Тригонометрические выражения — MathClub
Сегодня порешаем тригонометрические выражения. Эти задания могут встретиться в базовой части ЕГЭ по математике и готовят к успешному решению С1 профильной части.
При решении используются основные тригонометрические формулы:
Также понадобятся формулы приведения, двойного угла, сложения и суммы, которые мы рассмотрим по мере необходимости в примерах.
Задание 1
Найдите значение выражения
Для решения этого примера достаточно знать формулу косинуса двойного аргумента:
Преобразуем знаменатель:
Ответ: –22
Задание 2
Найдите значение выражения
В данном случае 63 градуса представляем как разность 900 – 270
Ответ: 33
Задание 3
Найдите значение выражения
Представим 1000 как разность 3600 – 2600, применим свойство периодичности нечётности синуса:
Ответ: –34
Задание 4
Найдите значение выражения
Используем формулу приведения косинуса.
Представим 1530 как разность 1800 – 270:
Ответ: –38
Задание 5
Найдите значение выражения
Используем формулу приведения для тангенса. Представим 1480 как разность 1800 – 320:
Ответ: 22
Задание 6
Найдите значение выражения
Представим 3730 как сумму 3600 + 130, используем свойство периодичности:
Ответ: –20
Задание 7
Найдите значение выражения
Используем формулы приведения:
*Применили формулу тригонометрии:
Ответ: –5
Задание 8
Найдите значение выражения
Применяем формулу синуса двойного аргумента в числителе, и формулу приведения в знаменателе:
Ответ: –40
Задание 9
Найдите значение выражения
Применяем формулу синуса двойного аргумента:
Ответ: –7
Задание 10
Найдите значение выражения
Используем формулы приведения и основное тригонометрическое тождество:
Ответ: 37
Задание 11
Найдите значение выражения
Используем формулы приведения и основное тригонометрическое тождество:
*Подробнее:
Ответ: –30
Задание 12
Найдите значение выражения
Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество:
Ответ: 21
Задание 13
Найдите значение выражения
Косинус функция чётная, то есть
Её период равен 2Пn, то есть
Значит
Используем формулу приведения для косинуса:
Ответ: 6
Задание 14
Найдите значение выражения
Период тангенса равен 180 градусам (Пи радиан), функция тангенса нечётная:
Ответ: 132
Задание 15
Найдите значение выражения
Применяем свойство нечётности синуса, выделяем период и используем формулу приведения:
Ответ: 6
Для самостоятельного решения.
Задание 16
Найдите значение выражения
Задание 17
Найдите значение выражения
Задание 18
Найдите значение выражения
Задание 19
Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26766. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26767. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
27769. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26770. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
77412. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
77414. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26772. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26773. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26774.
Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26761. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26762. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26763. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеГЛАВА I. ЧИСЛА3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. § 2. Рациональные числа 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III.  ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ§ 9. Свойства функций § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 1. О строении курса геометрии § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3.  § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. § 7. Площади плоских фигур 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них § 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14. Объемы тел § 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I.  Основные законы алгебрыГЕОМЕТРИЯ |
К черту тригонометрию | mathbabe
Главная > Без категории > К черту тригонометрию
Я встречаю много людей в аэропортах и на музыкальных фестивалях. Я дружелюбный, разговорчивый человек (по крайней мере, когда две ночи подряд не спал в мокрой палатке). Когда меня спрашивают, чем я зарабатываю на жизнь, я часто отвечаю, что я математик. Потом они почти всегда говорят мне, как сильно они ненавидят математику. Когда я спрашиваю, почему, они часто говорят, что именно тригонометрия убила всякий интерес к этому предмету.
Согласен, тригонометрия отстой. К черту тригонометрию. Это ужасно немотивированный предмет, и как студент вы должны запомнить формулы двойного угла без доказательств. Никогда не понятно, зачем вы его изучаете, за исключением возможности позже запомнить интегралы и производные указанных функций. Это почти пример того, как заставить кого-то почувствовать, что математика должна быть таинственной.
Во-первых, да, тригонометрические функции нужны в анализе Фурье, что очень важно в наше время для музыкальных файлов и сжатия информации. Но к тому времени, когда вы начнете работать с анализом Фурье, у вас будет больше математических технологий, и, в частности, вы будете знать волшебную формулу, которая делает все загадочные формулы двойных и половинных углов очень простыми, а именно формулу Эйлера:
Понимая эту формулу, аналитик Фурье готов работать с триггерными функциями без всякой тайны и абсолютно без запоминания. На самом деле моя мама оказала мне услугу, объяснив мне приведенную выше формулу, когда я учился в старшей школе, чтобы я мог избежать запоминания. Это помогло, но даже тогда я запомнил это, и только в колледже я понял это.
Далее, это не первый раз, когда я какаю на триггере. Некоторое время назад я написал пост о преподавании статистики и алгебры в старших классах, и в этом посте я предложил исключить тригонометрию из учебной программы.
Несколько человек встали на защиту триггера в комментариях. Вот что они сказали.
- Кто-то упомянул, что это необходимо в «классе магазина». Но затем они продолжили объяснять, что мастерских классов больше не существует.
- Кто-то упомянул, что триггерные функции — отличный пример периодических функций. Хотя это правда, нам не нужно углубляться в предмет — не говоря уже о формулах двойного угла — чтобы объяснить это. Даже простого разговора о муравье, идущем по единичному кругу, было бы достаточно, особенно если бы мы запросили координаты x и y муравья в данный момент времени. Достаточно сказано. Мы могли бы закончить урок исторической ремаркой вроде того, что у этих функций есть имена, они называются функциями синуса и косинуса, и вы узнаете о них больше, когда узнаете о комплексной плоскости и анализе Фурье. .
- Кто-то упомянул, что они используют триггерные функции каждый день на работе в физических науках. Опять же, я готов поспорить, что они также знают о сложном самолете.
- Никто не упомянул, что капитанам кораблей нужен триггер, но опять же, теперь у нас есть GPS.
Когда я рассказала мужу о своей ненависти к тригонометрии, он возразил аргументом, который до сих пор не упоминался. А именно, что у нас действительно нет причин учить старшеклассников чему-либо, поэтому мы просто выбираем кучу вещей наугад. Более того, предположил он, если мы удалим триггер, то встреча с людьми в аэропорту вызовет еще одну причину для ненависти к математике. Мы бы просто заменили триг какой-нибудь другой паршивой темой.
Не согласен. Хотя не очевидно, что каждый нуждается в алгебре более высокого уровня в своей повседневной жизни (хотя им определенно нужно решать системы линейных уравнений), все же более оправданно научить их факторизовать квадратичные полиномы, чем вводить арктангенс. И хотя большинство людей запоминают квадратную формулу, ее, по крайней мере, можно вывести, используя простое завершение квадрата. Иными словами, по крайней мере понятно, что объяснение есть, даже если у вас его нет под рукой.