§ 3. Теорема умножения вероятностей.
Определение 4. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий (совмещение этих событий).
Например, если А – деталь стандартная; В – деталь окрашенная, то – деталь стандартная и окрашенная.
Определение 5. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместн6ом появлении всех этих событий.
Например, если А, В, С – появление герба (орла) в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – появление герба (орла) во всех трех бросаниях.
Определение 6. Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло называется условной вероятностью события В и обозначается: .
Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны
дважды вынимают по одному шару не
возвращая их обратно.
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность: .
Исходя из классического определения вероятности можно вывести формулу для нахождения условной вероятности:
(1)
По этой формуле найдем в рассмотренном выше примере.
Вероятность появления черного шара в первом испытании: . Найдем вероятность , того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов совместного появления двух шаров безразлично какого цвета равно числу размещений: = 6·5 = 30. из этого числа исходов событию АВ благоприятсвуеют: 3·3 = 9 исходов. Следовательно: ;
.Результаты в решениях совпадают.
Рассмотрим два
события А и В и пусть известны вероятности Р(А)
и РА(В).
Как найти вероятность совмещения этих
событий, т.е. вероятность того, что
появится и событие А и событие В.
Ответ на этот вопрос дает теорема умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже произошло:
. (2)
Доказательство. По формуле (1) имеем:
, отсюда (3)
Следствие 1. Применим формулу (2) с событию ВА:
(4)
Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
;
где – вероятность события An,
вычисленная в предположении, что события наступили.
Для трех событий А,В,С имеем: .
Порядок событий при этом безразличен.
Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу вынимают по одному шару 3 раза и не возвращают их обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем– синий (событие С).
Решение.
Вероятность появления белого шара в первом испытании: .
Вероятность появления черного шара во втором испытании, при условии, что белый шар уже вынули: .
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, при условии, что в первом появился белый, а во втором – черный шары: .
Искомая вероятность: .
Гмурман — Теория вероятностей и математическая статистика (Все учебники) — DJVU, страница 7 (472)
Файл «Гмурман — Теория вероятностей и математическая статистика» внутри архива находится в папке «!!!Книги по теории вероятности».
DJVU-файл из архива «Все учебники»,
который расположен в категории «».
Всё это находится в предмете «теория вероятностей и математическая статистика» из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «книги и методические указания», в предмете «теория вероятности» в общих файлах.
Глава третья ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 1. Произведение событий Произведением двух событий А и В называют событие ЛВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если Л вЂ” деталь годная,  — деталь окрашенная, то А — деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Например, если А, В, С вЂ” появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС— выпадение «герба» во всех трех испытаниях. ф 2.
Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий 5. Условной вероятностью Рл (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Пример, В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно, Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
После первого испытания а урне осталось 5 шаров вэ ннх 3 белых. Искомая условная вероятность Рл (В) 3/5. Этот же реэультат можно получить по формуле Рл (В)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А) > О). (*) Действительно. вероятность появления белого шара прн первом ис- пмтаннв Р (А) =3/6=1/2. Найдем вероятность Р(АВ) того, что в первом испытании по- явится черный шар, а во втором — белый.Общее число нсходов— совместного появления двух шаров, беэраэлично какого цвета. равно числу размещений А~э 6 5 30. Иэ этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3.3 9 исходов. Следовательно, Р (АВ) = 9/30 3/10. Искомая условная вероятность Рл (В) Р (АВ)/Р (А) = (3/) О)/(! /2) 3/5. Квк водим, получек прежний результат.
Исходя нз классического определения вероятности, формулу (н) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения. Условная вероюпнсс/пв события В яри условии, что событие А уже наступило, по определению, равна Рл (В) = Р (АВ)/Р (А) (Р (А) > 0).
