В семье трое детей какова вероятность что все мальчики: В семье трое детей. Какова вероятность того, что все мальчики

Задача с двумя мальчиками . Иосиф Виссарионович Сталин. Краткая биография

Как ни странно, схожая ситуация, вызвавшая непонимание и даже возмущение читателей, возникла и с другим вопросом в рубрике вос Савант. Задача очень проста: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Однако для того, чтобы решить эту задачу, давайте сначала сделаем шаг назад и упростим ее: «У меня двое детей, и один из них мальчик. Какова вероятность, что у меня два мальчика?»

Первым делом в голову приходит мысль: «Один из детей – мальчик. Следовательно, второй может быть либо мальчиком, либо девочкой. Таким образом, шансы составляют 50:50. Вероятность того, что в семье два мальчика, равна 50 процентам».

К сожалению, ответ неверен.

Чтобы это понять, надо составить простую схему. В левую часть мы поместим старшего ребенка. Это может быть либо мальчик, либо девочка. Вероятность 50:50. В правой части у нас окажется младший ребенок. Для каждой из указанных выше возможностей это опять-таки будет мальчик или девочка. Вероятность каждой из четырех возможных комбинаций составляет 25 процентов.

Все комбинации, за исключением «девочка – девочка», соответствуют условию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик». Итак, у нас осталось три одинаково вероятные возможности, в каждой из которых один ребенок – мальчик. Вероятность того, что оба ребенка мальчики – это всего лишь один вариант из трех, то есть шансы составляют 1:3.

Потенциальные комбинации детей

Если вас это удивляет, то вспомните условие задачи: «Один из них мальчик». Здесь ничего не говорится о том, старший он или младший. Вот если бы мы сказали что «старший из них мальчик», тогда здравый смысл совпал бы с теорией вероятности. Если старший ребенок мальчик, то остаются только два варианта с равной вероятностью: второй ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, следовательно, вероятность равна 50:50.

Теперь вы уже готовы решить полную версию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник.

Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Внутренний голос подсказывает вам: «Дополнительная информация о дне недели не имеет никакого значения. Решение остается прежним: шансы на то, что в семье два мальчика, составляют один к трем». Однако, как ни удивительно, вероятность в данном случае составляет 13:27, то есть довольно близка к 50:50.

Для пояснений надо было бы нарисовать еще одну схему, но мне не хочется себя утруждать, поэтому вам придется ее представить. В левую часть схемы поместим 14 детей: первый мальчик, родившийся в воскресенье, первый мальчик, родившийся в понедельник, первый мальчик, родившийся во вторник… первая девочка, родившаяся в воскресенье и такдалее вплоть до первой девочки, родившейся в субботу.

У каждого из этих детей будет по 14 вариантов младших братьев или сестер: второй мальчик, родившийся в воскресенье, и т. д.

Итак, у нас есть 196 комбинаций, но, к счастью, большую часть из них мы можем сразу вычеркнуть. Нас интересуют только комбинации, в которых присутствует мальчик, родившийся во вторник. Таким образом, у нас остается пункт в левой части «первый мальчик, родившийся во вторник», с четырнадцатью возможными вариантами, а также еще 13 вариантов, в которых присутствует второй мальчик, родившийся во вторник. Итого 27 комбинаций. В скольких из них присутствуют два мальчика? В половине из первых четырнадцати вариантов и в шести из оставшихся тринадцати. Итого 13 (7 + 6). Тринадцать комбинаций дают нам двух мальчиков. Таким образом, вероятность того, что в семье два мальчика, составляет 13 к 27.

Здравый смысл протестует. Выходит, что, назвав день недели, в который родился один из мальчиков, мы увеличиваем вероятность рождения второго мальчика. Но ведь с тем же успехом мы могли бы назвать любой день недели. Почему так получается? Потому что, введя в качестве дополнительной информации день рождения, мы сразу отсекаем массу возможностей. Добавление любой информации фактически равносильно тому, что мы приходим к ситуации, в которой мальчиком является старший ребенок.

Теория вероятности абсолютно верна, и вы, если хотите, можете это доказать, смоделировав ситуацию на компьютере. Все цифры сойдутся. Но ум отказывается в это верить. Как вам это нравится? (Вообще-то, истины ради, стоило бы добавить, что представленная картина не совсем соответствует реальности. Решая задачу, мы исходили из того, что обычно мальчиков и девочек рождается поровну и что их появление на свет равномерно распределяется по всем дням недели. На самом деле это не совсем так, но данные обстоятельства уже выходят за рамки предлагаемого упражнения.)

Парадокс мальчика и девочки: deadmadcat — LiveJournal

?

Categories:

• Дети
• Семья
• reacceptAll()»> Cancel

Многочисленные разъяснения этого парадокса легко нагуглить, но это вовсе не гарантирует понимания. Почему-то те, что мне попадались, путаные и невнятные. Так почему бы мне не подхватить эстафету и не попробовать написать собственное? Итак, парадокс:

У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?

С одной стороны, пол каждого ребенка в семье определяется независимо, поэтому у мальчика с равной вероятностью может быть как брат, так и сестра. Вероятность 1/2.

С другой стороны, можно считать, что существует 4 равновероятные комбинации:
мальчик-мальчик
девочка-мальчик
мальчик-девочка
девочка-девочка
Последний вариант исходно не соответствует условиям вопроса и выпадает из выборки. Второй и третий можно объединить в один под общим названием «разнополые дети», их вероятности при этом суммируются. Т.е. у семей, в которых минимум один ребенок — мальчик, с вероятностью 1/3 — 2 сына, с вероятностью 2/3 — сын и дочь.

Так какой ответ правильный? 1/2 или 1/3? 1/3 или 1/2?

Поставим такой мысленный эксперимент. Мы пригласили 12 двудетных семей в гости. Затем попросили семьи с двумя сыновьями отойти влево, семьи с 2-мя дочерями отойти вправо, а остальных остаться на месте. В идеальном статистическом случае семей с разнополыми детьми 6, семей с сыновьями 3, семей с дочерями 3. Теперь можем прогнать семьи только с девочками прочь — они нам больше не нужны. Родителей тоже можно послать подальше. Остались 9 пар детей — 6 пар брат-сестра и 3 пары брат-брат. Дадим им побегать, поорать и хорошенько перемешаться.

Теперь перейдем ко 2-й части эксперимента. У нас в комнате 12 мальчиков и 6 девочек. Будем поочередно опрашивать мальчиков на предмет наличия братьев и сестер. И обнаружим, что у половины мальчиков в комнате есть брат, а у половины сестра. Т.е. пары брат-брат составляют 1/3, но при этом брат есть у 1/2 мальчиков. Почему? Потому что во второй части эксперимента мы посчитали все пары брат-брат дважды — с точки зрения каждого из братьев.

Можем вернуться поближе к исходной формулировке. Соберем информацию обо всех мужчинах с фамилией Смит. Составим список из тех Смитов, у которых 2 ребенка, из них минимум один сын. Посчитаем количество Смитов с 2-мя мальчиками. Таких предсказуемо окажется 1/3 списка.

При этом другой подход даст другой результат. Будем шляться по улицам и опрашивать всех встречных мужчин с мальчиками, сколько у них детей, и если 2, то есть ли у них второй сын. Положительный ответ даст 1/2. Почему? Да потому, что мы проигнорировали пап с дочками, хотя у некоторых из них есть также и сыновья, и они вполне подпадают под условия вопроса.

В целом можно сказать, что 1/2 и 1/3 это ответы на разные вопросы, весь парадокс состоит в непонимании того, какую именно задачу решаем. Примерно как вероятность того, что в лотерею выиграете именно вы, и вероятность того, что в лотерею кто-нибудь выиграет. Это не одно и то же, но можно перепутать.

Tags: раскладываю по полочкам

Subscribe

• Пчелиные ясли

  Оригинал взят у newfler в Кто это и что она делает? Недавно заметила внутри поликарбоната парника вот такую инсталляцию. Сначала даже…

• Мышиные плантации и человеческая цивилизация

  Оригинал взят у bbzhukov в Итак, заявленная тема доклада Михаила Чудецкого – «Роль курганчиковой мыши в становлении…

• Предложи план

  Плана не имею, но ответы почитать хочу. Оригинал взят у alkach52 в Предложи план Много было идей и текстов о том, как и почему…

Photo

Hint http://pics.livejournal.com/igrick/pic/000r1edq

• Пчелиные ясли

  Оригинал взят у newfler в Кто это и что она делает? Недавно заметила внутри поликарбоната парника вот такую инсталляцию. Сначала даже…

• Мышиные плантации и человеческая цивилизация

  Оригинал взят у bbzhukov в Итак, заявленная тема доклада Михаила Чудецкого – «Роль курганчиковой мыши в становлении…

• Предложи план

  Плана не имею, но ответы почитать хочу. Оригинал взят у alkach52 в Предложи план Много было идей и текстов о том, как и почему…

предварительный расчет по алгебре — Какова вероятность того, что в семье с 3 детьми 2 мальчика и 1 девочка?

Комбинации и перестановки

Если это вызывает путаницу, комбинации не зависят от порядка. Так что, если у вас был лотерейный билет, имеет значение, была ли у вас правильная комбинация чисел. Или в этом случае мы спрашиваем количество мальчиков и девочек, а не порядок их появления. Перестановки и учитывают порядок, так что это будет больше похоже на код для сейфа, который нужно делать по порядку, или на буквы в пароле, или, в данном случае, на последовательность полов, где BGB будет другой последовательностью, чем GBB. .

Таким образом, комбинация подобна списку ингредиентов в начале рецепта, а перестановка — это порядок добавления ингредиентов. Вы можете взять один и тот же список вещей и добавить их в разном количестве и в разном порядке, и это, скорее всего, сильно изменит результат.

Работа из комбинаций

Просто добавим, что вы можете делать это с помощью комбинаций, как вы изначально думали, но вы должны учитывать относительные вероятности этих комбинаций, которые вытекают из набора перестановок. Как мы видели из других ответов, есть 3 перестановки из 8, которые содержат 2 мальчиков и девочку.

Но что, если вместо этого мы посмотрим на комбинации? Комбинации двух полов среди 3 детей:

• 3 девочки
• 2 девочки, 1 мальчик
• 1 девочка, 2 мальчика
• 3 мальчика

Теперь по частотам

• 3 девушки можно расположить только 1 способом, значит это частота 1
• 2 девочки, 1 мальчик могут быть переставлены, и у мальчика может быть 3 позиции (младшая, средняя или старшая). Как только у нас есть позиция мальчика, девочки известны, поэтому есть 3 позиции
• 1 девочка, 2 мальчика: та же логика, что и выше, частота 3
• 3 мальчика: как и 3 девочки, частота 1

Всего их 8, а число, соответствующее нашему требованию, равно 3, что дает 3/8.

В этом вопросе самый простой и ясный подход состоял в том, чтобы перечислить перестановки и подсчитать, сколько из них соответствует нашему требованию. Для более крупных задач может быть проще либо быстро собрать простые случаи, а затем просмотреть перестановки для ограниченного набора, либо сосредоточиться на возможных комбинациях. Это особенно верно, когда в конструкции набора есть более сложные варианты.

Редактировать: Подробнее о комбинациях и перестановках

У @WoJ есть вопрос: почему порядок имеет значение? А если бы они были тройняшками?

Я не утверждаю, что важен хронологический порядок рождения, а только то, что вы должны маркировать их. Обычно мы записываем перестановки в виде последовательности, которая соответствует порядку переменных; если я подбрасываю монету 3 раза и результат HTH, то я неявно говорю, что последовательность представляет броски, упорядоченные в хронологическом порядке. Но мы могли бы подбросить 3 монеты и упорядочить их по размеру или по возрасту монеты; это просто способ идентифицировать различные флипы, чтобы мы могли правильно учитывать возможности.

Но! Вы должны пометить их , прежде чем рассматривать, как они приземлились . Упорядочивание орла, а затем решки уже превращает результат перестановки в комбинацию и значительно усложняет задачу, делая результат зависимым от значений, когда они были независимыми переменными в начале. Таким образом, чтобы оценить взаимосвязь между первоначальными бросками и результирующими комбинациями, мы должны сначала пометить их, иначе у нас будет головная боль.

Мы можем видеть, что важны перестановки, а не комбинации для случайных независимых подбрасываний монеты, выполнив этот эксперимент: подбросьте 2 монеты, и если они выпадут одинаковыми (2H или 2T), то отметьте 1 в «Тот же» столбец. Если они приземляются по-разному (1H 1T), отметьте 1 в столбце «Разница». Если вероятность определяется комбинациями, то есть только 1 комбинация (1H 1T), которая даст «отличный» результат, по сравнению с двумя (2H и 2T), которые дадут «одинаковый» результат, и после нескольких раундов бросков мы должны увидеть вдвое больше отметок в столбце «Различия». Не стесняйтесь попробовать эксперимент; запустите его, может быть, 20 раз, чтобы было ясно, какой ответ больше похож на 2: 1 или на 1: 1.

Я предсказываю, что результат будет 1:1, потому что вероятность заключается в подбрасывании монеты, поэтому мы должны искать статистическую основу для наших расчетов. Вероятность одного независимого подбрасывания монеты составляет 50/50. Таким образом, первый бросок (или бросок самой большой или самой старой монеты) — это 50/50 H или T. Теперь, учитывая, что первым броском был орел, каким будет второй? Это независимые подбрасывания монет, так что шансы по-прежнему 50/50. Это дает нам второе значение. Поскольку это независимые флипы, мы помечаем их по-разному и составляем либо таблицу их значений, либо список перестановок:

 Первый
         ЧТ
2-й Н 0,25 0,25
     Т 0,25 0,25
 

Теперь мы можем рассмотреть классификацию этих перестановок как комбинаций:

 H T
 Ч 2Ч 1Ч 1Т
 Т 1Ч 1Т 2Т
 

Таким образом, хотя имеется 3 помеченных комбинации (2H, 2T, 1H 1T), они неравномерно распределены среди перестановок (HH, TT, HT, TH), и мы уже говорили, что в этом случае вероятность управляется перестановками, а не сочетаниями. Таким образом, чтобы правильно учесть вероятности, присвоенные этим комбинациям, мы должны начать с перестановок и посмотреть, как они соотносятся с комбинациями; 2 превращаются в «1H 1T», а по одному в «2H» и «2T». Как они затем сопоставляются с категориями «Same» и «Diff»?

 H T 1H 1T Разница = 0,25+0,25
 H Та же разница или 2H То же = 0,25
 T Diff То же 2T То же = 0,25
 

Таким образом, мы имеем P(Same) = 0,25+0,25 = 0,5 и P(Diff) = 0,25+0,25 = 0,5.

Нас не заботило, как мы упорядочивали монеты, только то, что мы могли идентифицировать их отдельно, потому что у них есть независимые вероятности, назначенные их броскам.

Бывают ли случаи, когда вы не можете получить ответ, просто взглянув на перестановки? Да, конечно. Например, перестановки не всегда точно равновероятны, как в этих построенных задачах. Возможные цвета носков в моем ящике могут быть желтыми, зелеными и черными, но у меня гораздо больше черных носков, потому что мир еще не разделяет мое увлечение зеленым. Если бы мы посмотрели на перестановки двух носков, взятых из ящика, мы бы получили YY, YG, YB, GY, GG, GB, BY, BG, BB. Если бы мы просто наивно смотрели на перестановки, мы могли бы предположить, что шанс получить совпадающую пару был 3/9. , или 1/3. Но это не так, ведь черных носков намного больше.

Вместо этого у нас может быть лотерейный билет, который имеет значение только в комбинации; тогда рассмотрение перестановок было бы бесплодным занятием, поскольку процесс рисования устанавливает связь между вероятностью и комбинацией, а не перестановкой.

Тройняшки по комбинациям

Продемонстрируйте проблемы с упорядочиванием результата рождения тройни в комбинации перед применением вероятностей, давайте фактически посчитаем это таким образом. Мы подбрасываем 3 монеты и, игнорируя хронологию, располагаем их решкой вперед. Возможные результаты: HHH, HHT, HTT, TTT. 4 комбинации.

Но как мы можем применить нашу вероятность того, что каждое рождение 50/50? Изменяя порядок, мы нарушаем соответствие между индивидуальным рождением и элементом в комбинации; Вы можете сразу это увидеть, потому что единственный способ, которым первая монета в нашем переставленном наборе может быть T, — это если все 3 монеты выпадут T, и мы интуитивно знаем, что это гораздо менее вероятно, чем вероятность того, что любой данный бросок будет T. Можем ли мы еще это сделать? Ну да, но это сложно.

Первая комбинация — ЧЧЧ. Каков шанс выбросить HHH? Флипы независимы, и эти монеты можно переставлять как угодно, но всегда должно быть 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125. Таким образом, сразу комбинация HHH имеет шанс 0,125 вместо 0,25. Тот факт, что у нас есть 4 категории, не означает, что вероятность каким-либо образом связана с этим числом.

Тот же аргумент применим и к ТТТ. Итак, теперь мы учли 0,25 вероятности из половины комбинаций.

Что насчет HHT и HTT? Что ж, поскольку шансы H и T равны, мы могли бы обозначить H как T, а T как H или назвать стороны A и B без потери общности, так что и здесь вероятности должны быть равны; обе комбинации 2 одного и 1 другого. Таким образом, оставшиеся 6/8 вероятности дают нам 3/8 для каждого варианта.

Что, если H и T не взаимозаменяемы? Предположим, что P(H) равно 3/5, а не 1/2? Мы видим, что комбинации не дают нам прямого ответа, потому что они неизменны (3H, 2H, 1H, 0H), но мы интуитивно понимаем, что шансы получить 2H должны зависеть от смещения монетки. Здесь у нас будет остаточная вероятность 1 — 0,4 * 0,4 * 0,4 — 0,6 * 0,6 * 0,6 = 0,72. Две оставшиеся комбинации — HTT и HHT. Итак, мы знаем, что первая и последняя из этих монет выпали одинаково, и это набор подбрасываний, в которых есть один орел и одна решка. Удаление этой головы и хвоста оставляет результат одной монеты. Неважно, в каком порядке были брошены монеты или даже как мы их потом переставили. У финальной монеты P(H)=0,6 и P(T)=0,4, поэтому P(H)/P(T) = 1,5. У нас уже есть две другие монеты, поэтому P(2H 1T)/P(1H 2T) = 1,5. Распределение оставшейся вероятности 0,72 дает нам P(2H 1T)+P(1H 2T)=0,72, а затем мы можем произвести подстановку, чтобы получить P(2H 1T)+P(2H 1T)/1,5=0,72, поэтому P(2H 1T )=0,432.

В отличие от этого, чтобы вычислить это из исходных бросков, мы имеем:

 P(2H,1T) = P(HHT)+P(HTH)+P(THH)
         = 0,6*0,6*0,4 + 0,6*0,4*0,6 + 0,4*0,6*0,6
         = 0,144 * 3 = 0,432
 

Итак, если у нас есть независимые переменные (рождения, подбрасывания монеты), проще всего посмотреть на перестановки и собрать вероятности нужных нам перестановок, чем начинать с комбинаций и работать в обратном направлении, чтобы выяснить, как их вероятности соотносятся с индивидуальные переменные вероятности. Но это не невозможно, а в некоторых случаях желательно.

TLDR: важно посмотреть на механизм, с помощью которого в системе появляется случайность, а затем измерить вероятности исходя из этого либо с точки зрения комбинаций, либо с точки зрения перестановок, но не применяя их вслепую, поскольку метод полностью зависит от механизма. случайности. Оба подхода могут работать, но только если вы правильно учитываете вероятности в соответствии с рассматриваемой системой.

комбинаторика — Какова вероятность того, что в семье с $3$ детьми есть хотя бы одна девочка, если хотя бы один мальчик$?$

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 11 месяцев назад

Изменено 6 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

$(1)$ Какова вероятность того, что семья с $3$ детьми есть хотя бы одна девочка, при условии, что хотя бы один мальчик?
$(2)$ И какова вероятность того, что у них есть хотя бы один мальчик И одна девочка?
$(3)$ И какова вероятность того, что у них есть хотя бы один мальчик ИЛИ одна девочка?

Все возможные комбинации:

ВВВ ББГ БГБ БГГ ГББ ГБГ ГГБ ГГГ

Вопрос $(1)$:

Исключите вариант «GGG».
$\implies$ $P$(минимум $1$ мальчик) $= 7/8$

Новое пространство выборки $7$, из которых $6$ имеют не менее $1$ девочки
$\implies$ $P$(при минимум $1$ девочка $\mid$ минимум $1$ мальчик) $= 6/7$

Вопрос $(2)$: Глядя на комбинации, я могу быстро сказать, что есть $6$ из $8$, которые удовлетворяют (как минимум $1$ девочка И как минимум $1$ мальчик).
$\подразумевается 6/8 = 3/4$. Однако с учетом больших наборов данных это становится невозможным.

Согласно:
$P(A\ \text{and}\ B) = P(A)*P(B|A) = \frac{7}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $ Я получаю тот же результат.

Итак, почему умножение $7/8 на 6/7$ дает правильный результат?
Я знаю, что знаменатели $7\times 8$ дают новое выборочное пространство (перестановки), а $7\times 6$ новые желательные результаты (перестановки). Но это перестановки $(x,y)$ ($2$ детей), а не $(x,y,z)$ ($3$ детей).
Но я не могу объяснить, почему это работает, так как исходное пространство выборки не учитывает перестановки.