Все про треугольники: Треугольник — основные понятия, свойства и признаки

Содержание

Все о треугольниках — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Все о треугольниках (теория)

Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

2. Содержание

Определение, элементы, внешний угол
Виды треугольников
Признаки равенства треугольников
Признаки подобия треугольников
Медиана, свойства медиан
Биссектриса, свойства биссектрис
Высота, свойства высот
Средняя линия треугольника
Свойства треугольников
Соотношение между сторонами и углами треугольника
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства прямоугольного треугольника
Свойства подобных треугольников
Формулы площади треугольника
Треугольник – фигура, состоящая из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и
трёх отрезков, попарно соединяющих эти
точки.

В
Точки А; В; и С – вершины
Стороны — отрезки
А
С
Внешний угол треугольника при данной
вершине – это угол, смежный с углом
треугольника при данной вершине

4. Виды треугольников

Остроугольный – все углы острые
Прямоугольный – один угол прямой
Тупоугольный – один угол тупой
Разносторонний – все стороны разной
длины
Равнобедренный – две стороны
(боковые) равны
Равносторонний – все стороны равны
(правильный)

5. Признаки равенства треугольников

1. По двум сторонам и углу между ними
Если
АВ = А1 В1
АС =А1С1
<А = <А1
ТО
∆ АВС= ∆ А1 В1С1
2. По стороне и прилежащим к ней углам
Если
АВ = А1 В1
<А = <А1
<в = <в1
ТО
∆ АВС= ∆ А1 В1С1
3. По трём сторонам
Если
АВ = А1 В1
ВС = В1 С1
АС = А1 С1
ТО
∆ АВС= ∆ А1 В1С1

6. Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. По двум катетам
Если АС =А1С1
ВС=В1С1
∆ АВС= ∆ А1 В1С1
ТО
С
2.

По катету и острому углу
Если
АС =А1С1
<А = <А1
ТО
АВ = А1 В1
<А = <А1
ТО
∆ АВС= ∆ А1 В1С1
4. По гипотенузе и катету
Если
АВ = А1 В1
АС =А1С1
В
А1
∆ АВС= ∆ А1 В1С1
3. По гипотенузе и острому углу
Если
А
ТО
∆ АВС= ∆ А1 В1С1
С1
В1

7. Признаки подобия треугольников

1. По двум углам
Если <А = <А1 ; <В = <В1, то ∆ АВС ~ ∆ А1 В1С1
2. По двум сторонам и углу между ними
Если АВ/А1В1 = АС/А1С1; <А = <А1 то
∆ АВС ~ ∆ А1 В1С1
3. По трем сторонам
Если АВ/А1В1 = АС/А1С1 = ВС/В1С1, то
∆ АВС ~ ∆ А1 В1С1

8. Признаки подобия прямоугольных треугольников

А1
А
С
В
1. По острому углу
Если <А = <А1, то ∆ АВС ~ ∆ А1 В1С1 С
2. По двум катетам
АС/А1С1 = ВС/В1С1, то ∆ АВС ~ ∆ А1 В1С1
3. По гипотенузе и катету
АВ/А1В1 = АС/А1С1, то ∆ АВС ~ ∆ А1 В1С1
1
В1

9. Медиана треугольника

Медиана треугольника – отрезок,
соединяющий вершину
треугольника с серединой
противолежащей стороны
Медианы пересекаются в одной точке
(центр тяжести треугольника).

10. Свойства медиан треугольника

1. Медианы точкой пересечения
делятся в отношении 2:1, считая от
В
вершины угла
F
О
А
Е
С
D
АО = 2ОЕ; ВО = 2ОF; СО= 2ОD
2. Медиана делит треугольник на
два равновеликих треугольника
S∆АВD = S∆СВD

11. Свойства медиан треугольника

3.
Если О – точка пересечения медиан,
то S∆АОВ = S∆ВОС = S∆АОС В
А
4.
О
С
Медиана на сторону а
вычисляется по формулам:
В
1
ma
2b 2 2c 2 a 2
2
1 2
ma
b c 2 2bc cos A
2
с
А
ma
в
а
С

12. Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника – отрезок
биссектрисы угла треугольника от
вершины угла до противолежащей
стороны.

13. Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке – центре
вписанной в треугольник окружности
2. Если СD – биссектриса угла С ∆АВС, то:
С
1) АD : ВD=АС : ВС
2) S∆АСD : S∆ВСD=АС : ВС
А
В
D

14.

Высота треугольникаВысота треугольника – перпендикуляр,
проведенный из вершины
треугольника к прямой, на которой
лежит противолежащая сторона.

15. Свойства высот треугольника

1. Высоты треугольника или их
продолжения пересекаются в одной
точке – ортоцентре треугольника.
2. Если АD, ВЕ,СF – высоты ∆АВС, Оточка пересечения этих высот или их
продолжений, то
С
АО·ОD = ВО·ОЕ = СО·ОF
Е
D
О
А
В
F

16. Свойства высот треугольника

3. Высота на сторону с вычисляется по
формулам:
С
hc = в· SinA
hc = a· SinB
в
а
hc
hc = 2S∆ : с
А
С
в
а
А
с
В
hc
В
с

17. Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок,
соединяющий середины двух сторон
треугольника
M
N
Свойство средней линии:
Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон и
равна половине этой стороны.
MN II AB и MN=1/2·AB

18.

Свойства треугольников1. Сумма углов треугольника равна 180°
2. Внешний угол треугольника равен
сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним.
3. В треугольнике против большей
стороны лежит больший угол, против
большего угла – большая сторона.
4. Неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше
суммы двух других его сторон

19. Свойства треугольников

5. Прямая СD делит ∆АВС на два таких
треугольника, что
S∆АСD : АD = S∆DСВ : DВ
С
А
В
D

20. Свойства треугольников

6. Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов:
а : SinA = b : SinB = c : SinC = 2R
где R – радиус окружности, описанной
около треугольника

21. Свойства треугольников

7. Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между
ними:
а² = в² + с² — 2вс·СоsА
в² = а² + с² — 2ас·СоsВ
с² = а² + в² — 2ав·СоsС

22.

Соотношение между сторонами и углами треугольникаВ треугольнике:
1) против большей стороны лежит
больший угол;
2) обратно, против большего угла
лежит большая сторона
3) В прямоугольном треугольнике
гипотенуза больше катета
4) Если два угла треугольника равны,
то треугольник равнобедренный

23. Свойства равнобедренного треугольника

1. В равнобедренном треугольнике углы
при основании равны
2. В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к
основанию, является медианой и
высотой.

24. Свойства равнобедренного треугольника

3. В равнобедренном треугольнике
медианы (соответственно высоты и
биссектрисы), проведенные из вершин
при основании, равны.

25. Свойства прямоугольного треугольника

1. Гипотенуза больше катета
2. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°
3. Катет, лежащий против угла в 30°,
равен половине гипотенузы. Верно и
обратное утверждение.

4. Медиана, проведенная из вершины
В
прямого угла, равна половине D
гипотенузы.
CD = ½ АВ
А
С

26. Свойства прямоугольного треугольника

5. Высота, опущенная из прямого угла делит
прямоугольный треугольник на два
подобных треугольника, которые подобны и
исходному треугольнику
h
6. Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с² = а² + в²
Египетский треугольник: 3; 4 и 5
с
Пифагоровы треугольники: 5; 12 и 13 а
8; 15 и 17 7; 24 и 25
в

27. Свойства прямоугольного треугольника

7. Пропорциональные отрезки в
прямоугольном треугольнике.
а) Высота, опущенная из прямого угла,
есть среднее пропорциональное между
проекциями катетов.
В
а
D
h : ас = вс : h
в
а
т.е.
с
с
h ас вс
h
А
в
С
б) Каждый катет есть среднее
пропорциональное между гипотенузой
и проекцией катета на гипотенузу:
а : с = ас : а, т.

е. а с ас
в : с = вс : в, т.е. в с в
с
в) Высота, опущенная на гипотенузу,
делит гипотенузу на отрезки, которые
относятся так же как относятся
квадраты прилежащих катетов:
а
в
ас : вс = а² : в²
ас
вс

29. Свойства прямоугольного треугольника

8. Тригонометрические функции острого
угла прямоугольного треугольника
Синус острого угла равен отношению
противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению
прилежащего катета к гипотенузе
Тангенс острого угла равен отношению
противолежащего катета к прилежащему
катету А
с
в
С
В
а

30. Свойства подобных треугольников

1. У подобных треугольников АВС и
А1В1С1:
В
1
В
А
С
А1
С1
1) <А = <А1 ; <В = <В1 ; <С = <С1
2) АВ : А1В1=АС : А1С1=ВС : В1С1 = k
(коэффициент подобия)

31. Свойства подобных треугольников

2. Отношение периметров подобных
треугольников равно
коэффициенту подобия.

P∆ABC : P∆A B C = k
3. Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
S∆ABC : S∆A B C = k²
1
1
1
1
1
1

32. Формулы площади треугольника

Произвольный треугольник:
S = ½ · аhа = ½ · вhв = ½ · сhс ;
S = ½·ab·SinС= ½· aс·SinВ= ½· вс·SinА;
где р- полупериметр
Прямоугольный треугольник:
S = ½ · ав, где а и в — катеты
Правильный треугольник:
S = (а²√3) : 4

33. Источники

Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 79.М.: «Просвещение», 2009 г.
Т.С. Степанова. Математика. Весь
школьный курс в таблицах., Минск,
«Букмастер»,2012
https://www.google.com/search?hl=ru&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=732&q=%D0%
BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&oq=%D0%BC
%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&gs_l=img.1.0.0l1
0.11499.13684.0.20805.10.7.0.3.3.0.113.481.6j1.7.0…0.0…1ac.1.7.img.

ZRxa7gaFMI#imgrc=hBP2SMLPpmMX9M%3A%3BLrDnnfsdseyC3M%3Bhttp%253A%252F%252Fimg16.slando.ua
%252Fimages_slandocomua%252F74852745_1_644x461_podgotovka-k-zno-matematikaharkov.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fkharkov.kha.slando.ua%252Fobyavlenie%252Fpodgotovka-kzno-matematika-ID5e1v1.html%3B527%3B461

English Русский Правила

Треугольники. Краткий конспект с примерами

Оглавление:

Понятие треугольника
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла
Подобные треугольники

Понятие треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Треугольник стандартно обозначают значком и тремя вершинами: . Сумма углов любого треугольника или

радиан.

Повторим его основные элементы:
Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение). Например, . У треугольника 3 высоты, и они пересекаются в одной точке.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Например, – она делит сторону на 2 равные части: Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Справка: отрезки равной длины обозначают одинаковыми засечками, а равные углы – одинаковыми дугами. Длину отрезка обозначают знаком модуля.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Например, – она делит на два равных угла . Биссектрисы тоже пересекаются в одной точке.

В общем случае точки пересечения высот, медиан и биссектрис не совпадают.

И, наверное, вам не нужно объяснять понятие площади (вспоминаем, квадратные метры, дачные «сотки» и т.д.). Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны (любой) на длину опущенной к ней высоты, в частности: . Существуют и другие формулы.

Повторим частные случаи треугольников и их основные свойства:

Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Равные стороны ( и ) называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием.
Высота, проведённая к основанию , одновременно является медианой и биссектрисой . Углы при основании равнобедренного треугольника равны

Равносторонний треугольник

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Все углы этого треугольника тоже равны и каждый из них равен 60° ( радиан).

Равносторонний треугольник также называют правильным треугольником.

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Треугольник с прямым углом называется прямоугольным.
Нетрудно догадаться, что два других угла – острые.

Сторона, лежащая напротив прямого угла, является самой длинной и называется гипотенузой , две другие стороны называются катетами ( и ). Обозначим

длины этих сторон буквами И теперь знаменитая теорема, известная уже более 2500 лет и доказанная более, чем 400 способами:

Теорема Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: .

Так, если известны катеты ед., то с помощью теоремы легко найти гипотенузу: и, извлекая квадратный корень, получаем:
ед.

Справка: если в метрических (вычислительных) задачах не задана размерность (сантиметры, метры, литры, бараны и т. д.), то хорошим тоном считается указывать единицы, сокращённо: ед.

И наоборот, если известна гипотенуза ед. и один из катетов, например, ед., то из формулы легко выразить и найти другой катет:

ед., да, и не забываем о проверках: ед., ч.т.п.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Говоря простым языком, это пропорции (соотношения) между сторонами прямоугольного треугольника, зависящие от его острых углов. Нагляднее сразу рассмотреть конкретный треугольник, например, египетский – со сторонами 3, 4 и 5 ед.:
Далее для простоты изложения под стороной я буду подразумевать её длину.
Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему: .
И котангенсом

называется отношение прилежащего катета к противолежащему: (предыдущие отношения наоборот).

А теперь мякотка: синус, косинус тангенс и котангенс не зависят от размеров треугольника. Они зависят только от значения острого угла. Так, – вне зависимости от того, какой треугольник нам дан – микроскопический или гигантский. Если в прямоугольном треугольнике есть угол , то катет, лежащий напротив этого угла, будет в два раза меньше гипотенузы. Каких бы размеров ни был треугольник.

Значения синусов, косинусов, тангенсов / котангенсов находят с помощью специальной таблицы (см. Приложение Тригонометрические таблицы) либо с помощью калькулятора. Следует отметить, что в тригонометрии перечисленные отношения определяются функциями – для произвольного угла, не только острого.

Подобные треугольники

К этому понятию мы только что подошли. Треугольники являются подобными, если их соответствующие углы (а значит, и их тригонометрические отношения) равны:

Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны: .

Коэффициент называют коэффициентом подобия, в данном примере . Пропорцию можно составить и наоборот, тогда .

Разумеется, подобными могут быть не только прямоугольные, и не только треугольники, а вообще произвольные геометрические фигуры. Например, матрёшки с одинаковой росписью. Если мы возьмём самую маленькую матрёшку, то её пропорции будут точно такими же, как и у всех остальных матрёшек, как и у самой большой.

4.3. Четырехугольники

4.1. Геометрия. Элементарные геометрические фигуры

| Оглавление |

6: Некоторые геометрические факты о треугольниках и параллелограммах

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 7130

Тед Сандстром и Стивен Шликер 9\circ\) называется прямоугольным треугольником . \circ\). 9{2}}{4}} = \dfrac{c\sqrt{3}}{2}\]
Подобные треугольники
Два треугольника подобны, если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника. На следующей диаграмме показаны подобные треугольники \(\triangle{ABC}\) и \(\triangle{DEF}\). Мы пишем \(\triangle{ABC} \sim \triangle{DEF}\).

