Вероятность того: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

alexxlab / / Разное

18 задач по теории вероятностей с решениями

1 ноября 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

TG 4ЕГЭ

ОГЭ по математике

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
 
Решение. При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности P (A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.

2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
 
Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3. Ответ: 0,3.

3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру.

Найдите вероятность того, что начи-нать игру должен будет мальчик.

Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприят-ными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому иско-мое отношение равно 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности Р= 4: 16 = 0,25. Ответ: 0,25

5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции.

Поря-док, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 9:20 = 0,45. Ответ: 0,45.

6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лам-почку?

На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть 1000:1005=0,995.Ответ: 0,995.

7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?


6: 8=0,75.

8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Како-ва вероятность того, что команда России не попадает в груп-пу A?

Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попа-дает в группу равна 1-0,25=0,75. Ответ: 0,75

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.

Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52. Ответ: 0,52

10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. Ответ: 0,2

11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6: 20 = 0,3. Ответ: 0,3

12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?


6:15=0,4. Ответ: 0,4.

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?

2: 25=0,08. Ответ: 0,08.

14. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе.


Ответ 12: 25 = 0,48.

15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга — Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.

Ответ 6: 20 = 0,3.

16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Ответ: 2: 20 = 0,1.

17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Ответ. 6: 12= 0,5 (6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.


3:12 = 0,25

реальные истории и статистика нереальных событий

Статистика — штука без эмоций, сплошная математика. Есть скучные формулы вычисления вероятности того, например, что вы доживете до 75 лет, а потом и до 85, или что уже в этом году в вас попадет молния, и вы останетесь живы. Более того, эти теоретические значения подкреплены вполне реальными историями из жизни, что добавляет им значимости, а нам седых волос.

Саша Эпштейн

Классическая формула теории вероятностей до безобразия проста. Допустим, мы хотим выяснить, каковы шансы умереть сегодня. Для этого берем общую численность населения в России (по данным ООН — 146 574 000 человек) и делим на количество умерших сегодня (4500 человек). Отношение 1:33000 и будет искомой вероятностью. Вероятность в том числе лежит в основе расчетов на рынке ценных бумаг, матанализа азартных игр и даже наличия разумной жизни во Вселенной.

Шансы погибнуть в авиакатастрофе составляют 1:4000000, а вероятность смерти от падения с кровати составляет в среднем 1:1500000

Все прекрасно знают, что самолет — самый безопасный вид транспорта и бла-бла-бла. Не убедительно? А если мы скажем, что шансы погибнуть в авиакатастрофе составляют 1:4000000 и примерно равны тому, что вам на голову упадет не какой-нибудь кирпич, а целый астероид? Живите теперь с этим. Более того, есть масса историй, когда после падения авиалайнера были выжившие. В 1985 году Boeing 747 компании Japan Air Lines врезался в гору Оцутакава, и большинство из 524 человек остались живы! Правда, из-за несогласованности в действиях спасателей и несвоевременно оказанной помощи практически все погибли от полученных травм и переохлаждения. Но это уже совсем другая история.

.. И не забывайте про «правило пяти рядов»: даже при аварии шансы выжить в разы выше, если сесть не далее пятого ряда от аварийного выхода.

Если отталкиваться от авиакатастроф, то есть еще одна занятная цифра для сравнения. Вероятность смерти от падения с кровати составляет в среднем 1:1500000: только в США ежегодно регистрируют порядка 400 таких случаев. В России отдельной статистики по подобным происшествиям нет, но это не значит, что такие истории нам не угроза. В Питере скончался 45-летний мужчина после падения с дивана, а в Севастополе 8-летний мальчик упал с кровати и получил черепно-мозговую травму, не совместимую с жизнью.

Но вернемся к астероидам. Ежегодно в опасной близости от Земли пролетает около 150 небесных тел. Падение одного из них может произойти в любой момент. Ученые подсчитали, что астероид Апофис может свалиться на наши головы в 2068 году, и если это произойдет, то 300-метровое небесное тело сравняет с землей всю Москву и область впридачу.

