Уравнения с параметром примеры: Ошибка 403 — доступ запрещён

Линейные уравнения с параметром

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx² + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Линейные уравнения с параметром

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид  0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение  – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

Ответ:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

x = 6 ± a.

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а² + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2).

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций  y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для  y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

      {-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при  0 ≤ x ≤ 1,

      {3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции  y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4)

.

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Проект «Решение уравнений с параметром»

Автор работы: 

Шиндина Полина Дмитриевна

Руководитель проекта: 

Мангуш Мария Юрьевна

В процессе проведения индивидуальной исследовательской работы на тему «Решение уравнений с параметром»

авторка рассмотрела способы решения различных примеров с параметром, создала справочный материал для изучения способов решения примеров с параметром.

Подробнее о работе:

В готовом исследовательском проекте по математике «Решение уравнений с параметром» авторка проанализировала представленный материал по решению примеров с параметром, нашла оптимальный способ их решения, для дальнейшего предоставления его учащимся старших классов, а также составила информационный продукт, понятный для восприятия. Подготовила учащихся к решению заданий с параметрами из ЕГЭ.

Оглавление

Введение

Противоречие в том, что для успешной сдачи ЕГЭ учащимся 10-11 классов необходимо знать, как решать различные уравнения с параметром, но школьный курс не подразумевает глубокого изучения данной темы

Проблема: как подготовиться к решению заданий с параметрами из ЕГЭ

Цель проекта: Рассмотреть способы решения различных примеров с параметром. Создать удобный и полный справочный материал для изучения способов решения примеров с параметром, который поможет выпускникам школ успешно аттестоваться по математике. Также справочный формат в формате презентации может помочь учителям в ознакомлении учеников в данной теме.

Задачи проекта:

• Проанализировать представленный материал по решению примеров с параметром.
• Найти оптимальный способ их решения, для дальнейшего предоставления его учащимся 10-11 классов.
• Составить грамотный информационный продукт, который будет прост и понятен для восприятия.

Геометрические фигуры окружают нас повсюду, алгебра помогает в повседневной жизни, к примеру: совершать банковские расчеты или составлять списки покупок с подробным расчетом продуктов по их средней цене. Веками люди совершенствовали знания в точных науках. Многие алгебраические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием алгебраических методов. Нельзя и представить современную науку без развития математической сферы, ведь большинство точных наук базируются на основных алгебраических законах и тождествах.

В общеобразовательных школах геометрию и алгебру школьники начинают углубленно изучать в 7 классе. Простейшую алгебру преподают с первого класса, и это делается не просто так. Внедрение арифметики помогает детям развивать критическое мышление и способствует развитию умения составления логических цепочек, высказываний. Математическое мышление необходимо для структурирования и лучшего усваивания всей поступающей информации. Таким образом, математическое образование является важнейшим элементом общей культуры. Этот факт является неоспоримым.

Этот неоспоримый факт находит отражение в изменении содержания и структуры КИМов единого государственного экзамена по математике в сторону увеличения количества и повышения сложности алгебраических заданий.

В целях качественного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях, часто с высокими требованиями к уровню математической подготовки выпускников. Задания 2 части ЕГЭ предназначены для проверки знаний на том уровне требований, которые традиционно предъявляются вузами с профильным экзаменом по математике. Задачи с параметром вызывают наибольшие затруднения (справляются порядка 10-17%), т.к. эти задания показывают насколько обширны знания учащихся в алгебре, как школьном предмете, так и науке. Данные задачи также предназначены для конкурсного отбора в наиболее престижные ВУЗы с наиболее высоким конкурсом на специальности и повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.

Также это связано с обилием различных типов алгебраических задач и с многообразием приемов и методов их решения. Чаще всего, трудности при решении этих задач возникают по следующим причинам:

• материал по теме либо был плохо усвоен в основной школе, либо уже забылся выпускниками;
• для решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые либо не рассматриваются при изучении основного курса алгебры, либо не отрабатываются.

