Возведение в степень комплексного числа калькулятор: Возвести комплексное число в степень онлайн, подробное решение

Содержание

Возведение комплексного числа в степень калькулятор. Возведение комплексных чисел в степень

Начнем с любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа ,,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получается

два сопряженных комплексных корня.

Начнем с любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти.

Тогда, по формуле Муавра:

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа ,,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее,

два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.

Пример 13

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:,

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровнокорней, часть из которых может быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 14

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

Калькулятор Комплексных Чисел CaRevol Jet — Примеры использования Формульного калькулятора комплексных чисел CaRevol Jet | Siarion.net

Общий список вопросов про калькулятор комплексных чисел «CaRevol Jet»

1. Как выглядит калькулятор комплексных чисел «CaRevol Jet»?
2. Как указать мнимую часть комплексного числа?
3. Как правильно составить формулу?
4. Как пользоваться функциями?
5. Как вычислить модуль и аргумент комплексного числа?
6. Как я могу использовать константы?
7. А какие еще я могу использовать функции для расчетов с комплексными числами?

8. А вдруг ваш калькулятор неправильно считает?
9.

Я уже вычислил большую формулу, Можно ли использовать ее результат в другой формуле?

Как выглядит калькулятор комплексных чисел? скриншот калькулятора комплексных чисел «CaRevol Jet»

Как указать мнимую часть комплексного числа? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

Для того чтобы указать мнимую часть комплексного числа перед цифрой необходимо поставить знак i.

Нажав эту комбинацию кнопок вы получите число i7.

Нажав эту комбинацию кнопок вы получите число 6+i3.

Как правильно составить формулу? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

При составлении формул действуют обычные правила приоритетов. Сначала считается то, что внутри самых глубоких скобок, постепенно раскрывая скобки все вычисления сводятся до одного уровня.

Сначала выполняется деление и умножение потом сложение и вычитание.
Поэтому при расчетах правильно расставляйте приоритеты при помощи скобок.

Например следующие формулы дадут разный результат:

или деление

Как пользоваться функциями? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

При использовании функций необходимо открывать функцию соответствующей кнопкой, и после ввода аргумента закрывать кнопкой CF (close function). В разных скинах она выглядит немного по разному, но в формуле на экране калькулятора функциональные скобки являются квадратными. Например:

Как вычислить модуль и аргумент комплексного числа в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

Нажмите кнопочку «Vec» — в результате откроется окошко векторные функции и константы

Две большие оранжевые кнопки — mod и arg вычисляют модуль и аргумент комплексного числа. Остальные мелкие желтенькие кнопочки — это предопределенные константы для удобства вычислений.

например:

Аргумент вычисляется в радианах. Поэтому если вы хотите получить результат например в градусах, то нужно использовать функции преобразования мер углов. Эти функции находятся в окошке Geo.

Например в радианах:

И в градусах:

Как я могу использовать константы? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

Просто нажмите на кнопку с нужной константой и она уже в формуле.

А какие еще я могу использовать функции для расчетов с комплексными числами? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

Все функции, какие есть в калькуляторе вычисляются от комплексных чисел. Только функции преобразования углов используют исключительно реальное число в качестве аргумента.

Вычисление квадратного корня от комплексного числа:

Функции можно вкладывать друг в друга, Например вычисление аргумента комплексного числа полученного из корня квадратного -i9 в градусах:

А вдруг ваш калькулятор неправильно считает? калькулятор комплексных чисел «CaRevol Jet»

Возведение комплексного числа в комплексную степень:

Гиперболический синус комплексного числа:

Я уже вычислил большую формулу, Можно ли использовать ее результат в другой формуле? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet»

Да, можно. Для этого есть кнопка PR (previous result — предыдущий результат). Как это работает? как только вы нажали кнопку «=» результат вычислений записался в константу PR и теперь вы можете ее вставлять в последующие вычисления.

Подведем итоги того что было сказано выше и попробуем рассчитать первую космическую скорость. Вот формула из учебника:

Здесь
R_geo — радиус планеты. например Земля [6.37 x 10⁶ м].
g_geo — ускорение свободного падения на поверхности планеты. например Земля [9.81 м/с²].
g_geo — встроена как константа в калькулятор!
h — высота орбиты над поверхностью планеты. пусть будет 10км = 10 x 10³.

R_geo встречается дважды. Чтобы не набирать дважды, сначала запомним это число в предыдущем результате. А сам расчет формулы станет возможен за один проход. Итак приступим.
Запомним R_geo в PR :

После выполнения расчета [ = ] результат запоминается в PR. Теперь расчет формулы:

Результат: первая космическая скорость вывода ИСЗ на высоту 10(км)
для планеты Земля 7897,496 (м/с).

