Все о параллелограмме: Параллелограмм — урок. Геометрия, 8 класс.

alexxlab / / Разное

Параллелограмм — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете
  • Чем отличаются признаки от свойств?
  • Сколько крыс у биссектрисы?
  • Гибридом чего будет квадрат?

Когда мы видим изображение с множеством деталей, наш мозг автоматически раскладывает их на простые фигуры. Этот процесс занимает доли секунды. Разные геометрические фигуры вызывают у нас разные ощущения, эмоции и ассоциации.А что будет, если мы задержим взгляд на одной из них и разберем подробнее? Давайте сделаем так с параллелограммом.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырёхугольник, чьи стороны попарно параллельны и равны. 

Параллелограмм мы видим достаточно часто.

Признаки параллелограмма

У параллелограмма есть три основных признака. Если для четырехугольника выполняется хотя бы один из признаков, такой четырехугольник можно называть параллелограммом.

Признаки параллелограмма:

  1. Две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны.
  1. Противоположные стороны четырехугольника попарно равны.
  1. Диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма
Чем отличаются признаки от свойств?

Свойства нельзя путать с признаками, хоть они и очень похожи. Свойствами параллелограмма обладает фигура, уже являющаяся параллелограммом, тогда как признаки предназначены для выявления параллелограммов среди четырехугольников.

Свойства параллелограмма:

  1. Противолежащие стороны равны.
  1. Противолежащие стороны параллельны.
  1. Противолежащие углы равны.
  1. Сумма всех углов 3600.
  1. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  1. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 1800.
  1. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.
  1. Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника с одинаковой площадью.
  1. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника

Биссектриса в параллелограмме

Можно ли провести биссектрису в параллелограмме? Да. Биссектриса параллелограмма – это луч, исходящий из вершины угла параллелограмма, делящий этот угол на два равных угла и пересекающий одну из сторон параллелограмма.

Сколько крыс у биссектрисы?

Значение биссектрисы легко запомнить, используя фразу “Биссектриса – это крыса, она бегает по углам и делит угол пополам”.

Так как у треугольника три угла – соответственно, и крыс-биссектрис тоже три.

 Два факта связанные с биссектрисой в параллелограмме:

  1. Биссектриса, проведенная из угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник.
  1. Биссектрисы углов, принадлежащих одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.

Площадь параллелограмма

Есть три формулы площади параллелограмма, которые применяются в зависимости от известных величин

  1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  1. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними.
  1. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Прямоугольник

Как параллелограмм связан с прямоугольником?

Прямоугольник – это параллелограмм, углы которого по 900.  

Данную фигуру часто называют частным случаем параллелограмма. Из этого следует, что для прямоугольника применимы те же признаки и свойства, что для параллелограмма, но и имеется ряд собственных.

В жизни прямоугольником можно назвать дверь, картину или фотографию:

Признаки прямоугольника
  1. Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол.
  1. Параллелограмм, все углы которого равны.
  1. Параллелограмм, диагонали которого равны.
  1. Четырехугольник, у которого три прямых угла.

Свойства прямоугольника
  1. Все углы прямые.
  1. Диагонали равны.
  1. Стороны прямоугольника одновременно являются и его высотами.
  2. Сумма квадратов двух прилежащих сторон равна квадрату диагонали.

Биссектриса и площадь прямоугольника

Биссектриса делит угол прямоугольника на два угла по 450 и пересекает одну из сторон прямоугольника.

Теперь рассмотрим два способа нахождения площади прямоугольника:

  1. Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних сторон.
  1. Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Ромб

Пожалуй, это самая неустойчивая фигура.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. 

Ромб можно увидеть на знаке машины “Митсубиси”, их там целых три.

А также в игровых наградах:

Также является частным случаем параллелограмма и обладает его признаками и свойствами, но имеет и собственные.

Всё о ромбе

Признаки ромба:

  1. Две смежные стороны параллелограмма равны.
  2. Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Диагональ параллелограмма делит каждый угол пополам.
  4. Четырехугольник, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  1. Все стороны равны.
  1. Диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.
  1. Диагонали являются биссектрисами.
  1. Высоты в ромбе равны.

Как уже отмечено в свойствах ромба, биссектрисой ромба является диагональ.

Как найти площадь ромба?

