Вычисления пределов примеры: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Пределы вида 0делить на 0 Примеры решения задач

Вычисление пределов функций y = f(x), значение которых в точке при х = х₀ определено f(x) = А не вызывает затруднений:

Затруднения возникают, когда в точке х = х₀ при вычислении значения функции получаем неопределенности вида В этом случае для вычисления пределов нужно преобразовать исходную функцию, чтобы неопределенность исчезла, либо в результате преобразования привести исходную функцию к первому или второму замечательному пределу.

Пример 1.

Вычислить при

Решение. Так как определена в точке , то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.

;

Пример 2.

Вычислить при

Решение. В точке функция также определена. Тогда получим:

.

Пример 3.

Вычислить при .

Решение. При получили неопределенность . Для решения разложим числитель и знаменатель на множители, сократим дробь:

; ; ;

.

; ; ;

;

После сокращения дроби опять в предел подставляем и вычисляем предел.

Пример 4.

Найти предел:

Решение. .

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив и разделив дробь на выражение , сопряженное знаменателю, и применим формулу

.

Выделим множитель и сократим на него дробь.

Примечание.

Аналогично избавляются от иррациональности в числителе.

Пример 5.

Вычислить предел:

Решение. При непосредственной подставке х = –1 получаем неопределенность . Для ее исключения проведем преобразование функции:

При х = –1 знаменатель обращаться в ноль за счет сомножителя х + 1. разделим числитель на этот сомножитель:

В результате предел преобразуется к виду:

Пример 6.

Вычислить предел:

Решение. При непосредственной подставке х = –2 получаем неопределенность . Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель на сомножители. Так как и числитель, и знаменатель при х = 2 обращаются в ноль, то они содержат общий сомножитель х – 2. найдем вторые сомножители числителя и знаменателя:

В результате разложения на сомножители числителя и знаменателя предел преобразуется к виду:

При подстановке х = 2 опять получаем неопределенность . Еще раз разделим числитель и знаменатель на х – 2 и в результате получим:

Пример 7.

Вычислить предел:

Решение. При непосредственной подстановке х = 0 получаем неопределенность . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, на

В результате мы избавимся от иррациональности в числителе:

Конспект урока по математике на тему «Вычисление пределов функции»

Тема: «Вычисление пределов функции»

Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции.

Задачи:

образовательные:

·  формировать умения и навыки вычисления пределов;

· познакомить обучающихся со способами раскрытия неопределенностей   и других;

·  сформировать у обучающихся  навыки вычисления предела многочлена и отношения многочленов;

·  сформировать у обучающихся навыки применения первого и второго замечательных пределов для раскрытия неопределенностей.

развивающие:

·  развивать мышление обучающихся при выполнении упражнений;

·  создать условия для развития у студентов умений формулировать промежуточные проблемы, предлагать пути их решения;

·  создать условия для развития у студентов монологической и диалогической математической речи;

·  формировать умения и навыки самостоятельно умственного труда.

воспитательные:

·  способствовать воспитанию дисциплинированности, усидчивости, навыков самостоятельности и умения работать индивидуально.

Тип урока: практическая работа.

Формы и методы: словесный, наглядный, исследовательский,  фронтальная работа, самостоятельная работа.

Оборудование: карточки для обучающихся, опорные конспекты, решение типовых примеров, компьютер, презентация по теме «Предел функции».

Структура занятия:

1.     Организационный момент (1 минута)

2.     Сообщение темы занятия. Постановка цели и задач занятия. Мотивация.               (3 минуты)

3.     Актуализация прежних знаний (сопровождается демонстрацией слайдов).             (7 минут)

а) фронтальный опрос;

б) устный счет.

4.     Воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях.                (5 минут)

5.     Перенос приобретенных знаний и их применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений.(50 мин.)

а) решение примеров у доски с комментированием;

б) самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя;

в) исследование.

6.     Проверка умений обучающихся самостоятельно применять полученные знания. (15 мин.)

7.     Повторение основных понятий. Разгадывание кроссворда.(5 мин.)

8.     Подведение итогов занятия, рефлексия. (3 минуты)

9.     Домашнее задание. (1 минута)

Ход занятия

1. Организационный момент.

