Вычисление определенных интегралов онлайн: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = x2 dx (х 2)

2.5. Вычисление определенных интегралов методами. Монте–Карло

Рассматриваемые ранее методы называются Детерминированными, то есть лишенными элемента случайности.

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла

(2.20)

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [A, B] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

(2.21)

(2.22)

Здесь γi — случайное число, равномерно распределенное на интервале
[0, 1].

Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.

На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.5. Интегрирование методом Монте-Карло (1-й случай)

Однако при вычислении кратных интегралов детерминированными методами оценка погрешности перерастает в задачу порой более сложную, чем вычисление интеграла. В то же время погрешность вычисления кратных интегралов ММК слабо зависит от кратности и легко вычисляется в каждом конкретном случае практически без дополнительных затрат.

Рассмотрим еще один метод Монте-Карло на примере вычисления однократного интеграла:

(2. 23)

Рис. 2.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)

Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1], то полученные значения (γ1, γ2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S – число пар точек, попавших под кривую, а N – общее число пар чисел.

Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:

Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Число интервалов (точек)	Метод левых прямоугольников	Метод средних прямоугольников	Метод правых прямоугольников	Метод Трапеций	Метод Симпсона	Метод Монте-Карло
10	4. 44112722	4.66882868	4.90820465	4.25683746	4.67077443	4.62289422
100	4.64745932	4.67075481	4.69416706	4.62903035	4.67077427	4.69812790

Замечание.

Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.

Вопросы для самопроверки

· Сформулируйте задачу численного интегрирования.

· Метод средних, левых и правых прямоугольников. Что можно сказать об их погрешности, трудоемкости?

· Задача численного интегрирования решена методом трапеций. Предложите и обоснуйте пути повышения точности (уменьшения погрешности) расчетов.

· Сравните метод трапеций и метод Симпсона.

· Какие методы Монте–Карло численного интегрирования вы знаете? Сравните эти методы с любым детерминированным.

· Необходимо вычислить интеграл методами трапеций, Симпсона и ММК, разбив область интегрирования на 77 интервалов (точек). Что можно сказать о точности и применимости этих методов?

< Предыдущая		Следующая >

Как вычислить приближенное значение определенного интеграла в Wolfram|Alpha, используя численные методы решения интегралов

Как вычислить приближенное значение определенного интеграла в Wolfram|Alpha, используя численные методы решения интегралов

Приближенные методы вычисления определенного интеграла приходят на помощь, когда вычисление интегралов точными методами затруднительно, нецелесообразно или невозможно.

Уверен, все знают про «неберущиеся» интегралы. Называются они так не потому, что «за них даже не стоит браться», а потому, что их нельзя вычислить обычными методами, которыми оперирует интегральное исчисление потому, что они не выражаются в элементарных функциях. Но, если использовать методы численного интегрирования, например, такие, как метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), то вычислять «не берущиеся» интегралы ничуть не сложнее обычных «берущихся».

И если… вас интересует приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций (вычисление интегралов методом трапеций), нужен пример на метод Симпсона (метод Симпсона примеры решения), либо вы просто хотите знать, как решить интеграл методом Симпсона, срочно требуется метод Симпсона онлайн,  а также другое, связанное с приближенными методами вычислений определенных интегралов, вам определенно стоит дочитать этот пост до конца.

Вопрос про численное интегрирование уже обсуждался ранее, как раз в связи с вычислением «не берущихся» интегралов. По этому поводу был пост Численное интегрирование в Wolfram|Alpha, в котором приближенное вычисление определенного интеграла рассматривалось с точки зрения высшей математики. Здесь приближенное вычисление определенных интегралов будет рассмотрено более подробно с позиций прикладной математики.

Для начала, уточним, какие методы численного интегрирования (Numerical Integration Methods) используются чаще всего. Вот их названия: метод левых прямоугольников (left endpoint method), метод правых прямоугольников (right endpoint method), метод средних прямоугольников (midpoint method), метод трапеций (trapezoidal method), метод Симпсона (иначе, метод парабол) (Simpson’s method) . Вместо «метод» также говорят «формула» или «правило», имея ввиду больше практический нежели теоретический аспект. Отсюда: формула левых прямоугольников (left endpoint rule), формула правых прямоугольников (right endpoint rule), формула средних прямоугольников (midpoint rule), формула трапеций (trapezoidal rule), формула Симпсона (формула парабол) (Simpson’s rule).

4))dx Boole’s rule with 5 intervals x=0..1 to 18 digits

Соответственно, таблица сравнения результатов, которые дают разные численные методы вычисления определенного интеграла выглядит так:

Таким образом, мы познакомились с тем, как вычислить приближенное значение определенного интеграла в Wolfram|Alpha, используя численные методы решения интегралов.

Надеюсь, этот материал будет вам полезен.

Следующее Предыдущее Главная страница

Калькулятор процентилей

— примеры, онлайн-калькулятор процентилей

Калькулятор процентилей — это онлайн-инструмент, который помогает определить процентиль определенного значения в заданном наборе данных. Значение, ниже которого падает определенный процент данных, называется процентилем.

Что такое калькулятор процентилей?

