Вычисление пределов числовых последовательностей: Вычисление пределов последовательностей — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Предел последовательности. Вычисление пределов

Число a называется пределом числовой последовательности {x

_n}, если для любого как угодно малого положительного числа ε>0 найдется натуральное число N=N(ε), такое что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|<ε.

Если a является пределом последовательности то этому соответствует запись

Пример 1 Легкое задание, которое учит выносить доминантные множители в дробях, которые дают наибольший вклад при номере, стремлящемся к бесконечности, и упрощать на них

В этом вся сложность алгоритма вычисления предела последовательности при переменной стремящейся к бесконечности, но бывают исключения, о которых поговорим делее.
Если последовательность сходится, то она имеет конечный лимит. Если предел равен бесконечности, то говорят, что такая последовательность расходится.
Для установления сходимости последовательностей нужно хорошо уметь находить пределі, что мы с Вами постоянно совершенствуем.

Пример 2 Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞), поэтому теорему о разнице пределов здесь применять нельзя. Преобразуем выражение, умножением и делением на сопряженное выражение. Для вычисления значения предела упрощаем дробь на выражение, что вносит наибольший вклад при аргументе стемящемся к бесконечности. Как выносить множители из под корня Вы должны научиться самостоятельно, без этого трудно будет раскрывать пределы с корнями.

Пример 3 Разницу корней в знаменателе дроби не уножаєм на сопряженное выражение, а просто номер n выносим из под корня (внимательно посмотрите как это делать), а дальше упрощаем с n выделенным в числителе

Пример 4 Последовательность из частки иррациональных выражений имеет конечную границу, если степень номера n в знаменателе равен степени в числителе (или больше). Его выделяем по указанной в методике формуле, и упрощаем

Пример 5 Найти предел последовательности
Вычисления: Проанализировав, как меняются слагаемые для всех номеров k=2,3,4 можем записать формулу

Таким образом исходную сумму сводим к виду

Единого устоявшегося алгоритма, как раскрывать такие суммы нет. Порой можно увидеть простые схемы чередования слагаемых, в других заданиях бывает нужно вычислить суммы арифметических или геометрических прогрессий. Лишь бы оценить сверху, что последовательность ограничена, и к какому значению стремится.

Пример 6 Лимит последовательности из частки показательных выражений вычисляют путем выделения и упрощения доминантных множителей в числителе и знаменателе дроби. В заданном лимите основания равны 2 и 4, их можно свести к общему 4 в (высшем) степени ровному n. Все остальное и даст значение к которому стремится дробь.

Пример 7 Предел последовательности из разности бесконечно больших дробей раскрываем методом сведения их к общему знаменателю и упрощения в числителе и знаменателе множителя, что вносит главный вклад

Пример 8 Найти лимит последовательности

Вычисления: Представим общий член последовательности {x_n} в виде

По теореме о границе показательной функции, она равна показателю от границы основы, если степень конечна. 5.

Пример 9 В такого сорта заданиях вынесения n в главной степени за скобки в числителе и знаменателе дроби к упрощению не приведет. Попробуйте проверить самостоятельно, остается взглянуть в формулы сокращенного умножения и расписать разницы и суммы в кубе и в четвертой степени по следующим формулам

Таким образом, получим слагаемые с противоположными знаками, которые в сумме дадут 0, остальные слагаемые в предельном переходе упростятся по приведенной выше методике.
И напоследок, еще несколько решений на предел последовательности, которые предлагаем разобрать самостоятельно.

вычисление последовательности пределов

Вы искали вычисление последовательности пределов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление предела последовательности, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление последовательности пределов».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление последовательности пределов,вычисление предела последовательности,вычисление предела последовательности примеры,вычисление пределов последовательностей,вычисление пределов последовательности,вычисление пределов числовых последовательностей,вычислить предел последовательности,вычислить пределы последовательностей,вычислить пределы числовых последовательностей,как вычислить предел последовательности,как вычислять пределы последовательностей,как найти предел последовательности,как найти предел последовательности примеры,как находить пределы последовательности,как считать пределы последовательностей,найти предел последовательности,найти пределы последовательностей,нахождение предела последовательности,определение предела числовой последовательности,последовательности и пределы,последовательности пределы,предел арифметической прогрессии,предел последовательности,предел последовательности вычислить,предел последовательности для чайников,предел последовательности и предел функции,предел последовательности как вычислить,предел последовательности примеры,предел последовательности примеры решения,предел последовательности примеры решения для чайников,предел последовательности что такое,предел последовательности это,предел функции предел последовательности,предел числа,предел числовой последовательности,предел числовой последовательности для чайников,предел числовой последовательности это,пределы и последовательности,пределы последовательностей,пределы последовательности,пределы последовательности для чайников,пределы последовательности примеры решения,пределы числовой последовательности,пределы числовых последовательностей,свойства последовательности пределов,свойства пределов последовательностей,свойства пределов последовательности,числовая последовательность и ее предел,числовая последовательность предел числовой последовательности,что называется пределом числовой последовательности.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление последовательности пределов. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление предела последовательности примеры).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление последовательности пределов Онлайн?

Решить задачу вычисление последовательности пределов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

3. Предел последовательности

Часть 1.: Упражнения, решения.
Часть 2.: Упражнения, решения.

Определение

Понятие сходимости последовательностей кажется интуитивно ясным. Последовательность сходится к пределу, если ее элементы все ближе и ближе к . Например. последовательность , for сходится к нулю. Точнее говоря, для любого существует такое, что для всех расстояние между и меньше . Итак:

И действительно, , потому что если , пусть , то, если , то .

При этом последовательность , не сходится ни к какому пределу, так как для любого и , для всех , или .

Теорема сжатия

Даны две последовательности i , которые имеют пределы и соответственно и такие, что для любого мы имеем , мы также имеем то .

Поэтому, если мы изучаем сходимость последовательности, мы можем попытаться найти последовательности и такие, что для всех и . Тогда также сходится к — эту теорему обычно называют теоремой сжатия.

Например, пусть , . Потом для всех. Так как , также .

Арифметика пределов

У нас есть естественная арифметическая теорема о пределах. Если и , то:

,
,
,
, если (при условии, что для любого

Рассчитаем предел . Обратите внимание:

Поскольку , , то числитель сходится к , а так как и , то предел знаменателя равен (применяем теорему об арифметике пределов). Поэтому (снова применим теорему).

Ограниченные последовательности

Последовательность ограничена, если существует такое, что для любого . Имеем следующую теорему: если сходится к нулю и ограничено, то сходится и к нулю.

позволять . Очевидно, где ограничено и сходится к нулю. Так .

Бесконечные пределы

Если есть такое, что для всего существует такое, что для всего есть, то если для сколь угодно большого числа с данного места на элементы последовательности больше, то это число, то говорят, что последовательность стремится к бесконечности и написать .

Если последовательность такова, что для любого существует такое, что для всех, что у нас есть, мы говорим, что последовательность стремится к минус бесконечности, и пишем .

позволять . Эта последовательность стремится к бесконечности, так как если , , пусть . Тогда для всех получим .

Арифметика бесконечных пределов

Пусть и последовательности действительных чисел. Тогда

, если шутка сходится к любому конечному числу или , и , то .
если сходится к любому конечному числу или , и , то .
если сходится к любому конечному числу g>0 или , и , то .
если сходится к любому конечному числу g и , то .
если сходится к любому конечному числу g> 0 или , и , то .
если сходится к любому конечному числу g и , то .
если сходится к любому конечному числу g и , то .

Обратите внимание, что эта теорема ничего не говорит о некоторых типах предельных операций, в которых мы ничего не можем сказать о пределах. Например. операции как , или . В этом случае обычно необходимы некоторые дополнительные вычисления, чтобы можно было использовать приведенную выше теорему.

Например, пусть . Поэтому . С , . Потому что мы это понимаем.

Номер e

Представьте, что у вас есть счет в банке с годовой процентной ставкой! Но у вас только в этом аккаунте. Если процентные ставки рассчитываются каждый год, через год у вас будут доллары. Но если процентные ставки рассчитывались дважды в год, вы будете получать половину своих денег дважды в год, так что в конце года у вас будет . Если бы его рассчитывали четыре раза в год, то получится , ежемесячно . Понятно, что конечная сумма денег увеличивается, если увеличивается частота расчета процентной ставки. Насколько большой может быть эта сумма?

Очевидно, мы спрашиваем о пределе последовательности, . Ответ весьма удивителен. Предел этой последовательности — иррациональное число, играющее огромную роль в математике и обозначаемое . .

Зная это, мы можем вычислить пределы многих других последовательностей, например. . Заметьте, что , так .

Условие Коши

Последовательность является последовательностью Коши, если для любого положительного сколь угодно малого с некоторого места расстояние между любыми двумя элементами последовательности меньше . Итак:

Например: последовательность является последовательностью Коши. Действительно, пусть . Тогда пусть . Тогда для всех получаем:

Получается, что последовательность действительных чисел является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда она сходится к конечному числу.

Вся элементарная математика

Числовые последовательности. Общий термин последовательности.
Общая формула термина. Предел числовой последовательности.
Сходящаяся последовательность. Расходящаяся последовательность. Ограниченная последовательность.
Монотонная последовательность. Теорема Вейерштрасса.
Основные свойства пределов. Некоторые замечательные ограничения.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , н –1, н , … . Если изменить каждое натуральное число н в этой серии под некоторым номером ты _н , следующий по какому-то закону мы получим новый ряд чисел:

ты ₁ , ты ₂ , ты ₃ , …, ты _н _{—
1} , ты _н , …, кратко отмечен как { ты _н }

и позвонил числовая последовательность .

Значение ты _н называется общий термин последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой ты _н знак равно ж ( п ) , позволяющий найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Обратите внимание, что не всегда можно дать числовая последовательность по формуле общего члена; иногда последовательность дается описанием ее членов (см. ниже последний пример).

Примеры числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … — ряд натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, … — серия номеров событий;

1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, … — числовая последовательность приближенных,
определил более точно значения

Для последней последовательности невозможно дать общую формулу члена,

тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу а при увеличении порядкового номера н . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет ограничение . Это обозначение имеет более строгое определение: Число называется пределом числовая последовательность { ты _н } :

Это определение означает, что а это ограничение числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к

а при увеличении н . Геометрически это означает, что для любого > 0 можно найти такое число Н , что начиная с н > N все члены последовательности помещаются в интервал ( а – , а + ).

Последовательность, имеющий предел, называется сходящийся ; иначе — а расходящийся последовательность. Последовательность ограниченный , если такое число М существует, что | ты _н | М для всех н. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонный последовательности.

Теорема Вейерштрасса. Каждая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел

(эта теорема используется в средняя школа без доказательства).

Основные свойства пределов. Указанные ниже свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { ты _н } и { в _н } — две сходящиеся последовательности, то:

Если термины последовательностей { ты _н }, { в _н }, { ж _н } удовлетворять неравенствам ты _н в _н ж _н и
лим ты _н = лим ж _н

«=» а , тогда лим в _н «=» а .
No related posts.