Тождественны ли умножение и возведение в степень? — Обсуждай
Тождественны ли умножение и возведение в степень? — Обсуждай… Рус
Тождественны ли умножение и возведение в степень? степень умножение возведение
330
30
0
Ответы
Kalinka
да. возведение в степень- это сколько раз умножить одно и тоже число
0
… Рус
1
Kalinka
1
Вера Николаевна Васина
Тождественны,веДь возведение в степень-этО умножение «сам на сам»
0
.
.. Рус
Круто! Не думал,что кто-то верно ответит.А раз вы ответили правильно,то тогда ,ради эксперимента проверьте на правильность таблицу умножения,которую вам навязали в школе.
1
ИВ
Ильмира Вакилова
в принципе- да- только в степени одно число умножается кратно раз
0
… Рус
Т.е. вы хотите сказать,что 2Х3=6,а не 8?
1
ИВ
Ильмира Вакилова
нет- 2х2х2 и т д.
1
… Рус
А суммирование и умножение это идентичные действия?
1
ИВ
Ильмира Вакилова
те же 2+2+2+ и т.
д. тоже можно было помножить
1
… Рус
То есть по вашему (х)=(+).
1
ИВ
x=+ + +…
1
… Рус
1
Я Это Просто Я
5 в третьей степени это 125, 5*3 = 15. Не очень похоже на тождество
0
… Рус
5Х3=5 в кубе.
1
Я Это Просто Я
Степень это умножение чила на само себя в количестве указанном в степени.
Разве не так?
1
… Рус
Тут дело в том,что 2Х3 не равно 2+2+2,потому,что умножение не проверяется суммированием.В силу того,что умножение и суммирование это совершенно разные действия.
1
Я Это Просто Я
Это мы уже с вами обсудили )только степень это не сложение числа на само себя, а умножение.
1
Лариса Браун
умножение Х на Х — это и ясть возведение
0
… Рус
Значит по вашему 2Х3=2+2+2=6 ?
1
Лариса Браун
да
1
.
.. Рус
Но ведь действия суммирования и умножения не тождественны,в принципе,как же так-то? Должно быть 2Х3=2Х2Х2=2 в третьей степени,я так думаю…
1
Лариса Браун
нет
1
… Рус
Да.
1
Валерий Хомутов
Вопрос для первоклассников.
0
… Рус
Вы считаете,что знаете ответ на этот вопрос?
1
Валерий Хомутов
Это должен утверждать любой человек закончивший среднюю школу.
1
… Рус
Категоричность утверждений первейшей признак недостатка знаний.
1
Undefined —
ты далёк от математики
0
… Рус
Да и ты не близок,а может ещё и дальше,чем я.
1
Юлия
конечно тождественны
0
… Рус
Я точно не математик! Я барабанщик,но очень любопытный.
..
1
Юлия
ясно))) но я дцать лет назад изучала математику весьма углубленно))
1
… Рус
Во!Это то,что надо! Ну так и скажите может ли суммирование равняться умножению,если это не тождественные действия?
1
Юлия
Вы сами ответили)) но вообще речь изначально шла не о суммировании, а о возведении в степень)
1
… Рус
Я в комплексе,спрашиваю,предвидя проверку — 2Х3=2+2+2,что само по себе не логично…
1
Любовь Селезнева
я в математике чайник
0
Вадим Осипов
0
.
.. Рус
Ответ не верный.
1
Вадим Осипов
Самый точный!
1
… Рус
Категоричность — первейший признак малообразованности…
1
Вадим Осипов
Да, это не в бровь, а в глаз!
1
Semicvet Semicvet
Бог его знает
0
… Рус
Такого математика не знаю…Наверное какой-то мифический персонаж,однако.
..
1
Екатерина
нет конечно…
0
… Рус
Я,если честно,тоже не очень разбираюсь.Интересуюсь,задаю вопросы себе и другим,что бы и других подтолкнуть к интересу — «А всё ли,так правильно,как нам говорят и учат?»
1
Екатерина
сегодня очень много в школе идёт нарушений…со стороны требований педагогов…я уже не говорю о психических преступлениях…которые наш УК еще не способен фиксировать….и одно из нарушений это устраивать соревнования в скорости чтения….и превращение этого в какой-то итоговый контроль….это показывает полную несостоятельность образовательной школьной системы.
…её безграмотность…и её ужасный вред…граничащий с преступлением…
1
… Рус
Совершенно с вами согласен!!! Проводится конкретный геноцид русских,по всем направлениям! Образования не будет,но христианство втюхают!Нужны послушные делатели денег…
1
Екатерина
этот маразм идет во всех школах бывшего….но в Европе еще хуже…например в Норвегии-зверство ювенальной юстиции…
1
… Рус
В РФ,тоже есть, вспышками…
1
Виктория Плюхина
Нет, конечно
0
.
.. Рус
Объяснитесь…гражданка!
1
Руфина
как знать.
0
… Рус
1
… Рус
1
Руфина
мило..
1
ТП
Татьяна Павловская
по сути да
0
.
.. Рус
А не по сути?
1
ТП
Татьяна Павловская
умножение
1
Людмила Прямикова
да,да…
0
… Рус
Значит 2Х3=2Х2Х2 ?
1
Людмила Прямикова
Гуманитарий я.
1
… Рус
Я тоже.
1
Виктор Гром
Иногда
0
Агния Сварогски
Нет
0
.
.. Рус
Почему это..?
1
Агния Сварогски
3 в третьей степени — 27, а 3 умноженное на 3 — 9))) Или я что-то забыла из школьной программы?
1
… Рус
А если так — 2 Х 2 Х 2 = 2 в кубе,3Х3Х3=3 в кубе.
1
Агния Сварогски
А как-то не думала о подобных вариациях
1
… Рус
1
Елена
нет
0
.
.. Рус
1
Елена
возвндение в степень это произведение n количества одинаковых чисел, а умножение — разных
1
… Рус
Если иметь в виду,что начиная со школы нас правильно учат считать,то да… А по существу ответ не верный.
1
ГП
Галина Поварова
нет
0
Следующая страница
Что такое степень числа Возведение в степень…
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями, тогда с вдохновением прочти до конца.
Для того чтобы лучше понимать что такое
что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика.
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятиестепени только с натуральным показателем и нулем.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберемся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращенное обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».
4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46
Выражение 46 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени;
- 6 — показатель степени.
В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:
Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».
Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».
Исключение составляют записи:
- a2 — ее можно произносить как «а в квадрате»;
- a3 — ее можно произносить как «а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
- a2 — «а во второй степени»;
- a3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).
Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1n = 1
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишенным смыслом.
- (-32)0 = 1
- 0253 = 0
- 14 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.
Пример . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Возвести в степень.
- 53 = 5 • 5 • 5 = 125
- 2.52 = 2.5 • 2.5 = 6.25
- (
)4 =
•
•
•
=
=3 • 3 • 3 • 3 4 • 4 • 4 • 4 81 256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулем.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того четным или нечетным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечетную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечетного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в четную степень, то получается положительное число. Так как произведение четного количество отрицательных сомножителей положительно.