Комплексное возведение в степень | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Комплексные числа
Сложный самолет
Формула Эйлера — вывод
Комплексное возведение в степень — за пределами формулы Эйлера
Возведение комплексного числа в комплексное число
Сложные корни — распространенные ошибки
Применение цепи переменного тока
Смотрите также

Эта вики предполагает некоторое знакомство с комплексными числами \(z = x +iy,\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, а \(i\) — мнимое число, \(i = \sqrt{-1}. 2}\) и \(\theta\) — это угол между вектором в комплексной плоскости и осью \(x\), как определено на этом рисунке: 92}.\)

Аргумент (или фаза ) комплексного числа \(z = x + iy\) задается \(\theta\) таким образом, что \(x = \left |z \right | \cos \theta\ ) и \(y = \left |z \right | \sin \theta.\)

Отсюда мы можем преобразовать в полярные координаты

\(x = r \cos \theta\)
\(y = r \sin\theta\).

Или для единичного круга имеем

\(x = \cos \theta\)
\(y = \sin\theta\). 9{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta.\]
Этот знаменитый результат известен как формула Эйлера в честь математика Леонарда Эйлера, открывшего ее в 1748 году. для нахождения свойств, связанных с комплексными числами.
Покажите, что выполняются следующие тождества:
\[\begin{выравнивание} \cos(x+y) &= \cos x \cos y — \sin x \sin y\\ \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y, \конец{выравнивание}\]
по формуле Эйлера. 9{i\theta}.\]
Это делает умножение двух комплексных чисел интуитивно понятным и легким для визуализации.
Покажите, что умножение двух комплексных чисел равносильно сложению их углов и умножению их абсолютных значений.
Предположим, у вас есть два комплексных числа:
.
- \(z_1 = x_1 + i y_1\)
- \(z_2 = x_2 + i y_2.\)
Вы можете преобразовать их в полярные координаты, используя формулы: 9{10}\)?
Это можно сделать двумя способами:
- умножение \((3+3i)(3+3i) \cdots (3+3i)\) длинный путь;
- первое преобразование в полярные координаты.
Первый способ немного утомителен и подвержен ошибкам. Однако преобразование в полярные координаты может значительно упростить задачу. В данном случае
\[z = 3 + 3i.\]
Его полярные координаты дают нам
- \(г = 3\кв2\)
- \(\тета = \dfrac{\pi}{4}.\) 9n = r\), то мы будем иметь \(n\) равномерно распределенных точек на окружности радиуса \(\sqrt[n]{r}\), с аргументом \(\frac{2m\pi}{n} \), где \(m\) идет от \(0\) до \(n-1\).
  Многозначный характер комплексных корней может привести к некоторым очевидным парадоксам и ошибочным результатам.
  Например, можно утверждать (ошибочно), что
  \[-1 = i\cdot i = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt {(-1)\cdot (-1) } = 1.\]
  Проблема здесь, конечно, в том, что у вас есть несколько значений как для \(\sqrt{-1}\), так и для \(\sqrt{1},\), поэтому приведенное выше сильно зависит на какой ветке вы выберете. 9{i\omega t}\) и его результирующие свойства — могут использоваться для решения реальных задач, даже если они связаны с мнимыми числами.
  Рассмотрим, например, следующую электрическую цепь:
  Мы хотели бы понять, почему синусоидальная волна, создаваемая источником напряжения в цепи слева, создает формы волны справа.
  Чтобы проанализировать эту схему, мы сначала рассмотрим дифференциальные уравнения указанной выше схемы. В этом разделе мы предполагаем некоторое понимание фундаментального поведения схемы RLC. 9{i\omega t},\]
  где \(\omega\) — частота входного напряжения, которая будет синусоидальной.
  Примечание : инженеры-электрики часто используют \(j\) для обозначения мнимого числа \(i = \sqrt{-1}\), чтобы не путать его с переменной \(I\), используемой для текущий. Однако ради преемственности мы будем продолжать использовать \(i\).
  Теперь рассмотрим поведение каждого элемента.
  Напряжение на резисторе будет
  \[V_R = IR,\]
  где \(I\) — сила тока \((\) в амперах, \(\text{A})\) и \(R\) — сопротивление \((\) в омах, \(\Omega ).\)
  Напряжение на индукторе будет равно
  \[V_L = L\frac{dI}{dt},\]
  , где \(L\) — индуктивность индуктора \((\) в генри, \(\text{H}),\) и \(\frac{dI}{dt}\) — производная тока по времени.