е. вероятность того, что появится н событие А н событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения. Теорема. Вероятноопв совмесягного появления двух собвюшй равна произведению еероятноспш одного иг них ни условную еерояаиинэпв другого, вэкисленную в предполоясеяии, чяю первое собыпше )рйе наступило: Р (АВ) =* Р (А) Рл (В). Доказательство. По определению условной вероятности, Рг (В) Р (А В)/Р (А). 36 Отсюда Р(АВ)=Р(А) Р„(В).
(в) Замечание. Применив формулу (») к событию ВА, получым Р (ВА) = Р (В) Ра (А), нли, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, Р (АВ)=Р (В) Рв(А) (»») Сравнивая формулы (») и (»»), заключаем о справедливости ра- венства Р (А) Рл (В) Р (В) Рв (А). ( ) С л е д с т в и е. Вероятность совжестного появления нескольких собьапий равна произведению вероятности одного из них на условньге вероятности всех оспихаьнзгх, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие событияузке появи- лись: Р(А,А,А .
где Рл,л, и (А„) — вероятность события А„, вычислен- ная в предположении, что события А„А„…, А„, на- ступилн. В частности, для трех событий Р (АВС) = Р (А) Рл (В) Рлв (С). Заметим, что порядок, в котором расположены событии, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым н т. д.
Пример 1. У сборщика имеется 3 коиусиых и 7 зллиптическнх валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков-коиусный, а второй зллиптический. Решение. Вероятность того, что первый валик окажется коыусным (событие А), Р (А) = 3/1О. Вероятность того, что второй валин окажется зллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валек кокусный, т.
е. условыая вероятность Рл (В) =7/9. По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ)=Р (А) Рл (В) =(3/10) (7/9) =7/30. Заметим, что, сохранив обозыачеыиа, легко найдем: Р (В)* 7/10. Рв (А) = 3/9, Р (В) Рв (А) = 7/30, что ыаглядно иллкктри руст справедливостьь равенства (»»»).
Првмер 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том. что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найтк вероятность того, что прк первом нспытаннн появится белый шар (событне А), прн втором — черный (событне В) и прн третьем — синий (событне С).
Р е ш е и и е. Вероятность появления белого шара в первом испытании Р (А) = 5/12. Вероятность появлення черного шара во втором испытании. вычисленная в предположеннн, что в первом нспытаннн появился белый шар, т. е. условная вероятность Рл (и) =4Л( Вероятность появленкя синего шара в третьем испытании, вычнсленная в предположении, что в первом нспытаннн появнлся белый шар, а во втором — черный„т. е. условная вероятность Рлв (С) =3/Ю. Искомая вероятность Р (Авс) =Р (А) Ф„(в) Рлв (с) =(5ВВ) (4В Ц.(зВо) =)Да.
$4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.
е. если условная вероятность события В равна его беауслонной вероятности: Р„(В) = Р (В). («) Подставив (е) в соотношение (ееа) предыдущего параграфа, получим Р(А) Р(В) =Р(В) Рв(А). Отсюда Рв (А) = Р (А), т. е, условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события В.
Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; зто означает, что свойство независимости событий взаимно. Для независимых событий теорема умножения Р(АВ)=Р(А) Рл(В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (ии) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (ии) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.
Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы. Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7. Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,7 0,8 = 0,56. Замена н ие 1. Если события А и В независимы, то независимы таиже события А и В, А и В, А и В. Действительно, А = АВ+ АВ. Следовательно, Р (А) = Р (А В) + Р (АВ), или Р (А) = Р (АВ) + Р (А) Р (В). Отсюда Р (А В) = Р (А) (1 — Р (Врп или Р (АВ) = Р (А) Р (В)„ т.
е. события А и В независимы. Независимость событий А и В, А и  — следствие доказанного утверждения. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события АиВ,АиС,ВиС.
Для того чтобы обобщить теорему умножения на не- сколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности. 41 Несколько собьииий называют кезаэисимими в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два нз иих и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события А„А„А, независимы в совокупности, то независимы события А и А, А, и А„А, и А,; А, и А,А„ А и А,А„А, и А,А . Из сказанного следует, что если события независимй в совокупности, то условная вероятность появления любого события нз них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.
