Вектор это что: что это такое в математике, физике и IT

Говорите просто – макет для печати. Это означает и то, что он соответствует всем требованиям под выбранный метод печати, и то, что он в векторе, шрифты в кривых, а слоёв нет (если это применимо). «В векторе», «в кривых», «в слоях» – это профессиональный жаргон, и не всегда понятно, что имеется в виду.

Если вам нужен файл, который может редактировать дизайнер, просите исходник. Если исходник в фотошопе – он будет в слоях. У вас должна стоять та же программа, часто той же версии или новее. Из одного формата в другой исходник не пересохранить – в этом его смысл – только так он максимально редактируемый.

Что такое dpi? 300 dpi – это много?

Dpi – что это? 300 dpi – это много или мало? Разбираемся вместе

Сколько весит фото?

Сколько должно весить хорошее фото? Как определиться с настройками сохранения фотографий.

Словарь полиграфических терминов

Что такое CMYK, RGB, макет, эскиз, исходник, вылеты, растр, вектор и так далее

вектор по математике — определение, умножение и примеры (видео)

Написано

Malcolm McKinsey

12 января 2023

Проверка по фактам

Paul Mazzola

Определение вектора

A Vector . величина в математике, которая имеет величину  (расстояние, скорость или размер) и направление (как на стрелке компаса, например, запад, вверх, юго-восток, вниз или север через северо-запад).

Переплывая бухту на лодке, вы можете думать, что плывете прямо на юг со скоростью 3 узла, но если приливы отступают, вы можете двигаться со скоростью 5 узлов на юго-восток.

Вектор или несколько векторов, работающих вместе, будут учитывать расстояние, которое вы гребете, вашу скорость и фактическое направление.

Символ вектора

Для представления векторов математики, физики и инженеры используют лучи, обозначая их строчными или прописными буквами, например:

Советы по маркировке векторов

• Все векторы называются от конца (начальной точки) до конца стрелки, поэтому у нас есть вектор AB , а не вектор BA .

• Если вы маркируете свои векторы, решение использовать прописные или строчные буквы остается за вами; если вам даны векторы, обратите внимание на направление вектора (посмотрите на стрелки).

• Векторы могут быть параллельны и указывать в одном или противоположном направлении (посмотрите на стрелки).

• Векторы одинаковой величины, но направленные в противоположные стороны, являются противоположными, поэтому вектор b можно также записать как -a , что отрицает величину a.

Вектор единичной длины называется единичным вектором и обозначается так называемой шляпой: ˆ

Сложение и вычитание векторов

Простая векторная математика не слишком сложна.

Чтобы добавить векторы, мы соединяем хвост одного вектора с головой другого, используя стрелку. Прямой луч, соединяющий два вектора, является равнодействующим, r , как на этом рисунке:

Добавляем вектор CD к вектору EF и получаем результат r .

Вот загадка: этот рисунок дает те же результаты, что и предыдущий?

Здесь мы добавляем вектор EF к вектору CD и еще получаем результирующее r . Векторы подчиняются тем же правилам арифметики, что и целые числа (в данном случае свойство коммутативности).

В реальном мире два путешествия вдоль векторов могут показать совершенно разные пейзажи. В математике, поскольку два вектора не изменили своего направления или величины, результаты идентичны: CD + EF = EF + CD = r .

Вычитание вектора состоит всего из двух шагов:

1. инвертируйте вектор, который вы хотите вычесть

2. затем сложите два вектора вместе

0017 IL , показывающий маршрут, по которому, как мы думали, мы плывем на парусной лодке:

Мы не осознавали, что течение было сильным; мы заблудились в тумане; солнце ослепляло. По какой-то причине вместо того, чтобы следовать вектору IL , мы пошли в направлении , противоположном . Поэтому вместо добавления вектора IL нам нужно его вычесть. Мы делаем это, инвертируя вектор IL и добавляя его к вектору SA :

Умножая векторы на скаляр

Умножение вектора на скаляр (действительное число) называется скалярным умножением .

Векторы состоят из двух частей (величина и направление), но мы не можем умножить направление. Это не имеет смысла: два «юга» не обращены к югу больше, чем один «юг». Но мы можем умножить величину вектора:

• Умножение вектора на положительное целочисленное скалярное значение > 1 дает больший вектор.

• Умножение вектора на отрицательный целочисленный скаляр < −1 дает больший вектор в направлении , противоположном .

• Умножение векторов на 1 возвращает тот же вектор ( 0 смещение).

• Умножение вектора на положительный дробный скаляр < 1 дает меньший вектор.

• Умножение вектора на отрицательный дробный скаляр > −1 дает меньший вектор в направлении , противоположном .

Два вектора также можно умножить друг на друга с помощью векторного произведения или скалярного произведения.

Умножение двух векторов методом перекрестного произведения дает новый вектор, а скалярное произведение дает число, иногда называемое скалярным произведением.

Величина вектора

Величина вектора отображается как абсолютное значение, |а| или двумя строками, чтобы не спутать его с абсолютным значением, | |а|| .

Если вы знаете значения оси x и оси y вектора (как если бы он был на карте или в декартовой системе координат), вы можете легко вычислить его величину, применив теорему Пифагора к изменению положения от хвоста к наконечнику .0017 6  и изменение значения y на 4 , поэтому:

Величина вектора равна 7,2111 единиц .

Единица измерения определяется тем, что вы измеряете; дюймы, километры, мили в час (миль/ч) и т. д. Итак, если бы мы просто измерили расстояние в милях, то 7,2111 миль  было бы длиной вектора.

Скаляр против векторов

Чтобы было ясно, скалярные  величины — это только величины: масса, температура, скорость, объем, расстояние, энергия, работа и т. д. Думайте о них как о чистых числах.

Послушайте или прочитайте внимательно: Услышать или прочитать две величины, например скорость и  направление? Тогда вы имеете дело с вектором. Не читаешь и не слышишь две величины? Вероятно, вы имеете дело со скаляром.

Векторы смещения

Летающие супергерои редко выбирают кратчайший путь от Дэйли Бьюгл или Дэйли Плэнет до катастрофы того дня. Они налетают, петляют, прыгают и перекатываются, прежде чем, наконец, прибывают в самый последний момент.

Если бы мы использовали векторы для определения курса летающего супергероя, нам потребовалось бы пять или шесть векторов, чтобы учесть все эти обходные пути. А вектор смещения  от начала до конца пересекает прямую линию:

Смещение в этом значении исходит из физики, означая изменение положения по сравнению с начальным положением.

Вы суете правую руку; вы убираете правую руку: нулевое смещение. Ты ча-ча три шага влево и два шага вправо: Вектор смещения на один шаг влево.

На этом рисунке мы видим, что вектор смещения также является результирующим.

Расчет смещения по-прежнему вектор n + вектор v = r , потому что векторы a и y отрицают друг друга!

Вы можете подумать, что мы потратили много усилий, чтобы преодолеть такое небольшое расстояние, но что, если бы мы находились на корабле ВМФ и должны были бы перемещаться вокруг пристани или охраняемого заповедника? Тогда мы можем увидеть, что это действительно был кратчайший путь

Примеры векторов

Все эти измерения являются примерами векторов, поскольку все они включают расстояние или размер силы и направление:

• Velocity

• Force

• Acceleration

• Momentum

• Displacement

Commercial airliners, fighter jets, boats, cars, bicyclists, runners, falling objects, rockets, hot air воздушные шары, бумажные самолетики и подводные лодки — все это примеры движущихся объектов, использующих векторы в повседневной жизни.

Пилоты и штурманы должны использовать векторы, чтобы добраться до места назначения. Ученые-ракетчики и аэрокосмические инженеры используют векторы для управления ракетами.

Существует одно исключение для векторов, имеющих длину и направление, и это нулевой вектор. Нулевой вектор не имеет длины, поэтому он не указывает ни в каком конкретном направлении. Это означает, что нулевой вектор имеет неопределенное направление.

Основные векторные задачи

1. Что произойдет, если мы умножим вектор на 4 ? Надеемся, вы сказали, что он будет указывать в том же направлении, но будет в четыре раза длиннее!

2. Является ли «25 узлов к югу на юго-запад» скаляром или вектором? Это вектор, поскольку он дает величину и направление.

3. Что произойдет с вектором, если мы умножим его на −12-\frac{1}{2}−21​? Мы надеемся, вы сказали, что он будет вдвое короче и пойдет в противоположном направлении!

4. Два вектора параллельны, но направлены в противоположные стороны. Один вектор z . Какой другой вектор? Мы надеемся, что вы помните об отрицании векторов, назвав его -z

Что такое вектор в линейной алгебре?

спросил 6 лет, 4 месяца назад

Изменено 6 месяцев назад

Просмотрено 24к раз

$\begingroup$

Я понимаю, что векторное пространство — это совокупность векторов, которые можно складывать и скалярно перемножать и которые удовлетворяют 8 аксиомам, однако я не знаю, что такое вектор.

Я знаю, что в физике вектор — это геометрический объект, который имеет величину и направление, а в информатике вектор — это контейнер, который содержит элементы, расширяется или сжимается, но в линейной алгебре определение вектора не слишком Чисто.

Итак, что такое вектор в линейной алгебре?

• линейная алгебра
• векторные пространства

$\endgroup$

10

$\begingroup$

В современной математике существует тенденция определять вещи с точки зрения того, что они делают , а не с точки зрения того, чем они являются .

В качестве примера предположим, что я утверждаю, что существуют объекты, называемые «пицкватами», которые подчиняются следующим законам:

• $\forall x. \навсегда ю. \существует з. х + у = г $
• $\существует х. х = 0$
• $\всего х. х + 0 = 0 + х = х $
• $\всего х. \навсегда ю. \forall з. (х + у) + г = х + (у + г)$
• $\всего х. х + х = 0$

Эти правила определяют, что делают пицкваты , говоря, каким правилам они подчиняются, но ничего не говорят о том, что такое пицкваты . Мы можем найти всевозможные вещи, которые мы могли бы назвать pizkwats. Например, мы могли бы представить, что pizkwats — это числа 0 и 1, сложение которых выполняется по модулю 2. Это также могут быть битовые строки длиной 137, где «сложение» означает «побитовое исключающее ИЛИ». Или это могут быть наборы, где «сложение» означает «симметричное различие». Каждая из этих групп объектов подчиняется правилам того, что делают пицкваты, но ни один из них не является пицкватом.

Преимущество этого подхода в том, что мы можем доказать результаты о пицкватах, зная только то, как они себя ведут, а не то, чем они являются по сути. Например, в качестве забавного упражнения проверьте, можете ли вы использовать приведенные выше правила, чтобы доказать, что

$\для всех х. \навсегда ю. х + у = у + х$.

Это означает, что все, что «действует как пицкват», должно поддерживать оператор коммутативного сложения. Точно так же мы могли бы доказать, что

$\для всех х. \навсегда ю. (x + y = 0 \rightarrow x = y)$.

Преимущество такой настройки состоит в том, что каждый раз, когда мы находим что-то, что «похоже на пицкват» в том смысле, что оно подчиняется приведенным выше правилам, мы гарантируем, что оно должно обладать некоторыми другими свойствами, а именно, что он коммутативен и что у каждого элемента есть свой уникальный обратный. Мы могли бы разработать целую сложную теорию о том, как ведут себя пицкваты и что они делают, просто основываясь на правилах их работы, и, поскольку мы специально никогда не говорили, что такое пицкваты.0358 , все, что мы находим похожим на пицкват, моментально попадает в нашу теорию.

В вашем случае вы спрашиваете, что такое вектор. В каком-то смысле не существует единственной вещи, называемой «вектором», потому что вектор — это просто то, что подчиняется набору правил. Но каждый раз, когда вы находите что-то похожее на вектор, вы тут же получаете кучу интересных фактов об этом — вы можете задавать вопросы о промежутках, об изменении базиса и т. д. — независимо от того, является ли эта вещь, на которую вы смотрите, вектором. в классическом смысле (список чисел или стрелка, указывающая куда-то) или вектор в более абстрактном смысле (скажем, функция, действующая как вектор в «векторном пространстве», состоящем из функций).0003

В качестве заключительного замечания Грант Сандерсон из 3blue1brown сделал отличное видео, рассказывающее о том, что такое векторы, в котором этот вопрос рассматривается более подробно.

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Когда мне было 14, я познакомился с векторами на курсе физики для первокурсников (на основе алгебры). Нам сказали, что это величина, имеющая величину и направление. Это такие вещи, как сила, импульс и электрическое поле.

Три года спустя в предварительном исчислении мы думали о них как о «точках», но со стрелками, исходящими из начала координат в эту точку. Еще одна вещь. Это была концепция, которая оставалась неизменной до тех пор, пока я еще два года спустя не взялся за линейную алгебру.

Но теперь, в абстрактном смысле, векторы не обязательно должны быть этими «стрелками». Они могут быть чем угодно: функциями, числами, матрицами, операторами, чем угодно. Когда мы строим векторные пространства (линейные пространства в других текстах), мы просто называем объекты векторами — какая разница, как они выглядят? Это имя абстрактного объекта. 92 < \infty $$

где интеграл взят в смысле Лебега.

Векторы — это то, чем мы их считаем в соответствующем контексте.

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Поначалу это может сбить с толку, но весь смысл абстрактного понятия векторов состоит в том, чтобы не сказать вам , что именно они собой представляют. На практике (то есть при использовании линейной алгебры в других областях математики и естественных наук, а есть много областей, в которых используется линейная алгебра) вектор может быть вещественной или комплекснозначной функцией, степенным рядом, сдвигом в Евклидово пространство, описание состояния квантово-механической системы или что-то совсем другое.

Причина, по которой все эти разнообразные вещи собраны под общим названием вектора, заключается в том, что для определенного типа вопросов обо всех этих вещах можно применить общий способ рассуждения ; вот что такое линейная алгебра. Во всех случаях должен существовать определенный (большой) набор векторов (векторное пространство, в котором живут векторы), а также должны быть определены операции сложения и скалярного умножения векторов. Что конкретно представляют собой эти операции, может варьироваться в зависимости от природы векторов. Определенные свойства должны сохраняться, чтобы служить основанием для рассуждений; эти аксиомы говорят, например, что должен быть выделенный «нулевой» вектор, нейтральный для сложения, что сложение векторов коммутативно (хороший курс линейной алгебры даст вам полный список).

Линейная алгебра расскажет вам, какие факты о векторах, сформулированные исключительно в терминах операций над векторным пространством, могут быть выведены исключительно из этих аксиом. Для некоторых видов векторов определено больше операций, чем только для линейной алгебры: например, степенные ряды можно перемножать (в то время как, как правило, нельзя перемножать два вектора), а функции позволяют говорить об ограничениях. Однако доказательство утверждений о таких операциях будет основываться на других фактах, а не на аксиомах линейной алгебры, и потребует различных рассуждений, адаптированных к каждому случаю. Напротив, линейная алгебра фокусируется на большом количестве общих свойств, которые могут быть получены точно таким же образом во всех примерах, потому что она не включает все эти дополнительные структуры, которые могут присутствовать. Именно по этой причине линейная алгебра говорит о векторах абстрактно и ограничивает свой язык операциями сложения и скалярного умножения (и другими понятиями, которые могут быть полностью определены в их терминах).

$\endgroup$

$\begingroup$

Элемент множества, наделенный определенной структурой, т. е. удовлетворяющий аксиомы векторного пространства.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Кажется, вы думаете, что вектор — это что-то другое в зависимости от области исследования, в которой вы работаете, но это не так. Определение вектора, которое вы изучаете в линейной алгебре, говорит вам все, что вам нужно знать о том, что такое вектор в любых условиях. Вектор — это просто элемент векторного пространства, точка. Векторное пространство равно 93$, к которому вы привыкли из физики, — это всего лишь один из примеров векторного пространства. Поэтому говорить, что вектор 90 357 — это 90 358 столбец чисел или геометрический объект с величиной и направлением, неверно. Это всего лишь конкретные примеры множества возможных векторов, которые существуют.

Я думаю, что вы ищете очень конкретное понятие о том, что такое вектор, тогда как вместо этого вы должны попытаться примирить, почему все типы векторов, которые вы уже привыкли использовать, на самом деле векторов в смысле истинного определения, которое вам дали в линейной алгебре.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Просто, чтобы помочь и понять изменение понятия от физики к линейной алгебре о векторах, не претендуя на строгость.
Учтите, что в физике (ньютоновской) вы рассматриваете евклидово пространство, поэтому вы можете говорить о величине. В линейной алгебре мы хотим иметь возможность определять вектор в более широком смысле, в системе отсчета, которая не обязательно является ортогональной, что называется аффинным пространством/подпространством. 9\to$ — упорядоченная пара точек, а вектор соответствует упорядоченному $n$-множеству разности их координат (вектору переноса). Таким образом, вектор является представителем всех отрезков, ориентированных в одном направлении, которые параллельны и имеют один и тот же «перевод» (а не модуль, который не определен или, лучше, не сохраняется при аффинной замене координат) .

$\endgroup$

$\begingroup$

Внутренние произведения не являются частью определения векторного пространства. Курс линейной алгебры, который всегда работает с базисами и матрицами, не будет утруждать себя их определением, поскольку базис конечномерного пространства всегда определяет скалярный продукт. Теоретический курс линейной алгебры будет , а не включают скалярное произведение в определение векторного пространства, но, вероятно, будут изучать их к концу семестра.

Вам, кажется, больше знакома «точечная» интерпретация. Таким образом, вектор — это просто точка. Но 90 357 как 90 358 точек несут дополнительную информацию, поскольку векторное пространство тоже имеет начало. Следовательно, каждая точка соответствует отрезку линии . Внутреннее произведение дает вектору 90 357 направление 90 358 от начала координат до точки, а внутреннее произведение также дает вектору величина. (Еще более подробно: каждый внутренний продукт автоматически определяет норму , а норма в основном является синонимом величины).

Конечно, легче сказать «направление вектора», чем «точка определяет отрезок прямой», но вы правы, что запутались — это много сокращений и пропущенных деталей, чтобы получить из элементарной математики элементов и устанавливает интуитивно понятные геометрические величины направлений и величин.

Каждый математик и физик свободно владеет этой стенографией и может применять ее точно по мере необходимости. Вы будете часто сталкиваться с этим в своей математической карьере, и вы всегда должны убеждать себя, что когда шаги пропущены, шаги честны и точны.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Канал YouTube 3Blue1Brown недавно выпустил удивительный короткий сериал на тему «Сущность линейной алгебры». Так получилось, что первая глава называется «Вектора, что это вообще такое?» и это выдающееся объяснение, гораздо более простое, чем любой из приведенных выше ответов: https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs

Хотя я настоятельно рекомендую просто посмотреть видео (поскольку векторы действительно лучше всего понимаются визуально), Я попытаюсь подытожить: векторы — это просто списки чисел, вот и все. Их можно использовать в геометрическом смысле (аналогично физическому смыслу, с которым вы уже знакомы в сетке), где каждое число представляет координаты относительно некоторых «осей» (формально называемых «базисными векторами»). В наиболее общем случае с базисными векторами $\hat{i}$, вектором длиной 1 единица, указывающим прямо вдоль оси x (представленным как $[1, 0]$), и $\hat{j} $ — вектор длиной 1 единица, ортогональный $\hat{j}$ и направленный вверх по оси y (представленный как $[0, 1]$), векторы — это просто координаты на плоскости. Таким образом, в этом случае $[1, 1]$ — это вектор, направленный вверх и вправо от начала координат к координате $(1, 1)$.

Видео также рассказывает о том, как векторы можно рассматривать как геометрические преобразования плоскости (например, сдавливание, растяжение, сдвиг или вращение), но это то, что вам действительно нужно увидеть, чтобы понять.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Ваш вопрос — прекрасный пример того, как работает современная математика и как возникли определенные понятия. В математике нет причудливого определения вектора, содержание значения того, каким должен быть вектор, было перенесено на другие объекты: математики абстрагировали определенные свойства «объектов», которые появляются в геометрии или физике. Это лучше соответствует аксиоматическим требованиям современной математики.

В конце 19 века «вектор» представлял собой упорядоченную пару (A,B) точек в аффинном пространстве. Это также называлось «фиксированным вектором», где можно представить (A, B) как стрелку, начинающуюся в точке A и заканчивающуюся острием в точке B. В современной дифференциальной геометрии можно найти некоторые реликты этой ситуации, когда «вектор» обычно указывается вместе с его базовой точкой, к которой он присоединен.

В механике появились так называемые «векторы линии-связи», векторы, которые считались эквивалентными, если они отличались только переносом по прямой через А и В (если А не равно В). «Свободные векторы» считались векторами, которые считались эквивалентными, если они отличались только переводом в аффинном пространстве. Свободные векторы могут представлять переводы. Переводы могут быть составлены и инвертированы — они образуют группу. Переводы можно масштабировать путем умножения на число.

Из этих свойств возникло то, что называется «векторным пространством». Из-за аксиоматических требований математики телегу ставят впереди лошади:

Во-первых, определяют — абстрактно — «векторное пространство» (над полем (K,+,0,$\cdot$,1)) как — группа (V,+,0), на которой K действует «совместно» посредством гомоморфизма (колец с единицей) из поля K в групповые эндоморфизмы V: (K,+,0,$\cdot$,1) $\to$ (Hom$_{Grp}$(V,V),+,0,$\circ$,id$_V$).