Калькулятор процентилей поможет вам определить процент баллов, которые находятся ниже определенного значения в заданном наборе данных. Процентили используются для сравнения выбранной оценки с оценками группы. Чтобы использовать это Калькулятор процентилей , введите значения в поля ввода.

Калькулятор процентилей

Как пользоваться калькулятором процентилей?

Чтобы определить процентиль выбранного значения с помощью онлайн-калькулятора процентилей, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору процентилей Cuemath.
• Шаг 2: Введите необходимые данные в соответствующие поля ввода.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти процентиль выбранного значения.
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор процентилей?

Понятие процентов не следует путать с процентилями. Процент — это значение, которое используется для представления количества из 100. Однако процентиль — это значение, которое используется для отображения процента значений, лежащих ниже определенного значения. Шаги для расчета процентиля приведены ниже:

• Шаг 1: Упорядочить данный набор данных в порядке возрастания или возрастания.
• Шаг 2: Выберите значение, процентиль которого необходимо определить. Пусть это значение будет представлено через x.
• Шаг 3: Подсчитайте количество значений, которые меньше выбранного значения x. Пусть этот счет будет представлен через y.
• Шаг 4: Подсчитайте общее количество значений в заданном наборе данных. Пусть это будет з.
• Шаг 5: Теперь разделите y на z.
• Шаг 6: Чтобы найти процентиль, умножьте y/z на 100.

Таким образом, формула для вычисления процентиля заданного числа x выглядит следующим образом:

Процентиль = (Количество значений ниже x / Общее количество значений) × 100

Хотите найти сложные математические решения в пределах секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Решенные примеры на калькуляторе процентилей

Пример 1:

Оценки учеников класса: (45, 98, 33, 57, 63, 82, 77, 72, 77, 12). Найдите процентиль ученика с 77 баллами и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора процентилей.

Решение:

Расположив данные в порядке возрастания, получим (12, 33, 45, 57, 63, 72, 77, 77, 82, 98).

Количество значений ниже 77 = 6,

Общее количество значений = 10

Процентиль = (6 / 10) × 100

= 60%

Пример 2:

Вес людей (в кг) равен (43,2, 77,3, 85,6 , 45.1, 60.9, 49.5, 58.1, 70.3, 86.6). Найдите процентиль человека, который весит 70,3 кг, и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора процентилей.

Решение:

Расположив данные в порядке возрастания, получим (43.2, 45.1, 49.5, 55.6, 58. 1, 60.9, 68.8, 70.3, 77.3, 86.6).

Количество значений ниже 70,3 = 7

Общее количество значений = 10

Процентиль = (7 / 10) × 100

= 70% .

• Найдите процентиль для 34, если данные (27, 33, 34, 45, 33, 26, 37, 23, 38, 40).
• Найти процентиль для 99 для точек данных (81,2, 97,7, 93,2, 100, 101,5, 83, 81,6, 102, 99,9, 99)

☛

Статьи по теме:

• Проценты
• Формула процентилей

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор точки пересечения Y

Калькулятор точки пересечения Y помогает вычислить значение точки пересечения по оси Y, когда нам задано линейное уравнение с двумя переменными. Точка, в которой график пересекает ось y, называется точкой пересечения y. Мы знаем, что координата x любой точки на оси y равна 0. Таким образом, координата x точки пересечения с осью y равна 0,9.0003

Что такое калькулятор пересечения Y?

Пересечение по оси Y Калькулятор представляет собой онлайн-инструмент, который помогает рассчитать значение точки пересечения с осью Y, когда график данного уравнения пересекается с осью Y. Для любого заданного графа может быть два пересечения — пересечение по оси x и пересечение по оси y. Чтобы использовать калькулятор точки пересечения y, введите значения в данные поля ввода.

Калькулятор пересечения Y

Как пользоваться калькулятором пересечения Y?

Пожалуйста, следуйте приведенным ниже шагам, чтобы найти значение точки пересечения по оси Y с помощью калькулятора точки пересечения по оси Y:

• Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору перехвата y Cuemath.
• Шаг 2: Введите коэффициенты в соответствующие поля ввода.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Вычислить» , чтобы найти значение точки пересечения по оси Y.
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор пересечения Y?

Точка, в которой график данной функции пересекает либо ось x, либо ось y, называется точкой пересечения x или y соответственно. Точка пересечения с y будет точкой, которая будет иметь координату y, а ее координата x будет равна нулю.

Координаты точки пересечения y будут иметь вид (0, y). Точно так же точка пересечения x будет иметь координату x, а координата y будет равна 0. Это можно записать как (x, 0). Предположим, у нас есть прямая линия, представленная общим уравнением ах + через + с. Чтобы найти y-пересечение этой линии, мы следуем шагам, указанным ниже:

• Мы знаем, что координата x точки пересечения y будет равна 0. Таким образом, мы заменим x = 0 в уравнении ax + на + c = 0.
• Мы получаем a(0)+ по + c =0. Или на + с = 0,
• Теперь мы сдвигаем константу c в правую часть уравнения; по = -с.
• Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при y; у = — с/б. Это будет y-пересечение данной линии.
• Следовательно, координаты точки пересечения с осью y будут представлены как (0, -c/b).

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.