологического сознания,

воспитание чувства коллективизма.

Оборудование: мультимедийный проектор, слайды, раздаточный  материал для учащихся, «Карта успеха».         

Ход урока.

1. Организационный момент. Слайд № 1- прокомментировать «Карту успеха».

 Раздать необходимый для урока раздаточный материал, «Карту успеха»; дать необходимые разъяснения.

2. Проверка выполнения домашнего задания:

Учитель отвечает на возникшие вопросы при выполнении домашнего задания.

Проблемная ситуация –решение задания творческого характера – 6/х-2=0,5 х2

— выявить возникшие вопросы.

3. Устная фронтальная работа по вопросам  с целью актуализации знаний  учащихся. Слайд №2

1. Раскрыть скобки: 5(х2 – 4х +12), -3(5х-3) – (7х+2), (х-4)(х+4),(8-х)(х+5).

2. Указать ОДЗ:

    1         3х                  8х          1                 5           1          

─── + ─── ;           ─── + ─── ;         ─── + ───  

 х +2 +  х — 4;             х2 -4      х+2               х        х + 2      

3. Ответьте на вопросы:

а) Как называются уравнения, записанные на доске?  (Дробные рациональные).

б) Назовите  общий знаменатель каждого уравнения.

в) Давайте вспомним методы решения уравнений – по каждому уравнению указать способ решения – а) используя основное свойство пропорции;

 б) умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель; в) условие равенства дроби 0.

г) Обычно, к каким уравнениям сводятся дробные рациональные уравнения?
   (к квадратным).

 

4.  Игра «Испорченный телефон» — первая парта решает квадратное уравнение – передаёт корни следующей парте, которая составляет квадратное уравнение и передаёт следующей парте ( в игре участвует нечётное количество парт), побеждает тот ряд,  у которого в итоге получается первоначальное уравнение. х2  — 9х + 20 = 0

4. Повторение решения и оформления решения вместе с учителем

№ 607 (в) – способ решения обсуждается учащимися.

Слайд 3. К полученному корню 3 прибавить число 11 и вы узнаете время наибольшего утомления – 14ч. Работоспособность человека во время бодрствования изменяется волнообразно. Поэтому у человека в день два пика наибольшей трудоспособности и один наибольшего утомления. Работоспособность начинает снижаться в 13ч. И к 14ч. её уже невозможно компенсировать волевым усилием. Какой сделаем вывод?

 5.  Парная работа: составить ключевое слово – шум.

Учитель: Решить уравнения из букв, соответствующим правильным ответам, составьте слово и вы узнаете, какой враг оказывает на организм разрушающее действие, сравнимое с курением.

2

3

-2

г

в

ш

          х2-6      х

  1. ── = ──          

х-3     х-3

     

5

-4

3

у

о

а

   

     2.   20      

     ── = 9 — х          

 х    

     

-6

-8

1

л

м

р

          х-4     2 х+10

  1. ──  =  ───          

  х        х+4

         Учитель : акустические раздражения подобно яду накапливаются в организме, всё сильнее угнетают нервную систему. Реакция на шум выражается в повышенной возбудимости и раздражительности. Люди, подвергающиеся постоянному воздействию шума, часто становятся трудными в общении. Шум приводит к появлению систематических головных болей и всегда к потере работоспособности.

6. Дифференцированная  самостоятельная работа .

Дифференцированная  самостоятельная работа по уровням. Я предлагаю вам побывать в роли учителя математики.

1 уровень       «3»

Найди ошибку. Обведи её. При необходимости укажи ОДЗ. Продолжи решать правильно.

2 уровень         «4»

Найди и исправь ошибку. Обведи её. При необходимости укажи ОДЗ. Продолжи решать правильно.

3 уровень      «5»

Найди ошибку, обведи её. Продолжи решать правильно. При необходимости укажи ОДЗ.