Для нахождения площади ромба есть три разные формулы:

  1. Площадь ромба равна произведению стороны и высоты ромба.
  1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
  1. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба.

Квадрат

А вот квадрат, наоборот, достаточно устойчив.

Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы и стороны равны. 

Гибридом чего будет квадрат?

Если внимательно посмотреть на определение, то можно заметить, что квадрат объединяет в себе и параллелограмм, и прямоугольник, и ромб.
Нечто, сочетающее в себе разнородные элементы, называют гибридом.  Квадрат будет иметь все признаки и свойства родительских фигур:параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадратом может быть крышка подарочной коробки или окно.

Рассмотрим признаки и свойства данной фигуры.

Всё о квадрате

Признаки квадрата:

  1. Ромб, у которого хотя бы один угол прямой.
  2. Ромб, у которого все углы равны.
  3. Ромб, у которого диагонали равны.
  4. Четырехугольник, диагонали которого равны и перпендикулярны.

Свойства квадрата:

  1. Диагональ квадрата равна 2 стороны квадрата.
  1. Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника.

Биссектрисой квадрата, как и у ромба, является диагональ.

Рассмотрим формулы для нахождения площади квадрата:

  1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
  1. Площадь квадрата равна половине квадрата диагонали.

Фактчек
  • Параллелограмм – это четырёхугольник, чьи стороны попарно параллельны и равны.
  • Прямоугольник – это параллелограмм, углы которого по 900 и диагонали которого равны.
  • Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны, а также диагонали перпендикулярны друг другу
  • Квадрат – это четырехугольник, у которого все углы и стороны равны. Квадрат является гибридом параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Проверь себя

Задание 1.
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 5 и 8, а угол между ними 300 

  1. 40
  2. 20
  3. 10
  4. 25

Задание 2.
Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ 12, а угол между диагоналями 600

  1. 83
  2. 6
  3. 63
  4. 4

Задание 3.
Найдите площадь ромба, если его диагонали 6 и 10

  1. 30
  2. 60
  3. 15
  4. 25

Задание 4.
У четырехугольника диагонали пересекаются под углом 300, а его стороны попарно параллельны и равны. Что это за фигура?

  1. Квадрат
  2. Ромб
  3. Прямоугольник
  4. Параллелограмм

Задание 5.
У четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны и есть один прямой угол. Что это за фигура?

  1. Квадрат
  2. Ромб
  3. Прямоугольник
  4. Параллелограмм

Ответы: 1. – 2; 2. – 3; 3. – 1; 4. – 4; 5. – 3

Теоремы параллелограмма

☰

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

  • параллелограмм — это выпуклый четырехугольник;
  • у параллелограмма противоположные стороны попарно равны;
  • у параллелограмма противоположные углы попарно равны;
  • диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Параллелограмм — выпуклый четырехугольник

Докажем сначала теорему о том, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Многоугольник является выпуклым тогда, когда какая бы его сторона не была продлена до прямой, все остальные стороны многоугольника окажутся по одну сторону от этой прямой.

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого AB противоположная сторона для CD, а BC — противоположная для AD. Тогда из определения параллелограмма следует, что AB || CD, BC || AD.

У параллельных отрезков нет общих точек, они не пересекаются. Это значит, что CD лежит по одну сторону от AB. Поскольку отрезок BC соединяет точку B отрезка AB с точкой C отрезка CD, а отрезок AD соединяет другие точки AB и CD, то отрезки BC и AD также лежат по ту же сторону от прямой AB, где лежит CD. Таким образом, все три стороны — CD, BC, AD — лежат по одну сторону от AB.

Аналогично доказывается, что по отношению к другим сторонам параллелограмма три остальные стороны лежат с одной стороны.

Противоположные стороны и углы равны

Одним из свойств параллелограмма является то, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы попарно равны

. Например, если дан параллелограмм ABCD, то у него AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доказывается эта теорема следующим образом.

Параллелограмм является четырехугольником. Значит, у него две диагонали. Так как параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то любая из них делит его на два треугольника. Рассмотрим в параллелограмме ABCD треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали AC.

У этих треугольников одна сторона общая — AC. Угол BCA равен углу CAD, как вертикальные при параллельных BC и AD. Углы BAC и ACD также равны как вертикальные при параллельных AB и CD. Следовательно, ∆ABC = ∆ADC по двум углам и стороне между ними.