Чтобы изменить сложившиеся ситуацию, необходимо провести систематизацию знаний, полученных учениками в основной школе, также проанализировать доступные источники с более узконаправленным материалом. Продуктом данной исследовательской деятельности станет информационный буклет, где будут собраны наиболее удобные и понятный методы и приемы по данной теме: «Решение примеров с параметром». В нем также будет сделан акцент и на грамотное оформление решения.

Актуальность: Данный навык необходим для успешной сдачи ЕГЭ

Обоснование актуальности: ЕГЭ — экзамен, через который проходит любой ученик, поступающий в Вузы в России. Многие направления в институтах требуют сдачи профильной математики. Примеры с параметром — задание, за которое выпускник может получить весомое кол-во баллов. В моем проекте я рассматриваю самые оптимальные способы решения данного задания.

Продукт проекта: информационный урок для учащихся 10-11 классов

Дорожная карта

Этапы работы над проектом	Содержание работы	Деятельность обучающегося	Временные рамки
Подготовительный	Определение темы. Анализ проблемы. Формулировка цели, задач и гипотезы	Согласовала тему проекта с куратором и начала составление возможных противоречий, проблем, целей, задач и гипотез	Октябрь-Ноябрь 2020 года
Организационный	А) Определение источников необходимой информации. Б) Определение способов сбора и анализа информации. В) Определение типа проекта, способа представления результатов, продукта проектной деятельности	Формулирую задачи проекта, вырабатывают план дальнейших действий. Делаю предположения по поводу итогового продукта проекта. Анализирую различные источники информации (методические материалы, уже существующие проекты на эту тему, статистику от сайта ФИПИ, Решу ЕГЭ Д.Гущина)	Ноябрь-Декабрь 2020 года
Практический	Сбор и уточнение информации (интервью, опросы, наблюдения, и т.д.). Выявление и обсуждение альтернатив, возникших в ходе выполнения проекта. Выбор оптимального варианта хода проекта. Поэтапно выполняют задачи проекта.	Поэтапное выполнение задач проекта. Оформление исследовательской части проекта.	Январь-Февраль 2021 года
Презинтационный	Сдача имеющийся исследовательской части проекта	Сдаю исследовательскую часть в ГБОУ лицее №150	Конец февраля 2021 года
Аналитический	Анализ выполнения проекта, достигнутых результатов.	Провожу самоанализ проектной деятельности, результатов проекта. Оформляю описание проекта и дорабатываю продукт проекта	Февраль- Апрель 2021 года
Презентационный	Поиск подходящих конференций и публичный показ своего проекта	Защита проекта на конференции не ниже района. Получение сертификата об участии/победе в конференции	Март-Апрель 2021 года
Аналитический	Анализ публичной защиты проекта. Вносятся необходимые поправки	Анализирую собственное выступление, делаю выводы и вношу необходимые поправки в проект	Апрель 2021 года

SWOT-анализ

Сильные стороны: 1. востребованность качественного обучающего материала для учеников 10-11 классов 2.самообразование в части углубленного изучения данного раздела математики	Слабые стороны: 2. возможное недоверие к качеству предоставляемого материала 2.большое количество аналогичных пособий, следовательно, высокая конкуренция
Угрозы: 1. возможность появления фактический ошибки в составленном учебном материале	Возможности: 2. создание качественного продукта, который помочь выпускникам сдать ЕГЭ на высокие баллы 2.укрепление знаний обучающихся в выбранной теме с помощью развернутого и понятного раскрытия материала

На ЕГЭ встречается два типа задач с параметрами.

Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства».

Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

Ответы в данных задачах имеют разную структуру и требования. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения.
В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

Что необходимо ученикам?

Учащиеся должны знать:

• применение равносильных преобразований уравнений, неравенств и их систем;
• свойства квадратичной функции, ее графики, формула.

