Кратные интегралы. Определение кратного интеграла. Двойные интегралы, страница 2
Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то
. (2.4)
Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.
Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .
|
Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2—y, y=0, y=1
(линия y =1 выродилась в точку) (рис.
14.7).
Эта область является правильной и в направлении
, где (см. (2.1)) ,
. Итак, = = =.#
Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .
Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)
Рис.14.8 а)
=.
Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)
=
|
=.
#
Задачи для самостоятельного решения
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:
8. . 9. .
10. . 11..
Перейти от двойного интеграла по конечной области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:
12. Область D – параллелограмм со сторонами .
13. . 14. .
15. — треугольник со сторонами .
16. .
17. — треугольник с вершинами .
18. D – сегмент, ограниченный линиями .
Вычислить двойные интегралы:
19. . 20. — круг .
21. — область, ограниченная линиями .
22. — область, ограниченная линиями .
23. — область, ограниченная линиями .
24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.
25. — область, ограниченная параболой и прямой .
26. , если D ограничена осью абсцисс и первой
аркой циклоиды , , .
14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования
=.
Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию
. Всего будет два семейства таких линий.Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область Sиз плоскости . Тогда справедливо равенство
(2.
5)
Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
Переход в двойном интеграле к полярным координатам
Формулы
(2.6)
преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.
Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:
Фиксируя в последних формулах и, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .
Якобиан преобразования
и формула (2.5) принимает вид:
(2.7)
Рекомендация. К полярным координатам
целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения
границы области интегрирования входит комбинация .
В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам по формулам
, (2.8)
— постоянные, . Тогда
, (2.9)
Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).
Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным по формулам , . Подставим x и y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).
В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #
Кратные и криволинейные интегралы
%PDF-1.6
%
1 0 obj
> > > ] /ON [ 5 0 R ] /Order [ ] /RBGroups [ ] >> /OCGs [ 5 0 R ] >> /Outlines 7 0 R /Pages 11 0 R /StructTreeRoot 14 0 R /Type /Catalog >>
endobj
2 0 obj
/CreationDate (D:20171009145523+03’00’) /Creator (PScript5.
dll Version 5.2.2) /Keywords /ModDate (D:20180117153213+03’00’) /Producer (Acrobat Distiller 11.0 \(Windows\)) /Title >>
endobj
3 0 obj
> /Font > >> /Fields [ ] >>
endobj
4 0 obj
>
stream
application/pdf
Подмножество $E$ содержит точки со сколь угодно большими положительными значениями $z$ для любого значения $y$; а подмножество $F$ содержит точки со сколь угодно большими отрицательными значениями $z$ при любом значении $y$; следовательно, ни $E$, ни $F$ не имеют ограниченного пересечения ни с одним из $A, B, C, D. $ 9{4 — 2y}\,dz\,dx\,dy.
$$
Я остановлюсь здесь — примерно там, где начинаются другие ответы.