Некоторые приемы решения целых уравнений. Простейшие уравнения с параметром
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Некоторые приемы решения
целых уравнений.
Простейшие уравнения с
параметром.
Неизвестные величины принято обозначать
последними буквами латинского алфавита (х, у, z,…),
параметры – первыми буквами (а, b, c, …).
3. Примеры возвратных уравнений
а) 7х³-2х²-2х+7=0;
б) 5х³-3х²-3х+5=0;
в) 12х⁴-7х³+2х²-7х+12=0;
г) 2х⁴+8х³-4х²+8х+2=0;
д) 6х⁵-7х⁴+2х³+2х²-7х+6=0.
Пример 1 Решим возвратное уравнение
7 x3 2 x 2 2 x 7 0
Выполним группировку первого и последнего, второго и третьего
членов уравнения, получим:
(7х³+7)-2х (х+1)=0 ;
7(х+1)(х²-х+1)-2х(х+1)=0;
вынесем общий сложный множитель за скобки
(х+1) (7х²-7х+7-2х)=0;
х+1=0
или 7х²-9х+7=0
х=-1
Д<0, квадратное уравнение корней не имеет
Ответ: х=-1.
Пример 2 Решим возвратное уравнение
x 4 7 x 3 8x 2 7 x 1 0
7 1
2
x 7x 8 2 0
x x
1
1
( x 2 2 ) 7( x ) 8 0
x
x
1
y x
x
1
(x ) 2 y 2
x
1
2
x 2 2 y2
x
x 4 7 x 3 8x 2 7 x 1 0
1
2
y
2
2
x
( y 2 2) 7 y 8 0
x2
y2 7y 6 0
y1 1
1
x 1
x
y2 6
1
x 6
x
x1 3 2 2
x2 3 2 2
x1 3 2 2
x2 3 2 2
Неизвестные величины принято обозначать
последними буквами латинского алфавита (х, у, z,…),
параметры – первыми буквами (а, b, c, …).
Решить уравнение с параметром – значит для каждого
значения параметра найти множество всех корней
данного уравнения или доказать, что корней нет.
Пример 3. Решить уравнение ax = 1.
Решение.
1. если a ≠ 0:
2. если a = 0: 0 · x = 1 – не имеет решений;
Пример 4. Решить уравнение a2x – 1 = x + a.
Решение.
a2x – 1 = x + a ;
a2x – x = a + 1;
x(a2 – 1) = a + 1;
1. если a2 – 1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1:
2. если a = 1, то есть 0 · x = 2:
3. если a = –1, то есть 0 · x = 0:
уравнение не имеет решений;
Решение.
ОДЗ:
а ≠ 2: x = 2a;
х – 4 ≠ 0;
a = 2: уравнение не имеет решений;
х ≠ 4;
х – 2а = 0;
х = 2а;
х ≠ 4:
2а ≠ 4;
а ≠ 2;
Ответ: если а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a;
если a = 2, то уравнение не имеет решений.
11. Домашнее задание
English Русский Правила
Простая физика — EASY-PHYSIC
Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:
Коэффициенты симметричны
Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный (в силу симметричности коэффициентов), и делением на могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.
Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.
Выполним деление в столбик:
Деление в столбик
Теперь приравняем к нулю второй множитель:
Получили возвратное уравнение четной степени. Убедимся в том, что не является его корнем, подставив вместо в уравнение. Получим неверное равенство: , значит, ноль не является корнем. Тогда можно разделить уравнение на . Почему делим на , а не на , например, или не на ? Это определяет степень старшего члена уравнения: если у старшего члена 4 степень, то, разделив ее пополам, понимаем, что делить будем на . Если бы была 6 степень, делили бы на — на и т.д.
После деления всего уравнения на получим:
Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:
Сделаем такую замену:
Но как выразить ? Да очень просто: раз видим, что во второй степени, то и возведем в квадрат. Получим:
То есть , или
Тогда уравнение будет выглядеть так:
Или ,
Сделаем теперь обратную замену:
— это уравнение корней не имеет, так как при его преобразовании выходит, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может.
Второе значение дает уравнение:
, или
Корнями этого уравнения являются: и — найдены с помощью теоремы Виета. Не забудем и про первый корень, который найден нами в самом начале: .
Ответ: , , .
Решим еще одно возвратное уравнение четной степени:
Здесь коэффициенты не равны, тем не менее, здесь может быть также применен уже знакомый нам прием решения.
Убедимся в том, что не является корнем, после чего разделим уравнение на .