Перед началом занятия  преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

2. Сообщение темы занятия. Постановка цели и задач занятия. Мотивация.

Сообщается тема занятия: «Вычисление пределов функции». Вместе с обучающимися преподаватель формулирует цель и задачи занятия.

Значение теории пределов для математики трудно переоценить – это центральное понятие математического анализа, на основе которого формируются понятия производной, дифференциала и интеграла.

Понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразно. То есть количественные изменения переходят в качественные. Это один из основных законов диалектики.

Но предел нашел применение не только в математике.

Предельный анализ в экономике исследует изменяющиеся величины затрат или результатов при изменении объемов производства или потребления на основе анализа их предельных значений. Задачи на темы: рост вклада, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий решаются с помощью второго замечательного предела.

Но такое признание теория пределов имела не всегда. В 17 веке известный математик Мишель Ролль писал, что эта наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель — Вольтер заметил, что исчисление пределов представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как «мистический».

Многие десятилетия величайшие математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, предпринимали попытки дать строгое определение предела. Но лишь в 19 веке великому французскому математику Огюстену Луи Коши удалась это сделать.

3.  Актуализация прежних знаний (сопровождается демонстрацией слайдов).

а)  Фронтальный опрос.

Ответы на вопросы теоретической части темы:

—        предел функции в точке;

—       односторонние пределы;

—       предел функции при x стремящемся к бесконечности;

—       основные теоремы о пределах;

—       правила вычисления пределов;

—       раскрытие неопределенностей;

—       первый замечательный предел;

—       второй замечательный предел.

б) Устный счет.

Для нахождения предела данных функций заменим аргумент x его предельным значением.

 

 

4. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях.

 

Задание 1

На рис. изображены графики функций. Установите для каждой из функции имеет ли она предел в точке х=2. если имеет, то чему он равен?

Ответы:

;;;не существует.

Задание 2.

Общее правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Найти  предел функции в точке:  

Решение. Функция  определена в точке х = π/6. Получим: 

5. Перенос приобретенных знаний и их применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений.

Решение примеров у доски с комментированием.

Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Задание 3.

а)  Найти

Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х-2. В результате получим

Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен 0, и, сократив дробь на этом сомножитель, найти предел частного.

  Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

 Один обучающийся решает пример 2б) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

б)

в) Найти
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
 

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

Далее находим корни:

Таким образом:

Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

  Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

Один обучающийся решает пример 2г) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

г) Найти

Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х+2.

Здесь предел делителя равен 0. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и стремиться к 0, а числитель приближается к -1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно записывается так: .

 

 

Задание 4.

Рассмотрим метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Общее правило: Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

 

а) Найти предел

 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

В числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. По формуле разности квадратов:

 

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Число лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

  Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

Один обучающийся решает пример 2б) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

б) Найти предел

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

 

Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.

Общее правило: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

Задание 5.

 а) Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

 Исследование.

Группа делится  на 2 группы. Каждая группа получает задание  и  выполняет его общими усилиями.

б) Найти

Решение. При x->∞ имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x³.Тогда получим

в) Найти

Решение. Разделив числитель и знаменатель на x³ и перейдя к пределу, получим

поскольку числитель последней дроби стремиться к пределу, отличному от нуля, а знаменатель – к нулю.

После решения примера в группах. Представитель каждой группы поясняет решение своего примера.

Все три примера на доске. Ответьте на вопросы:

Что общего в этих трех примерах?

Какие отличия?

Какие можно сделать выводы?

Общее	Различия	Выводы
1. все пределы на бесконечности 2.пределы от дробно-рациональных функций 3.ответы в каждом примере не случайные	показатели степеней равны в 1 примере показатели степеней разные во 2 и в 3 примерах:   Во 2 примере — у числителя показатель больше, чем у знаменателя; В 3 примере  — у числителя показатель меньше, чем у знаменателя;	1.если показатели степеней числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при этих степенях 2.если показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя, то предел равен бесконечности 3. если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя, то предел равен 0.

