Что такое действительное число? Ответ на webmath.ru
Содержание:
- Определение действительного числа
- Сложение действительных чисел
- Вычитание действительных чисел
- Умножение действительных чисел
- Деление действительных чисел
- Свойства операции сложения действительных чисел
- Свойства операции умножения действительных чисел
Определение действительного числа
Определение
Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.
Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .
Например. $\frac{2}{3} ; 0,754 ;-23 ;-\frac{5}{4} ; 113 ;-\sqrt[3]{2} ;-2,34 ; \frac{1}{\pi}$ — все это действительные числа.
На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции:
сложение,
вычитание,
умножение и
деление.
Сложение действительных чисел
Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом
Свойства операции сложения действительных чисел
Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$
$$a+b=b+a$$
Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$
$$(a+b)+c=a+(b+c)$$
Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$
$$a+0=0+a=a$$
Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что
$$a+(-a)=(-a)+a=0$$
число $(-a)$ называется противоположным числу $a$ ;
Вычитание действительных чисел
Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается
Пример
Задание.
Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$
Решение. Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$
Разность: $23-12,4=10,6$
Ответ.
$23+12,4=35,4$
$23-12,4=10,6$
Умножение действительных чисел
На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая
Свойства операции умножения действительных чисел
Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$
$$a \cdot b=b \cdot a$$
Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$
$$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$$
Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$
$$a \cdot 1=1 \cdot a$$
Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что
$$a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1$$
число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;
Деление действительных чисел
Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$
$$c=a \cdot \frac{1}{b}$$
называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.
Решение. Произведение заданных чисел равно $1,2 \cdot 5=6$
Частное: $1,2 : 5=1,2 \cdot \frac{1}{5}=1,2 \cdot 0,2=0,24$
Ответ.
$1,2 \cdot 5=6$
$1,2 : 5=0,24$
Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:
$$(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$$
Читать дальше: что такое четное число.
В каком виде можно записать любое действительное число?
В каком виде можно записать любое действительное число?
Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа.
Что такое порядок числа?
Число п называется порядком числа а. Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало рассматриваемое число.
Так, если порядок числа равен 3, то это означает, что число больше либо равно1000, но меньше 10000. Если же порядок равен -2, то число больше либо равно 0,01, но меньше 0,1.
Что такое порядок числа 7 класс?
Любое натуральное число или конечную положительную десятичную дробь можно записать в виде: a · 10 n, где 1 ≤ a порядком числа «a».
Что такое порядок числа в алгебре?
Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме. Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме. … Большим будет то число, порядок которого больше.
Что значит на порядок больше?
1000 на порядок больше, чем 100 и на два порядка больше, чем 10. «На порядок» — это в десять раз.
Что означает этот порядок?
Поря́док — гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего-либо.
Как записывать числа в стандартном виде?
Чтобы записать число в стандартном виде, надо представить его в виде произведения, первый множитель которого — число от единицы до десяти (1≤a2 до sub>2. В двубайтовом формате — от 0002 до 1112.
Какие форматы представления чисел в компьютере существуют?
Для хранения чисел в памяти компьютера используется два формата: целочисленный (естественная форма) и с плавающей точкой (нормализованная форма) (точка — разделительный знак для целой и дробной части числа). Целочисленный формат (формат с фиксированной точкой) используется для представления в компьютере целых (англ.
Сколько байтов занимает одно целое число или один символ в памяти эвм?
Кодирование символов Для кодирования символов достаточно одного байта. При этом можно представить 256 символов (с десятичными кодами от 0 до 255).
Что такое нормальная форма числа?
Нормальная и нормализованная форма[править] Нормальной формой (англ.
normal form) числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале .
Сколько шестнадцатеричных чисел отображают содержимое одного байта?
Шестнадцатеричные числа также полезны, так как шестнадцатеричное число составляет 4 бита (1 восьмеричное число может представлять 2), и, следовательно, два числа в байте. В большинстве шестнадцатеричных редакторов именно так представлен байт.
Можно ли набрать в компьютере любое реальное число?