Отрицательное число, возведенное в четную степень, есть число положительное.
Отрицательное число, возведенное в нечетнуюстепень, — число отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a2 ≥ 0 при любом a.
- 2 • (- 3)2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
- — 5 • (- 2)3 = — 5 • (- 8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)4 и -54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (- 5)4 означает найти значение четвертой степени отрицательного числа.
(- 5)4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625
В то время как найти -54 означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвертую степень положительное число 5.
54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
-54 = — 625
Пример.
Вычислить: — 62 — (- 1)4
— 62 — (- 1)4 = — 37
- 62 = 6 • 6 = 36
- -62 = — 36
- (- 1)4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
- — (- 1)4 = — 1
- — 36 — 1 = — 37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоватьсятаблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Как ты считаеешь, будет ли теория про что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями улучшена в обозримом будующем? Надеюсь, что теперь ты понял что такое что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика
как алгоритм Square & Multiply ускоряет шифрование данных / Skillbox Media
В видео на YouTube-канале Numberphile Мэтт Паркер проверяет, может ли очень большое число быть простым.
В одном месте Мэтт приводит такое выражение:
23373 mod 747 — число 23 возводят в степень 373 и вычисляют результат по модулю 747.
Почему это меня заинтересовало? Дело в том, что подобные вычисления используются при шифровании данных с помощью алгоритма RSA с открытым ключом. Это могут быть, например, электронные подписи или шифрование в S/MIME, TLS/SSL и других приложениях.
Мэтт ПаркерКадр: Computerphile / YouTube
Этот материал — пересказ видео Майкла Паунда.
Открытый ключ состоит из двух чисел {e, n}, где e — экспонента (простое число), а n — модуль (произведение двух простых чисел). Данные шифруются следующим образом:
E = xe mod n
Здесь x — исходное значение, а E — полученный шифр. Мы возводим число x в степень e и вычисляем результат по модулю n.
Вернёмся к задаче Паркера. Такое вычисление нельзя сделать на карманном калькуляторе, и в видео на Numberphile Мэттью использует программу WolframAlpha, что разумно — я и сам часто провожу вычисления именно в этой программе.
Но мы попробуем применить алгоритм Square & Multiply (возведения в квадрат и умножения). Его можно использовать даже при вычислениях с очень большими числами.
Например, нам нужно рассчитать результат вычисления некоторого числа, возведённого в степень с показателем из 2000 бит, состоящего из 600 или более цифр, по модулю другого 2000-битного числа.
Это невероятно большие числа, и если проводить вычисления последовательно: сначала возводить исходное значение в степень, а потом вычислять результат по модулю — то это потребует больших ресурсов процессора и займёт много времени. Но с помощью алгоритма Square & Multiply время вычисления можно значительно сократить.
Напомним, что вычисление по модулю означает, что 23373 нужно последовательно делить на 747, пока остаток не будет меньше 747 (напомню, это всё числа из задачи Паркера).
В итоге такая операция похожа на часы.
Вы прокручиваете стрелки до 12, а потом опять начинаете с 1, 2, 3. Но в нашем случае делений на циферблате будет намного больше.
Кадр: Computerphile / YouTubeДаже если не брать операцию с модулем, то возвести 23 в степень 373 очень сложно. Чтобы ускорить вычисление, применим алгоритм Square & Multiply.
Сначала рассмотрим его на простом примере — вычислим 28.
Мы можем произвести семь операций умножения:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Но можно пойти другим путём:
2 × 2 = 22
(22) × (22) = 24
(24) × (24) = 28
Прекрасно — на выходе мы получили всего три операции умножения! Здесь мы возводим в квадрат не исходное число, а промежуточные значения.
Чтобы перейти к большим числам, рассмотрим механизм, который называется «квадрат слева направо».
Идея состоит в том, чтобы представить показатель степени в двоичном формате. Рассмотрим ещё один пример:
345 mod 7
Пример достаточно необычный. Сначала нужно вычислить огромное промежуточное значение 345, от которого в итоге по mod 7 получим маленькое число от 0 до 6.
Переведём показатель степени 45 в двоичную систему счисления:
101101
Теперь нам нужно определить, чему равно 3101101.
Отвлечёмся от конкретных цифр и представим, что нам нужно возвести в квадрат y1 (показатель степени записан в двоичном формате).
Получим
(y1) × (y1) = y10 (1 + 1 = 10 в двоичной системе)
Результат снова возведём в квадрат:
(y10) × (y10) = y100 (10 + 10 = 100 в двоичной системе)
Мы видим, что каждый раз, когда число возводится в квадрат, показатель степени сдвигается на один бит влево.
Умножив результат на исходное число, получим
(y100) × y = y101
Мы получили два правила:
- если число возводится в квадрат, к показателю степени слева «приписывается» 0;
- если результат умножается на исходное число, к показателю степени прибавляется 1.
Используя эти правила, мы сможем воссоздать показатель степени 101101 за минимальное количество шагов. Цифры показателя будем получать слева.
Сбоку напишем код операции:
- S (Square) — возведение в квадрат;
- M (Multiply) — умножение на исходное число.
| Код | В двоичном формате | В десятичном формате |
|---|---|---|
| S | 31 × 31 = 310 | 32 |
| S | 310 × 310 = 3100 | 34 |
| M | 3100 × 3 = 3101 | 35 |
| S | 3101 × 3101 = 31010 | 310 |
| M | 31010 × 3 = 31011 | 311 |
| S | 31011 × 31011 = 310110 | 322 |
| S | 310110 × 310110 = 3101100 | 344 |
| M | 3101100 × 3 = 3101101 | 345 |
Чтобы посчитать остаток 345 mod 7, используем свойство оператора mod:
(a × b) mod n = [(a mod n) × (b mod n)] mod n
Это означает, что мы можем не вычислять результат каждой операции S или M, а найти остатки по модулю каждого сомножителя, перемножить их и применить к произведению операцию mod.
В результате получим:
| Код | В двоичном формате | mod 7 |
|---|---|---|
| S | 31 × 31 = 310 | 3 × 3 mod 7 = 2 |
| S | 310 × 310 = 3100 | 2 × 2 mod 7 = 4 |
| M | 3100 × 3 = 3101 | 4 × 3 mod 7 = 5 |
| S | 3101 × 3101 = 31010 | 5 × 5 mod 7 = 4 |
| M | 31010 × 3 = 31011 | 4 × 3 mod 7 = 5 |
| S | 31011 × 31011 = 310110 | 5 × 5 mod 7 = 4 |
| S | 310110 × 310110 = 3101100 | 4 × 4 mod 7 = 2 |
| M | 3101100 × 3 = 3101101 | 2 × 3 mod 7 = 6 |
Используя алгоритм Square & Multiply, мы легко посчитали, что 345 mod 7 = 6.
