Уравнения с модулями: Уравнение с модулем

19. Уравнения с модулем

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2.

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3. 12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3. 14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т.  е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т.  е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

Решение уравнения с модулем онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Допустим, вам надо решить уравнение, содержащее модуль, а ещё лучше, если вам дано уравнение с 2 модулями.

Для примера, требуется решить

| x + 1| + |x – 5| = 20

Это уравнение мы решим с помощью калькулятора уравнений

Вы вводите уравнение, как указано на изображении ниже (знак модуля отмечается вертикальными линиями «|»)

Нажимаете кнопку «Решить уравнение!» и получаете подробное решение для своего уравнения с модулем:

Подробное решение

решаем получившиеся ур-ния.

x - 5 >= 0

x + 1 >= 0

5 <= x

x + 1 + x - 5 - 20 = 0

-24 + 2*x = 0

x1 = 12

x - 5 >= 0

x + 1 < 0

x - 5 < 0

x + 1 >= 0

-1 <= x < 5

x + 1 + 5 - x - 20 = 0

x - 5 < 0

x + 1 < 0

x < -1

-1 - x + 5 - x - 20 = 0

-16 - 2*x = 0

x2 = -8

x1 = 12

x2 = -8

модулей для дифференциальных уравнений

Учебное пособие по вспомогательному приложению
Численные решения дифференциальных уравнений
Спринты мирового класса
Модель логистического роста
Модели хищник-жертва
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пружинное движение
Пружинные системы I
Матричные операции
Собственные значения и собственные векторы
Траектории линейных систем
Маятник
Свинец в теле
Коэффициент усиления и фазовый сдвиг
Система Ван дер Поля

Учебное пособие по вспомогательному приложению

Назначение: Чтобы изучить основы Maple V, выпуск 4 или выпуск 5 для использования в модулях дифференциальных уравнений.

Предпосылки: Никто

Доступно для: Клен

Численные решения дифференциальных уравнений

Назначение: Получить опыт работы с численными методами аппроксимации решение начальные задачи первого порядка.

Предпосылки: Проработайте базовый учебник для вашей системы компьютерной алгебры.

Доступно для: Клен

Спринты мирового класса

Назначение: Чтобы изучить применимость линейного дифференциала уравнение как модель для процесс спринта, и чтобы проиллюстрировать важность параметров в моделировании.

Предпосылки: Учебник для вашего вспомогательного приложения и умение решать линейка первого порядка дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Доступно для: Клен

Модель логистического роста

Назначение: Изучить стандартную модель роста населения в стесненная среда.

Предпосылки: Разделение переменных.

Доступно для: Клен

Модели хищник-жертва

Назначение: Разработать и изучить модель Лотки-Вольтерры. для взаимодействия хищник-жертва как прототип первого порядка система дифференциальных уравнений.

Предпосылки: Модуль Численных Решений дифференциальные уравнения.

Доступно для: Клен

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Назначение: Чтобы исследовать качественное поведение решения начальных задач вида

 у" + ау' + у = 0,
                         у(0) = у0,
                        у'(0) = у1.
 

В частности, чтобы определить, как решения зависят от знаки и величины коэффициентов a и b и на первоначальные условия.

Предпосылки: Учебное пособие по вспомогательному приложению и знание символической формы решений дифференциальных уравнения вида у» + ау’ + бай = 0 .

Доступно для: Клен

Весеннее движение

Назначение: Расследовать математическая модель у» + (к/м)у’ + (К/м)у = 0 для пружинящего движения и изучения эффекта повышенного демпфирования.

Предпосылки: Знание линейных однородных дифференциальные уравнения с константой коэффициенты.

Доступно для: Клен

Системы принудительной пружины I

Назначение: Изучить влияние внешней движущей силы. на простом линейном осцилляторе, демпфированном или незатухающем.

Предпосылки: Модуль и знания Spring Motion символической формы решений дифференциальных уравнения вида у» + ау’ + by = f(t) , где f — функция синуса или косинуса.