Правда, эксперты успокаивают: учитывая все современные технологии предотвращения подобных катастроф, нам ничего не угрожает. С другой стороны, все мы прекрасно помним Челябинский метеорит: небольшой кусок, отколовшийся от 17-метрового астероида, разрушившегося в результате торможения в атмосфере Земли (по официальной версии). Обнаружили его только после входа в атмосферу, за несколько секунд до падения. Так что не расслабляемся.

По статистике, женщины в шесть раз реже погибают от ударов молний, а средний возраст пострадавших — 35 лет

Если вероятность столкновения с астероидом ничтожно мала, то мы для вас приготовили кое-что более опасное. Если вы мужчина — остерегайтесь молний, так как вы в группе риска. По статистике, женщины в шесть раз реже погибают от ударов молний, а средний возраст пострадавших — 35 лет. В общей сложности вероятность схватить разряд в несколько сотен тысяч воль составляет 1:600000. Но и тут не стоит паниковать: три случая из пяти с хорошим концом.

Более того, есть люди, в которых молния попадала не один, не два и не три раза — и как с гуся вода!

В кубинца Хорхе Маркеса молния била пять раз. Сильнейшие ожоги, выбитые пломбы и опаленная макушка — последствия столкновения с природным явлением. Но парень жив, черт бы его побрал! Насчет того, что молния дважды не бьет в одно место: в Техасе любитель бездорожья укрылся от грозы под деревом (неужели мама в детстве не говорила, что так делать нельзя?), где, конечно же, его настигла молния. Парень без сознания грохнулся на землю. Но на этом его беды не закончились: молния шарахнула уже по лежавшему в отключке бедолаге второй раз. И что вы думаете? После госпитализации у парня диагностировали лишь небольшой ожог ноги, который зажил через пару недель. Но рекордсменом в этой дисциплине вот уже долгое время является рейнджер из Кентукки Рой Кливленд Салливан, о чем даже свидетельствует запись в Книге рекордов Гиннесса. Этот человек-громоотвод получал разряд — внимание! — семь раз. А знаете, от чего умер этот егерь? В возрасте 71 года пустил себе пулю в висок из-за неразделенной любви (при том, что жена Роя была на 30 лет моложе).

Статистика суицидов говорит, что с вероятностью 1:580 вы в этом году сведете счеты с жизнью. Но не обольщайтесь, если вы таки решитесь на самоубийство, то вероятность успеха равна 1:14.Один англичанин, от которого ушла жена, пытался шесть раз наложить на себя руки: вешался, травился, нырял в ванную с феном… И что вы думаете? На седьмой попытке он пустил в квартиру газ — не сработало. Тогда он зажег спичку, и раздался громадный взрыв. Недосамоубийцу — целого и невредимого, в отличие от его дома — осудили на два года условно за поджог.

Если верить статистике, то самые лютые убийцы не обстоятельства, не астероиды с самолетами, а наши с вами организмы. Вероятность умереть от недуга выше всего. В топе болезни сердца (1:4), следом рак (1:6) и расстройства работы мозга (1:7). Но и здесь не все так печально: в случае инфаркта или инсульта вероятность полного выздоровления равна 1:3 — не густо, но и не безнадежно.

Статистика по возрасту говорит, что в 65 лет шанс прожить еще десять лет 1:2, а если вы и этот рубеж перевалили, то шансы протянуть еще столько же сокращаются вдвое — 1:4. И не забывайте, что если вы не попали ни в одну из вероятностей, не болеете, за вами не гонится насильник с топором и все у вас хорошо, то есть так называемый предел Хейфлика. Ваши клетки не вечны, и умирают примерно после полсотни делений. Так что рано или поздно у организма попросту истечет срок эксплуатации.

Определение

в кембриджском словаре английского языка

Примеры вероятности

Вероятность

вероятность того, что этот результат можно обобщить на популяции в реальном мире, очень мала.

Из новостей ABC