§ 12. Повторные независимые испытания
Формула Бернулли. В теории вероятностей любое случайное событие рассматривается как результат некоторого опыта. Если один и тот же опыт повторять неоднократно, то можно сказать, что проведено n повторных опытов или испытаний, в каждом из которых случайное событие А может появиться или не появиться.
Определение 12.1. Если вероятность появления случайного события А в каждом отдельном испытании не зависит от исхода других, то испытания называются независимыми.
В теории вероятностей, особенно при практическом ее применении, часто приходится решать задачи, связанные с повторными независимыми испытаниями. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность: любого заданного числа k появления события А в результате серии n независимых повторных испытаний.
Определение
12.2. Серия из n
независимых испытаний, в каждом из
которых некоторое событие А имеет одну
и ту же вероятность Р(А)=p,
независимо от номера испытания, называется
схемой Бернулли, или схемой повторных
испытаний.
Якоб Бернулли (1654–1705) – швейцарский ученый, профессор Базельского университета. Дадим математическую формулировку задачи, возникающей в схеме Бернулли.
Пример 12.1. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Вероятность появления события А в каждом единичном испытании постоянна и равна p, а вероятность непоявления q=1-p. Найти вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно k раз.
Ситуация, возникающая в схеме Бернулли, является весьма жизненной и потому исследование этой схемы в первую очередь привлекло внимание математиков, т.к. в последнее время повышено внимание к контролю качества выпускаемой продукции.
Теорема 12.1 (Бернулли). Вероятность сложного события, состоящего в том, что при n испытаниях, соответствующих схеме Бернулли, событие А, имеющее одну и ту же вероятность Р(А)=p для каждого отдельного испытания, появится ровно k раз, где 0kn, безразлично в какой последовательности, её можно вычислить по формуле
Доказательство.
Элементарными
исходами испытаний являются: событие
Аi – появление события А в i испытании:
i=1,2,…,n; событие i –
непоявление события А в i-м испытании,
где i=1,2,…,n. Значит Р(Аi)=p;
Р(i)=1-p=q.
Пусть событие А имело место в первых k испытаниях и не произошло в (n-k) последующих, т.е. по определению произведения событий произошло сложное событие В:
Так как испытания независимые, то применяя теорему умножения вероятностей, получим
.
Появления события А ровно k раз и события ровно (n-k) раз с такой же вероятностью возможно и в любой другой последовательности. Число способов появления сложного события, состоящего в появлении события
Рn(k)= pk·qn—k+ pk·qn—k+…+ pk·qn—k =
Сpk·qn—k.
С
– это формула Бернулли.
Еще раз перечислим параметры, входящие в эту формулу: p – вероятность появления события А в каждом испытании; q – вероятность противоположного события ;n – число проведенных испытаний; k – число появлений события А, иногда называемое частотой события А, принимающее значения k=0,1,2,…,n.
Пример 12.2. Всхожесть семян некоторого сорта растений равна 80%. Для опыта отбирается 5 семян. Определить вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастет 3 семени? не менее 3?
Будем считать высев 5 семян проведением пяти независимых испытаний. Для каждого из 5 посеянных семян вероятность прорасти постоянна Р(А)=0,8. Вероятность противоположного события Р()=1-Р(А)=0,2. Событие А – семя взошло;– семя не взошло. Надо найти Р5(3), т.е. вероятность того, что в 5 испытаниях событие А появится ровно 3 раза. Значит, n=5; p=0,8; q=0,2; k=3. По формуле Бернулли имеем:
Р5(3)=С·(0,8)3·(0,2)2=·0,512·0,04=0,204820,5%.
Р5(4)=С(0,8)4·(0,2)=·0,4096·0,2=0,4096.
Р5(5)=С·(0,8)5·(0,2)0=0,32768.
Р5(k3)=Р5(3)+ Р5(4)+ Р5(5)=0,02048+0,4096+0,32768=0,94208.
Ответ: 1) Вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее трех семян, равна 94,2%. 2) Вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастет ровно 3, равна 20,5%.
Формула Бернулли
Билет 1Основное правило комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.
Билет
2 Классификация
событий. Пространство элементарных
событий. Действия над событиями. Свойства
операций над событиями.
Диаграммы Венна.
Действия над событиями.
Диаграммы Венна
Билет 3 Классическое определение вероятности события, свойства вероятности; статистическое определение вероятности. Теорема Бернулли.
Статистическое определение вероятности. Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.
В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний
.
Пусть
производится независимых
испытаний, в каждом из которых
событие может
появиться либо не появиться. Кроме того,
будем предполагать, что вероятность
события в каждом отдельном испытании
одна и та же и равна (соответственно,
вероятность того, что событие в
каждом отдельном испытании не наступит,
также постоянна и равна ).
Тогда
вероятность того, что событие в независимых
испытаниях произойдет ровно раз,
равна
.
Данная
формула называется формулой
Бернулли.
!!!(Есть еще теорема Бернулли (ниже), но я все же думаю, что он эту формулу имел в виду)
Билет 4
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Билет 5 Формула полной вероятности. Формула Байеса.Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли, наиболее вероятное число успехов.
Теорема(формула Бернулли). Обозначим через Pn(m) вероятность того, что событие А наступило m раз в n испытаниях. Вероятность Pn(m) определяется формулой
Pn(m) = Cnm *pm *qn—m
Определение.
Число
наступлений события А называется
наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую
вероятность по сравнению с вероятностями
наступления события А любое другое
количество раз. Наивероятнейшее число
m0 наступлений события А в n испытаниях
заключено в интервале np — q <= m0 <=np + p Если np- q −целое число, то
наивероятнейших числа два np — q и np+ p .
Приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Pn (m) появления события A при большом числе испытаний n. Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более, если учесть, что сами p и q – числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые, пусть даже и приближенные, формулы для вычисления Pn (m) при больших n.
Наиболее известными являются формулы Пуассона и Муавра- Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа
(локальная).
Если вероятность наступления
события А в каждом из n
независимых испытаниях равна р и отлична
от нуля и единицы, а число испытаний
достаточно велико, то вероятность Pn
(m),
того, что в n
испытаниях события А наступит m
раз, приближенно равна
P= (1/√(npq))*φ(x), где x=(m-np)/√(npq) , а функция φ – функция Гаусса(см. в таблице значений) ϕ(x) является четной, ϕ(x) –монотонно убывающая при положительных значениях x и при x>4 функция приближенно равна 0.
Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между m1 и m2 приближенно равна
P(m1<m<m2)=1/2(Ф(x2) – Ф(x1)), где xi = (mi-np)/√(npq) и i=1,2. нечетная функция.
Теорема (Пуассона).
Предположим, что произведение np остается
постоянной величиной, когда n неограниченно
возрастает.
Обозначим λ = np. Тогда для
любого фиксированного m и любого
постоянного λ:
, Где λ = np.
р — Домашнее задание по вероятности независимых событий с биномиальным распределением
Задавать вопрос
спросил
Изменено 4 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 268 раз
$\begingroup$
Я решаю следующее домашнее задание:
Есть 2 корзины: A и B, и вероятность того, что шарик попадет в ячейку A, на 30% выше, чем в ячейку B.
15 шаров находятся независимо друг от друга. распределяется по бакам. Какова вероятность того, что ровно 10 шаров окажутся в одной корзине?
Вот мое решение:
P(A) + P(B) = 1 Р(А) - Р(В) = 0,3
Итак, вероятности
P(A) = 0,65 Р(В) = 0,35
Затем
P{10 шаров помещаются в одну корзину} =
P{10 шаров помещаются в корзину A} + P{10 шаров помещаются в корзину B}
Использование биномиального распределения для мяча, который нужно поместить в корзину
X ~ Биномиальное (15, 0,65), Y ~ Биномиальное (15, 0,35)
Р{Х = 10} + Р{У = 10}
Я получаю следующее число (я использую R для расчетов):
> dbinom(10, 15, 0,65) + dbinom(10, 15, 0,35) [1] 0,2219504
Это выглядит правильно?
- r
- вероятность
- самообучение
- биномиальное распределение
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Все правильно.
За исключением того, что фраза «вероятность того, что мяч окажется в ячейке A, на 30% выше, чем в ячейке B», неоднозначна. Это может означать либо $P(A)-P(B)=0,3$, либо $P(A)=1,3P(B)$.
В идеале нужно сказать пару слов о несовместимости событий $(X=10)$ и $(Y=10)$, чтобы можно было просуммировать их вероятности (что, очевидно, так и есть).
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
9Статистика 0000 — Вероятность того, что после N испытаний произойдет не менее k различных событийспросил
Изменено 6 лет, 3 месяца назад
Просмотрено 994 раза
$\begingroup$
Для конечного набора $|S|$ различных событий, каждое из которых имеет вероятность возникновения $1/|S|$, какова вероятность того, что после N испытаний произойдет не менее k различных событий? Для каждого испытания гарантированно произойдет ровно одно событие. События повторяются.
Например, $S = \{дождь, солнце, снег\}$. Какова вероятность того, что через $N=10$ дней произошло не менее $k=2$ различных типов погоды?
В моей конкретной задаче $|S| = 35$, поэтому предпочтительнее метод аппроксимации.