Доступно для: Клен

Матричные операции

Назначение: Чтобы поэкспериментировать с матричные операции, особенно умножение, инверсия и детерминанты и изучать приложения к решению систем линейные уравнения. В процессе изучая эти матричные операции, мы научитесь пользоваться помощником приложение для выполнения матрицы вычисления.

Предпосылки: Базовое понимание линейных комбинаций векторов, Знакомство с умножением матриц.

Доступно для: Клен

Собственные значения и собственные векторы

Назначение: Экспериментировать и изучать свойства собственные значения и собственные векторы и их применение к дифференциальные уравнения.

Предпосылки: Модуль операций с матрицами и концепция уменьшенной эшелонированной формы строки.

Доступно для: Клен

Траектории линейных систем

Назначение: Для исследования траекторий на фазовой плоскости 2×2 однородных линейных систем первого порядка дифференциальные уравнения вида X’ = AX.

Предпосылки: Модуль операций с матрицами и понимание смысла собственных значений и собственные векторы матрицы A.

Доступно для: Клен

Маятник

Назначение: Чтобы исследовать фазовую плоскость для второго порядка нелинейное дифференциальное уравнение, в частности стандартное модель для затухающих и незатухающих маятников.

Предпосылки: Модуль Spring Motion.

Доступно для: Клен

Свинец в теле

Назначение: Разработать и изучить модель отсека количества свинца в организме человека и изучить трехмерная управляемая линейная система.

Предпосылки: Модуль по траекториям линейных Уравнения.

Доступно для: Клен

Усиление и фазовый сдвиг

Назначение: Чтобы изучить взаимосвязь между частотой внешней движущей силой и параметрами демпфирующего линейный осциллятор.

Предпосылки: Модуль по принудительному пружинному движению.

Доступно для: Клен

Система Ван дер Поля

Назначение: Чтобы изучить модель Ван дер Поля для нелинейного электрическая цепь — в частности, для изучения предельного цикла явление.

Предпосылки: Модуль по принудительному пружинному движению.

Доступно для: Клен

Модульный арифметический решатель — Калькулятор конгруэнтности

Поиск инструмента

Модульный модуль решения уравнений

Инструмент/решатель для решения модульного уравнения. Модульное уравнение — это математическое выражение, представленное в виде сравнения хотя бы с одной неизвестной переменной.

Результаты

Модульный решатель уравнений — dCode

Теги: Арифметика

Поделиться

dCode и многое другое каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор модульных уравнений

Решение уравнений с несколькими модулями

В частном случае с одним неизвестным с несколькими уравнениями с несколькими модулями существует китайская теорема об остатках:

⮞ Перейти к: Китайский остаток

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое модульная конгруэнтность? (Определение)

Модульная конгруэнтность — это своего рода уравнение (или система конгруэнтности, по крайней мере, с одной неизвестной переменной), действительное в соответствии с линейной конгруэнтностью (по модулю/модулю). По модулю принято говорить не о равенстве, а о конгруэнтности.

Для системы уравнений с несколькими модулями (нелинейной) это другой расчет, который можно выполнить с помощью калькулятора, решающего китайскую задачу с остатками, доступного на dCode.

Как решить модульное уравнение?

Введите уравнение/сравнение, переменные и значение по модулю. Значение модуля является глобальным и применяется ко всем уравнениям.

Пример: $$ x+12 \экв 3 \mod 5 \Стрелка вправо x = 1 $$

Как решить несколько уравнений?

Введите одно уравнение/сравнение в каждой строке или разделите их с помощью оператора && .

Как написать символ конгруэнтности ≡?

Скопируйте этот символ: ≡ (Unicode U+2261)

В LaTeX напишите: \equiv

В dCode нет необходимости писать ≡ (конгруэнтно) для решения уравнений, знак равенства =

4 достаточно.

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Modular Equation Solver». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Modular Equation Solver», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Modular Equation Solver». Функции Solver (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Modular Equation Solver» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Modular Equation Solver» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Бесплатный экспорт результатов в виде файла .