Вероятность произведения двух независимых событий равна: Недопустимое название | База Знаний AWMD Group Wiki

Как найти вероятность двух независимых событий?

Как найти вероятность двух независимых событий?

Теорема умножения вероятностей для независимых событий P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Как определяется независимость двух событий?

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. … Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если известное значение одной из них не дает информации о другой.

Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Записать ее можно таким образом: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) , где и — несовместные события.

Что называется произведением двух событий?

Короче, суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и . Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. … Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события .

Что такое сумма двух событий?

Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В, или обоих этих событий. Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Что означает сумма событий А в С?

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Чему равна сумма вероятностей всех событий образующих полную группу?

По́лной гру́ппой(системой) собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

Чему равна вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий?

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А × В). События в формуле (4.

Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как вычислить вероятность случайного события в эксперименте?

1. Вероятность случайного события вычислятся по формуле
2. Р(А)=m/N, где А — благоприятный исход, m — число благоприятных исходов, N — число всех исходов.
3. Например: нужно вычислить вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадет четная грань.

Независимость событий. Теорема умножения — КиберПедия

Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации — обмен информацией между организацией и её внешней средой… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов… Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда. .. Интересное: Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья… Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются… Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей… Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒   Рассмотрим вероятностное пространство áW, F, Pñ, являющееся математической моделью вероятностного эксперимента. Теорема 1.2.Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого при условии, что первое наступило: (1.9) Справедливость теоремы следует определения 1.5 и формул (1.7),(1.8). Будем говорить, что наступление некоторого события A не зависит от события B при реализации некоторого эксперимента, если условная вероятность события A равна безусловной вероятности события A, то есть . Но если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A. Поэтому можно сформулировать следующее определение независимости двух событий. Определение 1.6.Пусть áW, F, Pñ — вероятностное пространство некоторого эксперимента. События A Î , B Î называются независимыми, если P(AÇB)= = P(A)P(B), (1.10) или другими словами, вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Смысл этого определения состоит в том, что если произошло одно из несовместных событий, то его появление не влияет на вероятность наступления другого события. Два события будем называть независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Кроме того, справедлива следующая теорема. Теорема 1.3.Если события и независимы, то события и также независимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть áW, F, Pñ — вероятностное пространство некоторого эксперимента и события A Î , B Î , . Представим событие в виде объединения двух несовместных событий: . Тогда по аксиоме 3 Колмогорова , откуда . Но события и независимы, следовательно, справедлива формула (1.10) и , где . Теорема доказана. Следствие. Если события A и B независимы, то независимы также и события A и , и . Пример 1.8.Пусть эксперимент состоит из двух подбрасываний симметричной монеты. Пространство элементарных событий рассматриваемого эксперимента включает следующие элементарные события: при двух подбрасываниях выпало два герба; в первом подбрасывании выпал герб, во втором – решетка; в первом подбрасывании выпала решетка, во втором – герб; при двух подбрасываниях выпало две решетки. Введем два события: A = { герб выпал при первом подбрасывании}, ,B = {решетка выпала при втором подбрасывании}, . Вероятности этих событий по формуле (1.2) равны: . Событие { герб выпал при первом подбрасывании, а решетка выпала при втором подбрасывании}, . Его вероятность . Произведение вероятностей событий А и В также равна . Следовательно, выполняется равенство (1.10): , т.е. события А и В независимы. На практике для определения независимости данных событий редко прибегают к проверке равенства (1.10) или эквивалентных ему равенств . Обычно при этом пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте. Теорема 1.2 обобщается для случая конечного числа событий , т. е. справедлива: Теорема 1.4. Вероятность произведения событий A1, A2, …, Am равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место: . (1.11) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть áW, , Pñ — вероятностное пространство некоторого эксперимента и события Ai Î , . Рассмотрим два события A1 и A2 с положительной вероятностью: . Из теоремы 1.2 следует, что . Предположим далее, что теорема справедлива для m – 1 события и докажем ее для m событий. Для этого введем обозначение . Тогда и по доказанному. По предположению . Следовательно, , что и требовалось доказать. Обобщим понятие независимости двух событий на совокупность нескольких событий. Определение 1.7. События A1, A2, …, An называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных событий из их числа, события и взаимно независимы. Для независимых событий в совокупности теорема умножения принимает вид: Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: или . (1.12) Заметим, что если имеется несколько событий A1, A2, …, An, то их попарной независимости (то есть независимости любых двух событий Ai и Aj, i¹j) недостаточно для независимости n событий в совокупности. Это иллюстрируется следующим примером С.Н. Бернштейна. Пример 1. 9.На плоскость бросается тетраэдр. Три его грани окрашены в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета. Рассмотрим следующие события: при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет ; при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая синий цвет ; при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая зеленый цвет . Так как каждый из трех цветов имеется на двух гранях, то вероятности этих событий равны: . Любая пара цветов присутствует на одной грани, поэтому вероятность произведения любых двух событий = . С другой стороны = , что означает попарную независимость событий и . Три цвета присутствуют на одной грани, поэтому , но произведение . Следовательно, , т.е. события А, В и С зависимы в совокупности.   Пример 1.10.В ящике 6 деталей завода № 1, 5 завода № 2 и 4 завода № 3. из ящика поочередно извлекают детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится деталь завода № 3, при втором – деталь завода №2, при третьем – деталь завода №1. Решение. Введем события = { при извлечении появится деталь i – го завода}, i = 1,2,3. События зависимы. В результате извлечения деталей должно произойти событие , вероятность которого вычисляется по формуле (1.11), которая при принимает вид: . (1.13) Вероятность появления детали изготовленной на заводе №3 вычисляется по классической формуле: . Вероятность появления детали, изготовленной на заводе №2, при втором извлечении, вычисляется в предположении, что при первом извлечении появилась деталь, изготовленная на заводе №3: . Вероятность появления детали, изготовленной на заводе №1, при третьем извлечении, вычисляется в предположении, что при первом извлечении появилась деталь, изготовленная на заводе №3, а при втором – деталь завода №2: т. е. условная вероятность . Подставив эти вероятности в формулу (1.13), получим: . Ответ: вероятность появления деталей в определенном порядке равна: . Пример 1.11. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,4. Предполагая, что неисправности, возникающие на каждом из станков, независимы, вычислить вероятности того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: 1) все три станка; 2) ни один станок; 3) по крайней мере один станок. Решение. Введем события = { в течение часа потребует внимания i – станок }, i =1,2,3. Из условия задачи следует, что эти события независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, т. е. произойдут события одновременно, вычислим по формуле: . Вероятность того, что в течение часа любой станок не потребует внимания рабочего, вычислим по правилу вычисления вероятности противоположного события: . Обозначим через событие {ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего}. Событие В произойдет, если произойдут события одновременно, т. е. . Вероятность этого события также вычисляется по формуле (1.12): . Событие , состоящее в том, что в течение часа по крайней мере один из трех станков потребует внимания рабочего, и событие В являются противоположными. Поскольку , то . Ответ: вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: 1) все три станка ; 2) ни один станок – 3) по крайней мере один станок – . Вопросы для самопроверки 1.Сформулируйте теорему о вероятности произведения двух событий. 2.Как определяется независимость двух событий? 3. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий? 4. Равносильны ли понятия: попарная независимость и независимость в совокупности? 5.Сформулируйте теорему о вероятности произведения событий. 6.Чему равна вероятность произведения независимых событий в совокупности? 7.Как найти вероятность хотя бы одного из независимых событий, имеющих одинаковые вероятности? 8.Доказать теорему умножения для независимых событий в совокупности.     ⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒ Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой… Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства… Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого. .. Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим… 

Вероятность — правило произведения

Энди Хейс, Джин Кеун Чанг, Яш Сингхал, а также

способствовал

Содержимое

• Правило продукта для независимых мероприятий
• Правило продукта для зависимых событий
• Смотрите также

В гардеробе Кальвина 555 различных галстуков, 666 различных рубашек и 444 различных брюк. Из этих предметов одежды у Кэлвина ровно один зеленый галстук, ровно одна серая рубашка и ровно одна пара черных брюк. Если Кальвин случайно выберет каждый предмет одежды наугад, какова вероятность того, что он наденет зеленый галстук, серую рубашку и черные брюки?

---

Существует вероятность 15\dfrac{1}{5}51​, что Кальвин случайно выберет зеленый галстук, вероятность 16\dfrac{1}{6}61​, что он случайно выберет серую рубашку, и 14\dfrac{1}{4}41​ вероятность того, что он случайно выберет черные штаны.

Эти события независимы; выбор галстука не влияет на выбор рубашки и так далее.

Следовательно, вероятность того, что он выберет зеленый галстук, серую рубашку и черные брюки, равна 15×16×14=1120\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1 {4} = \boxed{\dfrac{1}{120}}51​×61​×41​=1201​​.

13\фрак{1}{3}31​ 1216\фракция{1}{216}2161​ 136\фракция{1}{36}361​ 16\frac{1}{6}61​

У вас есть три шестигранных кубика. Один красный, один синий и один зеленый. Какова вероятность того, что выпадет 1 на красном кубике, 2 на синем кубике и 3 на зеленом кубике?

Есть 5 возможных маршрутов (красный, синий, зеленый, желтый, фиолетовый) из Конфетного замка в Шоколадный лес и 3 маршрута (розовый, белый, оранжевый) из Шоколадного леса в Домик мороженого, если выбран каждый путь. какова вероятность того, что вы доберетесь из Конфетного замка в Домик мороженого по фиолетово-оранжевой дороге?

---

Существует вероятность 15\dfrac{1}{5}51​ выбора фиолетового пути и вероятность 13\dfrac{1}{3}31​ выбора оранжевого пути. Выбор пути к Шоколадному лесу не зависит от выбора пути к Домику мороженого.

По правилу произведения существует 15×13=115\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{3} = \boxed{\dfrac{1}{15}}51​×31 ​=151​​ шанс выбрать фиолетово-оранжевый путь.

Есть 4 человека-друга Mystery Inc. (при условии, что Скуби-Ду всегда с Шэгги), убегающих от таинственного призрака, и есть 4 доступных комнаты, в которых можно спрятаться.

В любой из этих комнат может находиться до 4 подростки (или вообще никто).

Если призрак случайно откроет одну из этих 4 комнат, какова вероятность того, что он не увидит, что там никто не прячется?

Если эту вероятность можно выразить как ab\dfrac{a}{b}ba​, где aaa и bbb взаимно простые положительные целые числа, введите a+ba+ba+b в качестве ответа.

Когда события являются зависимыми, может быть сложнее рассчитать вероятность пересечения этих событий. Этот расчет требует знания условной вероятности.

Пусть ААА и ВВВ — зависимые события. Тогда

P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)P(A∩B)=P(A )×P(B∣A)

Жук стоит на самой верхней вершине пятиугольного трапецоэдра, изображенного ниже.

Каждые 10 секунд жук случайным образом выбирает соседнее ребро и перемещается по нему в другую вершину. Какова вероятность того, что ошибка окажется в нижней вершине через 30 секунд?

Изображение предоставлено: Mouagip

---

У жука есть 5 смежных ребер на выбор в первые 10 секунд, но не имеет значения, какое из них он выберет, так как все они приближают его ко дну. Вероятность того, что жук приблизится ко дну после первых 10 секунд, равна 111.

У жука есть 3 соседних ребра на выбор в течение следующих 10 секунд. 2 из этих ребер приближают его ко дну. Вероятность того, что жук приблизится ко дну после этих 10 секунд, равна 23\dfrac{2}{3}32​.

Учитывая, что жук приблизился после предыдущих 10 секунд, у жука есть 3 смежных ребра на выбор в последние 10 секунд. 1 из этих ребер опустит жука на дно. Учитывая, что ранее жук двигался правильно, вероятность того, что жук доберется до конца после последних 10 секунд, составляет 13\dfrac{1}{3}31​.

Используя правило произведения для зависимых событий, вероятность того, что ошибка доберется до конца через 30 секунд, равна 1×23×13=291\times \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3} =\boxed{\dfrac{2}{9}}1×32×31=92

Жук начинает с вершины и случайным образом перемещается по одному ребру икосаэдра каждые 10 секунд к другой вершине. Какова вероятность того, что он окажется в противоположной вершине через 30 секунд?

Если вероятность выражается как ab \dfrac abba​, где aaa и bbb — взаимно простые положительные целые числа, найдите a+ba+ba+b.

---

Попробуйте задать больше вопросов по Платоновым телам.

Изображение предоставлено: http://home.btconnect.com/

Цитировать как: Вероятность — правило произведения. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-product/

Почему пересечение двух независимых наборов вероятностей является процессом умножения?

спросил 10 лет, 1 месяц назад

Изменено 4 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 50 тысяч раз

$\begingroup$

Почему вероятность пересечения двух независимых множеств $A$ и $B$ есть произведение их соответствующих вероятностей, т. е. почему $$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)?$$

этот вопрос касается интуиции, лежащей в основе определения независимости множеств в вероятностном пространстве

• вероятности

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Тот факт, что вероятность пересечения независимых событий $A$ и $B$ является произведением их вероятностей, фактически является определением независимых событий.

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Если

• половина кусков пиццы состоит из анчоусов ($P(A)=\frac12$), и
• вы берете треть кусочков пиццы ($P(B)=\frac13$) независимо от того, есть ли в них анчоусы, тогда
• ломтика анчоуса это у вас есть это одна шестая часть всех ломтиков пиццы ($P(A\cap B) = \frac16$).

Это потому, что если ваш выбор ломтиков действительно не зависит от наличия в них анчоусов, то

• вы возьмете треть ломтиков анчоусов ($P(A\cap B) = \frac13 P(A)$) и треть ломтиков без анчоусов;

• эквивалентно, в половине ваших ломтиков будут анчоусы ($P(A\cap B) = \frac12 P(B)$), а в половине — нет.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Пусть A,B — два события. Мы говорим, что А и В независимы друг от друга. другое тогда и только тогда, когда:

• $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)$

Теперь заметим, что A и B независимы друг от друга тогда и только тогда, когда $\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)$. Другими словами, А и В независимы друг от друга тогда и только тогда, когда реализация одного из событий не влияет на условную вероятность другого. Предположим, что мы проводим два случайных эксперимента независимо друг от друга, что означает, что эти два эксперимента не взаимодействуют. То есть эксперименты никак не влияют друг на друга. Пусть A обозначает событие, связанное с первым экспериментом, и пусть B обозначает событие, связанное со вторым экспериментом. Мы видим, что в этой ситуации должно выполняться уравнение $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)$, чтобы оно было независимым . Таким образом, мы имеем, что A и B независимы тогда и только тогда, когда они удовлетворяют приведенному выше определению.

Есть также много других случаев, когда события, относящиеся к одному и тому же эксперименту, являются независимыми в смысле приведенного выше определения. Например, для честной кости события A = {1,2} и B = {2, 4, 6} независимы. Допустим также, что если вероятность пересечения/объединения двух непересекающихся событий равна нулю, в этом случае вы будете знать, что они зависят друг от друга, потому что тогда, если происходит одно событие, другое, следовательно, не зависит. Одновременно может быть более двух независимых событий.

Вот, прочитайте это, надеюсь, это будет иметь больше смысла http://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Возможно, одним из способов взглянуть на это является тот факт, что пересечение означает добавление условий. В этом смысле для каждого человека, удовлетворяющего условию А, вы должны вычислить, сколько человек удовлетворяет условию В, таким образом, проблема умножения. Обратите внимание, что выполнение двух условий встречается реже, чем выполнение только одного, поэтому «вес» особей, удовлетворяющих обоим условиям по отношению ко всей совокупности, должен быть меньше веса тех, кто удовлетворяет только одному условию. Затем, учитывая тот факт, что вероятности меньше или равны единице, умножение кажется разумным способом описания процесса.

Я знаю, что это не то же самое в формальном смысле, но это все равно, что сказать для каждой строки, вычислить количество столбцов, тогда вы получите общее количество штук.

$\endgroup$

$\begingroup$

Здесь нет необходимости в доказательстве, так как это определение. Если вы хотите понять это определение, рассмотрим пример.

Понаблюдайте за всеми девушками маленького городка. Девочек 1000: у 100 есть собака, а у 250 блондинки.

Какова теперь вероятность того, что «девушка блондинка и у нее есть собака» ? Здесь мы предполагаем, что тот факт, что девушка блондинка, не имеет отношения к тому, есть ли у нее собака или нет. С точки зрения вероятности события А «девушка блондинка» и Б «девушка имеет собаку» считаются независимыми. Итак, 250 блондинок — это всего лишь подмножество 1000 девушек. Поскольку каждая из них имеет такую ​​же вероятность иметь собаку, как и любая другая девушка (блондинка или нет), мы можем предположить, что примерно у 25 блондинок есть собака.

С точки зрения вероятности, $p(A \cap B) = 0,025 = 0,1 \times \frac{250}{1000}= p(A)p(B)$. И вуаля !

Как объясняет размерность, мы также можем сказать, что $p(B|A) = p(B)$.

$\endgroup$

$\begingroup$

держите два прозрачных листа (A и B) друг над другом с перекрытием C .
когда мы говорим пересечение A и B (лист A не зависит от листа B), это означает, что из каждой «уникальной» части листа A, перекрывающейся листом B (CA), мы можем провести «уникальную» линию к каждой части листа B. , перекрывается листом А (СВ). … то же самое происходит, когда вы говорите 5 * 6, вы имеете в виду, что для каждой части 5 есть все части 6

$\endgroup$

$\begingroup$

в случае обнаружения пересечения, что оба события произошли, т.е. произошло событие A, а затем событие B при условии, что A уже произошло, появится на картинке, т. е. Р(А ∩ В) = Р(А) * Р(В|А) но в случае независимых множеств вероятность b при условии, что a уже произошло, приведет только к P (B | A) = P (B), поскольку B не зависит от появления A поэтому P(A ∩ B) = P(A) * P(B) в случае независимых событий.

$\endgroup$

$\begingroup$

Выборочное пространство независимых событий, которые должны произойти, будет декартовым произведением их индивидуального выборочного пространства, а ожидаемое событие также будет декартовым произведением их возможных результатов. Пусть m, n = мощность выборочных пространств, а o1 , o2 — мощность возможных исходов. Таким образом, вероятность их появления будет (o1×o2)÷(m×n) и может быть представлена ​​как ( o1÷m)×(o2÷n), т. е. p1×p2.

$\endgroup$

$\begingroup$

Возможно, вы уже поняли интуицию, стоящую за этим. Но вот мой взгляд на это.

Условная вероятность : Вероятность события A при условии, что событие B произойдет. То есть вероятность A при заданном B, представленном как $$P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

В этом определении заключена тонкая идея. Учитывая, что произошло событие B, наше пространство выборки сократилось до «количество благоприятных исходов для Б» . Теперь нам нужно найти исходы, в которых встречаются как A, так и B, при условии, что B происходит определенно, т. е.

$$P(A|B)= \frac{\text{Благоприятные исходы для появления как $A$, так и $ B$}}{\text{Благоприятные исходы для $B$}}$$ $$= \frac{\large \frac{\text{Благоприятные исходы для возникновения как $A$, так и $B$}}{\text{Все возможные исходы}}}{\large \frac{\text{Благоприятные исходы для $B$}}{\text{Все возможные исходы}}}$$ $$= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Теперь, если A и B являются независимыми событиями, то B никак не влияет на A. Таким образом, вероятность возникновения A не меняется по отношению к B, что означает

$$P(A|B)= P(A)$$

Объединив два приведенных выше уравнения, мы получим

$$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) \Стрелка вправо P(A \cap B) = P(A)\times P(B) $$

$\endgroup$

$\begingroup$

, прежде чем я приведу доказательство — позвольте мне упомянуть об условной вероятности —.