Вычисление сторон параллелограмма дан периметр: Вычисление сторон параллелограмма, дан периметр — задание. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Навигация по странице: Определение параллелограмма Признаки параллелограмма Основные свойства параллелограмма Стороны параллелограмма Диагонали параллелограмма Периметр параллелограмма Площадь параллелограмма

Определение.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Рис.1 Рис.2

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2


Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб — есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD,   BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =  d1
2
BO = DO =  d2
2

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)


Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =  √d

12 + d22 — 2d1d2·cosγ2 = √d12 + d22 + 2d1d2·cosδ2

b =  √d12 + d22 + 2d1d2·cosγ2 = √d12 + d22 — 2d1d2·cosδ2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a = √2d12 + 2d22 — 4b2
2
b = √2d12 + 2d22 — 4a2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a = hb
sin α
b = ha
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a = S
ha
b = S
hb


Диагонали параллелограмма

Определение.

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 — 2ab·cosβ

d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα

d2 = √a2 + b

2 — 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d1 = √2a2 + 2b2 — d22

d2 = √2a2 + 2b2 — d12

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d1 = 2S = 2S
d2·sinγd2·sinδ
d2 = 2S = 2S
d1·sinγd1·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d12 + 2d22 — 4a2

P = 2b + √2d12 + 2d22 — 4b2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P = 2(b + hb)
sin α
P = 2(a + ha)
sin α


Площадь параллелограмма

Определение.

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · ha
S = b · hb

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S = 1d1d2 sin γ
2
S = 1d1d2 sin δ
2

Все таблицы и формулы

Периметр ⚠️ параллелограмма: как вычислить, формула нахождения

Содержание:

  • Что такое периметр параллелограмма
  • Свойства
  • Как найти периметр
    • По сумме всех сторон
    • По стороне и двум диагоналям
    • По стороне, высоте и синусу угла
  • Примеры решения задач
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3

Содержание

  • Что такое периметр параллелограмма
  • Свойства
  • Как найти периметр
    • По сумме всех сторон
    • По стороне и двум диагоналям
    • По стороне, высоте и синусу угла
  • Примеры решения задач
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

  • противоположные стороны равны и параллельны;
  • противоположные углы попарно равны;
  • сумма соседних углов равна 180 градусов;
  • сумма всех углов равна 360 градусов;
  • диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
  • точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;
Источник: egemaximum.ru
  • биссектриса образует равнобедренный треугольник.
Источник: egemaximum.ru

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). 2}}2+b).\)

По стороне, высоте и синусу угла

Источник: ru.onlinemschool.com

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

\(a=\frac{h_b}{\sin\alpha}\)

где \(h_b\) — высота, проведенная к известной стороне, а \(sin\alpha\) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

\(P=2(\frac{h_b}{\sin\alpha}+b)\)

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. 2}}2+4)=2(\frac{\sqrt{72+128-64}}2+4)=2(\frac{2\sqrt{34}}2+4)=2\sqrt{34}+8\) см.

Ответ:\( 2\sqrt{34}+8\) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b 1 см, а угол α равен \(\frac\pi6\). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

\(P=2(\frac{h_b}{\sin\alpha}+b)\)

Подставим известные величины:

\(P=2(\frac1{\sin{\displaystyle\frac\pi6}}+2)=2(\frac1{\displaystyle\frac12}+2)=8\;\)см.

Ответ: 8 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 1.83 (Голосов: 6)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Периметр параллелограмма онлайн

Любой многоугольник имеет периметр, который можно определить как сумму всех сторон фигуры. Для вычисления выведены формулы, опирающиеся на отдельные свойства геометрического объекта, упрощающие расчеты. Величина обозначается буквой P. Выражается в единицах измерения длины.

Под параллелограммом понимают четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Расчеты периметра фигуры основываются на следующих теоремах о свойствах данного четырехугольника:

  1. Противоположные стороны попарно равны.
  2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  3. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин сторон.

Прямоугольник, квадрат, ромб являются частными случаями данного четырехугольника. Рассчитывая Р этих фигур, можно применить те же формулы.

  • Периметр параллелограмма через две стороны
  • Периметр параллелограмма через две диагонали и любую известную сторону
  • Периметр параллелограмма через любую известную сторону, высоту и острый угол

Через две стороны

Самая простая формула вычисления периметра параллелограмма учитывает то, что его противоположные стороны попарно равны. Для вычисления достаточно знать основные измерения фигуры.

Используем общепринятые в математике обозначения: a – длина, b – ширина, P – периметр.
Тогда формула для нахождения выглядит так:

P = 2 * (a + b)

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.

Длин. сторона (a):

ммсмдмм

Кор. сторона (b):

ммсмдмм

Цифр после запятой:

012345678910Результат в: ммсмдмм

Пример 1. Требуется найти длину ограждения территории. Измерения показали, что участок имеет следующие размеры 12 м, 11 м, 12 м, 11 м. Можно воспользоваться общим подходом: сложить полученные величины. Но лучше применить свойство четырехугольника с попарно равными противоположными сторонами.
P= 12 + 11 + 12 + 11 = 46 м
P = 2 * (12 + 11) = 2 * 23м
В обоих вариантах результат расчета один – 46 м.

Пример 2. Папа с сыном мастерят фоторамку для большого настенного портрета. Они решили сделать ее в оригинальной форме – параллелограмм с размерами 54 см и 72 см. Для расчета необходимого количества багета нужно найти периметр рамки с припуском на угловые стыки в 5%.
P = 2∙(64+72)=2∙136=272 см

С учетом припусков умельцам потребуется 252∙1,05 =285,6 см. Багет продается только в метрах. Придется приобрести 3 м материала. Папа понимает, что остается 14 см неиспользованного материала. Зная правила расчета, мастера принимают решение увеличить каждый элемент рамки на 3 см, снизив при этом потери до 2 см.

Через две диагонали и любую известную сторону

Для нахождения периметра параллелограмма через две диагонали и одну известную сторону следует воспользоваться формулой:

P = √(2a + 2D² + 2d² — 4a²)

где D, d — диагонали, a — сторона.

Диагональ (D):

ммсмдмм

Диагональ (d):

ммсмдмм

Сторона (a):

ммсмдмм

Цифр после запятой:

012345678910Результат в: ммсмдмм

Пример: Пусть D равна 12, d — 10, a = 11, все величины даны в миллиметрах. Тогда P = √(2*11² + 2*12² + 2*10² — 4*11²) = 24мм

Интересен подход, который основывается на свойствах фигуры и позволяет сделать расчеты при известных длинах диагоналей и одной из сторон. Введем дополнительные обозначения для диагоналей – c1, c2. Тогда математическая связь между рассматриваемыми величинами фиксируется следующим образом:
a²+b² = (c1² + c2²)/2. Из данной формулы можно найти неизвестную величину. Если

  • дано a, то b² = ((c1² + c2²) — a²)/2
  • дано b, то a² = ((c1² + c2²) — b²)/2

Найдя корень квадратный из полученной величины, можно воспользоваться стандартным расчетом для нахождения P. P = 2 * (a + b) Пример. Дан параллелограмм со стороной 6 см, диагоналями 8, 10 см. Требуется найти P. Квадрат ширины равен: b² = ((8² + 10²) — 6²)/2 = (64+100)/2 — 36 = 46 Вычисляя корень квадратный из 46 с точностью до десятых, получим примерно 6,8. Тогда P = 2 * (6+6,8) = 25,6 см.

Через любую известную сторону, высоту и острый угол

Воспользуемся известными формулами, связывающими длину известной стороны, высоту, острый угол. Обозначим:

  • высоту, проведенную к длине a как h;
  • острый угол – α.

Тогда формула для определения периметра следующая:

P = 2 * (a + h / sin α)

Сторона (a):

ммсмдмм

Высота (h):

ммсмдмм

Угол (α):

градусырадианыsin

Цифр после запятой:

012345678910Результат в: ммсмдмм

Пример. Для нахождения известны: сторона  — 7 см, высота, проведенная к смежной стороне – 6 см, острый угол – 30º.
Вычислим ширину по заданным величинам: P = 2 * (7 + 6 / sin30) = 38см

Воспользовавшись свойствами фигуры, дополнительными преобразованиями, основанными на теореме косинусов, теореме синусов, периметр параллелограмма можно найти при различных исходных данных. В любом случае, в ходе расчетов необходимо получить значения длины и ширины, а затем подсчитать их удвоенную сумму.

Когда требуется вычисление периметра параллелограмма

К расчету периметра люди прибегают, определяя количество расходных материалов при проведении работ по ремонту, облагораживанию помещений, дачных участков, других территорий.

Умение находить сумму длин всех измерений любого четырехугольника пригодится во многих профессиях, быту. Определение количества отделочной ленты для обработки швейного изделия, плинтуса для комнаты, ограждения для участка – это те ситуации, в которых понадобятся знания по вычислению периметра любого четырехугольника.


Как определить площадь параллелограмма. Периметр и площадь параллелограмма

Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.

Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.

  1. В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.

    S = DC ∙ h

    где S — площадь параллелограмма;
    a — основание;
    h — высота, проведенная к данному основанию.

    Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.

    Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.

  2. Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:

    S = AD∙AB∙sinα

    где AD, AB — смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
    α — угол между основаниями AD и AB.

  3. Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ

    где AC, BD — диагонали параллелограмма;
    β — угол между диагоналями.

  4. Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:

Площадь параллелограмма. В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе и заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади параллелограмма и треугольника. Их существует несколько, здесь мы их с вами рассмотрим.

Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть — чтобы вы их не зубрили, а понимали и легко могли вспомнить в любой момент. После изучения материала статьи вы поймёте, что формулы эти учить совсем не нужно. Объективно говоря, они так часто встречаются при решениях, что откладываются в памяти надолго.

1. Итак, давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:


Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения, а именно построим высоты:

Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1) — второй признак равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе». Теперь мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый — получим прямоугольник, площадь которого будет равна площади исходного параллелограмма:


Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте параллелограмма. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма S = a∙h a

2. Продолжим, ещё одна формула его площади. Имеем:

Площадь параллелограмма формула

Обозначим стороны как a и b, угол между ними γ «гамма», высота h a. Рассмотрим прямоугольный треугольник:


Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.

Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:

Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:

Площадь параллелограмма через диагонали


Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α =30°. Подставим данные в формулу:

Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.

Задача: Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F расположена на середине его стороны ВС . Давайте найдем площадь трапеции ADFB , которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:

По нашим условиям ah =92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

  1. , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону — b . Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, — второй известный метод.

,

Sпр-ма — площадь;

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними;
  2. d 1 и d 2 , γ — диагонали и в точке их пересечения;
  3. h a и h b — высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними

по диагоналям и стороне

через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Теоретический материал

Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:

  1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
  2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
  3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Задачи на нахождение площади параллелограмма

Задача .
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см.Найти площадь параллелограмма.

Решение .
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 — 81
AK = 1

Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания. AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 — 81
NC 2 = √144
NC = 12

Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC — NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Ответ : 99 см 2 .

Задача

В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.

Решение .
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов — прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S AOB +2S BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Ответ : 56 см 2 .

Площадь параллелограмма по высоте. Периметр и площадь параллелограмма

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. Основные задачи в школе по данной теме заключаются в вычислении площади параллелограмма, его периметра, высоты, диагоналей. Указанные величины и формулы для их вычисления будут приведены ниже. 2) .

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов (прилегающие к одной стороне) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая

Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.


Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.
  1. В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.

    S = DC ∙ h

    где S — площадь параллелограмма;
    a — основание;
    h — высота, проведенная к данному основанию.

    Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.

    Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.

  2. Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:

    S = AD∙AB∙sinα

    где AD, AB — смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
    α — угол между основаниями AD и AB.

  3. Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ

    где AC, BD — диагонали параллелограмма;
    β — угол между диагоналями.

  4. Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:

Площадь параллелограмма. В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе и заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади параллелограмма и треугольника. Их существует несколько, здесь мы их с вами рассмотрим.

Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть — чтобы вы их не зубрили, а понимали и легко могли вспомнить в любой момент. После изучения материала статьи вы поймёте, что формулы эти учить совсем не нужно. Объективно говоря, они так часто встречаются при решениях, что откладываются в памяти надолго.

1. Итак, давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:


Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения, а именно построим высоты:

Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1) — второй признак равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе». Теперь мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый — получим прямоугольник, площадь которого будет равна площади исходного параллелограмма:


Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте параллелограмма. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма S = a∙h a

2. Продолжим, ещё одна формула его площади. Имеем:

Площадь параллелограмма формула

Обозначим стороны как a и b, угол между ними γ «гамма», высота h a. Рассмотрим прямоугольный треугольник:


Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.

Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:

Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:

Площадь параллелограмма через диагонали


Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α =30°. Подставим данные в формулу:

Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.

Задача: Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F расположена на середине его стороны ВС . Давайте найдем площадь трапеции ADFB , которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:

По нашим условиям ah =92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться

Высота параллелограмма

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!

  • Описание курса

  • Аксиомы планиметрии

    • Аксиома принадлежности точек и прямых

    • Аксиома расположения точек на прямой

    • Аксиома про длину отрезков

    • Аксиома расположения точек относительно прямой

    • Аксиома свойств измерения углов

    • Аксиома свойств откладывания отрезков

    • Аксиома свойств откладывания углов

    • Существование треугольника, равного данному

    • Свойство параллельных прямых

  • Точки, отрезки и прямые

    • Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

    • Отрезки в координатной плоскости

    • Прямые на координатной плоскости

    • Пересекающиеся прямые

    • Луч

    • Векторы

    • Центральная и осевая симметрия

  • Угол. Углы на плоскости

    • Вертикальные и смежные углы

    • Биссектриса угла

      • Биссектриса углов треугольника

      • Биссектриса внешнего угла

      • Биссектриса. Примеры решения задач

  • Площадь геометрической фигуры

  • Окружность. Уравнение окружности

    • Задачи про окружность

    • Хорда

  • Треугольник (Трикутник)

    • Высота треугольника

    • Сумма углов треугольника

    • Площадь треугольника

    • Медиана треугольника

      • Как найти длину медианы треугольника

      • Нахождение площади через медианы

      • Угол между высотой и медианой треугольника

      • Медиана прямоугольного треугольника

      • Медіана прямокутного трикутника

    • Подобие треугольников

      • Простейшие задачи на подобие треугольников

      • Подобие треугольников. Первый признак подобия

      • Подобие треугольников. Третий признак подобия

      • Подобие треугольников. Использование в задачах

    • Прямоугольный треугольник

      • Прямоугольный треугольник

      • Биссектриса в прямоугольном треугольнике

      • Высота в прямоугольном треугольнике

      • Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2)

      • Теорема Пифагора и ее доказательство

      • Применение теоремы Пифагора

      • Гипотенуза прямоугольного треугольника

      • Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника

    • Равнобедренный треугольник

      • Равнобедренный треугольник

      • Рівнобедрений трикутник

      • Площадь равнобедренного треугольника

      • Площа рівнобедреного трикутника

      • Углы равнобедренного треугольника

      • Высота равнобедренного треугольника

      • Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

    • Окружность, описанная вокруг треугольника

      • Окружность, описанная вокруг треугольника

      • Окружность, описанная вокруг треугольника (часть 2)

    • Вписанная в треугольник окружность

  • Четырехугольник

    • Существование четырехугольника

    • Периметр четырехугольника

    • Окружности, вписанные и описанные вокруг четырехугольника

    • Углы четырехугольника

    • Правильный четырехугольник (квадрат). Правильний чотирикутник (квадрат)

    • Ромб

    • Трапеция

      • Площадь трапеции

      • Высота трапеции

      • Трапеция (задачи про основания)

      • Диагонали трапеции

      • Прямоугольная трапеция

      • Равнобокая (равнобедренная) трапеция

        • Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

        • Высота равнобедренной трапеции

        • Равнобокая трапеция

        • Равнобокая трапеция (часть 2)

        • Трапеция, описанная вокруг окружности

    • Параллелограмм

      • Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

      • Параллелограмм (часть 2)

      • Площадь параллелограмма

      • Высота параллелограмма

    • Прямоугольник

      • Периметр прямоугольника

      • Периметр и площадь прямоугольника

  • Тригонометрия

    • Синус

      • Теорема синусов

        • Задачи на решение с помощью теоремы синусов

        • Теорема синусов (часть 2)

    • Косинус

      • Основное свойство функции косинуса

      • Теорема косинусов и ее доказательство.

      • Теорема косинусов. Пример решения задачи

    • Тангенс и его свойства

    • Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

    • Тригонометрический круг

    • Радианы и градусы. Радiани i градуси

    • Таблица значений тригонометрических функций

      • Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15)

      • Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений

      • Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

      • Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60)

      • Синус, косинус, тангенс угла 105 градусов (sin 105 cos 105 tg 105)

      • Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120)

    • Тригонометрические тождества и преобразования

      • Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств

      • Преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ) и доказательство

      • Тригонометрические формулы понижения степени sin cos tg

      • Косинус двойного угла

  • Многоугольники

    • Правильный многоугольник

    • Шестиугольник и его свойства

    • Сумма углов многоугольника

  • Стереометрия

    • Куб

    • Прямые и плоскости

      • Параллельность плоскостей. Свойства и признаки параллельности.