  Напряжение на конденсаторе будет равно
  \[V_C = \frac{Q}{C},\]
  , где \(Q\) — заряд конденсатора, а \(C\) — его емкость. \((\)в фарадах, \(\text{F}).\) 9{i\omega t}\) по существу умножается на \(i\omega\), а интегрирование по существу делится на \(i\omega\). Таким образом, приведенное выше интегро-дифференциальное уравнение может быть гораздо проще записано как
  \[V_0 = IR + i\omega L + \frac{1}{i\omega C}.\]
  Обратите внимание, что \(Z_L = i\omega L\) называется импедансом \(L\), а \(Z_C = \frac{1}{i\omega C}\) импедансом \(C\).
  Переписывание,
  \[V_0 = IR + i\left(\omega L — \frac{1}{\omega C}\right).\]
  В этот момент вы можете сказать: «Эй, подождите, это ерунда, у нас все еще есть мнимые числа…» Однако теперь мы можем рассматривать это напряжение как вектор в комплексной плоскости, который будет иметь величину и фазу .
  Наконец, импеданс каждого элемента теперь рассматривается как «комплексное сопротивление», как если бы у нас было последовательно три резистора.
  Итак, решение для напряжения можно получить из следующих комплексных величин:
  - \(V_R = \frac{Z_RV_0}{Z_R + Z_L + Z_C}\) 9{i(\omega — \omega _n)t},\]
    где \(Z_{tot} = Z_R + Z_L + Z_C. \)
    Теперь, если мы просто посмотрим на реальную часть результата, мы можем полностью определить результирующие формы сигналов. То есть
    для резистора, амплитуда равна \(\frac{R}{Z_{tot}}\) и находится в фазе с приложенным напряжением;
    для катушки индуктивности, амплитуда равна \(\frac{Z_L}{Z_{tot}}\) и сдвинута по фазе на \(\omega _L\) по отношению к приложенному напряжению;
    для конденсатора, амплитуда равна \(\frac{Z_C}{Z_{tot}}\) и сдвинута по фазе на \(\omega _C\) по отношению к приложенному напряжению.
    Итак, мы увидели, что, используя сложные экспоненты, мы можем упростить и решить проблемы, результаты которых очень реальны и осязаемы. То есть, если бы мы измеряли идеальный вольтметр на элементах, результирующий сигнал выглядел бы точно так, как мы описали выше.
    Комплексные номера
    Формула Эйлера
    Рациональные показатели
    Полярные координаты — комплексные числа
    СБ — Экспоненты
    JEE — Комплексные числа
    Процитировать как: Комплексное возведение в степень. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/complex-exponentiation/
    How-to-expand-logarithms-calculator-Google Suce
    Sellervideosbüchumapsnewshopping
    Sulyptionen
    explaiting
    Sulyptionen
    2223
    SOLU .com › калькуляторы › расширяя-логарифм…
    Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора «Раскрывающиеся логарифмы». Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего …
    Калькулятор логарифмического расширения — Solumaths
    www.solumaths.com › calculate › expand_log
    Калькулятор может выполнять логарифмическое расширение выражения формы ln(a *b) путем предоставления результатов в точной форме: таким образом, чтобы расширить ln(3⋅x), …
    Expand Calculator — Symbolab 93
    Калькулятор расширяющихся логарифмов
    www. omnicalculator.com › математика › расширяющийся логарифм…
    02.11.2022 · Добро пожаловать в Omni калькулятор расширяющих логарифмов, где мы научимся раскладывать логарифмические выражения по трем простым формулы.
    Ähnliche Fragen
    Как разложить логарифм?
    Как логарифмировать на калькуляторе?
    Примеры предварительного исчисления | Расширение логарифмических выражений
    www.mathway.com › примеры › предварительное исчисление › расширение…
    Упростите каждый термин. Нажмите, чтобы увидеть больше шагов… Шаг 3.1. Перепишите …
    Расширение логарифмов — YouTube
    www.youtube.com › смотреть
    03.03.2017 · В этом видео показаны 2 примера раскрытия логарифмов с использованием свойств … проверить …
    Дауэр: 6:08
    Прислан: 03.03.2017
    Найди логарифмы с помощью калькулятора — YouTube
    www.youtube.com › смотреть
    08.04.2020 · В этом видео я показываю, как приблизительно вычислить значение логарифма с помощью калькулятора.
    No related posts.