Возведение в степень i: Возведение числа в степень — Онлайн калькуляторы

Возведение в степень . Вечность

Эти две операции — возведение в степень и взятие логарифма — одинаково просты или сложны для понимания, ведь между ними много общего. На самом деле они противоположны друг другу: одна операция отменяет другую. Если выбрать какое-то число, возвести его в степень, а затем взять логарифм от результата, то мы получим то самое число, с которого начали. Как бы то ни было, со степенями мы в повседневной жизни сталкиваемся намного чаще, поэтому они нас не так ужасают. Начнем с них.

Операция возведения в степень означает, что мы берем некое число, называемое основанием, и возводим его в степень другого числа. То есть попросту умножаем основание само на себя ровно столько раз, в какую степень его требуется возвести. Основание записывается в виде обычного числа, а степень — в виде индекса сверху. Вот несколько простых примеров:

2² = 2 ? 2 = 4,

2⁵ = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 32,

4³ = 4 ? 4 ? 4 = 64

(Мы используем точку для обозначения операции умножения, а не символ ?, так как его очень легко перепутать с буквой

x. ) Один из самых удобных случаев возведения в степень — тот, когда в качестве основания берется число 10; в этом случае степень соответствует просто-напросто числу нулей справа от единицы:

10¹ = 10,

10² = 100,

10⁹ = 1 000 000 000,

10²¹ = 1 000 000 000 000 000 000 000

В этом и заключается идея возведения в степень. Если говорить конкретно о показательной функции, то здесь мы имеем в виду, что фиксируем какое-то определенное основание и позволяем степени, в которую возводится это основание, быть переменной величиной. Если обозначить основание через a, а степень — через x, то получим:

a^x = a ? a ? a ? a ? a ? a … a ? x раз.

К сожалению, это определение может создавать впечатление, что показательная функция имеет смысл только в том случае, если степень

x — это положительное целое число. Как умножить число на само себя минус два раза? Или 3,7 раза? Здесь вам остается только верить, что магия математики позволяет определять показательную функцию для любого значения x. Результатом является гладкая функция с очень маленьким значением, когда x — отрицательное число, но резко возрастающая, когда x становится положительным, как показано на рис. П1.

^{Рис. П1. Показательная функция 10x. Обратите внимание, что она возрастает так быстро, что совершенно невозможно изобразить ее для больших значений x.}

Что касается показательных функций, есть две важные вещи, о которых необходимо помнить. Любое основание, возведенное в степень 0, равно 1, а любое основание, возведенное в степень 1, равно самому себе. Для основания 10 это выглядит так:

10⁰ = 1,

10¹ = 10.

Если степень — это отрицательное число, то результатом операции является число, обратное результату возведения в соответствующую положительную степень:

10^–1 = 1/10¹ = 0,1,

10^–3 = 1/10³ = 0,001.

То, что вы видите выше, — это всего лишь конкретные примеры из более общих свойств, которым подчиняется показательная функция. Одно из этих свойств является невероятно важным: если умножить два числа, представляющих собой одно и то же основание, возведенное в разные степени, то при перемножении степени складываются, а основание остается тем же самым:

10^x ? 10^y = 10^(x+y).

То же верно и в обратную сторону: показательная функция от суммы степеней равна произведению двух чисел, равных основанию, возведенному в эти степени.[312]

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с. Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы. Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым. Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений. Оглавление ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. (1/3) § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

Предварительное исчисление алгебры

— Что такое возведение в степень?

Чтобы провести параллель с умножением:
Если мы рассмотрим выражение $e\cdot \sqrt5$, я могу сказать вам, что оно представляет собой площадь прямоугольника со сторонами $e$ см и $\sqrt5$ см. Или, может быть, $e \cdot \pi$ — это стоимость $\pi$ кг материала, который стоит $e$ долларов за кг. Конечно, эти величины не были бы точными, но интуиция, лежащая в их основе, не нарушается. Идея повторного сложения остается в силе, просто добавляются дробные части терминов, а не все число. 9\sqrt{2}$ (или любая другая иррациональная сила). Что это значит? Или нет отношений в реальном мире?

Действительно есть!

На самом деле, наш последний пример был не совсем реальным. Мы предполагали, что количество бактерий будет мгновенно удваиваться ровно каждый раз, когда большая стрелка часов достигает 12. Но бактерии ведут себя не так хорошо.

Вместо этого давайте примем более разумное предположение: ученые проводили эксперименты, наблюдая за бактериями именно тогда, когда большая стрелка часов достигает двенадцати. Каждый раз они наблюдают ровно в два раза больше бактерий, чем в предыдущем эксперименте. Но ученые также знают, что бактерии могут увеличиваться непрерывно: в любое время между ними. 9{2h}$ (поскольку коэффициент прироста клеток через $j$ часов такой же, как коэффициент прироста бактерий через $2j$ часов).

---

• Закон Мура
• Сложные процентные ставки
• Экономическая инфляция
• Период полураспада радиоактивных веществ
• Цепные ядерные реакции

---

Источники изображений: 1, 2, 3.

логарифмов — Почему мне кажется, что я могу возводить отрицательные числа в степень i?

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 3 месяца назад

Изменено 7 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 416 раз

$\begingroup$

Недавно я столкнулся с идеей возведения числа в мнимую единицу, и я пытался понять, что это значит, и не нашел никаких полезных ресурсов.