Стороны подобных треугольников не обязательно должны иметь одинаковую длину, но они будут пропорциональны. Используя обозначения на диаграмме, это означает, что
\[\dfrac{a}{d} = \dfrac{b}{e} = \dfrac{c}{f}\]
Параллелограммы
Мы используем некоторые свойства параллелограммов при изучении векторов в разделе 3.5. Параллелограмм — это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Мы будем использовать диаграмму справа для описания некоторых свойств параллелограмма.
- Противоположные стороны равны по длине. На схеме это означает, что \[AB = DC \space \text{and} \space AD = BC\]
Эта страница под заголовком 6: Некоторые геометрические факты о треугольниках и параллелограммах распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.
0 и была создана, изменена и/или курирована Тедом Сандстромом и Стивеном Шликером (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
1. Наверх
- Была ли эта статья полезной?
1. Тип изделия
  Глава
  Автор
  Тед Сандстром и Стивен Шликер
  Лицензия
  CC BY-NC-SA
  Версия лицензии
  3,0
  Показать страницу TOC
  нет
2. Теги
  1. источник@https://scholarworks. gvsu.edu/books/12
Треугольники (Типы треугольников и свойства треугольников)
Треугольник определяется просто как трехсторонний многоугольник, состоящий из трех сторон (также называемых ребрами) и вершин. Треугольники – это любая замкнутая фигура в геометрии.
Обозначение
Рассмотрим треугольник с вершинами A, B и C, как показано на рисунке выше. Обозначается как △ABC .
Углы треугольника
Треугольник имеет двумерную форму с трехсторонним многоугольником. У него три стороны, и все стороны состоят из прямых линий.
Общая точка пересечения двух прямых треугольника называется вершиной . Вот почему треугольник состоит из трех вершин. Каждая вершина треугольника образует угол.
Как мы знаем, в треугольнике три вершины, и каждая вершина образует угол в треугольнике. Следовательно, треугольник имеет три угла, и каждый угол треугольника пересекается в одной точке (вершине).
Типы углов
● Внутренние углы
Проще говоря, если угол лежит внутри треугольника, то он называется внутренним углом. Треугольник имеет три внутренних угла. Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов.
● Внешние углы
Если любую сторону треугольника продолжить наружу, то она образует внешний угол с линией. Сумма последовательных внешних и внутренних углов треугольника является добавочной, а значит, равна 180 градусам.
Пример внутренних и внешних углов
На рисунке выше:
- b , a и c представляет собой внутренний угол
- и , f и d представляют внешний угол
Последовательная сумма e и b , a и f , или c и d будет дополнительной.
Свойства треугольника
Каждый многоугольник в математике обладает некоторыми уникальными и отличительными свойствами, которые отличают его от остальных. Треугольник также обладает следующими свойствами:
- Каждый треугольник состоит из трех углов и трех сторон.
- Сумма внешних углов треугольника всегда равна 360 градусам.
- Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам.
- Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
- Разница между любыми двумя сторонами треугольника будет меньше, чем разница между третьей стороной.
- Самая длинная сторона любого треугольника всегда будет находиться напротив наибольшего внутреннего угла.
- Самая короткая сторона треугольника всегда противоположна самому крутому внутреннему подъему.
- Периметр треугольника равен сумме трех его сторон.
- Площадь треугольника — это внутренняя область, ограниченная тремя сторонами треугольника.
Типы треугольников
Треугольники делятся на различные типы в зависимости от их сторон и углов. Треугольник делится на 3 типа в зависимости от его сторон, в том числе; равнобедренные треугольники, равнобедренные и разносторонних треугольников. С другой стороны, треугольники можно разделить на четыре различных типа: прямоугольный треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник и косой треугольник.
Треугольник В зависимости от сторон
Существует три типа треугольников в зависимости от сторон.
1.     Равносторонние треугольники
Треугольник, у которого все стороны и углы равны, называется равносторонним треугольником.
Равносторонний треугольник также известен как правильный многоугольник. В равностороннем треугольнике мера каждой кривой равна 60 градусам.
2.     Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны одинаковой длины, а одна сторона неравной длины.
Равнобедренный треугольник имеет два угла одинаковой меры и один угол неравной меры. Углы, лежащие против равных сторон, равны. Углы, противолежащие неравной стороне, неравномерны.

3.
     Разносторонний треугольник
Угол, все стороны которого не равны по длине, называется разносторонним треугольником.
Точно так же, как все стороны неравны по длине, так и углы неравны по размеру.
Треугольник На основе внутренних углов
Существует шесть типов треугольников на основе их внутренних углов, а именно:
1.     Прямоугольный треугольник
Треугольник, один из внутренних углов которого равен 90 градусов. (прямой угол) называется прямоугольным треугольником.
Существуют некоторые особые свойства прямоугольных треугольников, такие как:
- Сторона, противоположная прямому углу треугольника, называется гипотенузой.
- Прямоугольные треугольники подчиняются теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон треугольника)
2. Остроугольный треугольник или остроугольный треугольник
Треугольник, все внутренние углы которого меньше 90 градусов, называется остроугольным треугольником.
No related posts.