Для этого нам не пришлось 45 раз перемножать тройки, чтобы вычислить огромное-огромное промежуточное число — 3 в 45-й степени. Это очень полезно для криптографии.
Вернёмся к нашему первому примеру 23373 mod 747. Показатель степени 373 в двоичном формате будет равен 101110101. Это большое число, и мы не будем применять к нему весь алгоритм Square & Multiply. Распишем коды операций возведения в квадрат и умножения.
| S | 10 | 232 |
| S | 100 | 234 |
| M | 101 | 235 |
| S | 1010 | 2310 |
| M | 1011 | 2311 |
| S | 10110 | 2322 |
| M | 10111 | 2323 |
| S | 101110 | 2346 |
| S | 1011100 | 2392 |
| M | 1011101 | 2393 |
| S | 10111010 | 23186 |
| S | 101110100 | 23372 |
| M | 101110101 | 23373 |
Если расписать, как в предыдущем примере, все операции S и M и вычислить результаты по mod 747 (без калькулятора здесь не обойтись), то конечный результат будет равен 131.
Количество операций здесь — 13. Мы видим, что оно зависит от показателя степени. Для каждого нуля промежуточное значение возводится в квадрат, а для единицы — возводится в квадрат и умножается на исходное значение. Получается, чем больше единиц, тем больше операций.
Теперь рассмотрим простое число 65537. Его используют в качестве экспоненты в открытых ключах большинства сертификатов RSA. Например, когда сервер выдаёт вам сертификат, открытый ключ обычно состоит из числа 65537 и какого-то полупростого числа n.
Почему так? Дело в том, что 65537 — это число Ферма, которое можно представить как 216 + 1. В двоичной системе счисления оно равно:
100000000000000001 (две единицы, а между ними 16 нулей).
При проверке электронной подписи, помимо проверки заполнения и множества других вещей, компьютер вычисляет какое-то сообщение, или его хеш, или его представление в таком виде:
h(m)65537
Вычисление будет выполняться достаточно быстро, так как в двоичном представлении числа 65537 почти нет единиц.
Вычисляется множество квадратов, и только в конце производится одно умножение. Подобная проверка осуществляется каждый раз, когда вы заходите на веб-сайт.
Но здесь я хочу добавить, что скорость проверки зависит не только от открытого, но и от закрытого ключа, который в RSA используется для расшифровки данных. А в нём количество нулей и единиц может быть каким угодно. Тем не менее использование числа 65537 в открытом ключе ускоряет вычисление и экономит ресурсы компьютеров.
Читайте также:
Умножение показателей степени – объяснение и примеры
Показатели степени – это степени или индексы. Показатель степени или степень обозначает, сколько раз число многократно умножается само на себя. Например, когда мы сталкиваемся с числом, записанным как 5 3 , это просто означает, что 5 умножается само на себя три раза. Другими словами, 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125.
Показательное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого b, и показателя степени, обозначаемого n.
Общая форма экспоненциального выражения: b п .
Выполнение умножения в степени является важной частью математики более высокого уровня, однако многие учащиеся с трудом понимают, как выполнять эту операцию. Хотя выражения, включающие отрицательные и множественные показатели степени, кажутся запутанными.
В этой статье мы изучим умножение показателей степени, и, следовательно, это поможет вам чувствовать себя намного более комфортно при решении задач с показателями степени.
Умножение показателей влечет за собой следующие подтемы:
- Умножение экспонентов с той же базой
- Умножение экспоненты с различными основаниями
- Умножение отрицательных экспонентов
- Умножающихся фракций Multiplication
- 2121002 Multipling Emponsling 9002 с Emponsling Emponsling 9002 Supponling Emponsling 9002 с Emponsling Emponsling 9002 с ряд.
Умножение показателей степени с одинаковым основанием
При умножении показателей степени с одинаковым основанием степени складываются.
Правило умножения сложения показателей степени при одинаковых основаниях можно обобщить следующим образом: a N x A M = A N+ M
Пример 1
- M⁵ × M³ = (M × M × M × M) × (M × M × M)
9000 2 × M) × (M × M × M) = m 5 + 3
= m⁸
- 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3 = 3⁶
- (-3) ³ (-3) ⁴ = [(-3) × (-3) × (-3)] × [(-3) × (-3) × (-3) × (-3)]
= (- 3) 3 +4
= (-3) 7
- 5³ ×5⁶
= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
= 5 3+6
= 5⁹
- (-7) 10 × (-7 ) ¹²
= [(-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7 ) × (-7)] × [(-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × ( -7) × (-7) × (-7) × (-7)].
= (-7) ²²
Умножение показателей степени с разными основаниями
При умножении двух переменных с разными основаниями, но с одинаковыми показателями степени, мы просто умножаем основания и помещаем один и тот же показатель степени.
Это правило можно резюмировать следующим образом:
A N ⋅ B N = (a ⋅ B) N
Пример 2
- (x 3 ) *(Y 3 ) = XXX *yyy = ((Y 3 ) = XXX *yyy = (x = (y 3 ) = xxx *yyy. x y) 3
- 3 2 x 4 2 = (3 x 4) 2 = 12 2 = 144
Пример 3
- 3 2 x 4 3 =
- = 576
222 2 x 4 3 = 9000 = 576222 2 x 40003 3 = 9000 = 57622229 2 3 = - 2 3 9004 =
- 2 3 9004. экспоненты?
Для чисел с одинаковым основанием и отрицательными показателями степени мы просто добавляем степени.
В общем случае: а -n х а -m = а — (n + m) = 1 / a n + m . Пример 4
- 2 -3 x 2 -4 = 2 -(3+4) = 2 -7 = 1/2 7 = 1 /10004 = 70004 = 1/2 7 = 1 /10004 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0,0078125
Точно так же, если основания разные, а показатели степени одинаковы, мы сначала умножаем основания и используем показатель степени.
a -n x b -n = (a x b) -n
Пример 5
- 3 -2 x 4 -2 = (3 x 4) -2 = 12 -2 = 1 / 12 2 / 2 = 1/2 / 2 1 4 (4 ⋅ 1) 4 1 = 1 = 0,0069444
- Как умножать дроби с показателями степени?
При умножении дробей с одинаковым основанием мы складываем степени.
Например:(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m
- Пример 6
0021 (4/3) 3 x (3/5) 3 = ((4/3) x (3/5)) 3 = (4/5) 3 = 0,8 3 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0,512 - (4/3) 3 x (4/3) 2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 4 5 / 3 5 = 4,214
- (-1/4) -3 × (-1/4) -2
(-1/4) -3 × (-1/4)0 -2
= (4/-1) 3 × (4/-1) 2
= (-4) 3 × (-4) 2
= (-4) (3 + 2)
= (-4) 5
= -4 5
= -1024. - ( -2 / 7 ) -4 × ( -5 / 7 ) 2
( -2 / 7 ) -4 -5 -5 ( -5-5-5-5-5-5-5-5-51313 7 ) -4 -5 -5 -5-51313 7)0 ( -2 / 7 )
/ 7 ) 2
.