В этих треугольниках стороне AB соответствует сторона CD, а стороне BC соответствует AD. Следовательно, AB = CD и BC = AD.

Углу B соответствует угол D, т. е. ∠B = ∠D. Угол A параллелограмма представляет собой сумму двух углов — ∠BAC и ∠CAD. Угол же C равен состоит из ∠BCA и ∠ACD. Так как пары углов равны друг другу, то ∠A = ∠C.

Таким образом, доказано, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Диагонали делятся пополам

Так как параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то у него две две диагонали, и они пересекаются. Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Рассмотрим образованные ими треугольники ABE и CDE.

У этих треугольников стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Угол ABE равен углу CDE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. По этой же причине ∠BAE = ∠DCE. Значит, ∆ABE = ∆CDE по двум углам и стороне между ними.

Также можно заметить, что углы AEB и CED вертикальные, а следовательно, тоже равны друг другу.

Так как треугольники ABE и CDE равны друг другу, то равны и все их соответствующие элементы.

Стороне AE первого треугольника соответствует сторона CE второго, значит, AE = CE. Аналогично BE = DE. Каждая пара равных отрезков составляет диагональ параллелограмма. Таким образом доказано, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Параллелограмм | Определение, площадь, типы и факты

  • Развлечения и поп-культура
  • География и путешествия
  • Здоровье и медицина
  • Образ жизни и социальные вопросы
  • Литература
  • Философия и религия
  • Политика, право и правительство
  • Наука
  • Спорт и отдых
  • Технология
  • Изобразительное искусство
  • Всемирная история
  • Этот день в истории
  • Викторины
  • Подкасты
  • Словарь
  • Биографии
  • Резюме
  • Популярные вопросы
  • Инфографика
  • Демистификация
  • Списки
  • #WTFact
  • Товарищи
  • Галереи изображений
  • Прожектор
  • Форум
  • Один хороший факт
  • Развлечения и поп-культура
  • География и путешествия
  • Здоровье и медицина
  • Образ жизни и социальные вопросы
  • Литература
  • Философия и религия
  • Политика, право и правительство
  • Наука
  • Спорт и отдых
  • Технология
  • Изобразительное искусство
  • Всемирная история
  • Britannica объясняет
    В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
  • Britannica Classics
    Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
  • Demystified Videos
    В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
  • #WTFact Видео
    В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
  • На этот раз в истории
    В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
  • Студенческий портал
    Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
  • Портал COVID-19
    Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
  • 100 женщин
    Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
  • Спасение Земли
    Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
  • SpaceNext50
    Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

  • Введение

Краткие факты

  • Связанный контент

2.

2: Основания и высоты параллелограммов
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    39636
    • Иллюстративная математика
    • OpenUp Resources

    Lesson

    Давайте еще немного исследуем площадь параллелограмма.

    Упражнение \(\PageIndex{1}\): параллелограмм и его прямоугольники

    Елена и Тайлер находили площадь этого параллелограмма:

    Рисунок \(\PageIndex{1}\)

    Переместите ползунок, чтобы увидеть, как это сделал Тайлер:

    Переместите ползунок, чтобы увидеть, как это сделала Елена:

    В чем сходятся две стратегии нахождения площади параллелограмма? Чем они отличаются?

    Упражнение \(\PageIndex{2}\): правильная высота?

    Изучите примеры и не примеры оснований и высот параллелограммов.

    • Примеры: Пунктирные сегменты на этих рисунках представляют соответствующую высоту для данного основания.
    Рисунок \(\PageIndex{2}\)
    • Непримеры: пунктирные сегменты на этих рисунках означают , а не представляют собой соответствующую высоту для данного основания.
    Рисунок \(\PageIndex{3}\)
    1. Выберите все верные утверждения о основаниях и высотах параллелограмма.
      1. Основанием может быть только горизонтальная сторона параллелограмма.
      2. Любая сторона параллелограмма может быть основанием.
      3. Высота может быть проведена под любым углом к ​​стороне, выбранной в качестве основания.
      4. Основание и соответствующая ему высота должны быть перпендикулярны друг другу.
      5. Высоту можно изобразить только внутри параллелограмма.
      6. Высоту можно провести за пределами параллелограмма, если он проведен под углом 90 градусов к основанию.
      7. База не может быть увеличена до высоты.
    2. Пять студентов обозначили основание \(b\) и соответствующую высоту \(h\) для каждого из этих параллелограммов. Все ли рисунки подписаны правильно? Объясните откуда вы знаете.
    Рисунок \(\PageIndex{4}\)

    Готовы ли вы к большему?

