Трапеция
Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.
Трапеция. Определение, формулы и свойства
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.
Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.
Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.
Трапеции бывают:
— разносторонние ;
— равнобокие;
— прямоугольные
.Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.
A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
C — разносторонняя трапеция
У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.
У равнобокой трапеции боковые стороны равны, а основания параллельны.
У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.
Свойства трапеции
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
- Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
- Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными.
Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции - Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)
Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапецииУглы трапеции
Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые.Прямыми бывают только два угла.
У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.
Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.
Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.
Как найти стороны и диагонали трапеции
Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:
В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.
a — меньшее из оснований трапеции
b — большее из оснований трапеции
c,d — боковые стороны
h1h2 — диагонали
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)
Площадь трапеции
где
a и b — параллельные основания трапеции
c и d — боковые стороны трапеции
m — средняя линия трапеции
r — радиус вписанной в трапецию окружности
S — площадь трапеции
Содержание главы:
- Площадь трапеции
- Высота трапеции
- Трапеция (задачи про основания)
- Диагонали трапеции
- Прямоугольная трапеция
- Равнобокая (равнобедренная) трапеция
- Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции
- Высота равнобедренной трапеции
- Равнобокая трапеция
- Равнобокая трапеция (часть 2)
- Трапеция, описанная вокруг окружности
0
Ромб | Описание курса | Площадь трапеции
Все о трапеции для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
Трапеция и все-все-все
Для
начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.
Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.
В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.
Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.
Свойства диагоналей трапеции
Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед
нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте
рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с
основаниями трапеции.
Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k
треугольников выражается через отношение оснований трапеции:
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k2.
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще
одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если
продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то
рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины
оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения
диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон
и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).
Свойства средней линии трапеции
Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.
Свойство биссектрисы трапеции
Выберите
любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей
трапеции АКМЕ.
Свойства углов трапеции
1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 1800: α + β = 1800 и γ + δ = 1800.
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 900 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь
снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь.
Посмотрите
внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется
в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки
проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 1800 – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований:
7. Снова
проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной
трапеции он является перпендикуляром к основаниям.
И одновременно ТХ – ось
симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2.
Свойства трапеции, вписанной в окружность
Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
1. Расположение
центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой
стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым
углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр
описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ
второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника,
образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R =
АМ*МЕ*АЕ/4*SАМЕ.
Свойства трапеции, описанной около окружности
Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
5. И
еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас
есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности.
В ней проведены
диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и
боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны
трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции –
совпадает с диаметром вписанной окружности.
Свойства прямоугольной трапеции
Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.
Доказательства некоторых свойств трапеции
Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:
·
Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется
трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию.
Проведите из вершины М
прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.
АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.
Откуда АКМ = 1800 — МЕТ = 1800 — КАЕ = КМЕ.
Что и требовалось доказать.
Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:
· Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.
МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.
У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.
Задача для повторения
Основания
трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует
угол 1500 с меньшим основанием.
Требуется
найти площадь трапеции.
Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.
Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 1800. Поэтому КАН = 300 (на основании свойства углов трапеции).
Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 300. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.
Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.
Послесловие
Если вы внимательно и вдумчиво изучили этот материал, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.
Конечно,
информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно
перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной.
Но вы сами
убедились, что разница огромна.
Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и ЕГЭ, ОГЭ.
трапеция и ее теоремы
Введение в геомантию
Пожалуйста, включите JavaScript
Введение в геомантию
Мы в ask-math считаем, что образовательный материал должен быть бесплатным для всех. Пожалуйста, используйте содержимое этого веб-сайта для более глубокого понимания концепций. Кроме того, мы создали и разместили видеоролики на нашем YouTube.
Мы также предлагаем индивидуальные / групповые занятия / помощь в выполнении домашних заданий по математике с 4 по 12 классы по алгебре, геометрии, тригонометрии, предварительному исчислению и исчислению для учащихся из США, Великобритании, Европы, Юго-Восточной Азии и ОАЭ.
Также приветствуются связи со школами и учебными заведениями.
Пожалуйста, свяжитесь с нами по [email protected] / Whatsapp +919998367796 / Skype id: anitagovilkar.abhijit
Мы также будем рады разместить видео в соответствии с вашими требованиями. Напишите нам.
В этом разделе мы обсудим некоторые трапеции и их теоремы.
Трапеция – это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон. АБ || CD. (если есть две пары параллельных прямых, то это параллелограмм)
Если непараллельные стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной трапецией.
Теорема 1. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда углы при основании равны.
Дано: ABCD — равнобедренная трапеция. AD = ВС и АВ || CD.
Докажите, что: ↑C = ♂
| | | 1) ABCD — трапеция. | 1) Дано |
| 2) AB || CD | 2) Дано |
| 3) AD = BC | 3) Дано |
| 4) DA || CE | 4) По конструкции |
| 5) ADCE является параллелограммом. | 5) По свойствам параллелограмма. |
| 6) DA = CE и DC = AE | 6) По свойствам параллелограмма. |
| 7) BC = CE | 7) BC = AD и AD = CE (переходное свойство) |
| 8) ∠CEB ≅ &CBE | 8) Если BC ≅ CE, то противоположные им углы равны. |
| 9) ∠DAB ≅ ∠ABC | 9) свойство параллелограмма и линейной пары углов |
| 10) ∠A + ∠D = 180 и ∠B + 1002 ∠90 на внутренних углах 180 те же стороны трансверсали являются дополнительными. | |
| 11) ∠A + ∠D = ∠C + ∠B | 11) Транзитивность (правые стороны одинаковы, поэтому левые равны) |
| 12) ∠D = ∠C | 12) Сверху (∠A = ∠B) |
Пример: В трапеции QRS и.
Если ∠S = 60 0 , то найдите остальные углы.
Решение:
PQ||RS и PS = QR, поэтому трапеция PQRS является равнобедренной трапецией.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны.(трапеция и ее теоремы)
∠S = ∠R и ∠P = ∠Q
Но ∠S = 60 0
∴ ∠R = 60 0
Пусть ∠P = ∠Q = x
Сумма всех углов четырехугольника равна 360.
∴ ∠P + ∠Q + ∠S + ∠R = 360
x + x + 60 + 60 = 360
2x +120 = 360
2x = 360 -120
2x = 240
∴ x = 240/2
x = 120
тнаг.
| 1. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда углы при основании равны. |
| 2. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда диагонали конгруэнтны. |
3. Если трапеция равнобедренная, то противоположные углы дополнительные. |
| Медиана (или середина) трапеции параллельна каждому основанию, и ее длина составляет половину суммы длин оснований. |
| Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вы не получили (или не можете доказать) эту информацию. |
1) В трапеции ABCD,AB|| CD и ВС = AD. Если m∠C=65 0 , то найти m∠D.
2) PQRS — трапеция, в которой PQ || РС. Если ∠P = ∠Q = 40, найдите величины двух других углов.
3) В трапеции ABCD ∠B= 120 0 Найти m∠C.
4) В четырехугольнике HELP, если EP = LH, то какой это четырехугольник?
5) В четырехугольнике углы относятся как 4:5:3:6. Найдите величины каждого угла.
6) Если три угла трапеции равны 130 0 ,120 0 ,50 0 и 2x 0 . Найдите х и четвертый угол.
7) Нарисуйте равнобедренную трапецию с именем PQRS, PS||QR и PQ = SR.
Четырехугольник
• Введение в четырехугольник
• Типы четырехугольника
• Свойства четырехугольника
• Параллелограмм и его теоремы
• Rectangle and its Theorems
• Square and its Theorems
• Rhombus and its Theorems
• Trapezoid and its Theorems
• Kite and its Theorems
• Mid Point Theorem
Home Page
сообщите об этом объявлении
сообщите об этом объявлении
сообщите об этом объявлении
Свойства трапеций: определение и теорема
Ключевые понятия
- Дайте определение трапеции.
- Объясните свойства трапеции.
- Решение задач на основе свойств воздушного змея.
Трапеция
Четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон, называется трапецией .
- Трапеция, у которой непараллельные стороны равны, равна равнобедренной трапеции .
Свойство трапеции, связанное с углами при основании
Теорема 1:
В равнобедренной трапеции каждая пара углов при основании конгруэнтна.
Дано: ABCD — трапеция, где AB∥CD.
Чтобы доказать: ∠ADC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ABC
Доказательство:
Проведите перпендикулярные линии AE и BF между параллельными сторонами трапеции.
в ΔAED и ΔBFC,
AD = BC [Isosceles Trapezoid]
AE = BF [Расстояние между параллельными линиями всегда будет равным]
omaEB = ♂ = 90 ° [AEʇCD и BFʇCD]
Если у двух прямоугольных треугольников гипотенузы равны по длине, а пара более коротких сторон равна по длине, то треугольники конгруэнтны.
∴ ΔAED ≌ ΔBFC [правостороннее правило конгруэнтности]
Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треугольников равны.
Отсюда, ↑ADC = Ϫbcd
и ↑EAD = ♂фбк
Теперь, ▲BAD = ↑BAE + тий hTEAD
потряно РАД
∠BAD = ∠ABC
Следовательно, каждая пара углов при основании равнобедренной трапеции конгруэнтна.
Свойство трапеции, связанное с длиной диагоналей
Теорема 2:
Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.
Приведено: в трапециевии ABCD, AB∥CD и AD = BC
, чтобы доказать: AC = BD
Доказательство:
в ΔAdc и ΔBCD,
AD = BCESESIS ISOSCZESIOD].
↑ADC = ↑BCD [базовые углы Isockeles Trapezoid]
CD = CD [Common]
Следовательно, ΔAed ≌ ΔBFC [SAS -правило]
Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треурианцев равны.
Итак, AC = BD
Следовательно, диагонали равнобедренной трапеции равны.
Свойство трапеции, связанное с длиной диагоналей
Теорема 3:
В трапеции средний сегмент параллелен основаниям, а длина среднего сегмента равна половине суммы длин оснований.
Дано: В трапеции ABCD AB∥CD, X — середина AD, Y — середина BC.
Чтобы доказать: XY = 1/2 × (AB+CD)
Доказательство: Постройте BD так, чтобы середина BD проходила через XY.
В ΔADB X — это середина AD, а M — середина DB.
Итак, XM — это середина ΔADB.
Мы знаем, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны. [Теорема о среднем отрезке]
∴ XM ∥ AB и XM = 1/2 × AB …(1)
В ΔBCD Y — середина BC, а M — середина BD.
Итак, MY — это середина ΔBCD.
∴ MY ∥ CD и MY = 1/2 × CD …(2) [Теорема о среднем отрезке]
Поскольку XM ∥ AB и MY ∥ CD, то XY
Теперь XY=XM+MY
/2 × AB + 1/2 × CD
XY = 1/2 × (AB+CD)
Воздушный змей
Воздушный змей — это два равных четырехугольника, четыре стороны которых можно сгруппировать в группы.
стороны длины, которые примыкают друг к другу.
(или)
Параллелограмм также имеет две пары сторон одинаковой длины, но они противоположны друг другу в воздушном змее .
- Только одна диагональ воздушного змея делит пополам другую диагональ.
Свойство воздушного змея, связанное с углом между диагоналями
Теорема:
Диагонали воздушного змея перпендикулярны.
Дано: В змее WXYZ, XY=YZ, WX=ZW
Доказать: XZ Ʇ WY
Доказательство: Проведите диагонали XZ и WY. Пусть диагонали пересекаются в O.
в ΔWxy и ΔWzy,
Wx = WZ [соседние стороны кайта]
xy = zy [соседние стороны кайта]
Wy = YW [Рефлексивное свойство]
δ ΔWxy ≌ ≌ ≌ wxy ≌. ΔWZY [правило конгруэнтности SSS]
Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треугольников равны.
Итак, ∠XYW= ∠ZYW …(1)
в Δoxy и Δozy,
xy = ZY [соседние стороны Kite]
OY = yo [рефлексивное свойство]
↑xyw = ↑zyw [из (1)]
δ Δoxy Δozy [SAS urduence rule].