Получим:
Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:
Сделаем такую замену: , сразу же возведем это выражение в квадрат, получим:
То есть , или
Тогда уравнение будет выглядеть так:
Определим дискриминант и рассчитаем корни:
,
Выполним обратную замену: , что даст нам уравнение , корнями которого будут , (найдены по сумме коэффициентов уравнения).
Либо: , что даст нам уравнение , корнями которого будут , (найдены по Виету).
Ответ: , , , .
Теперь можем перейти и к более сложным уравнениям, например, решим такое:
Это типичное возвратное уравнение, нечетной степени, значит, один корень равен , то есть требуется деление уравнения на . На этот раз поделим по схеме Горнера:
Схема Горнера
Приравняв второй множитель к нулю, имеем возвратное уравнение четной 6-ой степени, которое мы разделим на , предварительно убедившись, что — не его корень.
Получим:
Или
Поступаем аналогично тому, как мы это уже делали выше: вводим замену , и возводим это выражение в квадрат, и в куб:
То есть , или
То есть , откуда .
Тогда наше уравнение со всеми заменами будет таким:
Запишем его так:
Откуда или
Проведем обратную замену: , или , или
Имеем: — решений нет;
— корни
— корни
Не забудем про первый корень, который получили еще в начале решения:
Ответ: , ,
Ну и последнее на сегодня уравнение, решение которого не приведет нас к возвратному, но, тем не менее, уравнение интересное:
Нам сразу становится ясно, что решать придется уравнение 4-ой степени.
Приведем все к общему знаменателю:
Или:
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, поэтому:
Преобразуем, возводя в квадрат скобку (я умножила друг на друга две такие скобки):
Или
Вспоминаем, что, если уравнение имеет целые корни, то по теореме Безу они находятся среди делителей свободного члена. Делителями являются . По схеме Горнера первая же подстановка — 1 – дает нам корень. Имеем:
Для уравнения те же делители свободного члена, подбором быстро определяем, что 3 – корень уравнения:
Последнее уравнение даст нам два корня:
Ответ: , ,
Норма прибыли (RoR) Значение, формула и примеры
Что такое норма прибыли (RoR)?
Норма прибыли (RoR) — это чистая прибыль или убыток от инвестиции за определенный период времени, выраженная в процентах от первоначальной стоимости инвестиции. При расчете нормы прибыли вы определяете процентное изменение с начала периода до конца.
Ключевые выводы
- Норма прибыли (RoR) используется для измерения прибыли или убытка от инвестиций с течением времени.
- Показатель RoR можно использовать для различных активов, от акций до облигаций, недвижимости и произведений искусства.
- Влияние инфляции не учитывается при расчете простой нормы прибыли, но учитывается при расчете реальной нормы прибыли.
- Внутренняя норма доходности (IRR) учитывает временную стоимость денег.
Норма прибыли
Понимание нормы прибыли (RoR)
Норма прибыли (RoR) может применяться к любому инвестиционному инструменту, от недвижимости до облигаций, акций и изобразительного искусства. RoR работает с любым активом при условии, что актив куплен в определенный момент времени и обеспечивает денежный поток в какой-то момент в будущем. Инвестиции оцениваются частично на основе прошлой нормы прибыли, которую можно сравнить с активами того же типа, чтобы определить, какие инвестиции являются наиболее привлекательными.
Формула нормы прибыли (RoR)
Формула для расчета нормы прибыли (RoR):
Норма прибыли «=» [ ( Текущая стоимость − Начальное значение ) Начальное значение ] × 1 0 0 \text{Норма доходности} = [\frac{(\text{Текущее значение} — \text{Начальное значение})}{\text{Начальное значение}}]\times 100 Норма доходности = [Начальное значение (Текущее значение — Начальное значение)] × 100
Эту простую норму прибыли иногда называют базовой нормой роста или, в качестве альтернативы, рентабельностью инвестиций (ROI). Если вы также учтете влияние временной стоимости денег и инфляции, реальная норма прибыли также может быть определена как чистая сумма дисконтированных денежных потоков (DCF), полученных от инвестиций после поправки на инфляцию.
Норма доходности (RoR) по акциям и облигациям
Расчеты доходности акций и облигаций немного отличаются.
Предположим, что инвестор покупает акцию по цене 60 долларов за акцию, владеет акцией в течение пяти лет и получает в общей сложности 10 долларов в виде дивидендов. Если инвестор продает акцию за 80 долларов, его прибыль на акцию составит 80 долларов — 60 долларов = 20 долларов. Кроме того, он заработал 10 долларов дохода в виде дивидендов, что в сумме составляет 20 долларов + 10 долларов = 30 долларов. Таким образом, норма доходности акций составляет прибыль в размере 30 долларов на акцию, деленную на 60 долларов за акцию, или 50%.