= (7/-2) 4 × (-5/7) 2
= (-7/2) 4 × (-5/7) 2
= (-7) 4 /2 4 × (-5) 2 /7 2
= {7 4 × (-5) 2 } /{2 4 × 7 2 }
= {7 2 × (-5) 2 2 }/2 4
= [49 × (-5) × (-5)]/16
= 1225/16 - Как умножать дробные степени?
- 2 3// 2 9Аналогично 0004 x 3 3/2 = (2⋅3) 3/2 = 6 3/2 = √ (6 3 ) = √216 = 14,7
- ,900 степеней степени различные показатели имеют общую формулу: a (n/m) x a (k/j) = a [(n/m) + (k/j)]
Пример 8
- 2 (3/2) x 2 (4/3) = 2 [(3/2) + (4/3)] = 7,127
- Как умножать квадратные корни с показателями степени ?
Для показателей с одинаковым основанием мы можем добавить показатели степени:
(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2 7
7 90 Пример 90- (√5) 2 x ( √ 5) 4 = 5 (2+4)/2 = 5 6/2 = 5 3 = 125
- 20203
- Умножение переменных с показателями степени
Для показателей степени с одинаковым основанием мы можем сложить показатели степени:
x N * x M = x N + M
Пример 10
- X 2 * X 3 = (X * x) ⋅ (x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x * x) = x 2 + 3 = x 5
арифметика — континуум между сложением, умножением и возведением в степень?
Есть (по крайней мере) один вариант — однако в зависимости от того, доступно ли решение задачи «дробная итерация логарифма» (иначе: «Тетрация».
Обратите внимание, что в тетрационном форуме есть обмен на различные подходы к этой проблеме). 9{\ circ h} (y)) = x \ {\ circ _h \} y
$$
где символ операции-круг и индекс $h$ означают интерполированную операцию между «+» (при $h=0$) и «*» (при $h=1$).Теперь посмотрим, оправдано/можно ли реализовать наше предположение о существовании таких дробных итераций:
- Если основание $b$ равно $\exp(1)$, то можно прибегнуть к решению Хельмута Кнезера для дробная итерация $\exp(x)$, которая дает аналитическое выражение для этого, реальное для реальных аргументов, насколько я правильно понял. 9{1/e}$ и может использовать более простой и понятный механизм Шредера для решения итеративного лоаарифма/возведения в степень. В частности, процедура для базы $b=\sqrt{2}$ обсуждается и описывается по ширине и ширине на форуме тетратии.
- В википедии «tetration» есть некоторая вводная информация по этой основной проблеме.
(Примечание: это всего лишь один специальный подход; он, например, не дает решения, сравнимого с тем, которое можно было бы ожидать, когда мы подходим к проблеме через интерполяцию функции Аккермана, как показано Даниэль Гейслер) 9{1/t} =\sqrt2 \приблизительно 1,414$ с $t_l=2$ соответственно $t_u=4$ для логарифма и возведения в степень.
Для полуэкспонент/полулогарифмов формулы относятся к нижней неподвижной точке $t_l=2$ для $x \le 3$ и к верхней неподвижной точке $t_u=4$ для $x>3$ и используют известный механизм Шредера для полуитеративного.[обновление]: В комментарии MphLee предоставил ссылку на википедию, где эта схема «гипероперации» упоминается как принадлежащая А. Беннету (но не затем обобщается на дробные порядки / дробные высоты итераций $\log ()$ и $\exp()$ )
добавление $h=0$ ($\text{«+»}=\circ _0$)
o_0="+"| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | - + - - - - - - - - - - + 1 | 2.00000 3.00000 4.00000 5.00000 6.00000 7.00000 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 | 2 | 3.00000 4.00000 5.00000 6.00000 7.00000 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 | 3 | 4,00000 5,00000 6,00000 7,00000 8,00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 | 4 | 5.00000 6.00000 7.00000 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 | 5 | 6.00000 7.00000 8. 00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 |
6 | 7.00000 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 |
7 | 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 |
8 | 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 |
9| 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 |
10 | 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 |
- + - - - - - - - - - - +
«умножение наполовину» $h=0.5$ ($\circ _{0.5}$) с основанием $b=\sqrt2$ с использованием механизма Шредера
o_0.5 | 1 2 3 4 5 6 7 8 910 | ----- + - - - - - - - - - - + 1 | 1,42469 2,55554 3,67186 4,77842 5,87792 6,97204 8,06187 9,14818 10,2315 11,3123 | 2 | 2,55554 4 5,39214 6,75005 8,08354 9,39847 10,6987 11,9868 13,2648 14,5340 | 3 | 3,67186 5,39214 7,02490 8,60114 10,1372 11,6429 13,1245 14,5863 16,0315 17,4625 | 4 | 4,77842 6,75005 8,60114 10,3749 12,0939 13,7715 15,4163 17,0342 18,6296 20. 2057 |
5 | 5,87792 8,08354 10,1372 12,0939 13,9820 15,8183 17,6136 19,3754 21,1090 22,8185 |
6 | 6,97204 9,39847 11,6429 13,7715 15,8183 17,8034 19,7397 21,6361 23,4990 25,3332 |
7 | 8,06187 10,6987 13,1245 15,4163 17,6136 19,7397 21,8094 23,8332 25,8183 27,7704 |
8 | 9,14818 11,9868 14,5863 17,0342 19,3754 21,6361 23,8332 25,9783 28,0799 30,1443 |
9 | 10,2315 13,2648 16,0315 18,6296 21,1090 23,4990 25,8183 28,0799 30,2932 32,4652 |
10 | 11,3123 14,5340 17,4625 20,2057 22,8185 25,3332 27,7704 30,1443 32,4652 34,7408 |
- + - - - - - - - - - - +
умножение $h=1$ ($\text{«*»}=\circ _{1}$)
o_1="*"| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | - + - - - - - - - - - - + 1 | 1.00000 2.00000 3.00000 4.00000 5.00000 6.00000 7.00000 8.00000 9.00000 10.0000 | 2 | 2.00000 4.00000 6.00000 8.00000 10.0000 12.0000 14.0000 16.0000 18.0000 20.0000 | 3 | 3.00000 6.00000 9.00000 12.0000 15.0000 18.0000 21.0000 24. 0000 27.0000 30.0000 |
4 | 4.00000 8.00000 12.0000 16.0000 20.0000 24.0000 28.0000 32.0000 36.0000 40.0000 |
5 | 5.00000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000 30.0000 35.0000 40.0000 45.0000 50.0000 |
6 | 6.00000 12.0000 18.0000 24.0000 30.0000 36.0000 42.0000 48.0000 54.0000 60.0000 |
7 | 7,00000 14,0000 21,0000 28,0000 35,0000 42,0000 49.0000 56.0000 63.0000 70.0000 |
8 | 8.00000 16.0000 24.0000 32.0000 40.0000 48.0000 56.0000 64.0000 72.0000 80.0000 |
9 | 9.00000 18.0000 27.0000 36.0000 45.0000 54.0000 63.0000 72.0000 81.0000 90.0000 |
10 | 10.0000 20.0000 30.0000 40.0000 50.0000 60.0000 70.0000 80.0000 90.0000 100.000 |
- + - - - - - - - - - - +
на полпути между умножением и коммутативным(!) показателем степени $h=1.5$($\text{«??»}=\circ _{1.5}$)
3/2 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | - + - - - - - - - - - - + 1 | 0,856374 1,42469 1,95136 2,45125 2,93192 3,39780 3,85179 4,29587 4,73152 5,15984 | 2 | 1,42469 4,00000 7,02490 10,3749 13,9820 17,8034 21,8094 25,9783 30,2932 34,7408 | 3 | 1,95136 7,02490 13,8017 21,9113 31,1374 41,3357 52,4022 64,2572 76,8377 90,0920 | 4 | 2,45125 10,3749 21,9113 36,4401 53,5757 73,0498 94,6618 118,254 143,699 170,889 | 5 | 2,93192 13,9820 31,1374 53,5757 80,7547 112,281 147,853 187,226 230,200 276,603 | 6 | 3,39780 17,8034 41,3357 73,0498 112,281 158,529 211,396 270,556 335,735 406,696 | 7 | 3,85179 21,8094 52,4022 94,6618 147,853 211,396 284,818 367,723 459,769 560,660 | 8 | 4,29587 25,9783 64,2572 118,254 187,226 270,556 367,723 478,278 601,830 738,030 | 9| 4,73152 30,2932 76,8377 143,699 230,200 335,735 459,769 601,830 761,492 938,375 | 10 | 5. 15984 34.7408 90.0920 170.889 276.603 406.696 560.660 738.030 938.375 1161.30 |
- + - - - - - - - - - - +
Коммутативный(!) показатель степени $h=2$($\text{«??»}=\circ _{2}$)
2 | 1 2 3 4 5 6 7 8 910 | - + - - - - - - - - - - + 1 | 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 | 2 | 1.00000 4.00000 9.00000 16.0000 25.0000 36.0000 49.0000 64.0000 81.0000 100.000 | 3 | 1,00000 9,00000 32,5416 81,0000 164,317 292,874 477,416 729,000 1058,95 1478,85 | 4 | 1,00000 16,0000 81,0000 256,000 625,000 1296,00 2401,00 4096,00 6561,00 10000,0 | 5 | 1,00000 25,0000 164,317 625,000 1761,64 4107,92 8404,54 15625,0 27000,1 44040,9 | 6 | 1,00000 36,0000 292,874 1296,00 4107,92 10543,5 23393,4 46656,0 85775,3 147885. | 7 | 1.00000 49.0000 477.416 2401.00 8404.54 23393.4 55587.9 117649. 227926. 411822. | 8 | 1.00000 64.0000 729.000 4096.00 15625.0 46656.0 117649. 262144. 531441. 1.00000E6 | 9 | 1,00000 81,0000 1058,95 6561,00 27000,1 85775,3 227926.
531441. 1.12138E6 2.18701E6 |
10 | 1.00000 100.000 1478.85 10000.0 44040.9 147885. 411822. 1.00000E6 2.18701E6 4.40409E6 |
- + - - - - - - - - - - +
(Примечание: поскольку двойное логарифмическое число $1$ было бы отрицательной бесконечностью, я заменил это приближением и вставкой $1+1e-20$ вместо $1$)
Мы можем даже определить отрицательную половину индекс операции:
-1/2 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | - + - - - - - - - - - - + 1 | 2,55554 3,32163 4,13229 4,97809 5,85143 6,74644 7,65862 8,58454 9,52153 10,4676 | 2 | 3,32163 4,00000 4,73255 5,50980 6,32348 7,16675 8,03408 8,92107 9,82421 10,7407 | 3 | 4.13229 4.73255 5.39214 6.10270 6.85632 7.64601 8.46581 9.31075 10.1767 11.0604 | 4 | 4.97809 5.50980 6.10270 6.75005 7.44491 8.18072 8.95160 9.75241 10.5787 11.4268 | 5 | 5,85143 6,32348 6,85632 7,44491 8,08354 8,76647 9,48824 10,2439 11,0289 11,8394 | 6 | 6,74644 7,16675 7,64601 8,18072 8,76647 9,39847 10,0719 10,7823 11,5252 12,2968 | 7 | 7,65862 8,03408 8,46581 8,95160 9,48824 10,0719 10,6987 11,3644 12,0652 12,7973 | 8 | 8,58454 8,92107 9,31075 9,75241 10,2439 10,7823 11,3644 11,9868 12,6460 13,3386 | 9| 9,52153 9,82421 10,1767 10,5787 11,0289 11,5252 12,0652 12,6460 13,2648 13,9184 | 10 | 10,4676 10,7407 11,0604 11,4268 11,8394 12,2968 12,7973 13,3386 13,9184 14,5340 | - + - - - - - - - - - - +и отрицательная операция $-1$
-1 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | - + - - - - - - - - - - + 1 | 3,00000 3,54311 4,16993 4,87350 5,64386 6,46968 7,33985 8,24439 9,17493 10,1248 | 2 | 3,54311 4,00000 4,54311 5,16993 5,87350 6,64386 7,46968 8,33985 9,24439 10,1749 | 3 | 4,16993 4,54311 5,00000 5,54311 6,16993 6,87350 7,64386 8,46968 9,33985 10,2444 | 4 | 4,87350 5,16993 5,54311 6,00000 6,54311 7,16993 7,87350 8,64386 9,46968 10,3399 | 5 | 5,64386 5,87350 6,16993 6,54311 7,00000 7,54311 8,16993 8,87350 9,64386 10,4697 | 6 | 6,46968 6,64386 6,87350 7,16993 7,54311 8,00000 8,54311 9,16993 9,87350 10,6439 | 7 | 7,33985 7,46968 7,64386 7,87350 8,16993 8,54311 9,00000 9,54311 10,1699 10,8735 | 8 | 8,24439 8,33985 8,46968 8,64386 8,87350 9,16993 9,54311 10,0000 10,5431 11,1699 | 9 | 9,17493 9,24439 9,33985 9,46968 9,64386 9,87350 10,1699 10,5431 11,0000 11,5431 | 10 | 10,1248 10,1749 10,2444 10,3399 10,4697 10,6439 10,8735 11,1699 11,5431 12,0000 | - + - - - - - - - - - - +
И чтобы увидеть, что разные способы определения дробной итерации возведения в степень приводят к разным таблицам умножения, я показываю здесь «полуумножение», взятое по основанию $b=2$, и реализацию с помощью того, что я назвал «полиномиальной тетрацией».