    В апплете параллелограмм состоит из отрезков сплошных линий, а высота и опорные линии — из отрезков пунктирных линий. База b и соответствующая высота h помечены.

    Упражнение \(\PageIndex{3}\): нахождение формулы площади параллелограмма

    Для каждого параллелограмма:

    • Определите основание и соответствующую высоту и запишите их длины в таблицу.
    • Найдите площадь параллелограмма и запишите ее в последний столбец таблицы.
    Рисунок \(\PageIndex{5}\)
    параллелограмм база (шт.) высота (шт. ) Площадь (кв. ед.)
    А
    Б
    С
    Д
    любой параллелограмм \(б\) \(ч\)
     Таблица \(\PageIndex{1}\)

    В последней строке напишите выражение для площади любого параллелограмма, используя \(b\) и \(h\).

    Готовы ли вы к большему?

    1. Что произойдет с площадью параллелограмма, если его высота удвоится, а основание не изменится? Если высота утроится? Если высота в 100 раз больше исходной?
    2. Что произойдет с площадью, если и основание, и высота удвоятся? Оба тройные? Обе в 100 раз длиннее своей первоначальной длины?

    Резюме

    • Мы можем выбрать любую из четырех сторон параллелограмма в качестве основания . И сторона (отрезок), и его длина (размер) называются основанием.
    • Если мы проведем любой перпендикулярный отрезок из точки на основании к противоположной стороне параллелограмма, этот отрезок всегда будет иметь одинаковую длину. Мы называем это значение высотой . Существует бесконечно много сегментов, которые могут представлять высоту!
    Рисунок \(\PageIndex{6}\): 2 копии одного и того же параллелограмма. Слева база = 6 единиц. Соответствующая высота = 4 единицы. Справа база = 5 единиц. Соответствующая высота = 4,8 единицы. Для обоих показаны 3 разных сегмента, представляющих высоту.

    Вот две копии одного и того же параллелограмма. Слева сторона, являющаяся основанием, имеет длину 6 единиц. Соответствующая ему высота равна 4 единицам. Справа сторона, являющаяся основанием, имеет длину 5 единиц. Его соответствующая высота составляет 4,8 единицы. Для обоих показаны три разных сегмента, представляющих высоту. Мы могли бы привлечь гораздо больше!

    Независимо от того, какая сторона выбрана в качестве основания, площадь параллелограмма равна произведению этого основания и соответствующей ему высоты. Мы можем проверить это:

    \(4\times 6=24\qquad\text{ и }\qquad 4.8\times 5=24\)

    Мы можем понять, почему это так, разложив и переставив параллелограммы в прямоугольники.

    Рисунок \(\PageIndex{7}\)

    Обратите внимание, что длины сторон каждого прямоугольника являются основанием и высотой параллелограмма. Несмотря на то, что у двух прямоугольников разные длины сторон, произведения длин сторон равны, поэтому они имеют одинаковую площадь! И оба прямоугольника имеют ту же площадь, что и параллелограмм.

    Мы часто используем буквы вместо цифр. Если \(b\) — основание параллелограмма (в единицах), а \(h\) — соответствующая высота (в единицах), то площадь параллелограмма (в квадратных единицах) равна произведению этих двух чисел. \(b\cdot h\)

    Обратите внимание, что мы пишем символ умножения с маленькой точкой вместо символа \(\times\). Это сделано для того, чтобы мы не запутались в том, означает ли \(\times\) умножение или буква \(x\) заменяет число.

    В старших классах вы сможете доказать, что отрезок перпендикуляра из точки на одной стороне параллелограмма к противоположной стороне всегда будет иметь одинаковую длину.

    Рисунок \(\PageIndex{8}\)

    Проще всего это увидеть, нарисовав параллелограмм на миллиметровой бумаге. А пока мы просто будем использовать это как факт.

    Статьи глоссария

    Определение: основание (параллелограмма или треугольника)

    Мы можем выбрать любую сторону параллелограмма или треугольника в качестве основания фигуры. Иногда мы используем слово основание для обозначения длины этой стороны.