С другой стороны, рассмотрим инвестора, который платит 1000 долларов за облигацию номинальной стоимостью 1000 долларов с 5%-ным купоном. Инвестиции зарабатывают 50 долларов в виде процентного дохода в год. Если инвестор продает облигацию за 1100 долларов в качестве премии и получает 100 долларов в виде общих процентов, норма прибыли инвестора равна 100 долларам прибыли от продажи плюс 100 долларов процентного дохода, деленного на первоначальные затраты в 1000 долларов, или 20%.
Реальная норма прибыли (RoR) и номинальная норма прибыли (RoR)
Простая норма прибыли считается номинальной нормой прибыли, поскольку она не учитывает влияние инфляции с течением времени. Инфляция снижает покупательную способность денег, поэтому 335 000 долларов через шесть лет — это не то же самое, что 335 000 долларов сегодня.
Дисконтирование является одним из способов учета временной стоимости денег. После учета влияния инфляции мы называем это реальной нормой прибыли (или нормой прибыли с поправкой на инфляцию).
Реальная норма прибыли (RoR) и совокупный годовой темп роста (CAGR)
Понятие, тесно связанное с простой нормой доходности, — это совокупный годовой темп роста (CAGR). CAGR — это среднегодовая доходность инвестиций за определенный период времени, превышающий один год, что означает, что расчет должен учитывать рост за несколько периодов.
Чтобы рассчитать совокупный годовой темп роста, мы делим стоимость инвестиции в конце рассматриваемого периода на ее стоимость в начале этого периода; возведите результат в степень единицы, деленную на количество периодов владения, например лет; и вычесть единицу из последующего результата.
Пример нормы прибыли (RoR)
Норма прибыли может быть рассчитана для любых инвестиций, связанных с любым видом активов. Давайте возьмем пример покупки дома в качестве основного примера для понимания того, как рассчитать RoR. Скажем, вы покупаете дом за 250 000 долларов (для простоты предположим, что вы платите 100% наличными).
Шесть лет спустя вы решаете продать дом — возможно, ваша семья растет, и вам нужно переехать в более просторное помещение. Вы можете продать дом за 335 000 долларов после вычета риэлторских сборов и налогов. Простая норма прибыли на покупку и продажу дома выглядит следующим образом:
( 3 3 5 , 0 0 0 − 2 5 0 , 0 0 0 ) 2 5 0 , 0 0 0 × 1 0 0 «=» 3 4 % \frac{(335 000-250 000)}{250 000} \times 100 = 34\% 250 000 (335 000−250 000) × 100 = 34%
А что, если вместо этого вы продали дом дешевле, чем заплатили за него, скажем, за 187 500 долларов? Это же уравнение можно использовать для расчета убытка или отрицательной нормы прибыли по сделке:
( 1 8 7 , 5 0 0 − 2 5 0 , 0 0 0 ) 2 5 0 , 0 0 0 × 1 0 0 «=» − 2 5 % \frac{(187 500 — 250 000)}{250 000} \times 100 = -25\% 250 000 (187 500−250 000) × 100 = −25%
Внутренняя норма доходности (IRR) и дисконтированный денежный поток (DCF)
Следующим шагом в понимании RoR с течением времени является учет стоимости денег во времени (TVM), которую CAGR игнорирует.
Дисконтированные денежные потоки берут доходы от инвестиций и дисконтируют каждый из денежных потоков на основе ставки дисконтирования. Ставка дисконтирования представляет собой минимальную норму прибыли, приемлемую для инвестора, или предполагаемый уровень инфляции. Помимо инвесторов, предприятия используют дисконтированные денежные потоки для оценки рентабельности своих инвестиций.
Предположим, например, что компания рассматривает возможность покупки нового оборудования за 10 000 долларов и использует ставку дисконтирования 5%. После оттока денежных средств в размере 10 000 долларов США оборудование используется в деятельности предприятия и увеличивает приток денежных средств на 2 000 долларов США в год в течение пяти лет. Бизнес применяет коэффициенты таблицы приведенной стоимости к оттоку в размере 10 000 долларов США и к притоку в размере 2 000 долларов США каждый год в течение пяти лет.
Приток в размере 2000 долларов в пятый год будет дисконтирован с использованием ставки дисконтирования в размере 5% в течение пяти лет.