(которое основано на собственном разложении усеченных матриц Карлемана и, по-видимому, аппроксимирует решение Кнезера, когда усечение позволяет увеличить размер матрицы) b=2, размер матрицы=16×16
1,55799 2,75402 3,92565 5,08186 6,22771 7,36568 8,49732 9,62384 10,7460 11,8646
2,75402 4,31898 5,81047 7,25673 8,67206 10,0641 11,4377 12,7963 14,1424 15,4777
3,92565 5,81047 7,57736 9,27212 10,9176 12,5260 14,1053 15,6608 17,1964 18,7150
5,08186 7,25673 9,27212 11,1905 13,0426 14,8449 16,6080 18,3393 20,0440 21,7259
6,22771 8,67206 10,9176 13,0426 15,0851 17,0659 18,9982 20,8910 22,7508 24,5824
7,36568 10,0641 12,5260 14,8449 17,0659 19,2138 21,3042 23,3478 25,3524 27,3236
8,49732 11,4377 14,1053 16,6080 18,9982 21,3042 23,5440 25,7302 27,8714 29,9745
9,62384 12,7963 15,6608 18,3393 20,8910 23,3478 25,7302 28,0521 30,3235 32,5519
10,7460 14,1424 17,1964 20,0440 22,7508 25,3524 27,8714 30,3235 32,7197 35,0681
11,8646 15,4777 18,7150 21,7259 24,5824 27,3236 29,9745 32,5519 35,0681 37,5322 [обновление]: Приложение.
{1/e}$, где мы можем выполнять бесконечные итерации, а также иметь «обычный» метод интерполяции до дробных порядков/итераций с использованием метода Э. Шредера, который я пользовался здесь. См. скриншот какого-то абзаца в небольшой статье А. Беннетта:арифметика — Почему сложение и умножение коммутативны, а возведение в степень — нет?
$\begingroup$
Мое личное мнение таково, что экспонента естественным образом не рассматривается как следующий шаг в прогрессии от сложения к умножению, поэтому нет оснований ожидать, что она будет иметь общие свойства с двумя другими.
Обратите внимание, что произойдет, если вы потребуете, чтобы все ваши количества имели единиц. Сложение — это операция, которую вы выполняете с двумя величинами в одних и тех же единицах измерения: например, вы можете сложить два расстояния, чтобы получить другое расстояние. Умножение — это операция, которую вы выполняете над двумя величинами в единицах $a$ и $b$, чтобы получить величину в единицах $ab$; например, вы можете умножить два расстояния, чтобы получить площадь.
9b$, величина $b$ должна быть безразмерной, иначе нет разумного способа присвоить результату значение. Это говорит нам о том, что $a$ и $b$ обрабатываются совершенно по-разному, поэтому нет причин ожидать, что их переключение будет физически значимой операцией.Как я уже говорил на math.SE ранее, у экспоненты есть много обобщений в математике, и в большинстве из них основание и показатель степени — очень разные объекты: фактически, в большинстве из них основание — это просто $e$ .
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Вот мысль, которая не является полным ответом, но слишком длинна для комментария.
Сложение $a + b$ означает что-то вроде: Добавить $1$ к $a$, $b$ умножить на $= 1\cdot b + a$. Коммутативность здесь означает, что $1\cdot b + a = 1\cdot a + b$. Мы можем видеть, что это коммутативно только благодаря удачному использованию $1$; $cb + a \not= ca+b$ в общем случае.
Если бы мы определили преемственность как приращение двух, сложение больше не было бы коммутативным! 9a b$), что умножение коммутативно.Предположим, я определяю операцию $+_2$, означающую «сложение, при котором последовательность увеличивается на два», как было предложено выше. $a+_2b = 2a+b$. В этом случае умножение теряет коммутативность, так как $a +_2 a +_2 \dots +_2 a$ $b$ раз — это не то же самое, что $b +_2 b +_2 \dots$ a раз.
Итак, перевернув ваш вопрос: почему сложение и умножение коммутативны? Похоже, это из-за удачного выбора преемника. 9b$, но я думаю, что принцип верен.
Короче говоря, это потому, что «1» особенный. Надеюсь, это представляет некоторый интерес, хотя это не так «интуитивно», как мне бы хотелось.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Пожалуй, самый интересный момент в этой длинной истории: если $H_0\not= +1$, то никакие операции не являются коммутативными.
$\endgroup$
8
$\begingroup$
Думаю, я смогу облечь ответ Цяочу в геометрические термины.
Коммутативность сложения и умножения (в $\bf N$) можно рассматривать как соблюдение симметрии счетных блоков, расположенных определенным образом. Я помню, как в начальной школе видел большие числа, которые конкретно изображались в наших учебниках как 9.0017 сваи из блоков .(Их система включала $a_3$-много $10\times10\times10$ кубов блоков, $a_2$-много $10\times10$ квадратов блоков, $a_1$-много высоты-$10$ столбцов блоков и $a_0 $-много одиночных блоков для изображения числа в десятичном представлении $a_3a_2a_1a_0$.)
Давайте представим целые числа сами по себе как столбцы блоков. Тогда $a+b$ включает столбец с блоками $a$ под столбцом с блоками $b$, и $b+a$ наоборот. И $a+b$, и $b+a$ представляются операцией сложения в виде одного столбца. В отличие от этого, мы представляем $a\times b$ как прямоугольник блоков размеров $a$ на $b$. 9a$, и источник симметрии был убран.
В заключение, коммутативность операций по счету чисел, которые могут быть представлены с помощью этих визуальных конструкций, может рассматриваться как флиппинг-симметрия, которая является свойством, требующим постоянной размерности.
Таким образом, нарушение размерности является причиной нарушения симметрии.Кто-то, конечно, может возразить: «Ну, нет никакой переворачивающей симметрии, но почему вообще нет какой-либо симметрии, которая приводит к коммутативности?» В некотором смысле «большинство» бинарных операций некоммутативны, поэтому считать, что «случайная» бинарная операция некоммутативна, — это естественная предварительная позиция, которую следует занять до тех пор, пока не появятся доказательства обратного. Свидетельство обратного (переворачивание симметрии) поразительно очевидно в случаях сложения и умножения, но не возведения в степень. 9+$ и все $n \in \mathbb{N}$, определить $x\langle n+1\rangle y=\exp(\log x\langle n\rangle\log y).$
В общем случае: а -n х а -m = а — (n + m) = 1 / a n + m . 
Например:
Общая формула для этого случая: A N/M ⋅ B N/M = (A ⋅ B) N/M
Пример 7
Обратите внимание, что в тетрационном форуме есть обмен на различные подходы к этой проблеме). 9{\ circ h} (y)) = x \ {\ circ _h \} y
$$
где символ операции-круг и индекс $h$ означают интерполированную операцию между «+» (при $h=0$) и «*» (при $h=1$).
Для полуэкспонент/полулогарифмов формулы относятся к нижней неподвижной точке $t_l=2$ для $x \le 3$ и к верхней неподвижной точке $t_u=4$ для $x>3$ и используют известный механизм Шредера для полуитеративного.
00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 |
6 | 7.00000 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 |
7 | 8.00000 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 |
8 | 9.00000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 |
9| 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 |
10 | 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 |
- + - - - - - - - - - - +
2057 |
5 | 5,87792 8,08354 10,1372 12,0939 13,9820 15,8183 17,6136 19,3754 21,1090 22,8185 |
6 | 6,97204 9,39847 11,6429 13,7715 15,8183 17,8034 19,7397 21,6361 23,4990 25,3332 |
7 | 8,06187 10,6987 13,1245 15,4163 17,6136 19,7397 21,8094 23,8332 25,8183 27,7704 |
8 | 9,14818 11,9868 14,5863 17,0342 19,3754 21,6361 23,8332 25,9783 28,0799 30,1443 |
9 | 10,2315 13,2648 16,0315 18,6296 21,1090 23,4990 25,8183 28,0799 30,2932 32,4652 |
10 | 11,3123 14,5340 17,4625 20,2057 22,8185 25,3332 27,7704 30,1443 32,4652 34,7408 |
- + - - - - - - - - - - +
0000 27.0000 30.0000 |
4 | 4.00000 8.00000 12.0000 16.0000 20.0000 24.0000 28.0000 32.0000 36.0000 40.0000 |
5 | 5.00000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000 30.0000 35.0000 40.0000 45.0000 50.0000 |
6 | 6.00000 12.0000 18.0000 24.0000 30.0000 36.0000 42.0000 48.0000 54.0000 60.0000 |
7 | 7,00000 14,0000 21,0000 28,0000 35,0000 42,0000 49.0000 56.0000 63.0000 70.0000 |
8 | 8.00000 16.0000 24.0000 32.0000 40.0000 48.0000 56.0000 64.0000 72.0000 80.0000 |
9 | 9.00000 18.0000 27.0000 36.0000 45.0000 54.0000 63.0000 72.0000 81.0000 90.0000 |
10 | 10.0000 20.0000 30.0000 40.0000 50.0000 60.0000 70.0000 80.0000 90.0000 100.000 |
- + - - - - - - - - - - +
15984 34.7408 90.0920 170.889 276.603 406.696 560.660 738.030 938.375 1161.30 |
- + - - - - - - - - - - +
531441. 1.12138E6 2.18701E6 |
10 | 1.00000 100.000 1478.85 10000.0 44040.9 147885. 411822. 1.00000E6 2.18701E6 4.40409E6 |
- + - - - - - - - - - - +
(которое основано на собственном разложении усеченных матриц Карлемана и, по-видимому, аппроксимирует решение Кнезера, когда усечение позволяет увеличить размер матрицы) b=2, размер матрицы=16×16
1,55799 2,75402 3,92565 5,08186 6,22771 7,36568 8,49732 9,62384 10,7460 11,8646
2,75402 4,31898 5,81047 7,25673 8,67206 10,0641 11,4377 12,7963 14,1424 15,4777
3,92565 5,81047 7,57736 9,27212 10,9176 12,5260 14,1053 15,6608 17,1964 18,7150
5,08186 7,25673 9,27212 11,1905 13,0426 14,8449 16,6080 18,3393 20,0440 21,7259
6,22771 8,67206 10,9176 13,0426 15,0851 17,0659 18,9982 20,8910 22,7508 24,5824
7,36568 10,0641 12,5260 14,8449 17,0659 19,2138 21,3042 23,3478 25,3524 27,3236
8,49732 11,4377 14,1053 16,6080 18,9982 21,3042 23,5440 25,7302 27,8714 29,9745
9,62384 12,7963 15,6608 18,3393 20,8910 23,3478 25,7302 28,0521 30,3235 32,5519
10,7460 14,1424 17,1964 20,0440 22,7508 25,3524 27,8714 30,3235 32,7197 35,0681
11,8646 15,4777 18,7150 21,7259 24,5824 27,3236 29,9745 32,5519 35,0681 37,5322 
{1/e}$, где мы можем выполнять бесконечные итерации, а также иметь «обычный» метод интерполяции до дробных порядков/итераций с использованием метода Э. Шредера, который я пользовался здесь. См. скриншот какого-то абзаца в небольшой статье А. Беннетта:
9b$, величина $b$ должна быть безразмерной, иначе нет разумного способа присвоить результату значение. Это говорит нам о том, что $a$ и $b$ обрабатываются совершенно по-разному, поэтому нет причин ожидать, что их переключение будет физически значимой операцией.
Если бы мы определили преемственность как приращение двух, сложение больше не было бы коммутативным! 9a b$), что умножение коммутативно.
Коммутативность сложения и умножения (в $\bf N$) можно рассматривать как соблюдение симметрии счетных блоков, расположенных определенным образом. Я помню, как в начальной школе видел большие числа, которые конкретно изображались в наших учебниках как 9.0017 сваи из блоков .
Таким образом, нарушение размерности является причиной нарушения симметрии. Тогда $\langle 0 \rangle$ — сложение, а $\langle 1 \rangle$ — умножение. Но $\langle 2 \rangle$ — это возведение в степень , а не . Кроме того, мы можем доказать, что для всех $n$ верно, что $\langle n \rangle$ является одновременно коммутативным и ассоциативным.
Примечание . Для доказательства коммутативности функции $\exp$ и $\log$ даже не обязательно должны быть обратными друг другу. Они могут быть просто произвольными функциями. Чтобы доказать ассоциативность, нам нужно немного больше. В частности, мы требуем, чтобы $\exp$ и $\log$ были обратными. Однако мы по-прежнему не используем ни одно из их свойств, например $\log(xy) = \log x + \log y$ и т. д.
Вопрос 1 . Имеем ли мы существование обратных значений на каждом уровне (у нас есть отрицания на уровне $0$, обратные значения на уровне $1$ и ЧТО, если есть, на уровне $2$)?
Вопрос 2 . Имеет ли место форма дистрибутивности?
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Существует довольно хорошая эвристика, основанная на теории множеств. Если у вас есть два набора, $X,Y$, то:
$X\times Y=$ все упорядоченных пар 9Y$; то есть вы не можете просто переключить набор доменов с его диапазоном и ожидать изоморфизма набора в новом наборе функций (например, пусть один из наборов имеет только один член, а другой набор — более одного члена).
{n — 1} (x)) & \ text {иначе}
\end{случаи}
$ 9{n / 2}$, что индуцирует лучшее обобщение коммутативности.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Я знаю, что этот вопрос устарел, но я хочу добавить свой ответ на случай, если другие люди, подобные мне, наткнутся на него.
Сначала подумайте о переходе от сложения к умножению. Распределительные законы, наряду с уже существующей дополнительно структурой, предполагают, что 0*x = x*0 = 0 всегда. Таким образом, мы видим, что 0 превращается из единичного элемента сложения (х + 0 = 0 + х = х) в нулевой элемент или, как я его назову, «нулевой» элемент умножения. 9{\log a}$, что не является возведением в степень.
$\endgroup$
$\begingroup$
Мы начинаем с коммутативной операции сложения и рекурсивно повторяем ее, чтобы получить операцию умножения как повторяющееся сложение и обнаруживаем, что она остается коммутативной.