    Рисунок \(\PageIndex{9}\)

    Определение: высота (параллелограмма или треугольника)

    Высота – это кратчайшее расстояние от основания фигуры до противоположной стороны (для параллелограмма) или противоположной вершины (для треугольник).

    Мы можем показать высоту более чем в одном месте, но она всегда будет перпендикулярна выбранному основанию.

    Рисунок \(\PageIndex{10}\)

    Определение: параллелограмм

    Параллелограмм — это тип четырехугольника, у которого две пары параллельных сторон.

    Вот два примера параллелограмма.

    Рисунок \(\PageIndex{11}\): два параллелограмма с указанными углами и длинами сторон. Слева верхняя и нижняя стороны = 5 единиц. Левая и правая стороны = 4,24 единицы. Верхний левый и нижний правый углы = 135 градусов. Верхний правый и нижний левый углы = 45 градусов. Справа верхняя и нижняя стороны = 9,34 единицы. Левая и правая стороны = 4 единицы. Верхний левый и нижний правый углы = 27,2 градуса. Верхний правый и нижний левый углы = 152,8 градуса.

    Определение: Четырехугольник

    Четырехугольник — это тип многоугольника, который имеет 4 стороны. Прямоугольник является примером четырехугольника. Пятиугольник не является четырехугольником, потому что у него 5 сторон.

    Практика

    Упражнение \(\PageIndex{4}\)

    Выберите все параллелограмма, высота которых указана правильно для данного основания.

    Рисунок \(\PageIndex{12}\): 4 параллелограмма на сетке, помеченные A, B, C, D. Параллелограмм A, основание = 3 единицы, высота = 2 единицы. Параллелограмм B, основание = 3 единицы, высота = 2 единицы. Параллелограмм С, основание = 3 звена, высота = 2 звена. Параллелограмм D, основание = диагональ двух единичных квадратов, высота = 3 единицы.
    1. А
    2. Б
    3. С
    4. Д

    Упражнение \(\PageIndex{5}\)

    Сторона, обозначенная \(b\), выбрана в качестве основания этого параллелограмма.

    Рисунок \(\PageIndex{13}\)

    Нарисуйте сегмент, показывающий высоту, соответствующую этому основанию.

    Упражнение \(\PageIndex{6}\)

    Найдите площадь каждого параллелограмма.

    Рисунок \(\PageIndex{14}\): 3 параллелограмма на сетке, помеченные A, B, C. Параллелограмм A, основание = 4 единицы, высота = 2 единицы. Параллелограмм B, основание = 5 единиц, высота = 2 единицы. Параллелограмм С, основание = 2 единицы, высота = 4 единицы.

    Упражнение \(\PageIndex{7}\)

    Если сторона, длина которой равна 6 единицам, является основанием этого параллелограмма, то какова его соответствующая высота?

    Рисунок \(\PageIndex{15}\): параллелограмм, нижняя и верхняя стороны которого обозначены цифрой 6, а правая сторона — цифрой 5. Пунктирная линия, перпендикулярная правой стороне, обозначена цифрой 4,8, а пунктирная линия, перпендикулярная нижней стороне, — с маркировкой 4.
    1. 6 шт.
    2. 4,8 шт.
    3. 4 шт.
    4. 5 шт.

    Упражнение \(\PageIndex{8}\)

    Найдите площадь каждого параллелограмма.

    Рисунок \(\PageIndex{16}\): 3 параллелограмма с обозначениями A, B, C. Параллелограмм A, основание = 9 сантиметров, высота = 4 сантиметра. Параллелограмм В, основание = 5 см, высота = 4 см. Параллелограмм C, основание = b, высота = h.

    Упражнение \(\PageIndex{9}\)

    Согласны ли вы с каждым из этих утверждений? Объясните свои рассуждения.

    1. Параллелограмм имеет шесть сторон.
    2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
    3. Параллелограмм может иметь одну или две пары параллельных сторон.
    4. Все стороны параллелограмма имеют одинаковую длину.
    5. Все углы параллелограмма имеют одинаковую величину.

    (из блока 1.2.1)

    Упражнение \(\PageIndex{10}\)

    Квадрат площадью 1 квадратный метр разбит на 9 одинаковых маленьких квадратиков. Каждый маленький квадрат разбивается на два одинаковых треугольника.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *