8. Теорема умножения вероятностей
Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом:
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место
(*)
Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые мы изобразим в виде n точек:
~~
. . . . . . . . . . . .
~
Предположим,
что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны k
случаев.
;
Вычислим P(B/A), т.е. условную вероятность в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятствовали событию . Из них l случаев благоприятны событию . Следовательно
.
Подставляя полученные выражения , и в (*) получим тождество
.
9. Условная вероятность события
Перед тем, как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Событие называется независимым от события В, если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.
Событие называется зависимым от события
В, если
вероятность события меняется в зависимости от того, произошло
событие или нет.
Рассмотрим примеры:
1) Опыт состоит в бросании 2x монет. Событие – выпал герб на 1-ой монете; – выпал герб на второй монете. В данном случае вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Событие независимо от события
2) В урне 2 белых шара и один черный. Два человека вынимают из урны по одному шару. Событие — белый шар у первого человека; — белый шар у второго человека. Вероятность до того, как известно что-либо о , равна . Если известно, что — произошло, то вероятность становится равной , из чего следует, что событие зависит от события .
Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется
Для условий последнего примера
;
Условия
независимости события от события можно записать как
,
условия зависимости
.
10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Доказательство. Дано, что не зависит от , т.е. (**)
Требуется доказать, что и событие не зависит от события , т. е. (**)
При доказательстве предполагаем, что . Напишем теорему вероятностей в двух формах:
или принимая во внимание выше . Разделим обе части на . Тогда .
Из этого следствия вытекает, что зависимость и независимость событий всегда взаимны.
Дадим другое определение.
Два
события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет
вероятности появления другого. Понятие
независимости событий может быть
распространено на случай произвольного
числа событий. Несколько
событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой
совокупности остальных.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Это следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.
Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Доказательство проводится методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
,
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий или
.
Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны
вынимают подряд два шара.
Какова
вероятность того, что оба шара белые.
— появление двух белых шаров, — белый шар при первом вынимании, — белый шар при втором вынимании; .
По теореме .
Пример 2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.
Тогда .
Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
09.15
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Сестра нашла 27 грибов, а брат — .
Среди этих грибов было 3 несъедобных. Сколько всего съедобных грибов нашли дети? Заполни пропуск. Реши задачу разными способами.
Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его … 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.
в зале на шести скамейках сидят 18 учеников . Сколько учеников на трех скамейках, если на каждой скамейке помещается одно и тоже число учеников
как решить задачу 1,3,5,7,9,11,13,15 используя 3 числа чтоб ответ получился 30 одно и тоже число можно использовать несколько раз несколько раз
Решено
Решение задачи по математике 4 класс по программе «Школа-2100»
Пользуйтесь нашим приложением
комбинаторика — 4 белых шара и 1 черный шар, выберите два с замещением, вероятность выпадения 2 черных шаров?
Давайте рассмотрим небольшой пример, чтобы я мог выделить, что именно пошло не так.
Предположим, у нас есть мешок с тремя шарами: $1$ красный, $1$ зеленый и $1$ черный. Выбираем два шара независимо друг от друга с замещением и спрашиваем, какова вероятность того, что оба вытащенных нами шара были черными.
Чтобы нам было совершенно понятно, что происходит, мы вытаскиваем один шар и записываем, что это было, кладем его обратно и снова рисуем. Выбор мяча в первом розыгрыше никоим образом не влияет на выбор мяча во втором розыгрыше. Существует очень четкое различие между тем, какой шар был вытащен первым, а какой вторым в процессе (9).0009 хотя мы можем забыть о том, в каком порядке они пришли, если захотим, но полезно не ).
У нас есть следующие девять возможностей:
$$\begin{cases} RR&RG&RB\\GR&GG&GB\\BR&BG&BB\end{cases}$$
Каждая из этих девяти возможностей равновероятна при условии , Таким образом, вероятность выпадения черного шара каждый раз равна $\frac{1}{9}$, т.е. числу благоприятных событий, деленному на количество возможных исходов.
Если бы мы воспользовались формулой звезд и полос для описания количества элементов в нашем выборочном пространстве, позволив $(r,g,b)$ представлять тройку, обозначающую, сколько красных, зеленых и черных шаров мы получили каждый соответственно, мы бы закончили с образцом пространства:
$$\begin{cases} (2,0,0)&(1,1,0)&(1,0,1)\\&(0,2, 0)&(0,1,1)\\&&(0,0,2)\end{cases}$$
Однако обратите внимание, что результат $(2,0,0)$ соответствует только результату $ RR$, однако исход $(1,1,0)$ соответствует исходу $RG$, а также $GR$. Есть два случая, когда $(1,1,0)$ мог произойти, но только один способ, которым мог произойти $(2,0,0)$.
Таким образом, несмотря на то, что в этом выборочном пространстве есть $6$ исходов, не все шесть из них встречаются одинаково часто, поэтому мы можем , а не использовать принципы подсчета для расчета вероятности в этом выборочном пространстве.
То же самое происходит с примером подбрасывания монеты, когда монета подбрасывается четыре раза подряд, можно сказать, что есть «пять исходов»: ноль решек ( и четыре решки ), одна решка ( и три решки ), две решки ( и две решки ), три решки ( и одна решка ), или четыре решки, но мы должны знать, что вероятность трех решек в строке $\frac{1}{16}$, а не $\frac{1}{5}$
Для вашей конкретной задачи проще всего подойти напрямую, используя аргументы вероятности, что ответ должен быть $\ frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}$, но если вы хотите использовать аргумент принципа подсчета, первым шагом будет определение выборочного пространства, в котором каждый результат имеет одинаковую вероятность.
Чтобы это произошло, мы можем временно предположить, что все белые шары помечены ( потому что белые шары, имеющие или не имеющие на себе какой-либо специальной маркировки, не изменят вероятность того, что они вытащены ). Пусть четыре белых шара помечены $W_1,W_2,W_3,W_4$, а черный шар помечен как $B$.
У нас есть равновероятное пространство выборки с результатами $25$:
$$\begin{cases}W_1W_1&W_1W_2&W_1W_3&W_1W_4&W_1B\\W_2W_1&W_2W_2&\dots\\ \vdots\\ &&&&\cdots BB\end{case}$$
» Я пытаюсь понять, когда я могу использовать аргумент звезд и полос »
Как правило, вы не можете , если только проблема очень конкретно не указывает, что мы случайным образом выбираем один из возможных результатов, описанных звездочки и бары расположены равномерно случайным образом .
Например: «Какова вероятность того, что равномерно выбранная случайным образом целочисленная тройка $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ удовлетворяет $\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2\\ 0\leq x_i~~\forall i\end{case}$
имеет $x_5=2$?»
Есть 6 белых и 9 черных шаров.
Вероятность того, что вытащат два белых, а затем два черных?Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 месяц назад
Просмотрено 6к раз
$\begingroup$
Из Первый курс вероятностей (9-е издание) :
3.5 В урне 6 белых и 9 черных шаров. Если 4 мяча должны быть случайно выбранных без замены, какова вероятность того, что первые 2 выбраны белые, а последние 2 черные?
Этот метод прост и дает правильный ответ (согласно книге): $$\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{9}{13} \cdot \frac{8}{12} = \frac{6}{91} $$
(Это просто принцип умножения и вероятность выпадения цвета этого шара в данный момент)
Однако я хочу понять это с точки зрения условной вероятности.
Я не понимаю, почему этот не работает:
$$P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} ={\frac{{6 \выберите{2}}{9 \выберите 2}}{{15 \выберите{2}}{13 \выберите 2}}}÷{\frac{{6 \выберите{2}}}{{15 \выберите{ 2}}}} = {\ frac {{9 \ выберите 2}} {{13 \ выберите 2}}} = \ frac {6} {13} \ ne \ frac {6} {91}$$
$\frac{6}{13}$ ровно в 7 раз больше, чем предыдущий ответ. Почему этот метод не работает? Какую ошибку я совершил? Я попытался использовать тот же метод, что и в вопросе 3.3, где это привело к правильному ответу.
Необязательно – Около 3,3
3.3 Используйте уравнение (2.1) для вычисления условного Вероятность того, что у Востока 3 пики при условии, что у Севера и Юга в сумме 8 пик.
Здесь мы видим, что:
$$P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} ={\frac{{13 \choose{8}}}{39\выбрать 18}{5 \выбрать 3}{21 \выбрать 10}} {{52 \выбрать{26}}{26 \выбрать 13}}}÷{\frac{{13 \выбрать{8}}{39 \ выберите 18}}{{52 \выберите{26}}}} = {\frac{{5 \выберите 3}{21 \выберите 10}}{{26 \выберите 13}}} = \frac{29}{115 } \приблизительно 0.
339$$
Это ответ в конце книги.
- вероятность
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Давайте еще раз посмотрим на задачу 3.5:
3.5 В урне 6 белых и 9 черных шаров. Если 4 шара должны быть выбраны случайным образом без замены, какова вероятность того, что первые 2 выбранных будут белыми, а последние 2 черными?
Здесь единственное, что вам дано, это ситуация, когда есть 6$ белых и 9$ черных шаров, и что 4$ шара будут выбраны случайным образом. Все это просто говорит вам о ситуации события, но нет конкретного условия, для которого мы можем использовать условную вероятность для решения этой проблемы. Таким образом, когда вы делите на вероятность того, что первые два выбранных являются белыми, которая равна $P(F)=\frac 1 7$, вы получаете ответ, который в 7$ раз превышает нормальный ответ, потому что реальный ответ просто $P(E\capF)$.
Вам не дано, что вероятность того, что первые два выбранных будут белыми, произойдет, поэтому вы не можете использовать это как условие в условной вероятности. В этой задаче требуется вероятность только для данной ситуации без каких-либо особых условий, поэтому условная вероятность неприменима.
Теперь давайте рассмотрим задачу 3.3:
3.3 Используйте уравнение (2.1) для вычисления условного Вероятность того, что у Востока 3 пики, при условии, что у Севера и Юга есть в сумме 8 пик.
Здесь задано условие, что «Север и Юг имеют в сумме 8 пик». Это не часть ситуации, а скорее условие, которое мы должны учитывать. Таким образом, когда вы используете условную вероятность для объяснения этого условия, вы получаете правильный ответ, потому что здесь условная вероятность равна применимо
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Метод 1.