В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости. Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один †красный цвет (А), один— в синий цвет (В), один †черный цвет (С) и один †все эти три цвета (АВС).
Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет? Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р(А) = 2/4 = 1~2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) =1/2, Р(С) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е.
событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет к асный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? з двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна 1~2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следом- тельно, события А и В независимы.
Аналогично придем к выводу, что события А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы. Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается„нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет.
Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит.
— В урне 2 белых, 3 красных и 5 черных шаров. Проблема
$\begingroup$
В урне 2 белых, 3 красных и 5 черных шаров. Случайным образом вынимаются 3 шара, по одному и без замены.
Рассчитайте вероятность извлечения последовательности цветов (белый, черный, красный), зная, что вы извлекли черный шар.
решение
Пусть E будет событием, относящимся к указанной последовательности цветов. Требуемая вероятность есть $P(E|X= 1)$, откуда следует $P(E|X= 1) = \frac{P(E⋂(X=1))}{P(X=1)} = \ frac {P (E)} {P (X = 1)} \ overset {(question1)} {=} \ frac {\ frac {2} {10} \ frac {5} {9}} \ гидроразрыва {3} {8}} {\ гидроразрыва {5} {12}} = \ гидроразрыва {1} {24}} {\ гидроразрыва {5} {12}} = \ гидроразрыва {1} { 10}$
вопрос 1 Если последовательность (белое, черное, красное) в числителе, у нас не должно быть: $\frac{3}{10}\frac{5}{9}\frac{2}{8}$ в конце результата то же самое, но, конечно, рассуждения для его получения разные.
Какие рассуждения могут быть сделаны в решении?
А в знаменателе почему $\frac{5}{12}$. $P(X=1)$ указывает вероятность извлечения черного шара. Это не должно быть $\frac{5}{10}$
- вероятность
$\endgroup$
10
$\begingroup$
Начните с вычисления вероятности извлечения черного шара. Вероятность того, что ни один из черных шаров не будет извлечен, равна $\frac{1}{2} \frac{4}{9} \frac{3}{8} = \frac{1}{12}$. Следовательно, вероятность того, что будет извлечен черный шар, равна $1 — \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
Теперь вычислите вероятность появления последовательности (белое, черное, красное). Это просто: $\frac{1}{5} \frac{5}{9} \frac{3}{8} = \frac{1}{24}$.
Таким образом, искомая условная вероятность равна $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{11}{12}} = \boxed{\frac{1}{22}}$.
Редактировать: предположим, что вместо «черный шар» нас интересует условие, что «вытягивается ровно один черный шар». Для этого учтите, что количество перестановок трех выбранных шаров (независимо от цвета и при условии, что они различимы) равно $(10) (9) (8) = 720$. Чтобы извлечь ровно один черный шар, мы должны выбрать его из $5$ вариантов и выбрать одну позицию из $3$ возможных. Затем для первой невыбранной позиции мы выбираем один из $5$ нечерных шаров, а для последней позиции мы выбираем один из оставшихся $4$ нечерных шаров. Количество способов $(5) (3) (5) (4) = 300$. Вероятность извлечения ровно один черный шар равен $\frac{300}{720} = \frac{5}{12}$. И желаемая условная вероятность будет $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{5}{24}} = \boxed{\frac{1}{10}}$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Суммарная Вселенная равна 10$ \х9\х8 =720$
Часть Вселенной исключена: мы знаем, что по крайней мере один шар черный.
Таким образом, все комбинации, основанные только на красном+белом, исключаются: комбинации $5\times 4\times 3 =60$ исключаются.
Таким образом, Вселенная уменьшается до $720-60=660$
Количество комбинаций, совпадающих с последовательностью (белое, черное, красное), равно $2 \times 5 \times 3= 30$
Таким образом, вероятность равна $\frac { 30}{660}=\frac{1}{22}$
Условная вероятность означает, что вы разделите одну дробь на другую. Это слишком сложно. Легче разделить целое число (количество успехов) на другое целое число (размер ограниченной вселенной).