Если сумма всех скорректированных притоков и оттоков денежных средств больше нуля, инвестиции являются прибыльными. Положительный чистый приток денежных средств также означает, что норма прибыли выше, чем 5%-ная ставка дисконтирования.
Норма прибыли с использованием дисконтированных денежных потоков также известна как внутренняя норма прибыли (IRR). Внутренняя норма доходности — это ставка дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость (NPV) всех денежных потоков от конкретного проекта или инвестиции равна нулю. Расчеты IRR основаны на той же формуле, что и NPV, и используют временную стоимость денег (с использованием процентных ставок). Формула IRR выглядит следующим образом: 9t} — C_0 = 0 \\ &\textbf{где:}\\ &T=\text{общее количество периодов времени}\\ &t = \text{период времени}\\ &C_t = \text{чистый приток-отток денежных средств в течение одного периода }t \\ &C_0 = \text{базовый приток-отток денежных средств}\\ &r = \text{ставка дисконтирования}\\ \end{aligned} IRR=NPV=t=1∑T(1+r)tCt−C0=0, где: T=общее количество периодов времениst=период времениCt=чистый приток-отток денежных средств в течение одного периода tC0=базовый уровень приток-отток денежных средствr = ставка дисконтирования
Формула, как это работает, ограничения, пример
Каков ожидаемый доход?
Ожидаемая доходность — это прибыль или убыток, которые инвестор ожидает от инвестиций с известной исторической нормой доходности (RoR).
Он рассчитывается путем умножения потенциальных результатов на вероятность их возникновения, а затем суммирования этих результатов.
Основные выводы
- Ожидаемый доход — это сумма прибыли или убытка, которую инвестор может ожидать получить от инвестиции.
- Ожидаемый доход рассчитывается путем умножения потенциальных результатов на шансы их появления, а затем суммирования этих результатов.
- Ожидаемый доход не может быть гарантирован.
- Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из нескольких инвестиций, представляет собой средневзвешенное значение ожидаемой доходности каждой инвестиции.
Ожидаемый доход
Понимание ожидаемого дохода
Расчеты ожидаемой доходности являются ключевым элементом как бизнес-операций, так и финансовой теории, в том числе в хорошо известных моделях современной портфельной теории (MPT) или модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Например, если инвестиции имеют 50%-й шанс получить 20% и 50%-й шанс потерять 10%, ожидаемая доходность будет 5% = (50% x 20% + 50% x -10% = 5%).
Ожидаемый доход — это инструмент, используемый для определения того, имеет ли инвестиция положительный или отрицательный средний чистый результат. Сумма рассчитывается как ожидаемая стоимость (EV) инвестиций с учетом их потенциальной доходности в различных сценариях, как показано в следующей формуле:
Ожидаемый доход = Σ (доход i x вероятность i )
где «i» указывает каждый известный доход и его соответствующую вероятность в серии
Ожидаемый доход обычно основан на исторических данных и поэтому не гарантируется в будущем; тем не менее, это часто вызывает разумные ожидания. Таким образом, показатель ожидаемой доходности можно рассматривать как долгосрочное средневзвешенное значение исторической доходности.
Например, в приведенной выше формулировке ожидаемая доходность в размере 5% может никогда не быть реализована в будущем, поскольку инвестиции по своей сути подвержены систематическим и несистематическим рискам.
Систематический риск — это опасность для сектора рынка или всего рынка, тогда как несистематический риск относится к конкретной компании или отрасли.
Расчет ожидаемого дохода
При рассмотрении отдельных инвестиций или портфелей более формальное уравнение для ожидаемой доходности финансовых инвестиций выглядит следующим образом:
Ожидаемая доходность = безрисковая премия + Бета (ожидаемая рыночная доходность — безрисковая премия). Инвестопедиягде:
- r a = ожидаемая доходность;
- r f = безрисковая норма доходности;
- β = бета инвестиции; и
- r m = ожидаемая рыночная доходность
По сути, эта формула утверждает, что ожидаемая доходность, превышающая безрисковую норму доходности, зависит от бета-версии инвестиций или относительной волатильности по сравнению с более широким рынком.
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение — это две статистические меры, которые можно использовать для анализа портфеля.
Ожидаемая доходность портфеля — это ожидаемая сумма доходности, которую может генерировать портфель, что делает ее средним значением возможного распределения доходности портфеля. С другой стороны, стандартное отклонение портфеля измеряет величину отклонения доходности от своего среднего значения, что делает его косвенным показателем риска портфеля.