6. Разрешение проблемной ситуации  – решение домашнего уравнения творческого характера. Исследовательская работа  « Решение дробных рациональных уравнений графическим способом». Слайды 4, 5, 6,7,8.

                                                                                                8            -10

Задание : решить графическим способом уравнение :   ── = х2;   ── =5х.

                                                                                                х               х

7. Домашнее задание: дифференцированная домашняя зачётная работа оценивается каждое уравнение.

8. Итог урока: Слайд 9. 

Закончить предложения:

— Сегодня на уроке я…

-Я понял, что…

— Мне бы хотелось…

-Я убедился в том, что…

9. Карточку успеха сдать.

Уровень А

«3»

Всего 12б

Оценивается каждое уравнение.

Решить графически уравнение          1

                   х2= ──

                           х

Уровень В

«4»

Всего 20б

Оценивается каждое уравнение

                                 

Решить графически уравнение          -1

                   х +1= ──

                           х                                   

Уровень С

«5»

Всего 25б

 

Оценивается каждое уравнение.

Д/з

Карточка моего успеха. Ф.И.

1. Игра «Испорченный телефон»:                                                       баллов

2. Парная работа                                                                                      баллов

4. Самостоятельная работа:                                                                  баллов

5. Домашняя зачётная работа:                                                             баллов

Подведение итогов – выполнить задание из раздела «Реальная математика»:

Оценка

Количество баллов, не менее

«5»

«4»

«3»

Ответ :                          оценка    

Карточка моего успеха. Ф.И.

1. Игра «Испорченный телефон»:                                                       баллов

3. Парная  работа                                                                                     баллов

4. Самостоятельная работа:                                                                  баллов

5. Домашняя зачётная работа:                                                             баллов

Подведение итогов – выполнить задание из раздела «Реальная математика»:

Оценка

Количество баллов, не менее

«5»

«4»

«3»

Ответ :                          оценка    

Дифференцированная самостоятельная работа

ФИ

«3»                                         1 уровень

Найди ошибку. Обведи её. При необходимости укажи ОДЗ. Продолжи решать правильно.

ФИ

        «4»        2 уровень

Найди и исправь ошибку. Обведи её. При необходимости укажи ОДЗ. Продолжи решать правильно.

        

ФИ

«5»                                             3уровень

Найди ошибку, обведи её. Продолжи решать правильно. При необходимости укажи ОДЗ.

Парная работа.

2

3

-2

г

в

ш

          х2-6      х

  1. ── = ──          

х-3     х-3

                                                                                                         Ключевое слово

5

-4

3

у

о

а

              20      

 2.    ── = 9 — х          

     х    

     

-6

-8

1

л

м

р

         х-4     2 х+10

3.──  =  ───          

          х           х+4

Нахождение модульной дроби

спросил

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 45 тысяч раз

$\begingroup$

В контексте криптографии мне нужно найти закрытый ключ сообщения и использовать модульную арифметику. Я понимаю, как модульная арифметика использует часы с целыми числами. Но я действительно застреваю, когда дохожу до дробей, например: 9{-1} \pmod {n}$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

 н ≡ (1/3) (мод. 8)
3n ≡ 1 (мод 8)
попробуйте n = 1,2,3
  когда n=1, 3 по модулю 8 равно 3
  когда n=2, 6 по модулю 8 равно 6
  когда n=3, 9 mod 8 равно 1 (это наш ответ)
 

Таким образом, ответ равен 3

Этот метод можно использовать для любых дробей Другой пример: 2/5 по модулю 3

 5n по модулю 3 = 2
 попробуйте группу из {0, 1, 2}, которые удовлетворяют вышеизложенному,
 9{-1} \pmod n$ существует, и то, что он уникален, тоже не так уж страшно

РЕДАКТИРОВАТЬ: я не видел "найти его". Ознакомьтесь с расширенным алгоритмом Евклида.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вычисляя по модулю 8, получаем $\frac{1}{3} = \frac{3}{9} = \frac{3}{1} = 3$.

