Вектор противоположный вектору а обозначается: Коллинеарные, равные, противоположные векторы — урок. Геометрия, 9 класс.

Содержание

Понятие о векторе | matematicus.ru

Вектор (векторная величина) – всякая величина, обладающая направлением.

Скаляр (скалярная величина) – величина, не обладающая направлением.

Пример вектора

Сила, действующая на материальную точку, есть вектор, так как обладает направлением. Например скорость, ускорение, перемещение.

А вот например температура есть скаляр, так как не связано c направлением. Масса, плотность, объём, площадь, время это тоже скаляр.

В аналитической геометрии направленный отрезок называется вектором.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Модуль есть скалярная величина.

О единичном векторе см. здесь

Вектор, началом которого служит A, а концом – B, обозначается , $\overrightarrow {AB} $ также обозначается одной буквой (эту букву печатают жирным шрифтом a, а на письме ставят черту $\left| {\bar a} \right|$).

Модуль вектора обозначается двумя вертикальными чертами слева и справа:

$\overrightarrow {AB} $, или |a| , или $\left| {\bar a} \right|$

Если начало A и конец B отрезка AB совпадают, то отрезок AB обращается в точку и теряет направление. Этот вектор называется нуль-вектором и считается коллинеарным и сонаправленным с любым вектором. Обозначается, как число нуль (знак 0).

Пример

Любая точка пространства может рассматриваться как нуль-вектор.

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых.

Неколлинеарные векторы – это векторы, не лежащие на параллельных прямых.

Другим словами параллельные вектора называются коллинеарными.

Векторы a, c, d – коллинеарны.

Векторы a и d – векторы имеющие одинаковое направление и их называют или сонаправленными или равнонаправленными векторами, а векторы a и c и векторы с и d называют противоположно направленными.

Компланарными векторами называют три вектора, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

На этом рисунке векторы a,b,c являются компланарными

На рисунке векторы m,n,p — некомпланарны

Смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0, т.е.

(a, b, c) = 0

Пример смешанного произведения трех компланарных векторов смотрите здесь

Два вектора a и b равны, если они равнонаправленные и имеют один и тот же модуль (длину).

Пример 1

На рисунке векторы a и b равны.

Пример 2

Векторы c и d не равны (даже если длины одинаковы), так как направления различны, следовательно и векторы c и a тоже не равны.

Векторы d и a равны.

Сонаправленные векторы — это коллинеарные вектора, направленные в одну сторону, т.е. совпадают направления.

Обозначение: a↑↑b

Два коллинеарных (параллельных) вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, т.е. друг другу называются противоположными векторами.

Вектор, противоположный вектору a, обозначается как –a.

Обозначение: a↑↓b

Пример

Векторы a и – a — противоположные.

Векторы — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Векторы

Понятие вектора
Равенство векторов
Откладывание вектора от данной точки
Сумма двух векторов
Законы сложения. Правило параллелограмма
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число

2. Понятие вектора

Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка
указывает направление силы, а длина отрезка
соответствует числовому значению силы.
8Н

3. Понятие вектора

Рассмотрим произвольный
отрезок. На нем можно указать
два направления.
Чтобы выбрать одно из
направлений, один конец отрезка
назовем НАЧАЛОМ, а другой –
КОНЦОМ и будем считать, что
отрезок направлен от начала к
концу.

Определение.
Отрезок, для
которого указано,
какой из его концов
считается началом,
а какой — концом,
называется
направленным
отрезком или
вектором.

4. Понятие вектора

На рисунках вектор изображается отрезком со
стрелкой
АВ
А
В
Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.
E
F
CD
D
L
K
C
EF
LK

5. Понятие вектора

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской
буквой со стрелкой над ней:
b
c
a
Любая точка плоскости также является вектором, который
называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с
его концом:
М
ММ = 0.

6. Понятие вектора

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ
называется длина отрезка АВ:
с
АВ = а = АВ = 5
В
a
с = 17
А
Длина нулевого вектора считается равной нулю:
ММ = 0.
М

7. Коллинеарные векторы

а
Ненулевые векторы
называются
c
коллинеарными,
если они лежат либо на
одной прямой, либо на
параллельных прямых.

Коллинеарные векторы
могут быть
сонаправленными или
противоположно
направленными.
Нулевой вектор
считается коллинеарным
любому вектору.
b
m
d
s
n
L

8. Равенство векторов

1)
2)
Определение.
Векторы
называются
равными, если
они сонаправлены
и их длины равны.
а = b , если
а
b
а = b
а
c
b
d
m
f
n
s

9. Откладывание вектора от данной точки

Если точка А – начало вектора а , то говорят,
что вектор а отложен от точки А.
А
а
Утверждение: От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному вектору а,
и притом только один.
М
а
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто
обозначают одной и той же буквой

10. Сумма двух векторов

Рассмотрим пример:
Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал
в кинотеатр(К).
B
D
K
В результате этих двух перемещений, которые
можно представить векторами DB и BK, Петя
переместился из точки D в К, т.

е. на вектор DК:
DK=DB+BK.
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

11. Сумма двух векторов

Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную
точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от
точки В отложим вектор ВС = b.
АС = а + b
b
B
a
a
A
b
C

12. Законы сложения векторов

1) а+b=b+a (переместительный закон)
Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой точки
АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах
построим параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
a
D
C
АС = АD + DС = b+a
b
a
2) (а+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)
b
A
b
a
B

13. Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
m
d
c
n
r
b
e
a
f
s
k
O
p
k+n+m+r+p=0

14. Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.

Определение. Вектор b называется противоположным
вектору а, если а и b имеют равные длины и
противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
a
b
B
c
-c
А
Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

15. Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b
называется такой вектор, сумма которого с вектором b
равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо
равенство а — b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
b
а
-b
-b
а
a-b

16. Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого
вектора а на число k называется такой вектор b, длина
которого равна вектору k а , причем векторы а и b
сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k<0.
а
-2a
3а
Произведением нулевого вектора на любое число считается
нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и
ka коллинеарны.

17. Умножение вектора на число

Для любых чисел k, n и любых векторов а, b
справедливы равенства:
1)
2)
3)
(kn) а = k (na) (сочетательный закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях,
содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов
на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в
числовых выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = — 5b + 4c

English Русский Правила

Векторов — Физика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 2007

Wendell Potter and David Webb et al.
Калифорнийский университет в Дэвисе

Вектор

— это величина с величиной и направлением. В этих примечаниях векторная величина будет обозначаться жирной буквой (например, вектор электрического поля $\mathbf{E}$). Графически векторы представлены прямыми стрелками. Длина стрелки обычно представляет величину вектора, и стрелка указывает в том же направлении, что и вектор.

Часто полезно комбинировать векторы путем сложения векторов. Например, если мы ищем общий импульс системы, мы добавляем все векторы импульса. Чтобы найти результирующую силу, действующую на объект, мы складываем векторы всех сил, действующих на объект. Чтобы найти полное электрическое поле в определенном месте, мы складываем вместе все векторы всех электрических полей в этом месте. Хотя все эти примеры относятся к разным физическим ситуациям, мы складываем векторы одинаково. Однако v секторы не складываются как числа!

Графическое дополнение

На приведенной ниже сетке показаны два вектора $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$.

Чтобы добавить эти векторы, мы соединяем стрелки вверх, чтобы создать «путь», по которому мы можем следовать, всегда двигаясь в направлении стрелок. Вектор $\mathbf{A + B}$ — это вектор, соединяющий начало этого пути с концом, как показано ниже.

Добавление компонентов

Другой метод добавления векторов заключается в разбиении вектора на компоненты. Хотя векторы складываются не так, как числа, это делают компоненты вектора. Разобьем этот вектор на $x$-

и $y$ — компоненты , которые являются наиболее распространенным выбором. Для этого мы должны выяснить, на сколько единиц вектор указывает вправо ($+x$) и на сколько единиц вектор указывает вверх ($+y$). Иногда для этого используется сетка, как в приведенном выше примере. В этом случае мы можем просто подсчитать количество единиц, но во многих ситуациях нам придется использовать тригонометрию, чтобы разбить вектор на компоненты. В приведенном выше примере

\[\textbf{A} = 6\textrm { единиц вправо, } -3 \textrm{ единиц вверх}\]

\[\textbf{B} = 4 \textrm{ единиц вправо, } 4 \textrm{ единиц вверх}\]

\[\textbf{A + B}= 10\textrm{ единиц вправо, } \mathbf{ 1 } \textrm{ unit up}\]

Чтобы вычесть $\mathbf{B}$ из $\mathbf{A}$, мы складываем векторов $\mathbf{A}$ и \ (\mathbf{-B}\).

$\mathbf{-B}$ является минусом $\mathbf{B}$, определяемым как $- \mathbf{B} \equiv (-1)\mathbf{B}$. Графически $- \mathbf{B}$ представляет собой стрелку с той же величиной, что и $\mathbf{B}$, но указывающую в противоположном направлении.

\[\mathbf{A — B} = \mathbf{A} + (\mathbf{-B})\]

Применение этого метода к компонентам вектора является допустимым способом математического вычитания векторов. Это дает нам

\[\textbf{A — B}= (6-4) \textrm{ единиц вправо, } (-3-4) \textrm{ единиц вверх}\]

\[\textbf{A — B} =2 \textrm{ единиц вправо, } -7 \textrm{ единиц вверх}\]

Величины $\mathbf{A}, \mathbf{B},$ и $\mathbf{A + B}$ обозначаются $|\mathbf{A}|, |\mathbf{B}|,$ и $|\mathbf{A + B}|$ соответственно. Используя теорему Пифагора, мы можем показать: 92} \text{ единиц} = 10,05 \textrm{ единиц}\]

В этом случае ясно видно, что величины векторов складываются не так, как числа, то есть $|\mathbf{A}| + |\mathbf{B}|\neq |\mathbf{A + B}|$.

То же верно и для вычитания $|\mathbf{A}| — |\mathbf{B}| \neq |\mathbf{A — B}|$.

Умножение вектора на положительное число изменяет величину вектора, но не меняет направление. Умножение $\mathbf{A}$ на 2 дает нам $\mathbf{2A}$, который указывает в том же направлении, что и $\mathbf{A}$, но вдвое длиннее.

Умножение вектора на отрицательное число изменяет величину вектора и заставляет его указывать в противоположном направлении. Вектор $\mathbf{-2A}$ в два раза длиннее вектора $\mathbf{A}$ и указывает в противоположном направлении.

Если мы умножим вектор на число с единицами измерения, конечный вектор также будет иметь величину с этими новыми единицами измерения. Рассмотрим это уравнение для силы Лоренца.

\[\mathbf{F} = q\mathbf{E}\]

Единицами $\mathbf{F}$ являются $\text{N}$. Единицами $q$ являются $\text{C}$. Единицы $\mathbf{E}$ равны $\dfrac{N}{C}$.

Если $q$ положителен, $\mathbf{F}$ и $\mathbf{E}$ имеют одно и то же направление.
Если $q$ отрицательно, $\mathbf{F}$ и $\mathbf{E}$ имеют направление, противоположное .

Ученые приняли специальные обозначения, помогающие рисовать векторы в трех измерениях, когда ваша бумага (или экран компьютера) имеет только два измерения. Векторы, указывающие в направлении, перпендикулярном странице, представлены следующими символами:

Символ слева с X представляет собой вектор, указывающий на страницу.
Символ справа с точкой представляет собой вектор, указывающий за пределы страницы.

Вопросы?

На этой странице представлен краткий обзор материалов, рассмотренных в курсе Physics 7B. Если вы все еще находите векторы запутанными, просмотрите свои заметки 7B или поговорите со своим ассистентом в рабочее время.

Эта страница под названием «Векторы» публикуется в соответствии с незаявленной лицензией и была создана, изменена и/или курирована Венделлом Поттером и Дэвидом Уэббом и др. .

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
UCD Physics 7 без Дины
Показать оглавление

нет
Теги
1. векторов

Важная тема: векторы — Infinity Learn

Введение:

Векторы — это геометрические объекты, имеющие величину и направление. Вектор можно представить в виде линии со стрелкой, указывающей в его направлении, а ее длина представляет собой величину вектора. Концепция векторов развивалась в течение 200 лет.

Далее, использование векторов началось в конце 19 века с появлением поля электромагнитной индукции. Здесь мы обсудим определение векторов, а также свойства векторов, формулы векторов и операции с векторами, используя решенные примеры для лучшего понимания.

Присоединяйтесь к программе регулярных занятий Infinity Learn!

Загрузите БЕСПЛАТНО PDF-файлы, решенные вопросы, работы за предыдущий год, викторины и головоломки!

+91

Проверить код OTP (обязательно)

Класс
— Класс 6Класс 7Класс 8Класс 9Класс 10Класс 11Класс 12

Шри Чайтанья Студент?
НетДа

Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.

Определение вектора:

Вектор — это латинское слово, означающее носитель. Векторы переносят точку A в точку B. Длина линии между двумя точками A и B называется величиной вектора , а направление смещения точки A в точку B называется . 0032 направление вектора AB. Векторы также называют евклидовыми векторами или пространственными векторами. Векторы имеют множество применений в математике, физике, технике и других областях.

Пример: Векторы играют важную роль в физике. Например, скорость, смещение, ускорение, сила — все это векторные величины, которые имеют не только направление, но и величину.

Представление вектора:

Векторы представлены жирным шрифтом в нижнем регистре, например a или с помощью стрелки над буквой, например

. Векторы также могут быть обозначены их начальной и конечной точками со стрелкой над ними, например, вектор AB может быть обозначен как Стандартная форма представления вектора. Здесь a, b, c — скалярные значения и единичные векторы вдоль оси x, оси y и оси z соответственно.

Начальная точка вектора также называется хвостом , а конечная точка называется головой . Векторы описывают перемещение объекта из одного места в другое. В декартовой системе координат векторы можно обозначать упорядоченными парами. Точно так же векторы в «n» измерениях могут быть обозначены кортежем «n». Векторы также идентифицируются набором компонентов, которые являются скалярными коэффициентами для набора базисных векторов. Базисные векторы обозначаются как: e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

Величина векторов:

Величина a вектор можно вычислить, взяв квадратный корень из суммы квадратов его компонентов. Если (x, y, z) компоненты вектора A , тогда формула величины A определяется как: Величина вектора является скалярным значением.

Угол между двумя векторами можно рассчитать по формуле скалярного произведения. Рассмотрим два вектора a и b и угол между ними θ. Затем скалярное произведение двух векторов, таких как a · b = | и || б | cosθ.

Нам нужно определить значение угла θ, например

θ = cos ^-1 [(a · b)/|a||b|]

Определим несколько типов векторов и их свойства:

Нулевые векторы: — Векторы которые имеют нулевую величину, называются нулевыми векторами и обозначаются = (0,0,0). Этот вектор имеет нулевую величину и не имеет направления. Его также называют аддитивной идентичностью векторов.
Единичные векторы:- Векторы, величина которых равна 1, называются единичными векторами и обозначаются â . Его также называют мультипликативной идентичностью векторов. Величина единичного вектора равна 1. Обычно она используется для обозначения направления вектора.
Векторы положения:- Векторы положения используются для определения положения и направления движения векторов в трехмерном пространстве. Величина и направление векторов положения могут быть изменены. Его также называют вектором местоположения.
Равные векторы:- Два или более вектора считаются равными, если равны их соответствующие компоненты. Равные векторы имеют одинаковую величину и направление.
Отрицательный вектор:- Вектор называется отрицательным по отношению к другому вектору, если они имеют одинаковые величины, но противоположные направления. Если векторы A и B имеют одинаковую величину, но противоположные направления, то говорят, что вектор A является отрицательным по отношению к вектору B.
Параллельный вектор:- Два или более вектора называются параллельными, если они имеют одинаковое направление, но не обязательно имеют одинаковую величину. Углы направления параллельных векторов отличаются на ноль градусов. Векторы, угол направления которых отличается на 180 градусов, называются антипараллельными векторами, то есть антипараллельные векторы имеют противоположные направления.
Ортогональные векторы:- Два или более вектора в пространстве называются ортогональными, если угол между ними составляет 90 градусов, например
a·b = |a|·|b|cos90° = 0,
ко-начальные векторы:- Векторы, имеющие одну и ту же начальную точку, называются ко-начальными векторами.

Осуществите свою мечту об ИИТ с Infinity Learn

Часто задаваемые вопросы

Вопрос: Найдите угол между двумя векторами и ?

Ответ: Учитывая два вектора A = и B =

Мы должны определить угол между векторами A и B , используя Vectors A и B 3333333. б / | и || б |

Что такое векторы в математике?

Физические величины, полностью определяемые величиной и направлением, называются векторными величинами. Например, физические величины, такие как смещение, скорость, положение, сила, крутящий момент и т. д., являются векторными величинами.

В чем разница между вектором и скаляром?

Скаляр — это величина, которая не зависит от направления, тогда как вектор — это физическая величина, которая имеет не только направление, но и величину.