Можно предположить, что такое утверждение, как «повторяющиеся коммутативные операции, снова коммутативны». В этом случае можно было бы ожидать, что возведение в степень, которое также является итерацией коммутативной операции, само по себе будет коммутативным. Но возведение в степень не коммутативно, поэтому ожидаемое утверждение не выполняется. Почему бы и нет?
Итак, давайте посмотрим на доказательство коммутативности умножения из аксиом арифметики Пеано.
Обозначим преемника $n$ как $s(n).$ Умножение определяется рекурсивно через $s(m)\cdot n = m\cdot n + n$ с базовым случаем $0\cdot n=0. $
Мы хотим показать, что $m\cdot n = n\cdot m$ для всех $m,n\in\mathbb{N}.$ Проведем индукцию по $m$, вложенную в индукцию по $n$ . Пусть $S$ — множество натуральных чисел, которые коммутируют со всем в $\mathbb{N}$. Ясно, что $0\in S$. Предположим, что $n\in S$. Пусть $T$ — множество всех натуральных чисел, коммутирующих с $S(n)$. Ясно, что $0\in T$. Предположим, что $m\in T.
$ Тогда имеем
$$ s(m)\cdot s(n) = m\cdot s(n) + s(n)\qquad\text{(def of mult)}\\ = s (n) \ cdot m + s (n) \ qquad \ text {(ind hyp 2)} \\ = (n\cdot m + m) + s(n)\qquad\text{(def of mult)}\\ = n\cdot m + (m + s(n))\qquad\text{(добавить ассоциацию)}\\ = n\cdot m + s(m + n)\qquad\text{(def of add)}\\ = n\cdot m + s(n + m)\qquad\text{(добавить запятую)}\\ = n\cdot m + (n + s(m))\qquad\text{(def of add)}\\ = (n\cdot m + n) + s(m)\qquad\text{(добавить ассоциацию)}\\ = (m\cdot n + n) + s(m)\qquad\text{(ind hyp 1)}\\ = s(m)\cdot n + s(m)\qquad\text{(def of mult)}\\ = n\cdot s(m) + s(m)\qquad\text{(ind hyp 1)}\\ = s(n)\cdot s(m)\qquad\text{(def of mult)}. $$ 9{с(н)}. $$
Два шага, выделенные красным цветом, являются недопустимыми шагами (кроме того, что базовый случай не выполняется), которые предполагают, что последующий продукт является продуктом с последовательным одним из факторов, который не выполняется: $\color{red }{s(m\cdot n) \neq m\cdot s(n)}$. Так что это причина того, что формальное доказательство коммутативности умножения не может быть перенесено на доказательство коммутативности возведения в степень.
В этом разница между сложением и умножением: последующая операция коммутирует со сложением, но не с умножением. $$(m+1)+n=(m+n)+1,$$, но $$(m+1)\cdot n\neq (m\cdot n)+1$$.
Умножение распределяется между сложением и последующей операцией, а не коммутирует с ней.
Другими словами, вопрос не должен звучать так: «Почему возведение в степень не коммутативно?». Лучший вопрос: «Почему является коммутативным умножением ?» Сложение коммутативно, потому что потомок ассоциативен, а умножение коммутативно, потому что с рекурсивной точки зрения это просто сложение, а сложение коммутирует с потомком. Ни для каких других операций, тем более для более высоких итераций, мы не должны ожидать, что это будет правдой.
Обратите внимание, что по сути это тот же ответ, который дал Ливен: если мы используем мультипликативную рекурсию вместо аддитивной, то параллели между итерациями сложения и умножения действительно существуют. Но я хотел увидеть ответ, указывающий точный шаг, на котором доказательство не работает, отсюда и мое предложение.
{1)} \quad&
G_{2,R}(x_0,b,h) &=& \underset{\text{h times}}{\underbrace{ (b \cdot \ldots (b \cdot (b \cdot} } (x_0)) )) \\
G_{3,L}(x_0,b,h) &=&(((( x_0) \underset{\text{h times}}{\underbrace{ \uparrow b) \uparrow b ) \ldots \uparrow b) } } &\quad \quad & G_{3,R}(x_0,b,h) &=& \underset{\text{h times}}{ \underbrace{ (b \uparrow \ldots (b \uparrow (b \uparrow} } (x_0 ))))
\end{eqnarray}$ 9{1)}$ только над определенными (например: скалярными) полями
Здесь мы имеем симметрию в левой или правой ассоциативности $G_{1,L} = G_{1,R} (=G_1)$ и над скалярным полем $G_{2,L} = G_{2,R} (=G_2) $
В $G_1$ имеем даже взаимозаменяемость итератора и базы $G_1(x_0,b,h) = G_1(x_0,h,b)$
Теперь мы можем посмотреть на элементы со специальными значениями в $x_0$ и $b$, чтобы обнаружить, что операция «нейтральна» ($b=0$ для сложения и $b =1$ для умножения и «степени» ($G_{3,L}$)) и становится «поглощающим» для некоторых элементов ($b=0$,$x_0=0$ для умножения и $x_0=1$ для «степени» ($G_{3,L}$) и $b=1$ для «возведения в степень» ($G_{3,R}$)) а также при поглощающих эффектах $\infty$ и неподвижных точек в $G_{3,R}$ и т.
д. …
Если посмотреть на все это и даже немного дальше, то чудо «нарушения симметрии» после двух операций сложения и умножения становится менее загадочным и лишь одним малым между прочими изменениями свойств (хотя оно, конечно, примечательно… ).
Дополнительное замечание: хотя я расширяю здесь иерархическую схему, основанную на итерации операций, я считаю полезным помнить, что говорит Кьяочу Юань, что различные операции следует рассматривать в каком-то другом виде, сфокусированном на некоторых качественных (?)/топологических (?) свойства, например экспоненциальное отображение в комплексной плоскости.
$\endgroup$
$\begingroup$
Потому что никто не нашел никакого реального применения для оператора коммутативного возведения в степень, пока кто-нибудь не изучил достаточно внимательно логарифмически нормальное распределение вероятностей, которое можно найти в бесчисленных естественных и искусственных процессах, в физике, науках о жизни, социальных науках, и экономичность.
Статья Missing Operation дает простое введение в эту тему.
$\endgroup$
$\begingroup$
Я полностью согласен с тем, что это «нарушение симметрии» происходит из-за того, что мы не до конца понимаем сложение и умножение. Есть много типов колец, например. властно-ассоциативные кольца и т.п. но не в этом дело. Что именно позволяет так легко поменять местами «операцию» с «количеством» под оператором сложения?
Для вашего предложения:
Я хотел бы увидеть ответ, который либо: определяет «новую» возведение в степень (путем другого обобщения), которая является одновременно ассоциативной и коммутативной
Я думал, что для порядковых чисел возведение в степень ассоциативно, но это не так. Но могут быть математические конструкции, возведение Якобсталя в степень (?), для которых это так.
$\endgroup$
$\begingroup$
Возможно, это то, что вы ищете:
https://sites.