Учащиеся должны уметь:

• правильно анализировать условие задачи;
• выбирать наиболее рациональный метод решения и обосновывать его;
• логически обосновывать собственное мнение;
• использовать символический язык для записи решений алгебраических задач;
• применять имеющиеся теоретические знания при решении задач.

Исследовательская часть

В параллели 10 классов моей школы я провела простой социальный опрос, который должен был выявить уровень подготовленности учеников по 18 заданию ЕГЭ. Опрос показал, что 87% учеников не имеют представление о том, какую структуру имеют задания с параметром Это связано с особенностями составления программы по изучению алгебры и обучению математическому анализу в старшей школе. Примеры с параметрами в ней или не рассматриваются, или данная тема затрагивается поверхностно.

Цель моего проекта емко, доступным языком объяснить ученикам старших классов особенности уравнений с параметрами в 18 задании Единого Государственного экзамена. В моей работе я буду делать акцент именно на уравнениях с параметром, так как они чаще всего встречаются в экзаменационных вариантах. Ученик, знающий основные принципы решений данных уравнений, намного легче сможет найти подход к любым видам примеров с параметром. То есть, задача представленного мной ниже учебного материала: рассказать о видах и наиболее актуальных подходах к решению уравнений из 18 задания ЕГЭ.

Теоретическая часть.

Примеры с параметром – 18 задание в ЕГЭ, то есть оно относится ко второй части экзамена. Задания второй части имеют формат развернутого ответа. Тем самым ответом будет подробное решение задачи/примера, с описанием всех этапов рассуждения.

Ответ оценивается по определенным критериям. Всего за данное задание можно получить 4 первичных балла, что является довольно высоким максимальным баллом, если сравнивать его с остальными шестью заданиями второй части.

Критерии к оцениванию таковы

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Представленные выше критерии необходимо соблюдать, чтобы получить максимальный балл. Нельзя не обратить внимание на необходимость «красивого» оформления: аккуратный и разборчивый почерк важная составляющая получения высшего балла. Неразборчиво написанные слова и буквы могут быть неправильно поняты экспертом. Даже во время экзамена, имея правильную логику решения, ученик может сам запутаться в записях и дать неверный ответ в итоге.

В проекте представлены методические материалы в формате урока, который может помочь учителям в объяснении темы «примеры с параметром». В урок включены следующие аспекты: методы решения уравнений, виды уравнений с параметром, особенности уравнений с параметром в ЕГЭ(18 задание), примеры для более подробного разбора решения (применение способов решения).

Цель урока: ознакомление с видами уравнений с параметром, встречающихся на ЕГЭ. Способами их решения.

К информационному уроку прикреплена презентация с методическими материалами. Данной презентацией может воспользоваться не только учитель, но и ученик, готовящийся к 18 заданию профильной математики

Урок рассчитан на 40 мин. 5 минут отводится на дополнительные вопросы учеников.

Информационный урок по теме «Параметры»

1 слайд
Презентация: «Уравнения с параметром»
Подготовила: Шиндина Полина, ученица 10 класса «А» ГБОУ лицея №150
Что же такое параметр?

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Где может пригодиться умение решать уравнения с параметром?

■ Уравнения с параметром включены в школьную программу 10 или 11 класса, следовательно, ученики, заранее ознакомленные с материалом, лучше его усваивают, следовательно, показывают лучшие результаты на экзамене

■ Данный тип уравнений включен в 18 задание ЕГЭ по профильной математике, следовательно, данный навык понадобится выпускникам Российских школ, которые планируют сдавать данный экзамен

Какие типы задач с параметром включены в ЕГЭ?

В 18 задании ЕГЭ встречается 2 формулировки заданий:
«для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства»

«найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям»

Заключение

В течении всего времени создания данного проекта: от задумки до реализации продукта – я узнавала все больше нюансов решения примеров с параметром и совершенствовала свои знания в данной теме. Я считаю, что данную тему, хотя бы косвенно, но должен затронуть каждый учащийся 10-11классов во время подготовки к Единому Государственному Экзамену. Ведь параметры встречаются в жизни гораздо чаще, чем мы можем себе представить.