$\endgroup$
ВОПРОС 3 В урне A 5 белых и черных шаров; В урне B 3 белых и 12 черных шаров. Подбрасывается честная монета. Если выпал орел, то выбирается шар из урны A, а если выпадает решка, то из урны B вынимается шар. Если выбран белый шар, какова вероятность того, что монета выпадет решкой? 37 33 2
Вопрос
Пошаговый ответ
ВОПРОС 3 В урне A 5 белых и черных шаров; В урне B 3 белых и 12 черных шаров.
Подбрасывается честная монета. Если выпал орел, то шар из урны A i…ВОПРОС 3 В урне A 5 белых и черных шаров; В урне B 3 белых и 12 черных шаров. Подбрасывается честная монета. Если выпал орел, то выбирается шар из урны A, а если выпадает решка, то из урны B вынимается шар. Если выбран белый шар, какова вероятность того, что монета выпадет решкой? 37 33 2
Видеоответ:
Решено проверенным экспертом
Вопрос о лучшем совпадении:
ВОПРОС 3 В урне A 5 белых и черных шаров; В урне B 3 белых и 12 черных шаров. Подбрасывается честная монета. Если выпал орел, то выбирается шар из урны A, а если выпадает решка, то из урны B вынимается шар. Если выбран белый шар, какова вероятность того, что монета выпадет решкой? 37 33 2
Рекомендуемые видео
Стенограмма
Итак, у нас есть два заработка A. И B. И первый шаг эксперимента — подбрасывание монеты. Так что орел или решка — это результат монеты, и вероятность каждого выпадения составляет 1/2.
Это честная монета. Вы знаете, если мы бросаем головы или бросаем головы, то мы выбираем заработать A. И получить белую или черную дыру. Я могу заниматься. Всего белых шаров семь из двенадцати. Это мое тестовое пространство. пять плюс 7 и черный шар 7/12. Каждая ветвь древовидной диаграммы должна складываться, чтобы дать мне одну. Теперь, если я выберу или получу решку, я скорее выберу ее Б. И снова она может быть белой или черной. Шариков там три белых из 15, 3 плюс 12. Итак, белых будет три из 15, а черных будет 12 из 15. Опять же солнце здесь одно. Я хочу разобраться с тем, что мяч белый. Так что все, что мне нужно сделать, это определить ветвь или ветви, где я вижу белый цвет, так почему он может быть здесь. Так что я делаю один тайм 5/12. Слова на этот раз это И это будет 5/24. И белый также может быть здесь один раз в три раза из 15, что будет три из 30. Другими словами, это раз это. Теперь мы точно знаем, что мяч был белым, как вам сказали. Значит, либо это произошло, либо это произошло.
Больше ничего не произошло. Таким образом, мое выборочное пространство уменьшается с единицы до суммы этих двух чисел. Теперь, если я посчитаю это на калькуляторе, пять разделить на 24 плюс три разделить на 30 или 1 десятую и представить это в виде дроби, равной 37. Таким образом, получится 37 из 1 20. Если я сложим эти две дроби теперь я хочу вычислить вероятность того, что монета выпадет решкой. Итак, P от решки, если мяч белый. Таким образом, мое выборочное пространство — это вероятность того, что мяч окажется белым. Это 37 из 120, а хвостовая ветвь здесь, здесь, решка, здесь. Итак, я хочу, чтобы произошло 3/30. Итак, 3/30 сверху и снизу вашего пространства для выборки, так что я получаю 3/10, деленное на мой предыдущий ответ, и то, что я получаю, равно 0,97297 и т. д. и услышать то, что они хотят, на самом деле дробь. Так что давайте просто превратим это в дробь. И то, что мы получаем, это 36/37. Хорошо, давайте проверим это еще раз, потому что этого нет в списке. Хорошо, я нашел ошибку, которую мы сделали здесь.