Ожидаемый доход не является абсолютным, поскольку это прогноз, а не реализованный доход.
Ограничения ожидаемого дохода
Принимать инвестиционные решения исключительно на основе расчетов ожидаемой доходности может быть довольно наивно и опасно. Прежде чем принимать какие-либо инвестиционные решения, всегда следует проверять характеристики риска инвестиционных возможностей, чтобы определить, соответствуют ли инвестиции целям их портфеля.
Например, предположим, что существуют две гипотетические инвестиции. Их годовые результаты деятельности за последние пять лет таковы:
- Инвестиция A: 12 %, 2 %, 25 %, -9 % и 10 %
- Инвестиция B : 7 %, 6 %, 9 %, 12 % и 6 %
Ожидаемая доходность обеих этих инвестиций составляет ровно 8%.
Однако при анализе риска каждой из них, определяемого стандартным отклонением, инвестиция А примерно в пять раз более рискованна, чем инвестиция Б. То есть инвестиция А имеет стандартное отклонение 11,26%, а инвестиция Б — стандартное отклонение 2,28%. Стандартное отклонение — это обычная статистическая метрика, используемая аналитиками для измерения исторической волатильности или риска инвестиций.
В дополнение к ожидаемой доходности инвесторы также должны учитывать вероятность этой доходности. В конце концов, можно найти случаи, когда определенные лотереи предлагают положительный ожидаемый доход, несмотря на очень низкие шансы на получение этого дохода.
Пример ожидаемого возврата
Ожидаемый доход относится не только к одной ценной бумаге или активу. Его также можно расширить для анализа портфеля, содержащего множество инвестиций. Если ожидаемая доходность каждой инвестиции известна, общая ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенное значение ожидаемой доходности его компонентов.
Например, предположим, что у нас есть инвестор, заинтересованный в технологическом секторе. В их портфель входят следующие акции:
- Alphabet Inc., (GOOG): инвестировано 500 000 долларов США и ожидаемый доход 15%
- Apple Inc. (AAPL): инвестиции в размере 200 000 долларов США и ожидаемая доходность 6%
- Amazon.com Inc. (AMZN): инвестиции в размере 300 000 долларов США и ожидаемая прибыль в размере 9%
При общей стоимости портфеля в 1 миллион долларов вес Alphabet, Apple и Amazon в портфеле составляет 50%, 20% и 30% соответственно.
Таким образом, ожидаемая доходность всего портфеля равна:
- (50% х 15%) + (20% х 6%) + (30% х 9%) = 11,4%
Как ожидаемый доход используется в финансах?
Расчет ожидаемой доходности является ключевым элементом как бизнес-операций, так и финансовой теории, в том числе в хорошо известных моделях современной портфельной теории (MPT) или модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.
Это инструмент, используемый для определения того, имеют ли инвестиции положительный или отрицательный средний чистый результат. Расчет обычно основан на исторических данных и, следовательно, не может быть гарантирован для будущих результатов, однако он может установить разумные ожидания.
Что такое исторические доходы?
Историческая доходность представляет собой прошлую доходность ценной бумаги или индекса, например S&P 500. Аналитики просматривают исторические данные о доходности, пытаясь предсказать будущую доходность или оценить, как ценная бумага может отреагировать на конкретную экономическую ситуацию, такую как падение потребительские расходы. Историческая доходность также может быть полезна при оценке того, куда могут попасть будущие точки данных с точки зрения стандартных отклонений.
Чем ожидаемая доходность отличается от стандартного отклонения?
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение — это две статистические меры, которые можно использовать для анализа портфеля.
Ожидаемая доходность портфеля — это ожидаемая сумма доходности, которую может генерировать портфель, что делает ее средним значением возможного распределения доходности портфеля. Стандартное отклонение портфеля, с другой стороны, измеряет величину отклонения доходности от своего среднего значения, что делает его прокси для риска портфеля.
Итог
Ожидаемая доходность — это оценка средней доходности, которую инвестиции или портфельные инвестиции должны приносить в течение определенного периода времени. Как правило, более рискованные активы или ценные бумаги требуют более высокой ожидаемой доходности, чтобы компенсировать дополнительный риск. Ожидаемый доход — это не гарантия, а скорее прогноз, основанный на исторических данных и других соответствующих факторах. Инвесторы могут использовать его для сравнения различных вариантов инвестирования и принятия обоснованных решений в отношении своих портфелей, и он является ключевым исходным материалом для различных финансовых моделей, таких как современная теория портфеля (MPT) и модель ценообразования капитальных активов (CAPM).