Во время более детального рассмотрения данной темы я выделила для себя наиболее удобный подход к решению уравнений с параметром: алгебраический. Я склоняюсь к использованию данного способа и во время сдачи профильного ЕГЭ по математике, так как он занимает меньшего всего времени. Экономия времени поможет мне лучше сконцентрироваться на заданиях второй части.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

2$ пинты мороженого.

Мы могли бы записать алгебраическое соотношение так:

И это правильно… но вводит в заблуждение!

Уравнение подразумевает, что солнцезащитный крем напрямую меняет спрос на мороженое, тогда как скрытая переменная (температура) изменила их обоих!

Гораздо лучше написать два отдельных уравнения

, которые прямо указывают на причинно-следственную связь. 2$. Параметрические уравнения напоминают нам о том, что нужно смотреть глубже (до недавнего времени у меня не получалось; я застрял в мышлении «время/физика»).

Конечно, не в каждой настройке есть скрытый параметр, но стоит ли на него смотреть?

Обновление: Эдди Ву сделал отличное видео, используя эту аналогию.

Посмотрите всю серию (часть 2, часть 3), мне очень понравилось, как он объяснил историю слова (para=рядом, т.е. у вас есть скрытая переменная рядом с теми, которые вы видите). Спасибо Эдди!

Другие сообщения из этой серии

1. Понимание алгебры: почему мы факторизуем уравнения?
2. Быстрая интуиция для параметрических уравнений
3. Интуиция для квадратичной формулы
4. Форма Intuition for Slope-Intercept Form
5. Интуиция для графических функций
6. Интуиция для многочленов

• Математика

Присоединяйтесь к 450 тысячам читателей в месяц

Понравилась статья? Есть много других вещей, которые помогут вам построить прочное интуитивное понимание математики. Присоединиться информационный бюллетень для бонусного контента и последних обновлений.

примеров исчисления | Параметрические уравнения и полярные координаты

Шаг 1

Настройте параметрическое уравнение для решения уравнения для .

Шаг 2

Перепишите уравнение как .

Шаг 3

Вычтите из обеих частей уравнения.

Шаг 4

Разделите каждое слагаемое на и упростите.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 4.1

Разделите каждое слагаемое на .

Шаг 4.2

Упростите левую сторону.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 4.2.1

Отменить общий множитель .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 4.2.1.1

Отменить общий множитель.

Шаг 4.2.1.2

Разделить на .

Шаг 4.3

Упростите правую сторону.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов. ..

Шаг 4.3.1

Упростите каждый термин.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 4.3.1.1

Отмените общий множитель и .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 4.3.1.1.1

Фактор из .

Шаг 4.3.1.1.2

Отменить общие коэффициенты.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 4.3.1.1.2.1

Умножить на .

Шаг 4.3.1.1.2.2

Отменить общий множитель.

Шаг 4.3.1.1.2.3

Перепишите выражение.

Шаг 4.3.1.2

Поместите минус перед дробью.

Шаг 5

Замените в уравнении на , чтобы получить уравнение в терминах .

Шаг 6

Упрощение .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 6.1

Переписать как .

Шаг 6.2

Расширение с использованием метода FOIL.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов. ..

Шаг 6.2.1

Примените свойство распределения.

Шаг 6.2.2

Примените свойство распределения.

Шаг 6.2.3

Примените свойство распределения.

Шаг 6.3

Упростите и объедините подобные термины.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 6.3.1

Упростите каждый термин.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 6.3.1.1

Умножение .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Шаг 6.3.1.1.1

Умножить на .

Шаг 6.3.1.1.2

Возведение в степень .

Шаг 6.3.1.1.3

Возведение в степень .

Шаг 6.3.1.1.4

Используйте правило степени для объединения показателей степени.

Шаг 6.3.1.1.5

Добавить и .

Шаг 6.3.1.1.6

Умножить на .

Шаг 6.3.1.2

Умножить .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов.