Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностейТема «Теоремы сложения и умножения веротностей«
События
называют несовместными, если появление одного из них исключает
появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате
испытания появится хотя бы одно из них.
Суммой
двух событий
и называют событие, состоящее в появлении события ,
или события ,
или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении
хотя бы одного из этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных
событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Другими словами, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей
этих.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Теорема. Сумма вероятностей попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна единице:
.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
Событие, противоположное событию ,
принято обозначать .
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равны единице:
.
Произведением двух событий
и называют событие ,
состоящее в совместном появлении этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее
в совместном появлении всех этих событий.
Два события называют совместными, если появление одного из
них не исключает появление другого события в одном и том же испытании.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.
Условной вероятностью называют вероятность события ,
вычисленную в предположении, что событие уже наступило.
Условная вероятность события
при условии, что событие уже наступило, по определению, равна:
.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную
в предположении, что первое событие уже наступило:
.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий
равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных,
причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении,
что все предыдущие события уже появились:
Событие называют независимым от события , если появление события не меняет вероятности появления события , то есть если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:
.
Свойство независимости событий взаимно: если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:
.
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.
Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :
.
Свойства вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий, вероятность суммы двух совместных и независимых событий. Условная вероятность.
Свойства:
Пусть задано пространство элементарных событий Е , а вероятности Р определены на событиях из Е . Тогда:
Суммой событий и называется событие , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий или , т. е. в наступлении события , или события , или обоих этих событий вместе, если они совместны.
Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий: .
Произведением
событий
и
называется
событие
,
состоящее в том, что в результате
испытания произошло и событие
,
и событие
,
т.
е. оба события произошли.
Два события и называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события и называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению этих вероятностей: .
Условная вероятность.
Пусть и — зависимые события. Условной вероятностью события называется вероятность события , найденная в предположении, что событие уже наступило.
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: .
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: .
Определение суммы и произведения двух событий. Вероятность суммы двух совместных событий.
Вероятность
появления хотя бы одного события.
Вероятность произведения двух совместных
и зависимых события.
Вероятность
появления хотя бы одного события.
Вероятность произведения двух совместных
и зависимых события.Суммой событий и называется событие , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий или , т. е. в наступлении события , или события , или обоих этих событий вместе, если они совместны.
Произведением событий и называется событие , состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие , и событие , т. е. оба события произошли.
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…,Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.
Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
По́лной
гру́ппой собы́тий в теории
вероятностей называется
система случайных
событий
такая, что в результате произведенного случайного
эксперимента непременно
произойдет одно из них.
Сумма вероятностей
всех событий в группе всегда равна 1.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать .
Формула полной вероятности:
Формула Байеса:
Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. Формула Пуассона.
Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:
То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию: np — q m np+ p,
Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью ( . Вероятность появления раз первого события и — второго и -го находится по формуле:
При
достаточно большой серии испытаний
формула Бернулли становится трудно
применимой, и в этих случаях используют
приближенные формулы.
Наивероятнейшее число успехов:
Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов (появлений события) имеет вид:
Так как , то эти границы отличаются на 1. Поэтому , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда целое число ( ) , то есть когда (а отсюда и ) нецелое число, либо два значения, когда целое число.
Совместная вероятность: определение, формула и пример
Что такое совместная вероятность?
Совместная вероятность — это статистическая мера, которая вычисляет вероятность того, что два события произойдут вместе и в один и тот же момент времени. Совместная вероятность – это вероятность того, что событие Y произойдет одновременно с событием X.
Формула совместной вероятности
Обозначение совместной вероятности может принимать несколько различных форм.
п ( Икс ⋂ Д ) куда: Икс , Д знак равно Два разных события, которые пересекаются п ( Икс а также Д ) , п ( Икс Д ) знак равно Совместная вероятность X и Y \begin{align} & P\ \left ( X\bigcap Y \right ) \\ &\textbf{где:}\\ &X, Y = \text{Два разных пересекающихся события}\\ &P(X \text{ и } Y), P(XY) = \text{Совместная вероятность X и Y}\\ \end{выровнено} P (X⋂Y), где: X, Y = два разных события, которые пересекаются P (X и Y), P (XY) = совместная вероятность X и Y
О чем говорит совместная вероятность?
Вероятность — это область, тесно связанная со статистикой, которая имеет дело с вероятностью возникновения события или явления. Он определяется как число от 0 до 1 включительно, где 0 указывает на невозможный шанс возникновения, а 1 обозначает определенный исход события.
Например, вероятность вытащить красную карту из колоды карт равна 1/2 = 0,5. Это означает, что есть равные шансы вытянуть красное и черное; поскольку в колоде 52 карты, из которых 26 красных и 26 черных, вероятность вытянуть красную карту против черной карты составляет 50/50.
Совместная вероятность — это мера двух событий, происходящих одновременно, и ее можно применять только к ситуациям, когда одновременно может произойти более одного наблюдения. Например, из колоды из 52 карт совместная вероятность подобрать карту, которая одновременно красная и 6, равна P (6 ∩ красная) = 2/52 = 1/26, поскольку в колоде карт есть две красные шестерки — шестерка червей и шестерка бубен. Поскольку события «6» и «красный» в этом примере независимы, вы также можете использовать следующую формулу для расчета совместной вероятности:
п ( 6 ∩ р е г ) знак равно п ( 6 ) × п ( р е г ) знак равно 4 / 5 2 × 2 6 / 5 2 знак равно 1 / 2 6 P(6 \колпачок красный) = P(6)\умножить P(красный) = 4/52 \умножить на 26/52 = 1/26 P (6 ∩ красный) = P (6) × P (красный) = 4/52 × 26/52 = 1/26
Символ «∩» в совместной вероятности называется пересечением. Вероятность события X и события Y — это то же самое, что и точка пересечения X и Y.
Поэтому совместную вероятность также называют пересечением двух или более событий. Диаграмма Венна, пожалуй, лучший визуальный инструмент для объяснения пересечения:
В приведенном выше Венне точка, в которой пересекаются оба круга, является пересечением, которое имеет два наблюдения: шестерка червей и шестерка бубнов.
Разница между совместной вероятностью и условной вероятностью
Совместную вероятность не следует путать с условной вероятностью, которая представляет собой вероятность того, что одно событие произойдет при условии, что произойдет другое действие или событие. Формула условной вероятности выглядит следующим образом:
п ( Икс , грамм я в е н Д ) или же п ( Икс ∣ Д ) P(X, задано~Y) \text{ или } P(X | Y) P(X, учитывая Y) или P(X∣Y)
Это означает, что вероятность того, что произойдет одно событие, зависит от того, произойдет ли другое событие. Например, из колоды карт вероятность того, что вы вытащите шестерку, при условии, что вы вытащили красную карту, равна P(6│красная) = 2/26 = 1/13, так как из 26 красных карт две шестерки.
.
Совместная вероятность влияет только на вероятность того, что произойдут оба события. Условная вероятность может использоваться для расчета совместной вероятности, как показано в этой формуле:
п ( Икс ∩ Д ) знак равно п ( Икс ∣ Д ) × п ( Д ) P(X \cap Y) = P(X|Y) \times P(Y) П(Х∩Y)=Р(Х∣Y)×P(Y)
Вероятность того, что произойдут А и В, равна вероятности того, что произойдет Х, при условии, что произойдет Y, умноженной на вероятность того, что произойдет Y. Учитывая эту формулу, вероятность одновременного выпадения 6 и красного будет следующей:
п ( 6 ∩ р е г ) знак равно п ( 6 ∣ р е г ) × п ( р е г ) знак равно 1 / 1 3 × 2 6 / 5 2 знак равно 1 / 1 3 × 1 / 2 знак равно 1 / 2 6 \begin{align} &P(6 \cap red) = P(6|red) \times P(red) = \\ &1/13 \times 26/52 = 1/13 \times 1/2 = 1/26\ \ \ конец {выровнено} P(6∩красный)=P(6∣красный)×P(красный)=1/13×26/52=1/13×1/2=1/26
Статистики и аналитики используют совместную вероятность как инструмент, когда два или более наблюдаемых события могут произойти одновременно.
Например, совместную вероятность можно использовать для оценки вероятности падения промышленного индекса Доу-Джонса (DJIA), сопровождаемого падением цены акций Microsoft, или вероятности того, что стоимость нефти вырастет одновременно с ослаблением доллара США. .
Совместная вероятность и совместное распределение: определение, примеры
Вероятность > Совместная вероятность/совместное распределение
Что такое совместная вероятность?
Посмотрите видео с обзором и примерами:
Совместное распределение вероятностей
Посмотрите это видео на YouTube.
Совместная вероятность – это вероятность того, что два события произойдут вместе. Эти два события обычно обозначаются как событие A и событие B. В терминологии вероятностей это можно записать как:
Совместная вероятность также может быть описана как вероятность пересечения двух (или более) событий.
Пересечение может быть представлено диаграммой Венна:
Пример
Пример : Вероятность того, что на карте пятерка и черная = p(пятерка и черная) = 2/52 = 1/26. (В колоде из 52 карт есть две черные пятерки, пятерка пик и пятерка треф).
Вы можете найти еще несколько примеров здесь: Вероятность A и B.
Совместное распределение вероятностей
Совместное распределение вероятностей показывает распределение вероятностей для двух (или более) случайных величин. Вместо того, чтобы обозначать события A и B, обычно используют X и Y. Формальное определение:
Весь смысл совместного распределения заключается в поиске связи между двумя переменными. Например, в следующей таблице показаны некоторые вероятности того, что X и Y произойдут одновременно:
Вы можете использовать таблицу, чтобы найти вероятности.
Например:
Вопрос : Какова вероятность того, что Y = 2 и X = 3?
Ответ : Посмотрите на таблицу пересечения Y = 2 и X = 3. Ответ (1/6) обведен кружком:
См. также: Совместная частота.
Совместная функция массы вероятностей
Если ваши переменные дискретны (как в приведенном выше примере таблицы), их распределение может быть описано совместной функцией массы вероятности (Совместная PMF). В основном , если вы нашли все вероятности для всех возможных комбинаций X и Y, то вы создали совместную PMF.
Совместная функция плотности вероятности
Если у вас есть непрерывные переменные, их можно описать с помощью функции плотности вероятности (PDF). В отличие от приведенного выше примера с дискретной переменной, вы не можете записать каждую комбинацию каждой переменной, потому что у вас будет бесконечное количество возможностей для записи (что, конечно же, невозможно).
Что вы можете сделать, так это создать формулу; Формула, описывающая все возможные комбинации X и Y, называется совместной PDF. Дополнительные сведения о файлах PDF см. в разделе Что такое функция плотности вероятности?
Ссылки
Beyer, WH CRC Standard Mathematical Tables, 31st ed. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 536 и 571, 2002 г.
Гоник, Л. (1993). Мультяшный путеводитель по статистике. HarperPerennial.
Кляйн, Г. (2013). Мультфильм Введение в статистику. Хилл и Вамг.
Уилан, К. (2014). Голая статистика. WW Norton & Company
УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Совместная вероятность и совместное распределение: определение, примеры» Из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/joint-probability-distribution/
————————————————— ————————-
Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области.