$\endgroup$

$\begingroup$

9{0\le\frac xy<1}x-y ・ 0=x$$

Вот $32$ других закрытых форм функции модуля. Пожалуйста, исправьте меня и дайте мне обратную связь!

$\endgroup$

элементарная теория чисел — арифметика модульных дробей

Подсказка \dfrac{3\cdot 2}{\color{#c00}5}\equiv \dfrac{3\cdot 2}{\color{#c00}{\,-2}}\equiv -3\equiv 4 $

Остерегайтесь $ $ Хотя, как обычно, дроби могут значительно упростить арифметику, их модульный аналог увеличивает вероятность исключений при делении, поскольку модульный аналог «вы не можете (единственным образом) делить на $0$» — это «вы не можете не может (единственно) делить на ноль- 9{-1}}$, поэтому все дроби в правиле сложения правильно определены, т. е. имеют знаменатели, взаимно простые с $m.\,$. Важно ограничить модульные дроби такими дробями, иначе можно вывести противоречия, такие как следующие: $\,{\rm mod}\ 10\!:\ 0\экв 0/2\экв 10/2\экв 5.

\,$ Давайте более подробно рассмотрим, что здесь не так.

Обычно дробь $\,x \equiv a/b\,$ с необратимым знаменателем (не взаимно простым с модулем) не является корректно определенной, поскольку уравнение $\,b x \equiv a\,$ не имеет уникальное решение, т.е. решений может не быть, или может быть более одного решения. Например, mod $\rm\:4\,x\equiv 2\:$ имеет решения $\rm\:x\equiv 3,8,\:$, поэтому "дробь" $ \rm\:x \equiv 2/4\pmod{\!10}\,$ не может обозначать уникальных решений $\,4x\equiv 2.\,$ Действительно, решение есть $\rm\:x \equiv 1/2\equiv 3\pmod 5,\,$, что также требует сокращения $\,2\,$ из модуля , потому что $\rm\:10\:|\:4x-2\iff5\ :|\:2x-1.\,$ Неразрешимым примером является дробь $\,x \equiv 1/4,\,$, поскольку $\,10\mid 4x-1\,\Rightarrow 10n = 4x-1\ ,$ $\Rightarrow$ $\,4x-10 = 1\,$ четно, противоречие. См. здесь для дальнейшего обсуждения, включая использование многозначных модульных дробей в расширенном алгоритме Евклида.

Теоретически это можно рассматривать как обобщение того факта, что деление на ноль не определено корректно, т. е. деление на $\,\rm\color{#c00}{zero\!-\!divisor} \,$ определено некорректно (в нетривиальном кольце), так как если $\,\color{#c00}{bc=0,\ b,c\ne 0}\,$, то $\,bx = a\ ,\Rightarrow\,\color{#c00}b(\color{#c00}c\!+\!x) = a\,$, поэтому, если существует решение $\,x\,$, то оно не уникально.

Как правило, школьные правила арифметики дробей применяются повсеместно (т.е. во всех кольцах), где все знаменатели обратимы, т.е. $\, 1/2 - 1/3 = 1/6\,$ можно интерпретировать в любом кольце, где $\,6\,$ обратимо, например в целых числах $\bmod n$ для всех $\,n\,$, взаимно простых с $\,6,\,$, например $\bmod 5\,$ это $\,3-2\equiv 1,\,$ и $\bmod 11\,$ это $\,6 - 4 \equiv 2.\,$ Это фундаментальное универсальное свойство дроби будут концептуально разъяснены в университетской алгебре как 9{-1} f(x)\,$ так же, как и выше. Тогда $\,f/r+g/s = (sf\!+\!rg)/(rs),\,$ и $\,(f/r)(g/s) = fg/(rs). \,$ В более общем случае та же идея работает для обратимых элементов в любой коммутативной области (например, мы можем работать с «составными дробями» рациональных чисел, действительных чисел или элементов любого поля).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *