Вычисление интегралов примеры решения: примеры решения интегралов

примеры решения интегралов

Интеграл функции является основным понятием интегрального исчисления. Интеграл широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и в других науках. Именно поэтому мы собрали на сайте более 100 примеров решения интегралов и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления интегралов советуем вам прочитать теоретический материал по теме: определения, свойства и таблицу интегралов, методы их вычисления и другой материал по интегралам.

Таблица интегралов

Основные ссылки — таблица интегралов и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

В нашем случае , тогда искомый интеграл равен:

Ответ.

Больше примеров решений →

Метод непосредственного интегрирования

Основные ссылки — метод непосредственного интегрирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя за знак интеграла

далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим

Ответ.

Больше примеров решений →

Внесение под знак дифференциала

Основные ссылки — внесение под знак дифференциала и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)

Внесем под знак дифференциала:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

В результате получим

Ответ.

Больше примеров решений →

Интегрирование заменой переменной

Основные ссылки — интегрирование заменой переменной и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:

Сделаем обратную замену

Ответ.

Больше примеров решений →

Интегрирование по частям

Основные ссылки — интегрирование по частям и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого положим

Подставим это в формулу для интегрирования по частям, затем воспользуемся формулой интеграла косинуса из таблицы интегралов

Ответ.

Больше примеров решений →

Метод неопределенных коэффициентов

Основные ссылки — метод неопределенных коэффициентов и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Разложить рациональную дробь на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения , , то его можно разложить на множители следующим образом:

А тогда

Искомое разложение имеет вид:

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

Отсюда, искомое разложение:

Ответ.  

Больше примеров решений →

Интегрирование тригонометрических функций

Основные ссылки — универсальная тригонометрическая подстановка и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Для вычисления исходного интеграла введем тригонометрическую замену , тогда

Подставляя это в искомый интеграл, получим

Сделаем обратную замену

Ответ.

Больше примеров решений →

Вы поняли, как решать? Нет?

Примеры решения интегралов с ответам

Алгоритм решения интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если – первообразная функции , то:

Операция интегрирования является операцией обратной операции дифференцирования.

Определённым интегралом функции на отрезке называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

   

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица интегралов.

Таблица основных интегралов, – постоянная величина

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Примеры решений интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

По таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Вынося постоянный множитель 7 за знак интеграла, по таблице интегралов находим:

   

Ответ

   

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Ответ

   

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Ответ

   

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

   

Ответ

   

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

   

Ответ

   

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Далее найдём каждый интеграл суммы:

   

   

   

Ответ

   

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

   

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

   

Далее, применяя таблицу интегралов, находим интегралы функций синус и косинус:

   

Ответ

   

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 43

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

44961

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

1.1: Интегралы как решения — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

332

• Йиржи Лебл
• Университет штата Оклахома

ОДУ первого порядка представляет собой уравнение вида

\[\dfrac{dy}{dx}=f(x,y) \номер\]

или просто

\[y’=f(x,y) \номер\]

В общем, не существует простой формулы или процедуры, которой можно следовать, чтобы найти решение. В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда решение получить несложно. В этом разделе предположим, что \(f\) является функцией только \(x\), то есть уравнение имеет вид

.

\[y’=f(x) \label{1.1.1} \]

Мы могли бы просто проинтегрировать (антидифференцировать) обе части по \(x\).

\[\int y’ (x) dx = \int f(x) dx + C \nonumber \]

это

\[y(x)=\int f(x) dx + C \nonumber \]

Это \(y(x)\) на самом деле является общим решением. Итак, чтобы решить уравнение \(\ref{1.1.1}\), мы находим некоторую первообразную \(f(x)\), а затем добавляем произвольную константу, чтобы получить общее решение.

Сейчас самое время поговорить об обозначениях и терминологии исчисления. Учебники по математическому анализу мутят воду, говоря об интеграле прежде всего как о так называемом 9х f(t) dt + C \номер \]

Отсюда терминология «интегрировать», когда на самом деле мы можем иметь в виду «антидифференцировать». Интегрирование — это всего лишь один из способов вычисления первообразной (и этот способ работает всегда, см. следующие примеры). Интеграция определяется как площадь под графиком, это происходит только для вычисления первообразных. Ради согласованности мы будем продолжать использовать обозначение неопределенного интеграла, когда нам нужна первообразная, и вы всегда должны думать об определенном интеграле. 9{x_0} f(x) dx + y_0 = y_0\). Это!

Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференцирование) — совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Таким образом, уравнение \(\ref{1.1.2}\) представляет собой формулу, которую мы можем вставить в калькулятор или компьютер, и он будет рад рассчитать для нас определенные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как и с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной. 92} ds + 1. \nonumber \]

Решение

Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, занимающимися исчислением во втором семестре. Скажите им найти решение в закрытой форме.

Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Нельзя (в закрытом виде). Нет абсолютно ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

Используя этот метод, мы также можем решать уравнения вида

\[y’ = f(y) \nonumber \]

Запишем уравнение в системе обозначений Лейбница.

\[\dfrac{dy}{dx} = f(y) \nonumber \]

Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять местами \(x\) и \(y\), чтобы получить

\[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{f(y)} \nonumber \]

То, что мы делаем, похоже на алгебру с \(dx\) и \(dy\). Заманчиво просто заняться алгеброй с \(dx\) и \(dy\), как если бы они были числами. И в этом случае это работает. Однако будьте осторожны, так как подобные расчеты могут привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной. На данный момент мы можем просто интегрировать, 92} \nonumber \]

Интегрируем, чтобы получить

\[x = \dfrac{-1}{y} + C \nonumber \]

Находим \(y = \dfrac{1}{C-x} \). 2\) очень красивое и определено везде, но решение определено только на некотором интервале \((-\infty, C)\) или \((C, \infty)\) . Обычно, когда это происходит, мы рассматриваем только одно из них как решение. Например, если мы наложим условие \(y(0) = 1\), то решение будет \(y=\frac{1}{1-x}\), и мы будем рассматривать это решение только для \(x \) на интервале \((-\infty,1)\). На рисунке это левая часть графика. 92, \quad v(0) = 10 \nonumber \]

Как только мы найдем \(v\), мы можем проинтегрировать и найти \(x\).

---

Эта страница под названием 1.1: Интегралы как решения распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Йиржи Леблом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Йиржи Лебль

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://www. jirka.org/diffyqs

Определение, правила, примеры и решение

Мы можем найти площадь под прямой на графике с помощью различных формул. Но задумывались ли вы когда-нибудь, как найти площадь под кривой? Потому что если да, не беспокойтесь, мы на одной волне.

Мы уже знаем, что можем вычислить наклон кривой путем дифференцирования. Теперь попробуем вычислить формулу площади под кривой.

Для лучшего понимания рассмотрите этот график.

 

Как можно рассчитать площадь под кривой от точки 0 до 3 на оси x и выше?

Согласно Риману, сумма площадей определенных прямоугольников под линией кривой дает приблизительную площадь под этой кривой. Что-то вроде этого:

 

Но этого недостаточно. Как насчет того, чтобы уменьшить ширину прямоугольных плит. И еще и еще. Может быть так:

 

Эта область будет относительно более точной, чем предыдущая. Но что, если… мы уменьшим его еще немного. Настолько, что почти ноль! Что-то щелкнуло в вашем сознании?

ДА, производные! Производные используются для расчета мгновенного наклона. Мы собираемся использовать эту концепцию, чтобы найти площадь под этой кривой. Это понятие называется интегралом.

Давайте узнаем, что такое интегралы? Каковы правила интегралов и как их решить?

Что такое интегралы?

Интегрирование — это процесс нахождения интегралов. Интегралы имеют множество применений, например, для нахождения объемов, массы и т. д. Но в этой статье мы обсудим площадь под кривой.

Определение интеграла:

«Если производная функции равна f’(x), то ее интеграл равен ∫f(x).dx + c».

Это можно объяснить на примере. Рассмотрим функцию и ее производную, т. е. f'(x) = 3. Но какова ее первообразная? Мы можем сделать некоторые предположения.

Если подумать, мы получим постоянный член как производную для функции с одним X. То есть:

= 3x

Итак, мы получаем исходную функцию 3x путем антидифференцирования.

Коэффициент интегрирования

Посмотрите на эти уравнения:

• 3x + 12
• 3x + 100

Производная всех этих уравнений также равна 5x 9. Итак, чтобы исправить любую ошибку, мы пишем:

= 3x + C        , где c может быть любым постоянным числом

Вот почему интеграл имеет все возможные первообразные этой функции.

Теперь, когда вы знаете, что такое интеграл, мы теперь изучим целочисленное представление.

Интегральная запись

У каждой операции есть свой оператор, символ. Для производных у нас есть обозначение d/dx. Точно так же для интегралов мы используем причудливые s .

∫ fx.dx + c

Интегралы и производные

Вы можете задаться вопросом: «Теперь я знаю, что такое интеграл, но как он связан с производными?».

Если быть точным, то первообразные (обратное дифференцирование) и неопределенные интегралы — это почти одно и то же. Но есть большая разница между определенными интегралами и первообразными.

Когда мы находим производные, мы уменьшаем разницу между двумя точками настолько, что она становится бесконечно малой. Но в интегралах мы делаем столько мелких деталей, что число этих достигает бесконечности.

Проще говоря, в производных мы применяем предел приблизительно нулевого значения, а в интегрировании применяем предел до бесконечности. Таким образом, мы можем сказать, что интегралы являются обратными производными.

Правила вычисления интегралов

Есть несколько правил, которые помогают решать интегралы так же, как мы используем правила дифференцирования. Правила интегралов очень похожи на правила, которые мы используем для решения производных.

Степенное правило

Когда функция возведена в некоторую степень, для интегрирования используется следующее правило:

∫ fx.dx = (xn+1)/n+1                     дифференциация. Давайте сначала докажем, что это правило является обратным степенному правилу дифференцирования.

Пример

Производная функции равна 6×2. Давайте пересмотрим процесс дифференциации и поступим наоборот.

• Из степени функции вычитается единица, поэтому, чтобы найти ее обратную, мы прибавляем единицу к степени, т.е. 6×2+1 = 6×3.
• Коэффициент такой же, как мощность, поэтому, чтобы обратить его, мы разделим на то же число, т.е. 6×3/3 = 2×3.

Итак, интеграл от 6×2 равен 2×3 (исходная функция). Чтобы проверить, равна ли производная 2×3 6×2, воспользуйтесь калькулятором производной.

Умножение на константу

Когда мы видим функцию, которая находится в умножении на некоторое постоянное число, мы применяем правило. Согласно этому правилу при интегрировании постоянный член выносится за интегральную запись.

∫k.fx dx =ck ∫fx dx

Пример                 

Функция f(y) = 6y ² + 12 лет. Вы видите постоянные числа 6 и 12. Возьмем 6 обычных.

= 6 (Y ² + 2y)

Применить интеграцию:

∫ 6y ² + 12y .Dy = 6 ∫ y ² + 2y .dy

. у ² + 2у .dy 

=  6 { (у ²⁺¹ )/2+1 + 2у ¹⁺¹ /1+1 } 

=  6 { у ^{3 +} /3 ² }

= 2 года ³ + 6 лет ² + c

Правило суммы

Когда две функции добавляются, то при интеграции их можно интегрировать по отдельности, а затем добавить.

∫ (fx + gx).dx = ∫ fx.dx + ∫ gx.dx               

Пример

Найдите интеграл от u ⁵ + 2u.

Решение:

∫u ⁵ + 2U.DU = ∫U ⁵ .DU + ∫2U.DU

= (U ^{5 + 1 901 /5 + 1) + 2 + 1) + 1) + 1) + 2 + 1) + 2 + 1). у.ду}

= u ⁶ /6 + 2u ¹⁺¹ /2

= u ⁶ /6 + u ² + c

Difference Rule

Similar to the sum правило, когда функции находятся в вычитании, их можно интегрировать отдельно.

∫ (fx — gx).dx = ∫ fx.dx — ∫ gx.dx

Пример

Найдите интеграл от u ⁵ — 2u.

Решение:

  ∫u ⁵ + 2u.du = ∫u ⁵ .du — ∫2u.du

= (u ⁵⁺¹ / 5+1) — 2∫1u.du

= u ⁶ — 2u ¹⁺¹ /2

= u ⁶ /6 — u ² + c

Из приведенного выше примера видно, что единственная разница между правилом суммы и разности заключается в том, что символ знака.

Интегрирование по частям

Это обратное правило дифференцирования произведения. Выведем его формулу.

Правило продукта:

(uv)’ = uv’ + u’v

Применить интегрирование с обеих сторон.

∫(uv)’.dx = ∫ uv’.dx + ∫ u’v.dx

uv = ∫ uv’.dx + ∫ u’v.dx

∫ uv’.dx = uv — ∫ u ‘v.dx

Пример

Вычислить ∫ x.cosx . dx

Решение:

Определить u и v’.

u = x  

v’ = cosx

Найдите значения u’ и v.

Для u’ найдите производную от u.

u = x

u’ = 1

Для v найдите интеграл от v’.

v = cosx

∫v.dx =  ∫ cosx.dx = sinx

Решить.

∫xcosx.dx = x.sinx —  ∫1.sinx.dx                

= x.sinx — cosx 9

2

сложение константы

= x.sinx — cosx + c

Правило подстановки

Это правило также известно как правило обратной цепочки . Это правило применяется в особых случаях. Иногда функцию можно настроить таким образом, чтобы можно было применить правило подстановки.

Правило:

∫ f((gx)).g’(x).dx = ∫f(u).du 

Чтобы понять эту формулу, посмотрите на задействованные операции.

g'(x) = d/dx g(x)   

Для удобства пусть

u = g(x)   тогда    du = g'(x)       

Следует отметить, что эта формула применима только когда в интегрируемой функции есть и и, и и’.

Пример

Найдите интеграл от (x + 1) ² .

Решение:

Понимая функцию, мы видим, что производная от x + 1 равна 1 . Это означает, что мы можем умножить 1, чтобы использовать правило подстановки.

∫(x + 1) ² .dx = ∫(x + 1) ² .1dx                    

Теперь у нас есть u и u’, равные x + 1 и 1 соответственно. Используя формулу:

∫(x + 1) ² .1dx знак равно ∫ ты ² . du

= ∫ u ²⁺¹ / 3

= ∫u ³ /3

Возврат значения u:

= ∫(x+3) Some 90 3 3/90 186 3 90 Rules

0704

. + c

2

333.173IS Существует два типа интегралов. Оба решаются по-разному и имеют разные приложения.

Неопределенные интегралы

Это обратная производная. Он вычисляет всю площадь под графиком кривой линии. Все примеры, которые вы видели в этой статье, относятся к неопределенной интеграции.

В этих интегралах нижняя, ни верхняя границы не применяются. Более того, в конце добавляется константа c , чтобы указать, что ответ включает в себя все возможные первообразные функции.

Давайте рассмотрим пример пула. Считайте, что вы наполняете бассейн с помощью водопроводной трубы. Поток воды время от времени меняется по какой-то причине.

Теперь, если скорость потока была постоянной, было бы легко вычислить объем воды в бассейне через некоторое время t .

 

Но проблема в том, что расход постоянно меняется и его нельзя измерить только в одной точке. Необходимо найти скорость потока в каждой точке, чтобы знать точный объем.

 

Для этого воспользуемся неопределенными интегралами. Скорость потока рассчитывается по производным и показывает, с какой скоростью наполняется бассейн в данный момент времени.0054 т .

d/d (x ² ) = 2x  (расход)

Интегрирование показывает, каков объем воды в бассейне через время t .

∫2x.dx = x ²   (объем)

Это также подтверждает тот факт, что интегралы являются первообразными.

А что, если в бассейне уже было немного воды c ? Это означает, что наш расчетный объем не является «чистым объемом». Чтобы получить правильный ответ, добавьте c в ответ.

= x ² + c

Определенные интегралы

Определенный интеграл находит объем за определенный интервал времени. Например, вы хотите рассчитать объем, накопленный между точками a и b на оси x.

 

Чтобы вычислить площадь от 1 до 3 по оси x, мы применяем верхнюю и нижнюю границы. Таким образом, вы найдете точно определенную область выделенной части.

Продолжая пример с бассейном, предположим, что мы хотим найти объем воды, добавленной в бассейн между 5 и 8 минутами. Мы напишем:

После интегрирования функции поместите значения a и b соответственно и вычесть значение b из значения a.

= [(8) ² — (5) ² ]

= 64 — 25

= 39

Калькулятор первообразных может находить как определенные, так и неопределенные интегралы для заданных функций.

Function	Integral
∫cos(x). dx	sinx + c
∫sin(x).dx	-cosx + с
∫SEC2 (x) .DX	TANX + C
∫ (1/X) .DX
∫ex . DX	EX + C
∫LN (x) .DX	x LN (x) — x + C