      • Параллельные плоскости

      • Перпендикулярные плоскости

      • Прямые на плоскости

      • Точка и плоскость

      • Отрезок, пересекающий плоскость

      • Наклонная из точки к плоскости

      • Параллелограмм, рассеченный плоскостью

      • Параллелограмм и плоскость

      • Перпендикуляр к квадрату

      • Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника

    • Призма. Параллелепипед. Куб. Решение задач

      • Объем призмы

      • Площадь боковой поверхности призмы

      • Прямая призма

        • Правильная четырехугольная призма

        • Диагональное сечение правильной призмы

        • Параллепипед

          • Площадь поверхности и объем параллелепипеда

      • Призма с треугольником в основании

        • Призма с правильным треугольником в основании

        • Призма с правильным треугольником в основании (часть 2)

        • Призма с треугольником в основании ( часть 2)

        • Призма с треугольником в основании ( часть 3)

      • Параллелограмм в основании призмы

      • Ромб в основании призмы

    • Пирамида. Решение задач

      • С треугольником в основании

        • Тетраэдр (пирамида)

        • Пирамида с прямоугольным треугольником в основании

        • Пирамида с равнобедренным треугольником в основании

        • Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании). Тетраэдр

          • Периметр основания правильной треугольной пирамиды

          • Объем правильной треугольной пирамиды

          • Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

          • Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

          • Правильный тетраэдр (пирамида)

          • Пирамида и вписанный конус

      • Правильная пирамида

        • Апофема правильной пирамиды

        • Объем правильной усеченной пирамиды

        • Правильная пирамида с четырехугольником в основании

          • Правильная пирамида с четырехугольником в основании

          • Нахождение боковой поверхности и высоты правильной пирамиды с четырехугольником в основании

          • Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3)

          • Нахождение углов пирамиды

          • Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды

          • Нахождение расстояний в правильной четырехугольной пирамиде

      • С четырехугольником в основании

        • Пирамида

        • Неправильная пирамида с прямоугольником в основании

        • Неправильная пирамида с четырехугольником в основании

    • Сфера. Шар. Куля

      • Сфера (Шар)

      • Площадь сферы

      • Полусфера

      • Соотношение объема шара и конуса

    • Цилиндр

      • Задачи про цилиндр со вписанной призмой

      • Цилиндр и его сечения

      • Цилиндр и его сечения (квадрат и вписанный куб)

      • Диагональ цилиндра

      • Площадь поверхности цилиндра

    • Конус

      • Конус

      • Площадь боковой поверхности конуса

      • Объем конуса

      • Объем конуса (2)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. 
См. также:
Свойства и площадь параллелограмма.

Обозначения в формулах эквивалентны обозначениям на рисунках, а именно:

а — стороны, параллелограмма, параллельные друг другу

b — боковые стороны параллелограмма

h — высота параллелограмма

d — диагональ параллелограмма

S — площадь параллелограмма

α — острый угол при основании параллелограмма

Высота параллелограмма равна соотношению площади к основанию (Формула 1)

Высота параллелограмма равна произведению боковой стороны на синус угла при основании (Формула 2)

Соотношение оснований параллелограмма равно обратно пропорциональному соотношению высот, опущенных на соответствующие стороны (Формула 3)

Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине (Рисунок 2)

Высота параллелограмма равна, корню из разности квадрата боковой стороны и квадрата длины отрезка, образующего прямоугольный треугольник, другими сторонами которого являются боковая сторона и высота (Формула 4)

Высота параллелограмма равна корню из разности квадрата диагонали, из которой опущена высота и квадрата длины отрезка между точкой, из которой проведена диагональ и точкой пересечения высоты и основания (Формула 5)

Позначення у формулах еквівалентні позначенням на малюнках, а саме:
а — сторони, паралелограма, паралельні один одному
b — бічні сторони паралелограма
h — висота паралелограма
d — дiагональ паралелограма
S — площа паралелограма
α — гострий кут при основі паралелограма

Висота паралелограма дорівнює співвідношенню площі до підстави (Формула 1)  

Висота паралелограма дорівнює твору бічної сторони на синус кута при його основі (Формула 2)  

Співвідношення підстав паралелограма дорівнює обернено пропорційному співвідношенню висот, опущених на відповідні сторони (Формула 3)

Висоти паралелограма, опущені з однієї вершини, утворюють кут, рівний куту паралелограма при сусідній вершині (Малюнок 2)

Висота паралелограма рівна, корню з різниці квадрата бічної сторони і квадрата довжини відрізка, створюючого прямокутний трикутник, іншими сторонами якого є бічна сторона і висота (Формула 4)

Висота паралелограма дорівнює корню з різниці квадрата діагоналі, з якої опущена висота і квадрата довжини відрізка між точкою, з якої проведена діагональ і точкою пересічення висоти і основання (Формула 5)

Висота паралелограма проведена з вершини тупого кута і дорівнює 5 см. Висота ділить сторону парелелограма навпіл. Гострий кут паралелограма доривнюе 30 градусів. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, и кути, яки вона утворює зі сторонами паралелограма.Высота параллелограмма проведена из вершины тупого угла и равняется 5 см. Высота делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол равняется 30 градусам. Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Решение.

  Поскольку, по условию задачи,  AE=ED,  то треугольники ABE и DBE равны между собой (по первому признаку равенства треугольников: равны две стороны и угол между ними, AE=ED и  BE — общая сторона, а BE образует с AD  угол 90 градусов). Таким образом, угол ADB равен 30 градусам. Соответственно, угол DBC также равен 30 градусам как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD.

Из прямоугольного треугольника  ABE определим, что угол ABE равен 180 — 90 — 30 = 60 градусов. Откуда (из равенства треугольников ABE и DBE) угол EBD также равен 60 градусов. Таким образом, диагональ образует со вторым основанием угол ABD = 60 + 60 = 120 градусов. BDC = ABD = 120 градусов как внутренние накрест лежащие.

Найдем длину диагонали.
BE / BD = cos ∠EBD
BE / BD = cos 60
Подставим значение косинуса 60 градусов и получим:
BE / BD = 1/2
По условию задачи BE = 5 см, откуда
5 / BD = 1/2
BD = 10

Ответ: длина диагонали параллелограмма равна 10 см, углы, которые образует диагональ с основаниями равны 30 и 120 градусов.

0  

 Площадь параллелограмма | Описание курса | Прямоугольник 

   

Периметр параллелограмма – формула, определение, примеры, применение

Периметр параллелограмма – это длина непрерывной линии, образованной его границей. Его единица такая же, как и у его сторон. Четырехугольник – это замкнутая фигура, состоящая из четырех отрезков. Четырехугольник называется параллелограммом, если его противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину. Некоторыми примерами параллелограмма являются ромб, прямоугольник и квадрат. Вот некоторые свойства параллелограмма. Простыми словами можно сказать, что периметр параллелограмма равен сумме всех его четырех сторон.

  • Противоположные стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали делят друг друга пополам.
  • Каждые два смежных угла являются дополнительными.

В этой статье мы узнаем, как найти периметр параллелограмма, используя некоторые формулы. Мы также поймем приложения формул периметра параллелограмма. Мы рассмотрим концепцию с помощью нескольких решенных примеров для лучшего понимания концепции.

1. Что такое периметр параллелограмма?
2. Периметр формулы параллелограмма
3. Периметр формулы параллелограмма со сторонами
4. Периметр формулы параллелограмма с одной стороной и диагоналями
5. Периметр основания параллелограмма, высота и угол
6. Найдите периметр параллелограмма
7. Часто задаваемые вопросы о периметре параллелограмма

Что такое периметр параллелограмма?

Периметр параллелограмма равен длине его контура и, следовательно, равен сумме всех его сторон. Но мы всегда можем не знать все стороны параллелограмма. Вместо этого нам могут дать другую информацию о параллелограмме и попросить найти его периметр. Итак, у нас есть разные формулы для нахождения периметра параллелограмма с использованием разных его компонентов. В следующем разделе давайте рассмотрим его различные формулы, чтобы найти периметр параллелограмма.

Периметр формулы параллелограмма

Периметр параллелограмма можно найти в следующих случаях:

  • Когда известны две смежные стороны.
  • Когда известны одна сторона и диагонали.
  • Когда известно основание, высота и любой угол.

Вот формулы для нахождения периметра параллелограмма в каждом из этих случаев:

  • P = 2 (a + b), где a, b — смежные стороны параллелограмма
  • P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 ), где a — сторона a параллелограмма, а x, y — его диагонали.
  • P = 2a + 2h / sinθ, где a — сторона параллелограмма, h — высота, а θ — угол параллелограмма.

Но как вывести все эти формулы? Теперь выведем приведенные формулы для нахождения периметра параллелограмма.

Периметр формулы параллелограмма со сторонами

Как обсуждалось ранее, периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны. Рассмотрим параллелограмм, у которого две смежные стороны равны «а» и «b» (тогда и две другие смежные стороны будут только «а» и «b»).

Тогда периметр параллелограмма равен a + b + a + b (или) 2a + 2b (или) 2 (a + b). Таким образом, периметр (P) параллелограмма со сторонами a и b равен

Р = 2 (а + б) ед.

Формула периметра параллелограмма с одной стороной и диагоналями

Рассмотрим параллелограмм со сторонами ‘a’ и ‘b’ и диагоналями ‘x’ и ‘y’. Предположим, что значения стороны «а» и диагоналей «х» и «у» даны, но значение «b» не задано, и нас просят найти периметр параллелограмма.

Применение закона косинусов для треугольника ABD,

x 2 = A 2 + B 2 — 2AB COS omBAD

Применение косинусного правила для ADC Triangle,

Y 2 = A 2 + B 2 — 2AB Cose escadc

2 + B 2 — 2AB Cose escADC

  • + B 2 — 2AB COSE. Складывая два приведенных выше уравнения,

    x 2 + y 2 = 2a 2 + 2b 2 — 2ab (cos ∠BAD + cos ∠ADC) …. (1)

    Мы знаем, что любые два смежных угла параллелограмма (это свойство параллелограмма) являются дополнительными. Так

    ∠BAD + ∠ADC = 180°

    ∠BAD = 180° — ∠ADC

    Применение cos с обеих сторон,

    cos ∠BAD = cos (180° — ∠ADC) = — 2 Подстановка ∠9000ADC Это в (1),

    x 2 + Y 2 = 2A 2 + 2B 2 — 2AB ( — COS ϪADC + COS omADC)

    x 2 + Y 2 = 2a 2 + 2b 2 — 2ab (0)

    x 2 + y 2 = 2a 2 + 2b 2

    Мы получили соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма. Теперь мы решим это для «b», так как нам не известна длина «b».

    2B 2 = x 2 + Y 2 — 2A 2

    B 2 = (x 2 + Y 2 — 2A 2 /2

  • 2
  • 2
  • 2 — 2A 2 /2 2 — 2A 2 + 2 — 2A 2 + 2 — 2A 2 + Y 2 — 2A 2 . √ [(x 2 + y 2 — 2a 2 ) / 2]

    Теперь мы знаем стороны параллелограмма («a» и «b») и, следовательно, можем использовать формулу из предыдущего сечение, чтобы найти его периметр (P).

    P = 2a + 2b

    P = 2a + 2 √ [(x 2 + y 2 — 2a 2 ) / 2]

    P = 2a + 9 2 + 90[2 у 2 — 2а 2 )

    P = 2а + √(2x 2 + 2у 2 — 4а 2 )

    Периметр параллелограмма с основанием, высотой и углом

    Рассмотрим параллелограмм, одна из сторон которого равна «a», соответствующая ему высота равна «h», а один из углов при вершине равен «θ». Предположим, что неизвестная сторона параллелограмма равна «b». Сначала мы найдем «b», а затем найдем периметр.

    Применение sin к треугольнику BEC,

    sin θ = h/b

    b = h / sin θ

    Таким образом, периметр (P) параллелограмма равен

    P = 2a + 2b

    5

    5 P = 2a + 2h / sin θ

    Здесь θ не обязательно должен быть конкретным углом параллелограмма. Это может быть любой угол при вершине, потому что любые два смежных угла параллелограмма являются дополнительными и sin θ = sin (180 ° — θ) для любого θ.

    Найдите периметр параллелограмма

    Давайте посмотрим на применение формул периметра параллелограмма в этом разделе. Мы рассмотрим некоторые из решенных примеров, чтобы понять, как найти периметр, используя формулы, обсуждавшиеся в разделах выше.

    Пример 1: Найдите периметр параллелограмма, смежные стороны которого равны 5 единицам и 9 единицам.

    Решение: Смежные стороны данного параллелограмма равны a = 5 единицам и b = 9 единицам. Тогда его периметр (P) равен

    Р = 2 (а + б)

    Р = 2 (5 + 9) = 2 (14) = 28 ед.

    Пример 2: Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 7 единицам, а диагонали равны 8 единицам и 10 единицам.

    Решение: Используя формулу, когда даны сторона и диагонали параллелограмма, получаем P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 ). Здесь a = 7, x = 8, y = 10. Подставляя эти значения в формулу, имеем

    P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 )

    = 2 × 7 + √ (2 (8) 2 + 2 (10) 2 — 4 (7) 2 )

    =. 14 + √(2 × 64 + 2 × 100 — 4 × 49)

    = 14 + √(128 + 200 — 196)

    = 14 + √(132)

    = 14 + 11,49

    (

    49 единиц) округляется до двух знаков после запятой)

    Важные замечания по периметру параллелограмма

    • Периметр параллелограмма равен сумме всех его четырех сторон.
    • У нас есть три формулы для нахождения периметра параллелограмма со сторонами a, b; диагонали x, y и угол θ.
      • P = 2 (a + b), где a, b — смежные стороны параллелограмма
      • P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 ), где a — сторона a параллелограмма, а x, y — его диагонали.
      • P = 2a + 2h / sinθ, где a — сторона параллелограмма, h — высота, а θ — угол параллелограмма.

    ☛ Статьи по теме:

    • Формула параллелограмма
    • Формулы периметра
    • Разница между площадью и периметром

     

    Периметр параллелограмма Примеры

    1. Пример 1: Чему равен периметр параллелограмма со стороной 8 дюймов и диагоналями 10 дюймов и 12 дюймов? Округлите ответ до двух знаков после запятой.

      Решение:

      Сторона данного параллелограмма равна a = 8 дюймов.

      Пусть другая сторона равна ‘b’ дюймов.

      Его диагонали равны x = 10 дюймов и y = 12 дюймов. 2 года 2 — 4a 2 )

      P = 2(8) + √(2(10) 2 + 2(12) 2 — 4(8) 2 90 2 900 3 ) 1 ≥ Ответ: Периметр данного параллелограмма = 31,23 дюйма.

    2. Пример 2: Каков периметр параллелограмма, одна из сторон которого равна 15 ярдам, соответствующая ему высота равна 20 ярдам, а один из углов при вершине равен 30 градусам?

      Решение:

      Одна из сторон данного параллелограмма равна а = 15 ярдам.

      Его высота h = 20 ярдов.

      Один угол при вершине равен θ = 30°.

      Его периметр (P) равен

      P = 2a + 2h / sin θ

      P = 2(15) + (2 × 20) / (sin 30°) = 110 ярдов

      Ответ: Периметр данного параллелограмма = 110 ярдов.

    3. Пример 3: Периметр параллелограмма равен 48 см, а одна из его сторон равна 16 см. Найдите длину другой стороны.

      Решение: Дано: Периметр (P) = 48 см, а сторона а = 16 см. Чтобы найти длину другой стороны b параллелограмма, воспользуемся формулой периметра параллелограмма P = 2(a + b).

      P = 2(a + b)

      ⇒ 48 = 2 (16 + b)

      ⇒ 16 + b = 48/2

      ⇒ b = 24 — 16

      ⇒ b = 8 см

      3 Ответ :

      Другая сторона параллелограмма равна 8 см.

    перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

    Есть вопросы по основным математическим понятиям?

    Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами Cuemath.

    Записаться на бесплатный пробный урок

    Практические вопросы по периметру параллелограмма

     

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Часто задаваемые вопросы о периметре параллелограмма

    Что такое периметр параллелограмма?

    Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон. Таким образом, периметр параллелограмма со сторонами «a» и «b» равен a + a + b + b (или) 2a + 2b единиц. Это наиболее часто используемая формула для нахождения периметра параллелограмма.

    По какой формуле найти периметр параллелограмма?

    У нас есть разные формулы для нахождения периметра параллелограмма в зависимости от доступной информации.

    • Периметр параллелограмма, смежные стороны которого равны а и b, равен 2а + 2b.
    • Периметр параллелограмма, одна из сторон которого равна а, а диагонали равны х и у, равен 2а + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 ).
    • Периметр параллелограмма, у которого основание равно «a», высота равна «h», а один из углов при вершине равен «θ», равен 2a + 2h / sin θ.

    Что такое периметр параллелограмма с использованием диагоналей?

    Мы не можем найти периметр параллелограмма только по диагоналям, но если нам известна еще и одна из сторон, то мы можем ее найти. Периметр параллелограмма, одна из сторон которого равна а, а диагонали равны х и у, равен 2а + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 ).

    Что такое периметр параллелограмма с использованием основания и высоты?

    Мы не можем найти периметр параллелограмма, если известны только основание и высота, но если мы знаем угол при вершине, то мы можем его найти. Периметр параллелограмма, основание которого равно «а», высота равна «h» и один из углов при вершине равен «θ», равен 2a + 2h/sin θ.

    Как найти периметр параллелограмма?

    Периметр параллелограмма получается простым сложением всех его сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, достаточно знать две его смежные стороны, чтобы найти периметр. Но нам не всегда могут быть даны две смежные стороны, вместо этого нам может быть предоставлена ​​​​некоторая другая информация об этом, чтобы найти его периметр.

    • Если даны смежные стороны параллелограмма ‘a’ и ‘b’, то примените формулу 2a + 2b, чтобы найти его периметр.
    • Если одна из сторон параллелограмма равна «а», а его диагонали равны «х» и «у», то примените формулу 2а + √(2x 2 + 2y 2 — 4a 2 ), чтобы найти его периметр.
    • Если основание параллелограмма равно «a», его высота равна «h», а один из углов при вершине равен «θ», то примените формулу 2a + 2h / sin θ, чтобы найти его периметр.

    Как найти периметр параллелограмма на графике?

    Мы знаем, что периметр параллелограмма, смежные стороны которого равны а и b, равен 2а + 2b. Таким образом, чтобы найти периметр параллелограмма, который находится на графике, сначала найдите длины любых двух соседних сторон, используя формулу расстояния, а затем примените формулу 2a + 2b.

    Как найти периметр параллелограмма с отсутствующей стороной?

    Мы не можем найти периметр параллелограмма, используя только одну сторону, но если мы также знаем высоту и угол параллелограмма, то мы можем найти его. Периметр параллелограмма, основание которого равно «а», высота равна «h» и один из углов при вершине равен «θ», равен 2a + 2h/sin θ.

    Периметр параллелограмма – объяснение и примеры

    Периметр параллелограмма – это общая длина его внешних границ.

    Параллелограмм, подобный прямоугольнику, является четырехугольником с равными противоположными сторонами . Таким образом, если длина и ширина параллелограмма равны $a$ и $b$, как на рисунке выше, , мы можем вычислить периметр как:

    Периметр = $2(a + b)$

    Эта тема будет помочь вам понять концепцию периметра параллелограмма и как его вычислить.

    Что такое периметр параллелограмма?

    Периметр параллелограмма равен общее расстояние вокруг его границ . Параллелограмм — это четырехугольник, поэтому у него четыре стороны, и если мы сложим все стороны, это даст нам периметр параллелограмма. Формула для периметра параллелограмма и прямоугольника очень похожа, поскольку обе фигуры имеют много общих свойств.

    Точно так же формулы площади параллелограмма и площади прямоугольника подобны.

    Давайте обсудим эти темы более подробно.

    Как найти периметр параллелограмма

    Периметр параллелограмма равен сумме всех четырех сторон параллелограмма . Не обязательно, чтобы во всех задачах нам были заданы значения всех сторон параллелограмма. В некоторых случаях нам могут быть заданы основание, высота и угол, и нам придется вычислять периметр параллелограмма по этим значениям.

    Например, мы можем вычислить периметр параллелограмма , если нам дана следующая информация:

    1. Даны значения двух соседних сторон
    2. Даны значения одной стороны и диагоналей
    3. Даны значения основания, высоты и угла

    Формула периметра параллелограмма

    Формула периметра параллелограмма равно , подобно периметру прямоугольника, когда значения смежных сторон равны . Однако формула будет другой, когда нам заданы значения основания, высоты и угла, и точно так же она будет другой, когда заданы диагональные значения.

    Давайте рассмотрим эти формулы одну за другой.

    Периметр параллелограмма, когда даны две смежные стороны

    Формула для периметра параллелограмма такая же, как и для периметра прямоугольника в этом сценарии. Как и у прямоугольников, у параллелограмма противоположные стороны равны.

    Периметр параллелограмма $= a+b+a+b$

    Периметр параллелограмма $= 2 a + 2 b$

    Периметр параллелограмма $= 2 (a + b)$

    Периметр параллелограмма с заданными основанием, высотой и углом

    Формула периметра параллелограмма с заданными основанием, высотой и углом получена с использованием свойств параллелограмма . Рассмотрим картинку ниже.

    Здесь «h» — высота, «b» — основание параллелограмма, а «Ɵ» — угол между высотой CE и стороной CA параллелограмма. Если мы применим cosƟ к треугольнику ACE, мы получим

     $cosƟ = \frac{h}{a}$

    $a = \frac{h} {cosƟ}$

    Следовательно, формула периметра параллелограмма, когда известны основание, высота и угол можно записать так:

    Периметр параллелограмма $= 2 (\frac{h}{cosƟ} + b)$

    Периметр параллелограмма, если даны одна сторона и диагонали

    Формула периметра параллелограмма когда даны одна сторона и диагонали, получается по теореме косинусов . Например, рассмотрим параллелограмм, приведенный ниже. 9{2})}$

    Пример 1: 

    Длина смежных сторон параллелограмма составляет $5 см$ и $8 см$ соответственно. Чему будет равен периметр параллелограмма?

    Решение:

    Получим длины двух смежных сторон параллелограмма.

    Пусть a $= 5см$ и b $= 8см$

    Теперь мы можем вычислить периметр параллелограмма по формуле, которую мы изучили ранее.

    Периметр параллелограмма $= 2 (a+ b)$

    Периметр параллелограмма $= 2 ( 5 см + 8 см)$

    Периметр параллелограмма $= 2 ( 13 см)$

    Периметр параллелограмма $= 26 см$

    Пример 2: 

    Вычислить периметр параллелограмм для фигуры, приведенной ниже.

    Решение:

    Получим длины двух смежных сторон параллелограмма.

    Пусть a $= 9см$ и b $= 7см$

    Теперь мы можем вычислить периметр параллелограмма по формуле, которую мы изучили ранее.

    Периметр параллелограмма $= 2 (a+ b)$

    Периметр параллелограмма $= 2 (9 см + 7 см)$

    Периметр параллелограмма $= 2 (16 см)$

    Периметр параллелограмма $= 32 см $

    Важные детали параллелограмма

    Чтобы полностью понять эту концепцию, давайте изучим некоторые свойства параллелограмма и различия между параллелограммом, прямоугольником и ромбом .

    Знание различий между этими двумерными геометрическими фигурами поможет вам быстро понять и выучить тему не запутавшись. Важные свойства параллелограмма можно сформулировать так:

    1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны или равны.
    2. Противоположные углы параллелограмма равны друг другу.
    3. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
    4. Смежные углы параллелограмма дополняют друг друга.

    Теперь изучим основные отличия между свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Различия между этими геометрическими формами приведены в таблице ниже.

    Parallelogram

    Rectangle

    Rhombus

    The opposite sides of a parallelogram are equal to each other

    The opposite sides of a rectangle равны друг другу

    Все стороны ромба равны друг другу.

    Противоположные углы параллелограмма равны, а смежные углы дополняют друг друга.

    Все углы (внутренние и смежные) равны друг другу. Все углы прямые, то есть 90 градусов.

    Сумма двух внутренних углов ромба равна 180 градусов. Значит, если все углы ромба равны, то каждый будет равен 9.0, что сделает ромб квадратом. Итак, ромб — это четырехугольник, который может быть параллелограммом, квадратом или прямоугольником.

    Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

    Диагонали прямоугольника делятся пополам.

    Диагонали ромба делят друг друга пополам.

    Каждый параллелограмм является прямоугольником, но не ромбом.

    Каждый прямоугольник не является параллелограммом.

    Каждый ромб является параллелограммом.

    Связь между площадью и периметром параллелограмма

    Площадь параллелограмма равна произведению его основания и высоты и это можно записать как:

    Площадь параллелограмма $= основание \times высота$.

    Мы знаем, что формула периметра параллелограмма задается как
    Периметр $= 2(a+b)$.

    Здесь «b» — основание, а «a» — высота. {o}} + 10)$

    Периметр параллелограмма $= 2 (\frac{5}{0,866} + 10)$

    Периметр параллелограмма $= 2 (5,77 + 10)$

    Периметр параллелограмма $= 2 (15,77)$

    Периметр параллелограмма $= 26,77 см$ ок.

    Периметр параллелограмма — определение, формулы, примеры, часто задаваемые вопросы

    Периметр параллелограмма представляет собой сумму длин его границ/сторон. Параллелограмм — это тип четырехугольника с четырьмя равными сторонами, у которых противоположные стороны равны. Его стороны не пересекаются друг с другом. Две диагонали параллелограмма пересекаются в центре. Диагональ делит параллелограмм на две равные части или треугольники. Ниже приведены свойства параллелограмма:

    1. Параллелограмм имеет четыре стороны.
    2. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
    3. Противоположные углы параллелограмма равны.
    4. Диагонали параллелограмма пересекаются.

     

    Что такое периметр параллелограмма?

    Периметр параллелограмма — это длина контура или его границ, а сумма всех сторон параллелограмма — это периметр параллелограмма. Однако не каждый раз нам будут давать длины всех сторон, иногда дается какая-то другая информация о параллелограмме. Поэтому существуют разные формулы для периметра параллелограмма. Давайте разберемся с различными формулами для периметра параллелограмма.

    Периметр параллелограмма Формула

    Периметр параллелограмма равен сумме длин всех сторон. Периметр относится к замкнутой границе любого геометрического объекта. Для четырехугольника периметр относится к сумме длин четырех сторон. Таким образом, периметр параллелограмма будет суммой его четырех сторон. Периметр параллелограмма можно вычислить, используя три случая. Вот три случая:

    • Когда смежные стороны параллелограмма известны: Формула периметра, когда стороны известны как P = 2(a + b) единиц, где a и b — стороны параллелограмма.
    • Когда известны одна сторона и длины диагоналей: Формула периметра, когда известны одна сторона и длины диагоналей, P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 – 4a 2 ) , где x и y — длины диагоналей, а a — длина стороны.
    • Когда известны любой угол, основание и высота: Формула для периметра, когда даны одна сторона и высота вместе с одним из углов, P = 2a + 2h/sinθ , где a — сторона параллелограмма, h — высота параллелограмма, θ — угол параллелограмма.

     

    Теперь, когда известны формулы для всех трех случаев, выведем формулы периметра параллелограмма для всех трех случаев,

    Периметр формулы параллелограмма со сторонами

    Периметр формулы параллелограмма со сторонами равен Формула вычисления периметра. Ниже приведен вывод периметра параллелограмма. Допустим, стороны параллелограмма равны «а» и «b».

     

    Периметр = сторона 1 + сторона 2 + сторона 3 + сторона 4

    Сторона 1 также известна как основание параллелограмма.

    Сторона 1 = a

    Сторона 2 = b

    Противоположные стороны параллелограмма равны.

    Сторона 1 = сторона 3

    Сторона 2 = сторона 4

    Сторона 3 = a

    Сторона 4 = b

    Периметр = a + b + a + b

    Периметр = 2 (a + b) 9005 9004

    Следовательно, периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух его смежных сторон.

    Периметр формулы параллелограмма с одной стороной и диагоналями

    Периметр формулы параллелограмма, когда даны одна сторона и длина обеих диагоналей, выводится ниже. Допустим, длины диагоналей равны «х» и «у», а длина стороны равна «а», из закона косинусов применяется формула косинуса:

     

    В △ABD:

    x 2 = a 2 + b 2 -2ab cos∠BAD

    In △ADC:

    y 2 = A 2 + B 2 -2AB COSTADC

    Добавление Уравнения:

    x 2 + Y 2 = 2 (A 2 + B 2 ) -2 (cos∠BAD + cos∠ADC)

    Так как по свойствам параллелограмма смежные углы параллелограмма являются дополнительными, то ∠BAD + ∠ADC = 180. 

    ∠BAD = 180 – ∠ADC

    Добавление косинуса с обеих сторон:

    cos∠BAD = cos(180 – ∠ADC)

    cos∠BAD = -cos∠ADC

    Заменить угол,

    x 2 + y 2 = 2 (A 2 + B 2 )-2AB (-COS ПОСКОЛЬКА + COSPADC)

    x 2 + yAD 2 = 2 (A 2 + B 2 ) — 2AB (0)

    x 2 + Y 2 = 2 (A 2 + B 2 )

    Теперь нахождение значение стороны b из сформулированного выше уравнения:

    b = √[(x 2 + y 2 – 2a 2 )/2]

    Теперь, когда обе стороны параллелограмма известны, используя формулу для периметра параллелограмма со сторонами,

    P = 2(a + b)

    P = 2a + 2(√[( x 2 + Y 2 — 2a 2 )/2])

    P = 2a + √ (2x 2 + 2y 2 — 4A 2 )

    Perimeter of Parall11TER с параллером из параллера с параллером из параллера из параллера из парли Основание, высота и угол

    Чтобы найти периметр параллелограмма с основанием, высотой и углом, предположим, что основание параллелограмма равно «b», высота параллелограмма равна «h», а угол параллелограмма равно «θ».

     

    Применение функции sin:

    sin θ = h/b

    b = h/sin θ

    Теперь длина стороны «b» известна нам в терминах угла. Подставив значение «b» в формулу:

    P = 2(a + b)

    P = 2a + 2h/sin θ

    Примечание: θ может быть углом любой вершины параллелограмм и формула останется прежней.

    Площадь и периметр параллелограмма

    Мы можем найти соотношение между площадью и периметром параллелограмма, поскольку обе формулы содержат стороны параллелограмма, формула для площади параллелограмма и периметра параллелограмма:

    Площадь параллелограмма = A = b × h квадратных единиц ⇢ (1)

    Периметр параллелограмма = P = 2a + 2b единиц ⇢ (2)

    Нахождение значения b из уравнения (2)

    P/ 2 = a + b

    b = P/2 – a

    Подставляя значение «b», полученное в уравнении (1)

    A = (P/2 – a) h квадратных единиц

    Как найти Периметр параллелограмма?

    Чтобы найти периметр параллелограмма, нам нужно знать формулы. Периметр параллелограмма равен сумме всех четырех сторон параллелограмма. Однако не каждый раз все стороны обеспечены. В некоторых случаях даны только одна сторона и диагонали. В некоторых случаях даны высота, угол и сторона. Мы обсудили различные формулы, необходимые для различных случаев. Ниже приведены шаги, которые необходимо предпринять, чтобы найти периметр параллелограмма:

    • Запишите значения, указанные в вопросе.
    • На основе указанных значений примените формулу для периметра параллелограммы соответственно:
    Указанные Формула
    Когда боковые стороны (и B)
    , когда боли (и B)
    . = 2(a + b)
    Когда даны одна сторона и диагонали P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 – 4a 2 )
    When base, height, and angle are given P = 2a + 2h/sin θ

    Related Articles

    • Perimeter of Square
    • Perimeter of Triangle
    • Perimeter of Rectangle

    Решенные примеры по периметру параллелограмма

    Пример 1. Найдите периметр параллелограмма с длиной стороны = 14 м, основанием = 10 м.

    Решение

    Периметр параллелограмма определяется как:

    2(a + b)

    Где a и b — две его смежные стороны

    Периметр = 2 (14 + 10)

    Периметр = 2 (24)

    Периметр = 48 м

    Пример 2: Найдите периметр параллелограмма, основание которого равно 5 см, а длина стороны 6 см.

    Решение

    Периметр параллелограмма определяется как:

    2(a + b)

    Где а — основание, а b — смежная сторона

    Периметр = 2 (5 + 6)

    Периметр = 2 (11)

    Периметр = 22 см

    10 дюймов?

    Решение :

    Формула для периметра, когда одна сторона и длина диагонали известны,

    P = 2a + √ (2x 2 + 2y 2 — 4A 2 )

    5592 2 — 4A 2 )

    55555593 гг.

    P = 2 × 8 + √(2(12) 2 + 2(10) 2 – 4(8) 2 )

    P = 16 + √(288 + 200 – 4(64))

    P = 31,23 дюйма

    Пример

    : Чему равен периметр параллелограмма, если его высота 20 см, угол при вершине 45°, а одна из сторон 12 см?

    Решение :

    Периметр параллелограмма определяется как:

    P = 24 + 80

    P = 104 см

    Пример 5: Периметр параллелограмма равен 100 см, а одна из сторон параллелограмма равна 32 см; найди длину другой стороны.

    Решение

    Периметр параллелограмма определяется как:

    P = 2(a + b)

    Где a и b две его смежные стороны

    Дано: P = 100 см 32 см

    100 = 2 (32 + б)

    50 = 32 + б

    b = 18см

    Длина другой стороны параллелограмма 18см.

    Часто задаваемые вопросы о периметре параллелограмма

    Вопрос 1: Какова формула периметра параллелограмма?

    Ответ:

    Дана формула периметра параллелограмма:

    P = 2(a + b)

    Где a и b — смежные стороны параллелограмма.

    Вопрос 2: Как найти периметр параллелограмма с отсутствующей стороной?

    Ответ:

    Если одна сторона параллелограмма отсутствует, периметр параллелограмма можно найти либо по длине диагоналей, либо по высоте вместе с углом при вершине.

    Периметр параллелограмма с диагоналями = 2a + √(2x 2 + 2y 2 – 4a 2 ).

    Периметр параллелограмма с высотой и углом при вершине = 2a + 2h/sin θ.

    Вопрос 3: Чему равен периметр параллелограмма с учетом основания и высоты?

    Решение:

    Периметр параллелограмма можно найти, используя основание и высоту, если вместе с основанием и высотой задан угол при вершине. Формула для периметра параллелограмма:

    P = 2a + 2h/sin θ

    Где

    • a = длина стороны
    • h = высота параллелограмма
    • θ = угол при вершине

    Вопрос 4: Какова площадь параллелограмма?

    Ответ:

    Площадь параллелограмма — это область, покрываемая параллелограммом в двумерном пространстве. Формула площади параллелограмма выглядит следующим образом:

    A = b × h квадратных единиц

    Где

    A = площадь параллелограмма

    b = основание параллелограмма

    h = высота параллелограмма параллелограмм


    Площадь и периметр параллелограмма (видео и практика)

    TranscriptPractice

    Привет! Добро пожаловать в этот обзор параллелограммов. Сегодня мы научимся находить площадь и периметр параллелограмма. Давайте начнем!

    Определение параллелограмма

    Определим параллелограмм как четырехугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны и конгруэнтны. ( Congruent означает одинаковую длину). Теперь давайте рассмотрим быстрый пример задачи.

    Нахождение площади и периметра параллелограмма Пример

    Найдите площадь и периметр этой фигуры:

    Первое, что нам нужно сделать, это определить, является ли эта фигура параллелограммом или нет. У него четыре стороны, поэтому мы знаем, что это четырехугольник. И на противоположных сторонах у него одинаковые стрелки, указывающие на то, что у него два набора параллельных сторон. Так что определенно является параллелограммом .

    Что еще мы можем увидеть? Нижняя сторона имеет размер 12 см, сторона справа имеет размер 8 см, а пунктирная линия внутри параллелограмма имеет размер 6 см. Но поскольку это параллелограмм, мы знаем, что противоположные стороны равны. Таким образом, мы можем пометить и две другие стороны. Верхняя сторона должна быть такой же, как параллельная нижняя сторона, а левая сторона должна быть такой же, как ее параллельная правая сторона.

    Нахождение периметра

    Теперь найдем периметр. Периметр — это расстояние вокруг объекта. Таким образом, для любого многоугольника мы можем найти периметр, просто сложив все стороны вместе. Поскольку мы уже выполнили работу по нахождению размеров верхней и левой сторон, нам просто нужно добавить \(8 + 12 + 8 + 12\), чтобы получить 40 см. Мы вообще не используем меру 6 см для периметра, но она нам понадобится, чтобы найти площадь.

    Поиск площади

    Формула площади параллелограмма очень проста: \(A = bh\), или \(\text{Площадь}=\text{основание}\times \text{высота}\). Но какое из чисел в нашей задаче является основанием, а какое — высотой? Ключ в том, чтобы смотреть на пунктирную линию с символом прямого угла. Это высота , которую иногда называют высотой. В нашей тестовой задаче это 6 см. Как только мы найдем высоту, мы сможем найти основание , потому что высота перпендикулярна основанию. Итак, в этом случае высота перпендикулярна верхней и нижней сторонам параллелограмма. Неважно, выбираем ли мы верх или низ в качестве основы, потому что они конгруэнтны. {2}\). Чтобы найти периметр, мы можем записать измерения конгруэнтных противоположных сторон, чтобы правая сторона была равна 9.см, а верхняя сторона 5 см. Затем мы просто складываем все четыре стороны: \(P=9+5+9+5=28\text{см}\).

    Спасибо за просмотр и удачной учебы!

    Практические вопросы

    Вопрос № 1:

     
    Что из следующего не является частью определения параллелограмма?

    Четырехугольник

    Все углы прямые

    Противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину

    Все противоположные углы равны

    Показать Ответ

    Ответ:

    Правильный ответ: все углы прямые. Определение параллелограмма — это четырехугольник, у которого все противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину, а все противоположные углы равны.

    Скрыть ответ

    Вопрос №2:

     
    Какова площадь этого параллелограмма?

    102 см 2

    212 см 2

    119 см 2 92\)
    Площадь этого параллелограмма равна 204 см 2 .

    Скрыть Ответ

    Вопрос №3:

     
    «Четырехугольник, у которого длины всех сторон и углы равны» – определение какой формы?

    Параллелограмм

    Прямоугольник

    Квадрат

    Трапеция

    Показать Ответ

    Ответ:

    Правильный ответ — квадрат. Это точное определение квадрата. У него все стороны равны и все углы равны. 92\)
    Площадь этого квадрата 16 квадратных дюймов.

    Скрыть ответ

    Вопрос №5:

     
    Какова площадь этого прямоугольника?

    77 FT 2

    60 FT 2

    36 FT 2

    42 FT 2

    Показать ответ

    . . Формула площади прямоугольника:
    \(A=lw\)
    Длина ( 92\)
    Площадь этого прямоугольника 77 квадратных дюймов.

    Скрыть ответ

     

    Вернуться к видео о геометрии

    Периметр параллелограмма — определение, формулы, примеры, часто задаваемые вопросы

    Периметр параллелограмма представляет собой сумму длин его границ/сторон. Параллелограмм — это тип четырехугольника с четырьмя равными сторонами, у которых противоположные стороны равны. Его стороны не пересекаются друг с другом. Две диагонали параллелограмма пересекаются в центре. Диагональ делит параллелограмм на две равные части или треугольники. Ниже приведены свойства параллелограмма:

    1. Параллелограмм имеет четыре стороны.
    2. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
    3. Противоположные углы параллелограмма равны.
    4. Диагонали параллелограмма пересекаются.

     

    Что такое периметр параллелограмма?

    Периметр параллелограмма — это длина контура или его границ, а сумма всех сторон параллелограмма — это периметр параллелограмма. Однако не каждый раз нам будут давать длины всех сторон, иногда дается какая-то другая информация о параллелограмме. Поэтому существуют разные формулы для периметра параллелограмма. Давайте разберемся с различными формулами для периметра параллелограмма.

    Периметр параллелограмма Формула

    Периметр параллелограмма равен сумме длин всех сторон. Периметр относится к замкнутой границе любого геометрического объекта. Для четырехугольника периметр относится к сумме длин четырех сторон. Таким образом, периметр параллелограмма будет суммой его четырех сторон. Периметр параллелограмма можно вычислить, используя три случая. Вот три случая:

    • Когда смежные стороны параллелограмма известны: Формула периметра, когда стороны известны как P = 2(a + b) единиц, где a и b — стороны параллелограмма.
    • Когда известны одна сторона и длины диагоналей: Формула периметра, когда известны одна сторона и длины диагоналей, P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 – 4a 2 ) , где x и y — длины диагоналей, а a — длина стороны.
    • Когда известны любой угол, основание и высота: Формула для периметра, когда даны одна сторона и высота вместе с одним из углов, P = 2a + 2h/sinθ , где a — сторона параллелограмма, h — высота параллелограмма, θ — угол параллелограмма.

     

    Теперь, когда известны формулы для всех трех случаев, выведем формулы периметра параллелограмма для всех трех случаев,

    Периметр формулы параллелограмма со сторонами

    Периметр формулы параллелограмма со сторонами равен Формула вычисления периметра. Ниже приведен вывод периметра параллелограмма. Допустим, стороны параллелограмма равны «а» и «b».

     

    Периметр = сторона 1 + сторона 2 + сторона 3 + сторона 4

    Сторона 1 также известна как основание параллелограмма.

    Сторона 1 = a

    Сторона 2 = b

    Противоположные стороны параллелограмма равны.

    Сторона 1 = сторона 3

    Сторона 2 = сторона 4

    Сторона 3 = a

    Сторона 4 = b

    Периметр = a + b + a + b

    Периметр = 2 (a + b) 9005 9004

    Следовательно, периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух его смежных сторон.

    Периметр формулы параллелограмма с одной стороной и диагоналями

    Периметр формулы параллелограмма, когда даны одна сторона и длина обеих диагоналей, выводится ниже. Допустим, длины диагоналей равны «х» и «у», а длина стороны равна «а», из закона косинусов применяется формула косинуса:

     

    В △ABD:

    x 2 = a 2 + b 2 -2ab cos∠BAD

    In △ADC:

    y 2 = A 2 + B 2 -2AB COSTADC

    Добавление Уравнения:

    x 2 + Y 2 = 2 (A 2 + B 2 ) -2 (cos∠BAD + cos∠ADC)

    Так как по свойствам параллелограмма смежные углы параллелограмма являются дополнительными, то ∠BAD + ∠ADC = 180. 

    ∠BAD = 180 – ∠ADC

    Добавление косинуса с обеих сторон:

    cos∠BAD = cos(180 – ∠ADC)

    cos∠BAD = -cos∠ADC

    Заменить угол,

    x 2 + y 2 = 2 (A 2 + B 2 )-2AB (-COS ПОСКОЛЬКА + COSPADC)

    x 2 + yAD 2 = 2 (A 2 + B 2 ) — 2AB (0)

    x 2 + Y 2 = 2 (A 2 + B 2 )

    Теперь нахождение значение стороны b из сформулированного выше уравнения:

    b = √[(x 2 + y 2 – 2a 2 )/2]

    Теперь, когда обе стороны параллелограмма известны, используя формулу для периметра параллелограмма со сторонами,

    P = 2(a + b)

    P = 2a + 2(√[( x 2 + Y 2 — 2a 2 )/2])

    P = 2a + √ (2x 2 + 2y 2 — 4A 2 )

    Perimeter of Parall11TER с параллером из параллера с параллером из параллера из параллера из парли Основание, высота и угол

    Чтобы найти периметр параллелограмма с основанием, высотой и углом, предположим, что основание параллелограмма равно «b», высота параллелограмма равна «h», а угол параллелограмма равно «θ».

     

    Применение функции sin:

    sin θ = h/b

    b = h/sin θ

    Теперь длина стороны «b» известна нам в терминах угла. Подставив значение «b» в формулу:

    P = 2(a + b)

    P = 2a + 2h/sin θ

    Примечание: θ может быть углом любой вершины параллелограмм и формула останется прежней.

    Площадь и периметр параллелограмма

    Мы можем найти соотношение между площадью и периметром параллелограмма, поскольку обе формулы содержат стороны параллелограмма, формула для площади параллелограмма и периметра параллелограмма:

    Площадь параллелограмма = A = b × h квадратных единиц ⇢ (1)

    Периметр параллелограмма = P = 2a + 2b единиц ⇢ (2)

    Нахождение значения b из уравнения (2)

    P/ 2 = a + b

    b = P/2 – a

    Подставляя значение «b», полученное в уравнении (1)

    A = (P/2 – a) h квадратных единиц

    Как найти Периметр параллелограмма?

    Чтобы найти периметр параллелограмма, нам нужно знать формулы. Периметр параллелограмма равен сумме всех четырех сторон параллелограмма. Однако не каждый раз все стороны обеспечены. В некоторых случаях даны только одна сторона и диагонали. В некоторых случаях даны высота, угол и сторона. Мы обсудили различные формулы, необходимые для различных случаев. Ниже приведены шаги, которые необходимо предпринять, чтобы найти периметр параллелограмма:

    • Запишите значения, указанные в вопросе.
    • На основе указанных значений примените формулу для периметра параллелограммы соответственно:
    Указанные Формула
    Когда боковые стороны (и B)
    , когда боли (и B)
    . = 2(a + b)
    Когда даны одна сторона и диагонали P = 2a + √(2x 2 + 2y 2 – 4a 2 )
    When base, height, and angle are given P = 2a + 2h/sin θ

    Related Articles

    • Perimeter of Square
    • Perimeter of Triangle
    • Perimeter of Rectangle

    Решенные примеры по периметру параллелограмма

    Пример 1. Найдите периметр параллелограмма с длиной стороны = 14 м, основанием = 10 м.

    Решение

    Периметр параллелограмма определяется как:

    2(a + b)

    Где a и b — две его смежные стороны

    Периметр = 2 (14 + 10)

    Периметр = 2 (24)

    Периметр = 48 м

    Пример 2: Найдите периметр параллелограмма, основание которого равно 5 см, а длина стороны 6 см.

    Решение

    Периметр параллелограмма определяется как:

    2(a + b)

    Где а — основание, а b — смежная сторона

    Периметр = 2 (5 + 6)

    Периметр = 2 (11)

    Периметр = 22 см

    10 дюймов?

    Решение :

    Формула для периметра, когда одна сторона и длина диагонали известны,

    P = 2a + √ (2x 2 + 2y 2 — 4A 2 )

    5592 2 — 4A 2 )

    55555593 гг.

    P = 2 × 8 + √(2(12) 2 + 2(10) 2 – 4(8) 2 )

    P = 16 + √(288 + 200 – 4(64))

    P = 31,23 дюйма

    Пример

    : Чему равен периметр параллелограмма, если его высота 20 см, угол при вершине 45°, а одна из сторон 12 см?

    Решение :

    Периметр параллелограмма определяется как:

    P = 24 + 80

    P = 104 см

    Пример 5: Периметр параллелограмма равен 100 см, а одна из сторон параллелограмма равна 32 см; найди длину другой стороны.

    Решение

    Периметр параллелограмма определяется как:

    P = 2(a + b)

    Где a и b две его смежные стороны

    Дано: P = 100 см 32 см

    100 = 2 (32 + б)

    50 = 32 + б

    b = 18см

    Длина другой стороны параллелограмма 18см.

    Часто задаваемые вопросы о периметре параллелограмма

    Вопрос 1: Какова формула периметра параллелограмма?

    Ответ:

    Дана формула периметра параллелограмма:

    P = 2(a + b)

    Где a и b — смежные стороны параллелограмма.

    Вопрос 2: Как найти периметр параллелограмма с отсутствующей стороной?

    Ответ:

    Если одна сторона параллелограмма отсутствует, периметр параллелограмма можно найти либо по длине диагоналей, либо по высоте вместе с углом при вершине.

    Периметр параллелограмма с диагоналями = 2a + √(2x 2 + 2y 2 – 4a 2 ).

    Периметр параллелограмма с высотой и углом при вершине = 2a + 2h/sin θ.

    Вопрос 3: Чему равен периметр параллелограмма с учетом основания и высоты?

    Решение:

    Периметр параллелограмма можно найти, используя основание и высоту, если вместе с основанием и высотой задан угол при вершине. Формула для периметра параллелограмма:

    P = 2a + 2h/sin θ

    Где

    • a = длина стороны
    • h = высота параллелограмма
    • θ = угол при вершине

    Вопрос 4: Какова площадь параллелограмма?

    Ответ:

    Площадь параллелограмма — это область, покрываемая параллелограммом в двумерном пространстве. Формула площади параллелограмма выглядит следующим образом:

    A = b × h квадратных единиц

    Где

    A = площадь параллелограмма

    b = основание параллелограмма

    h = высота параллелограмма параллелограмм


    Периметр параллелограмма — примеры, свойства, проблемы и часто задаваемые вопросы

    Периметр параллелограмма. Мы попытаемся найти ответы на некоторые вопросы, например, что такое периметр, что вы понимаете под параллелограммом, как определить периметр параллелограмма, затем мы рассмотрим проблемы вместе с решениями, а затем обсудим некоторые часто задаваемые вопросы. вопросы (FAQ).

    В геометрии слово периметр используется как индикатор пути или длины. Слово «Периметр» произошло от двух греческих слов «ПЕРИ» (что означает «вокруг») и «МЕТР» (что означает «мера») означает измерение всего вокруг пути.

    Периметр представляет собой длину, которая охватывает/окружает двухмерную или планировочную форму. Этот термин может использоваться либо для пути, либо для его длины — в одномерной системе. Его можно представить как длину границы формы. Периметром круга или эллипса обычно называют его окружность.

    Вспомним параллелограмм !!

    В евклидовой геометрии параллелограмм подобен простому четырехугольнику, который содержит две пары параллельных сторон. Противоположные обращенные стороны или параллельная пара сторон параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные обращенные углы (поскольку угол BAC = угол BCD на рисунке ниже) параллелограмма имеют одинаковую меру.

    Пример:

     [Изображение скоро будет загружено]

    Свойства параллелограмма: 

    • Противоположные параллельные стороны конгруэнтны (AB = DC).

    • Противолежащие углы равны (D = B).

    • Последовательно Два угла являются дополнительными (т. е. A + D = 180°).

    • Если один угол прямой, то все углы будут прямыми.

    • Диагонали параллелограмма делятся пополам.

    • Обе диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

    Периметр параллелограмма

    Периметр любой фигуры можно определить различными указанными способами.

    1. Периметр любого многоугольника — это общая длина по внешней стороне того же многоугольника.

    2. Периметр любой фигуры равен сумме длин всех ее сторон.

    3. Периметр – это длина границы или длина линии разделения формы с окружающей средой.

    4. Периметр — это измерение длины контура фигуры.

    Определение периметра имеет множество практических применений. Например, с его помощью можно узнать количество оборотов колеса, длину забора, окружающего двор или сад, количество намотанной на катушку шерсти также будет связано с периметром катушки, пройденным расстоянием. бегуном по дорожке и т. д.

    Пусть «a» и «b» — стороны параллелограмма. тогда формула периметра параллелограмма будет следующей:

    Мы уже знаем, что противоположные лицевые стороны параллелограмма параллельны и также равны между собой. Таким образом, формула определения периметра параллелограмма будет иметь вид:

    Итак, периметр параллелограмма, P = a + b + a + b ед. (a+b) единиц

    Периметр параллелограмма с основанием (b) и высотой (h)

    Предположим, что дан параллелограмм с основанием и высотой. Если «b» — длина основания параллелограмма, а «h» — высота параллелограмма, то формула будет выведена следующим образом:

    Согласно свойствам параллелограмма, противоположные стороны граней параллельны, а также равны между собой, поэтому периметр параллелограмма будет равен удвоенной сумме основания и высоты.

     [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Таким образом, формула для периметра параллелограмма будет иметь вид:

    P = 2 (b +h/cos θ)

    , где θ — упомянутый угол BAE, который образуется между высотой и стороной параллелограмма, т.е. АЕ и АВ.

    Задачи с решениями

    Пример 1:

    Определите периметр параллелограмма с длиной основания и стороны 10 см и 5 см соответственно.

     

    Решение:

    Дано:

    Длина основания параллелограмма = 10 см

    Длина стороны параллелограмма = 5 см

    Мы уже знаем, что периметр параллелограмма определяется выражением P = 2(a+b) единиц.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.