Все формулы в тригонометрии: Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные формулы по тригонометрии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

• Главная —
• Формулы и прочее —
• Математика: Тригонометрия

Знание формул по тригонометрии является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по тригонометрии, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении тригонометрических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной тригонометрии.

 

Изучать основные формулы по школьной тригонометрии онлайн:

• Назад
• Вперёд

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше.
   В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований
  • Основные тригонометрические формулы
  • Дополнительные тригонометрические формулы
  • Тригонометрические формулы приведения
  • Тригонометрическая окружность
  • Тригонометрические уравнения

 

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению. ..

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла.  Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.  Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют

кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т. е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали
  .
• Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Тригонометрические формулы и тождества — полный список

Последнее обновление Teachoo 30 марта 2023 г. В формулах тригонометрии мы узнаем

• Основные формулы

• sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах

• Пифагорейские тождества

• Знак греха, потому что, загар в разных квадрантах

• радианы

• Отрицательные углы (четно-нечетные тождества)

• Значение sin, cos, tan повторяется после 2π

• Угол сдвига на π/2, π, 3π/2 (тождества кофункций или тождества периодичности)

• Тождества суммы и разности углов

• Формулы двойного угла

• Формулы тройного угла

• Идентичности половинного угла (формулы уменьшения мощности)

• Sum Identities (сумма идентификаторов продукта)

• Идентификаторы продукта (продукт для суммирования идентификаторов)

• Закон синуса

• Закон косинуса

• Что такое обратные тригонометрические функции?

• Область и диапазон функций обратной тригонометрии

• Обратные тригонометрические формулы

• Подстановки обратной тригонометрии

Основные формулы

sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах

Пифагорейские тождества

Чтобы узнать знак греха, потому что, загар в разных квадрантах,

мы помним

А дд → С

угар → Т о → С кофе

Представление в виде таблицы

	Квадрант я	Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
грех	+	+	–	–
потому что	+	–	–	–
загар	+	–	+	–

радианы

Радианная мера = π/180 × градусная мера

Также,

1 градус = 60 минут

то есть 1° = 60’

1 минута = 60 секунд

то есть 1’ = 60’’

Отрицательные углы (четно-нечетные тождества)

грех (–х) = – грех х

соз (–х) = соз х

тангенс (–x) = – тангенс х

сек (–x) = сек х

cosec (–x) = – cosec x

детская кроватка (–x) = – детская кроватка x

Значение sin, cos, tan повторяется после 2π

грех (2π + х) = грех х

потому что (2π + х) = потому что х

загар (2π + х) = загар х

Угол сдвига на π/2, π, 3π/2 (тождества кофункций или тождества периодичности)

sin (π/2 – x) = cos x	потому что (π / 2 — х) = грех х
грех (π/2 + х) = потому что х	cos (π/2 + x) = – sin x
sin (3π/2 – x)  = – cos x	cos (3π/2 – x)  = – sin x
sin (3π/2 + x) = – cos x	потому что (3π/2 + х) = грех х
грех (π — х) = грех х	cos (π – x) = – cos x
грех (π + х) = – грех х	cos (π + x) = – cos x
грех (2π – х) = – грех х	потому что (2π — х) = потому что х
грех (2π + х) = грех х	потому что (2π + х) = потому что х

Тождества суммы и разности углов

Формулы двойного угла

Формулы тройного угла

Идентичности половинного угла (формулы уменьшения мощности)

Sum Identities (сумма идентификаторов продукта)

Идентификаторы продукта (продукт для суммирования идентификаторов)

Продукт для суммирования тождеств

2 cos⁡x  cos⁡y = cos⁡ (x + y) + cos⁡(x — y)

-2 sin⁡x sin⁡y = cos⁡ (x + y) — cos⁡(x — y)

2 sin⁡x  cos⁡y = sin⁡ (x + y) + sin⁡(x — y)

2 cos⁡x  sin⁡y = sin⁡ (x + y) — sin⁡(x — y)

Закон синуса

Здесь

• A, B, C — вершины Δ ABC
• a — сторона, противоположная A, т. е. BC
• b — сторона, противоположная B, т.е. AC
• c — сторона, противоположная C, т.е. AB

Закон косинуса

Так же, как закон синуса, у нас есть закон косинуса

Что такое обратные тригонометрические функции

Если грех θ = х

Затем положить грех на правую сторону

θ = грех ^-1 Икс

грех ^-1 х = θ

Таким образом, обратным греху является угол.

Точно так же обратная ко всем функциям тригонометрии угол.

Примечание : Здесь угол измеряется в радианах, а не в градусах.

Итак, у нас есть

грех ^-1 Икс

потому что ^-1 Икс

загар ^-1 Икс

cosec ^-1 Икс

сек ^-1 Икс

загар ^-1 Икс

Область определения и область значений обратных тригонометрических функций

	Домен	Диапазон
грех -1	[–1, 1]	[-π/2,π/2]
потому что -1	[–1, 1]	[0,π]
загар -1	р	(-π/2,π/2)
cosec -1	р – (–1, 1)	[π/2,π/2] — {0}
сек -1	р – (–1, 1)	[0,π]-{π/2}
детская кроватка -1	р	(0, π)

Формулы обратной тригонометрии

Некоторые формулы обратной тригонометрии:

грех ^–1 (–x) = – грех ^-1 Икс

потому что ^–1 (–x) = π – грех ^-1 Икс

загар ^–1 (–x) = – загар ^-1 Икс

cosec ^–1 (–x) = – cosec ^-1 Икс

сек ^–1 (–x) = – сек ^-1 Икс

детская кроватка ^–1 (–x) = π – детская кроватка ^-1 Икс

Замена обратной тригонометрии

Тригонометрические формулы и тождества — полный список

Последнее обновление Teachoo 30 марта 2023 г.

В формулах тригонометрии мы узнаем

• Основные формулы

• sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах

• Пифагорейские тождества

• Знак греха, потому что, загар в разных квадрантах

• радианы

• Отрицательные углы (четно-нечетные тождества)

• Значение sin, cos, tan повторяется после 2π

• Угол сдвига на π/2, π, 3π/2 (тождества кофункций или тождества периодичности)

• Тождества суммы и разности углов

• Формулы двойного угла

• Формулы тройного угла

• Идентичности половинного угла (формулы уменьшения мощности)

• Sum Identities (сумма идентификаторов продукта)

• Идентификаторы продукта (продукт для суммирования идентификаторов)

• Закон синуса

• Закон косинуса

• Что такое обратные тригонометрические функции?

• Область и диапазон функций обратной тригонометрии

• Обратные тригонометрические формулы

• Подстановки обратной тригонометрии

Основные формулы

sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах

Пифагорейские тождества

Чтобы узнать знак греха, потому что, загар в разных квадрантах,

мы помним

А дд → С угар → Т о → С кофе

Представление в виде таблицы

	Квадрант я	Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
грех	+	+	–	–
потому что	+	–	–	–
загар	+	–	+	–

радианы

Радианная мера = π/180 × градусная мера

Также,

1 градус = 60 минут

то есть 1° = 60’

1 минута = 60 секунд

то есть 1’ = 60’’

Отрицательные углы (четно-нечетные тождества)

грех (–х) = – грех х

соз (–х) = соз х

тангенс (–x) = – тангенс х

сек (–x) = сек х

cosec (–x) = – cosec x

детская кроватка (–x) = – детская кроватка x

Значение sin, cos, tan повторяется после 2π

грех (2π + х) = грех х

потому что (2π + х) = потому что х

загар (2π + х) = загар х

Угол сдвига на π/2, π, 3π/2 (тождества кофункций или тождества периодичности)

sin (π/2 – x) = cos x	потому что (π / 2 — х) = грех х
грех (π/2 + х) = потому что х	cos (π/2 + x) = – sin x
sin (3π/2 – x)  = – cos x	cos (3π/2 – x)  = – sin x
sin (3π/2 + x) = – cos x	потому что (3π/2 + х) = грех х
грех (π — х) = грех х	cos (π – x) = – cos x
грех (π + х) = – грех х	cos (π + x) = – cos x
грех (2π – х) = – грех х	потому что (2π — х) = потому что х
грех (2π + х) = грех х	потому что (2π + х) = потому что х

Тождества суммы и разности углов

Формулы двойного угла

Формулы тройного угла

Идентичности половинного угла (формулы уменьшения мощности)

Sum Identities (сумма идентификаторов продукта)

Идентификаторы продукта (продукт для суммирования идентификаторов)

Продукт для суммирования тождеств

2 cos⁡x  cos⁡y = cos⁡ (x + y) + cos⁡(x — y)

-2 sin⁡x sin⁡y = cos⁡ (x + y) — cos⁡(x — y)

2 sin⁡x  cos⁡y = sin⁡ (x + y) + sin⁡(x — y)

2 cos⁡x  sin⁡y = sin⁡ (x + y) — sin⁡(x — y)

Закон синуса

Здесь

• A, B, C — вершины Δ ABC
• a — сторона, противоположная A, т.

  No related posts.