На основании открытого правила вычислить значение пределов устно:

1 группа	2 группа	3 группа

г) Найти

Решение. При стремлении аргумента x к бесконечности имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на x. Тогда получим

Задание 6.

Рассмотрим примеры, в которых используются замечательные пределы.

а) Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:

Обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

б) Найти

Решение. Произведем подстановку kx=y. Отсюда следует, что при , а x=y/k. Тогда получим

Так как

в). Найти

Решение. Имеем

Здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на x (это можно сделать, так как но x<>0), а затем воспользовались результатом предыдущего примера.

г)  Найти

Решение. Преобразуем числитель к виду 1-cos8x=2sin²4x. Далее находим

  Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

 Один обучающийся решает примеры 2д) и 2е) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

д) Найти

Решение. 1 способ. Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Применяя известную тригонометрическую формулу и выполняя элементарные преобразования, получим

2 способ. Преобразуем числитель следующим образом:

Следовательно,

е) Найти

Решение. Заменив tg x на sin x/cos x, получим

Задание 7.

а). Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение  .

Нетрудно заметить, что при  основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать  . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

б) Найти

Решение. Запишем основание степени в виде , а показатель степени – в виде . Следовательно,

в). Найти

Решение. Имеем

=

6. Проверка умений обучающихся самостоятельно применять полученные знания.

Самостоятельная  работа (4 варианта).

Вариант – 1 ·         ·         ·         ·	Вариант – 2 ·         ·         ·         ·
Вариант – 3 ·         ·         ·         ·	Вариант – 4 ·         ·         ·         ·

7.        Повторение основных понятий.

Разгадывание кроссворда.

3.Б

Е

С

4.Н

1.О

К

Е

Д

2. П

О

П

Н

Р

Н

Р

1.   Н

Е

О

П

Р

Е

Д

Е

Л

Е

Н

Н

О

5.С

Т

Ь

С

Д

Ч

Р

К

Т

Е

Н

Ы

2.    Р

А

З

Р

Ы

В

А

О

Л

О

В

Ч

Р

С

Н

О

3.   К

О

Ш

И

Т

О

К

Н

Ь

Й

Н

И

М

И

ПО ГОРИЗОНТАЛИ:

1.      Выражение, значение которого не определено,  — это неопределенность;

2.     Если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке, то точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x).

3.     Французский математик, который ввел строгое определение предела. – Коши.

ПО ВЕРТИКАЛИ:

1.     Пределы функции в точке слева и справа называются односторонними пределами функции в этой точке.

2.     Если для любого найдется такое число, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет выполнятся неравенство , то число А –  предел функции при х, стремящемся к а.

3.     Сколь угодно большое(малое), безграничное число —  это бесконечность.

4.     Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.

5.       Раз­ность  односторонних пределов функции f(х) в точке разрыва  , если они различны – это скачок функции.

8.      

8.Подведение итогов занятия, рефлексия.

Студенты под руководством преподавателя  подводят  итоги занятия. Преподаватель  называет оценки.

В качестве рефлексии обучающимся предлагается ответить на вопросы  и высказать свои мнения.

Цель: осознание обучающимися своей учебной деятельности, самооценка результатов своей деятельности.

Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, адекватное понимание причин успеха или неуспеха.

• Что нового узнали на занятии?
• Какую цель мы ставили в начале урока?
• Наша цель достигнута?
• Что нам помогло справиться с затруднением?
• Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?
• Как вы можете оценить свою работу?
• На следующем занятии мне бы хотелось…

9.Домашнее задание.

 Вычислить пределы

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)  

4. а) б)

 

Как рассчитать предел жидкости

••• amenic181/iStock/GettyImages

Петра Уэйкфилд

Предел жидкости описывает приблизительное содержание воды, при котором почва начинает вести себя как жидкость, один из нескольких пределов, используемых для определения механического свойства почвы. Устройство Casagrande является основным лабораторным инструментом для проверки предельных значений жидкости. Тестер помещает образцы почвы с разным содержанием воды в чашу прибора, затем прорезает в образце канавку. Чашку бросают несколько раз, пока почва не заполнит канавку. Используйте количество капель вместе с содержанием воды в образцах для расчета предела жидкости.

Нарисуйте диаграмму с двумя столбцами и таким количеством строк, сколько у вас есть точек данных. Обозначьте столбцы «Количество ударов» и «Процентное содержание воды». В качестве альтернативы создайте такую ​​же диаграмму с помощью программного обеспечения для работы с электронными таблицами.

Запишите количество ударов, необходимое для каждого образца, в первой колонке таблицы.

Вычтите вес образца сухой почвы из веса образца влажной почвы и умножьте на 100. Разделите результат на вес влажного образца, чтобы получить процентное содержание воды в этом образце. Выполните этот расчет для каждого образца почвы и запишите результаты во второй столбец таблицы рядом с количеством ударов по образцу.

Используйте логарифмическую шкалу миллиметровки в качестве оси X и обозначьте ее как «Количество ударов». Пометьте арифметическую шкалу по оси Y «Процентное содержание воды». Нанесите каждый набор точек данных из диаграммы на этот график. В качестве альтернативы создайте тот же график с помощью программного обеспечения для работы с электронными таблицами, убедившись, что ось X настроена на логарифмическую шкалу.

Проведите прямую через точки данных. Если прямая линия не соединит все точки, нарисуйте прямую линию, которая проходит как можно ближе к каждой точке.

Нарисуйте прямую линию вверх от 25 по оси X, пока она не достигнет линии на графике. Нарисуйте еще одну линию от этой точки влево до оси Y. Прочтите значение по оси Y: это предел жидкости вашей почвы.

Вещи, которые вам понадобятся

• Экспериментальные данные
• Калькулятор
• Диаграммная бумага или программное обеспечение для работы с электронными таблицами

• Рассчитайте предел текучести только для одного образца почвы, разделив количество ударов на 25 результат в степени 0,121 и умножение на процент содержания воды. Этот метод не так точен, как тест с несколькими образцами.

Похожие статьи

Ссылки

• «Геотехнические лабораторные измерения для инженеров»; Джон Джермейн и др.; 2009

Советы

• Рассчитайте предел текучести только на одном испытании образца почвы, разделив количество ударов на 25, возведя результат в степень 0,121 и умножив на процентное содержание воды. Этот метод не так точен, как тест с несколькими образцами.

Об авторе

Петра Уэйкфилд — профессиональный писатель, чьи работы публикуются на различных веб-сайтах, в основном посвященные науке, фитнесу и мероприятиям на свежем воздухе. Она имеет степень магистра наук в области сельскохозяйственного машиностроения Техасского университета A&M.

Предел жидкости в почве, испытание, график, пределы Аттерберга, лабораторный отчет, расчет

Прибор

Аппарат должен состоять из следующего:

1. Механический ограничитель жидкости — Должен соответствовать требованиям IS: 9259-1979.
2. Инструмент для нарезки канавок/ — Должен соответствовать IS: 9259-1979.
3. Фарфоровая тарелка Eltaporator — Диаметр от 12 до 15 см.
4. Плоская стеклянная пластина — толщиной 10 мм и квадратной площадью около 45 см или больше (альтернатива фарфоровой чашке для выпаривания для смешивания почвы с водой).
5. Шпатель — гибкий, с лезвием длиной около 8 см и шириной 2 см (для смешивания почвы и воды в фарфоровой чашке для выпаривания).
6. Мастихин — два с лезвием длиной около 20 см и шириной 3 см (для смешивания почвы и воды на плоской стеклянной пластине).
7. Весы — чувствительные к 0,01 г.
8. Духовка — с термостатическим управлением, внутренняя часть из некорродирующего материала для поддержания температуры от 105 до 110°C.
9. Промывочная бутыль или химический стакан — содержащие дистиллированную воду.
10. Контейнеры — воздухонепроницаемые и коррозионностойкие для определения влажности.

---

Подготовка пробы почвы

Образец весом около 120 г. берется из тщательно перемешанной части материала, прошедшей через сито IS с размером ячеек 425 мкм, полученного в соответствии с IS: 2720 (Часть I)-1983.

Примечание — Когда в почве нет камней и практически вся почва проходит сито IS 425 мкм, иногда практикуется испытание образцов без предварительной их подготовки. Когда почвы испытываются в естественных условиях, результаты обычно отличаются от результатов, полученных с образцами, высушенными на воздухе. В протоколе испытаний должно быть указано, что использовался грунт в естественном состоянии.

Если это сделано и присутствуют камни, для испытания должен использоваться только материал, прошедший сито IS с размером ячеек 425 микрон; этого можно добиться, протирая влажную почву через сито до тех пор, пока не будет получено достаточное количество материала, проходящего через сито IS 425 микрон.

---

---

Регулировка механического устройства

• Необходимо проверить устройство ограничения жидкости, чтобы убедиться, что оно чистое, сухое и находится в хорошем рабочем состоянии, что чаша свободно падает и не имеет слишком большого бокового люфта на шарнире. . Инструмент для нарезки канавок также необходимо осмотреть, чтобы убедиться, что он чистый и сухой.
• С помощью калибра на рукоятке инструмента для нарезания канавок или отдельного калибра и с помощью регулировочной пластины механического ограничителя жидкости высота подъема и опускания стакана должна быть отрегулирована таким образом, чтобы точка на стакане, соприкасаясь с основанием, выпадает ровно на один сантиметр за один оборот рукоятки. Затем регулировочную пластину следует закрепить, затянув винт.

Примечание: — Если со временем ровность основания не сохраняется, следует заменить основание ограничителя жидкости.

---

Методика испытаний

1. Около 120 г. образца почвы, прошедшего через сито IS 425 мкм, тщательно смешивают с дистиллированной водой в чашке для выпаривания или на плоском стекле до образования однородной пасты.
2. Паста холл имеет консистенцию, требующую 30-35 капель из чашки, чтобы вызвать требуемое закрытие стандартной канавки.
3. В случае глинистых почв почвенная паста должна выстояться в течение достаточного времени (24 часа), чтобы обеспечить равномерное распределение влаги по всей массе почвы (см. примечание 1)
4. Затем почву следует тщательно перемешать перед испытанием. Порция пасты должна быть помещена в чашку над местом, где чашка опирается на основание, сжата и распределена в положение, показанное на рис. (диаграмма, иллюстрирующая испытание на предел жидкости), с помощью как можно меньшего количества движений шпателя и при этом подрезают на глубину одного сантиметра в месте максимальной толщины, возвращая лишнюю почву в блюдо.
5. Грунт в чашке должен определяться твердыми движениями инструмента для нарезки канавок по диаметру через центральную линию кулачкового толкателя так, чтобы образовалась чистая острая канавка надлежащих размеров (см. примечание 2).
6. В случае, когда инструмент для нарезки канавок типа А не дает четкой канавки, как в песчаных грунтах, следует использовать инструмент для нарезки канавок типа В или типа С (см. примечание 3).
7. Чашка должна быть установлена ​​и опущена путем вращения рукоятки со скоростью два оборота в секунду до тех пор, пока две половины земляной корки не соприкоснутся с дном канавки на расстоянии около 12 мм (см. примечание 4).
8. Эта длина измеряется концом инструмента для накатки канавок или линейкой.
9. Количество капель, необходимое для закрытия канавки на длину 12 мм, должно быть зарегистрировано.
10. Небольшое количество почвосмеси добавляется в чашку и смешивается с землей в чашке.
11. Похлопывание должно быть сделано в чашке, и испытание должно быть повторено, как в (этапы 4-9).
12. Ни в коем случае нельзя добавлять высушенную почву в тщательно перемешанную испытуемую почву.
13. Процедура, описанная в (этапы 4–9) и в этом пункте, должна повторяться до тех пор, пока два последовательных прохода не дадут одинаковое количество капель для закрытия канавки (см. примечания 4 и 5).
14. Репрезентативный кусок почвы шириной примерно с шпатель, простирающийся примерно от края до края глиняной корки под прямым углом к ​​канавке и включающий ту часть канавки, в которой почва слилась, должен быть взят в подходящий контейнер и его содержание влаги, выраженное в процентах от сухой массы в печи, иначе определяемое, как описано в IS: 2720 (Часть 2)-1973.
15. Остатки грязи в чашке должны быть перенесены в чашу для выпаривания, и чаша и инструмент для нарезки канавок должны быть тщательно очищены.
16. Операции, указанные в (шагах 4–9)–(шагах 14–15), должны быть повторены еще как минимум в трех дополнительных испытаниях (всего минимум четыре) с почвой, собранной в чашке для выпаривания или плоской стеклянной пластине, чтобы было добавлено достаточное количество воды, чтобы привести почву в более жидкое состояние.
17. В каждом случае должно быть зарегистрировано количество ударов и определено содержание влаги, как указано выше.
18. Образцы должны иметь такую ​​консистенцию, чтобы количество капель, необходимое для закрытия канавки, было не менее 15 или более 35, а точки на кривой потока были равномерно распределены в этом диапазоне.
19. Испытание следует проводить от более сухого (больше капель) к более влажному (меньше капель) состоянию почвы.
20. Испытание также может быть проведено при переходе от более влажного состояния к более сухому при условии, что сушка достигается замешиванием влажного грунта, а не добавлением сухого грунта.

Земляная корка перед испытанием

Земляная корка до испытаний

Земляная корка после испытаний

Земляная корка после испытания

Примечание — 1 — Грунты с легким гранулометрическим составом (с низким содержанием глины) можно испытывать сразу после тщательного перемешивания с водой.

Примечание — 2 — Во избежание разрыва краев канавки или соскальзывания земляной корки на чашке допускается до шести ударов спереди назад или сзади вперед, считая за один ход. Каждый удар проникает немного глубже, пока последний удар сзади вперед не очищает дно чашки. Канавка должна быть сделана как можно меньшим количеством ходов.

Примечание — 3 — В грунтах с низким индексом пластичности иногда бывает трудно вырезать в грунте гладкую канавку с помощью инструмента для нарезки канавок типа А. В таких случаях можно использовать инструмент для нарезки канавок типа В или типа С. Инструмент для нарезки канавок типа B вставляет клин в слой почвы, заставляя две половины слоя скользить на границе раздела чашки и почвы. Во время теста почва имеет тенденцию снова скользить по той же поверхности вместо того, чтобы течь, как это должно быть. Поэтому его следует использовать с осторожностью.

Примечание — 4 — Некоторые почвы имеют тенденцию скользить по поверхности чаши, а не течь. Если это произойдет, результаты должны быть аннулированы, а испытание повторяется до тех пор, пока не появится утечка. Если скольжение все же происходит, испытание неприменимо, и следует отметить, что предел текучести не может быть достигнут.

Примечание — 5 — Следует следить за тем, чтобы почвенная паста не высыхала слишком быстро между повторными испытаниями, поскольку количество ударов для закрытия будет постепенно увеличиваться по мере высыхания образца.

---

Определение предела жидкости

Предела жидкости (W _L ) «Кривая расхода» должна быть построена на полулогарифмическом графике, представляющем содержание воды в арифметической шкале и количество капель в логарифмической шкале. Кривая потока представляет собой прямую линию, проведенную как можно ближе через четыре или более точек на графике.

Влажность, соответствующая 25 каплям, считанная с кривой, должна быть округлена до ближайшего целого числа и указана как предел текучести почвы.

Определение индекса текучести

Индекс текучести (I _f ) — Кривая расхода (прямая линия), построенная на полулогарифмическом графике, как и для предела жидкости (W _L ), должна быть продлена на любой конец, чтобы пересечь ординаты, соответствующие 10 и 100 капель. Наклон этой линии, выраженный как разница в содержании воды при 10 и 100 каплях, должен указываться как показатель текучести.

Индекс текучести можно также рассчитать по следующему уравнению:

Индекс расхода = If=W1-W2log10N2N1

Где

• I _f — индекс потока
• W ₁ – содержание влаги в процентах, соответствующее N ₁ капли
• W ₂ содержание влаги в процентах, соответствующее N ₂ капли

Примечание:

Для определения индекса текучести можно случайным образом выбрать любое значение содержания воды (W1, W2, W3 и W4) теста на ограничение жидкости как W1 и W2 при условии, что W1 должно быть больше, чем W2.