спросил
Изменено 6 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 662 раза
$\begingroup$
Предположим, у нас есть компьютерная программа.
более формально: Выберите одно действительное число $x\in [0,10]$. Можно ли выразить $x$ так, чтобы его понял компьютер*?
*может понять = если $y$ является другим таким числом, компьютер может сказать, является ли $x>y, y>x$ или $x=y$.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Например, квадратный корень 2 можно ввести как $\sqrt{2}$, и это нормально. Как сказано в комментариях, компьютер не имеет бесконечной памяти. Важно то, что программа может различать любые два введенных числа. Например, даже если невозможно представить $\sqrt{2}$ в компьютера, он может понять, что $\sqrt{3}$ больше, чем $\sqrt{2}$.
- действительные числа
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Когда у вас конечное или счетное количество символов:
Нет, когда вы разрешаете символы только из конечного (или счетного) набора возможных символов, таких как $\lim$, $\sqrt{}$, цифры и т.
д. , множество всех возможных терминов (конечной длины), которые кто-то может ввести, счетно. Но в $[0,10]$ несчетное количество реалов. Таким образом, существуют вещественные числа, которые «нетипизируемы»…
Это относится к определяемым числам: существует только исчисляемое количество выражений для определения числа в логике первого порядка, но существует несчетное множество вещественных чисел -> Существуют неопределяемые числа. См. также ответы и комментарии к вопросу Есть ли пример для неопределимого числа? для примеров неопределимых/невычислимых чисел.
Когда у вас есть неисчислимое количество символов:
Затем вы можете присвоить каждому вещественному числу отдельный символ, который его обозначает (например, символ «$\pi$» обозначает число $\pi$) и вуаля: Каждое вещественное число можно ввести с помощью его символа 😉 9{−n}d(n)$, где $d(n)=1$, если $S(n)$ истинно, и 0 в противном случае. Поскольку каждое $S(n)$ можно вычислить, $x$ вычислимо в том смысле, что можно вычислить сколь угодно хорошие рациональные приближения $x$.
Теперь может случиться так, что все $S(n)$ окажутся ложными, но нет доказательства (в вашей любимой непротиворечивой формальной системе) этого факта. Тогда невозможно решить (в этой системе), является ли $x=0$ [или $x > 0$].
$\endgroup$
8
$\begingroup$
Любое действительное число $\xi$, которое придет вам или более опытному математику, может быть определено и описано в терминах текста и общепринятых формул, откуда: быть выражено в TeX-коде менее чем на двух ASCI-страницах или так. Любой компьютер примет это как ввод. Такой ввод определяет $\xi$ как элемент ${\mathbb R}$ раз и навсегда, другими словами: до любого желаемого числа знаков после запятой. Конечно, может случиться так, что вашего карманного калькулятора будет недостаточно, чтобы вычислить эти цифры одну за другой.
$\endgroup$
9
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Обозначение Set-Builder { х | х ≠ 0}, находится в нотации конструктора наборов. Этот набор читается как «Набор всех действительных чисел x , так что x не равно 0», (где символ | читается как таковой). То есть это множество содержит все действительные числа, кроме нуля.
Другой пример нотации конструктора наборов: . { х | − 2 < x ≤ 3} . Этот набор читается как «Набор всех действительных чисел x , таких, что x больше -2 и меньше или равно 3». Как указано выше, мы можем использовать нотацию построителя множеств для выражения домена функции. Например, функция имеет домен, состоящий из всех действительных чисел, больших или равных нулю, потому что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. Мы можем записать домен f ( x ) в нотации построителя наборов как .{ х | х ≥ 0}. Если доменом функции являются все действительные числа (т. е. нет ограничений на x ), вы можете просто указать домен как «все действительные числа» или использовать символ для представления всех действительных чисел. Обозначение интервала Мы также можем использовать запись интервала для выражения области определения функции.
Интервальная нотация может использоваться для выражения различных наборов чисел. Вот несколько распространенных примеров.
|
В обозначении интервала используются следующие символы