Вычислить дифференциал функции: Дифференциал функции онлайн

Дифференциал функции онлайн

Дифференциалом функции называется главная (линейная по ) часть приращения функции. Чтобы понять данное определение, рассмотрим следующий рисунок.

На рисунке изображён график функции и касательной к ней в точке . Дадим аргументу функции некоторое приращение , тогда функция также получит некоторое приращение . Величина называется дифференциалом функции . При этом, из графика следует, что равно приращению ординаты касательной, проведённой в точке к функции . Именно поэтому дифференциалом называют линейную часть приращения функции, т.

е. приращение ординаты касательной.

Из рисунка следует, что угол наклона касательной , который она образует с положительным направлением оси и — равны. Кроме того, тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:

Из треугольника следует, что:

Таким образом, дифференциал функции выражается следующей формулой:

Рассмотрим ещё такой момент: из рисунка следует, что , причем . Причем, чем меньше , тем меньший вклад в величину вносит значение . Т.е. при достаточно малых значениях , можно считать, что . Данное соотношение позволяет вычислять приближенное значение функции в точке , если известно её значение в точке .

Дифференциал высшего порядка (например порядка ) определяется как дифференциал от дифференциала -ого порядка:

Например, дифференциал второго порядка вычисляется следующим образом:

Аналогичным образом получаем формулу для вычисления дифференциала -ого порядка:

где - -ая производная функции по переменной .

Пару слов стоит сказать о вычислении дифференциала функции многих переменных, который в этом случае называется полным дифференциалом. Полный дифференциал функции, зависящей от -переменных определяется по формуле:

Выражения для дифференциалов высших порядков функции многих переменных можно получить исходя из общей формулы:

В общем случае, для возведения суммы в -ую степень необходимо воспользоваться формулой бинома Ньютона. Рассмотрим процесс получения формулы полного дифференциала второго порядка функции двух переменных:

Наш онлайн калькулятор способен вычислить дифференциалы разных порядков для любых функций одной или нескольких переменных с описанием подробного решения на русском языке.

Калькулятор дифференциала функции

Кол-во переменных функции 1234

Порядок дифференциала 123

Переменные функции xyztupqsabcxyztupqsabcxyztupqsabcxyztupqsabc

автоматическое определение переменных

Найти дифференциал 2 порядка для функции:fx,y2x23xyy2

Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Калькулятор объёма тела вращения
Калькулятор градиента функции
Калькулятор длины дуги

Оставить свой комментарий:

---

Дифференциал функции — основные понятия и определения с примерами решения и образцами выполнения

Содержание:

1. Дифференциал функции
2. Геометрическое содержание дифференциала
3. Применение дифференциала к приблизительным вычислениям
4. Дифференциал функции и функция
5. Дифференциал функции и его определение
6. Геометрический смысл дифференциала
7. Основные свойства дифференциала
8. Свойство инвариантности формы дифференциала
9. Применение дифференциалов при приближенных вычислениях
10. Дифференциал функции с примерами
11. Справочные сведения
12. Определение производной
13. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
14. Формулы для производных основных элементарных функций

Дифференциал функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х))

Понятие дифференциала функции:

С понятием производной тесно связано важное понятие математики — понятие дифференциала.

Пусть дана функция у = f(х), дифференцирования в точке х. Это означает, что существует 

Следовательно, справедливо соотношение:

Отсюда:  

Как видно, прирост функции складывается из двух слагаемых. Второе слагаемое  как произведение бесконечно малых величин, является бесконечно малым более высокого порядка, чем  Значит, при малых  второе слагаемое менее важное, чем первое, и именно первое слагаемое составляет основную часть прироста функции (главную часть).

Дифференциалом функции у = f(х) в точках х называют главную часть прироста функции  и обозначают символом dy. По определению 

При , получаем , или , то есть дифференциал аргумента равный его приросту. Тогда

то есть дифференциал функции у = f(х) в точках х равен произведению производной в этой точке на дифференциал аргумента.

Отсюда,  и выражение, которое мы раньше обозначали одним символом, теперь можно рассматривать как дробь, равен отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Геометрическое содержание дифференциала

Рассмотрим график непрерывной функции у = f(х) (рис. 1).

Производная функции при  равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке , то есть

На рис. 1 видно, что касательная разбивает прирост функции KN на два отрезка: KP, который соответствует слагаемому  и PN, который равен слагаемому  Если прирост аргумента стремится к нулю, то отрезок NP уменьшается значительно быстрее, чем отрезок PK. Следовательно, прирост ординаты касательной KP является главной частью прироста функции у = f (х). Из треугольника MPK находим:

Потому, что ; , получаем .

Следовательно, дифференциал функции у = f (х) геометрически изображается приростом ординаты касательной, проведённой в точке  при заданных значениях  и .

Пример 1. Найти дифференциал функции 

Решение: Находим производную данной функции:

Умножаем производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Ответ: 

Пример 2.  Найти дифференциал функции 

Решение: Сначала найдём производную данной функции:

Умножим производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Ответ: 

Пример 3. Вычислить значение дифференциала функции  

Решение: Дифференциал вычислим согласно формулы

Прежде чем использовать эту формулу, найдём производную функции и её значение при 

Отсюда, 

Ответ: 

Применение дифференциала к приблизительным вычислениям

Прирост функции и дифференциал функции отличаются один от другого на малую величину Если пренебречь этой малой величиной, то получим приближённое равенство:

 

то есть при малых приростах аргумента  прирост функции можно заменить её дифференциалом.

Учитывая, что , получаем , откуда 

Эти приближённые равенства используются для приближённых вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление её прироста.

Пример4.  Вычислить приближённое значение прироста функции  при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,001.

Решение: Находим дифференциал аргумента . Прирост аргумента малый, поэтому прирост  приближённо равен его дифференциалу .

Дифференциал функции вычислим по формуле: . Сначала найдём производную  и её значение при х=2.

Точное значение прироста функции найдём по формуле:

 

Сравнив полученный результат с дифференциалом , видим, что абсолютная погрешность равна 0,000001. Однако абсолютная погрешность не даёт достаточно полной характеристики точности подсчёта, поэтому вычисли м и относительную погрешность:

Такая точность почти всегда достаточна для прикладных вычислений, поэтому вместо прироста функции находят её дифференциал.

Ответ: 

Пример 5. Вычислите приближённое значение функции 

Решение: Найдём дифференциал аргумента . Прирост аргумента малый, поэтому для вычисления приближённого значения функции воспользуемся формулой:

Сначала найдём значение функции при х=2: 

Дифференциал находим по формуле: , для этого найдём производную функции и её значение при х=2:

Ответ: 

Пример 6. Найти приближённое значение .

Решение: Нам необходимо найти приближённое значение функции  при х=16,06.

Найдём дифференциал аргумента: 

прирост аргумента малый, поэтому

Дифференциал находим по формуле: , для этого сначала найдём производную функции и её значение при х=16.

Ответ: 

 

Пример 7. Найти приближённое значение 

Решение: Как и предыдущем примере, имеем 

Ответ:

 

Пример 8. Объём куба, ребро которого равно 4см., при нагревании увеличивается на 0,96см³. Как при этом увеличивается ребро куба?

Решение: Объём куба с ребром х вычисляется по формуле: V=х³. Поскольку 

Дифференциал функции вычисляется по формуле , отсюда . Прежде чем воспользоваться формулой найдём производную функции V и её значение при х=4: 

Теперь находим 

Ответ: Ребро куба увеличилось приблизительно на 0,02 см.

Дифференциал функции и функция

Дифференциал — главная часть прироста функции.

Дифференциал функции и его определение

Определение дифференциала

Если функция y = f (x) имеет в точке х производную, то     и приращение функции  можно представить в виде
,                                                                                 (4.3)
где — бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю вместе с .

В формуле (4. 3) второе слагаемое есть бесконечно малая более высшего порядка, чем, и поэтому главную часть суммы составляет первое слагаемое , которое называется дифференциалом функции.

Определение. Главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной, называется дифференциалом функции f (x).

Обозначается дифференциал символом dy или df(x). Итак,
                                                                                            (4.4)

Приращение независимой переменной также обозначают так:  . Это объясняют тем, что для функции y = x дифференциал  . Поэтому равенство (4.4) записывают dy = f ‘(x) dx.

Пример 1. Найти дифференциал функции y = 1 + ln x.

Решение.  

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. Вычислим сначала производную y’, использовав правило дифференцирования сложной функции
 Следовательно,

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции имеет простое геометрическое толкование.

Пусть имеем график функции y = f (x). Возьмем на этой кривой точку М (х, у) и проведем в ней касательную к кривой.

Рис. 4.

Пусть — угол наклона касательной с положительным направлением оси Оx. Тогда .
Дадим х некоторое приращение . На рис. 4 . Тогда ордината точки М получит приращение  , а ордината точки М, касательной — приращение СD. Учитывая, что ∠ DМС = , имеем СD = МС tg ; или СD =.

С геометрической точки зрения дифференциал dy функции y = f (x) в данной точке есть приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение .

Основные свойства дифференциала

1) Дифференциал постоянной равна нулю   dc = 0.

2) Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций   .

3) Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений каждой из функций на дифференциал второй функции 

4) Дифференциал частного находится по формуле
.
Докажем свойство 3)

Свойство инвариантности формы дифференциала

Пусть дана сложная функция y = f (u), где . Тогда ,  а

Поскольку dy = d [f (x)] = f ‘(x) dx, то можем сделать вывод, если вместо независимой переменной х подставить произвольную функцию от х, то форма дифференциала не меняется. Это свойство носит название инвариантности формы дифференциала.

Применение дифференциалов при приближенных вычислениях

Дифференциалы используют при приближенных вычислениях значений функций, применяя примерное равенство . В развернутом виде имеем:

Откуда значение функции   .

Пример 1. Вычислить приближенно ln 1,02 с помощью дифференциала.

Решение. Число ln 1,02 является значением функции y = ln x при х = 1,02. Взяв  имеем  
Итак, ln 1,02 = ln 1 + 1⋅ 0,02 = 0,02.

Пример 2. Вычислить .
Решение. Запишем в виде  
Будем рассматривать данное число как значение функции при 
Взяв     и учитывая, что   имеем

  и поэтому

Дифференциал функции с примерами

Дифференциалом функции называется произведение ее производной на приращение независимой переменной: (2.23) В частности, при получаем (2.24) т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Формулу (2.23) можно, следовательно, написать так (2.25) откуда (2-26) dx Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной проведенной к графику этой функции в точке когда аргумент получает приращение (рис.

2.1).

Из определения производной и дифференциала вытекает, что где т.е. дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка, чем Рис. 2.1 При малых справедлива приближенная формула (2.27) или (2.28) Если дифференцируемые функции от постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Примеры с решением

Пример 1.

Найти дифференциал функции Решение. По формуле (2.25) находим

Пример 2.

Найти дифференциал функции Решение. На основании формулы (2.25) получаем

Пример 3.

Найти дифференциал функции Решение. В данном случае функция обозначена буквой аргумент буквой Формула (2.25) перепишется так: На основании этой формулы находим

Пример 4.

Вычислить значение дифференциала функции когда х изменяется от 1 до 1,1. Решение. Прежде всего находим общее выражение для дифференциала этой функции: Подставляя значения в последнюю формулу, получаем искомое значение дифференциала:

Пример 5.

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найти Решение. Формула (2.28) применительно к данной функции перепишется в виде arctg В нашем случае Подставляя эти значения в формулу, получим Следовательно,

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Действия с корнями

Формулы сокращенного умножения

Полный дифференциал функции: пример решения

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Справочные сведения

Определение производной

Предел отношения при называется производной функции в точке Этот предел обозначают одним из следующих символов: Таким образом, Если в каждой точке существует т. е. если производная существует для всех то функция называется дифференцируемой на интервале

Вычисление производной называют дифференцированием.

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Если функции имеют производные в некоторой точке, то функция — постоянные) также имеет в этой точке производную, причем Если функции имеют производные в некоторой точке, то и функция имеет производную в этой точке, причем Если функции имеют производные в некоторой точке и в ней, то функция также имеет производную в этой точке, причем

Формулы для производных основных элементарных функций

1) Степенная функция: Область существования производной функции может быть и шире. Например, если то

2) Показательная функция. Если то в частности, .

3) Логарифмическая функция. Если то в частности,

4) Тригонометрические функции:

5) Обратные тригонометрические функции:

6) Гиперболические функции:

Дифференциал функции

Если приращение функции в точке представимо в виде (5) где не зависит от то функция называется дифференцируемой в точке.

Таким образом, если равенство (5) верно, то

Дифференциалом, независимой переменной называется ее приращение т. е. по определению полагают Для дифференцируемости функции в точке (т. е. для существования дифференциала) необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную. Дифференциал функции выражается через производную следующим образом: (6)

Эта формула позволяет вычислять дифференциалы функций, если известны их производные. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала то, (7) для всех Равенство (5) может быть записано в виде Если то для приближенного вычисления значения функции в точке можно пользоваться формулой (8) так как абсолютная и относительная погрешности при таком приближении сколь угодно малы при достаточно малом Дж.

Примеры с решениями

Пример 1.

Вычислить производную функции

Пример 2.

Вычислить производную функции в точке А Функция является композицией двух функций: Функция в точке имеет производную, причем Функция в точке также имеет производную, причем По формуле (1) получаем

1.

Дифференциал

Ранее в главе о дифференцировании мы написали `dy/dx` и `f'(x)`, чтобы обозначить одно и то же. Мы использовали `d/dx` как оператор .

Теперь мы видим другой способ записи и осмысления производной.

Мы будем использовать эту новую форму производной на протяжении всей главы об интеграции.

Мини-лекция

См. мини-лекцию
по дифференциалам.

Определения

Дифференциалы — бесконечно малые величины. Обычно мы записываем дифференциалы как `dx,` `dy,` `dt` (и так далее), где:

`dx` — бесконечно малое изменение `x`;

`dy` — это бесконечно малое изменение `y`; и

`dt` — это бесконечно малое изменение `t`.

При сравнении небольших изменений величин, связанных друг с другом (например, в случае, когда `y` является некоторой функцией f `x`, мы говорим дифференциал `dy`, `y = f(x)` записывается: 92−4x+2`, тогда f(x)=10x-4`.

Таким образом, дифференциал определяется как:

`dy = (10x-4)dx`

Примечание

Мы могли бы использовать дифференциал для оценки реальное изменение значения функции (`Δy`), вызванное небольшим изменение `x` (записывается как `Δx`). Много учебников сделать это, но это довольно глупо, так как мы можем легко найти точное изменение — зачем приближать это?

Мы вводим здесь дифференциалы как введение в обозначение, используемое в интеграция .

`Дельта y` означает «изменение `y`, а `Дельта x` означает «изменение `x`».

Ранее в главе «Дифференциация» мы узнали, что наклон кривой в точке P определяется как «dy/dx».

Связь dx, dy, delta x, delta yPΔydydx = ΔxОткрыть изображение на новой странице

Связь между `dx,` `dy,` `Delta x` и `Delta y`

Наклон пунктирной линии определяется отношением `(Delta y)/(Delta x).` По мере того, как `Delta x` становится меньше, этот наклон становится ближе к фактическому наклону в P , что является «мгновенным» отношением dy/dx.

То есть

`lim_(Дельта x->0) (Дельта y)/(Дельта x)=dy/dx`

См. «Наклон касательной» для получения дополнительной информации об этом.

Теперь мы переходим к изучению того, как дифференциал используется для осуществления противоположного процесса дифференцирования, который сначала мы назовем антидифференцировкой , а позже интеграцией .

python — Как вычислить производную с помощью Numpy?

спросил 10 лет, 8 месяцев назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 528 тысяч раз

Как вычислить производную функции, например

у = х ² +1

с использованием numpy ?

Допустим, мне нужно значение производной при x = 5. ..

• питон
• математика
• numpy

2

У вас есть четыре варианта

1. Конечные разности
2. Автоматические производные
3. Символическое дифференцирование
4. Вычисление производных вручную.

Конечные разности не требуют внешних инструментов, но подвержены числовым ошибкам и, если вы находитесь в многомерной ситуации, могут занять некоторое время.

Символическое дифференцирование идеально подходит, если ваша задача достаточно проста. В наши дни символические методы становятся довольно надежными. SymPy — отличный проект для этого, который хорошо интегрируется с NumPy. Посмотрите на функции autowrap или lambdify или ознакомьтесь с сообщением в блоге Дженсена о похожем вопросе.

Автоматические производные очень круты, не склонны к числовым ошибкам, но требуют некоторых дополнительных библиотек (погуглите для этого, есть несколько хороших вариантов). Это самый надежный, но и самый сложный/сложный в настройке выбор. Если вы в порядке, ограничивая себя до numpy синтаксис, тогда Theano может быть хорошим выбором.

Вот пример использования SymPy

 В [1]: from sympy import *
В [2]: импортировать numpy как np
В [3]: x = Symbol('x')
В [4]: ​​у = х**2 + 1
В [5]: yprime = y.diff(x)
В [6]: yprime
Выход[6]: 2⋅x
В [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy')
В [8]: f(np.ones(5))
Out[8]: [ 2. 2. 2. 2. 2.]
 

6

Самый простой способ, который я могу придумать, — это использовать функцию градиента numpy:

 х = numpy.linspace(0,10,1000)
дх = х[1]-х[0]
у = х**2 + 1
dydx = numpy.градиент (y, dx)
 

Таким образом, dydx будет вычисляться с использованием центральных разностей и будет иметь ту же длину, что и y, в отличие от numpy.diff, который использует прямые разности и возвращает (n-1) вектор размера.

6

NumPy не предоставляет общих функций для вычисления производных. Однако он может обрабатывать простой частный случай многочленов:

 >>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1])
>>> напечатать п
   2
1 х + 1
>>> q = p.deriv()
>>> напечатать q
2 х
>>> д(5)
10
 

Если вы хотите вычислить производную численно, вы можете обойтись без использования центральных разностных отношений для подавляющего большинства приложений. Для производной в одной точке формула будет примерно такой:

 x = 5,0.
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x)
print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)
 

если у вас есть массив x абсцисс с соответствующим массивом y значений функций, вы можете вычислить аппроксимации производных с помощью

 numpy.diff(y) / numpy.diff(x)
 

9

Предполагая, что вы хотите использовать numpy , вы можете численно вычислить производную функции в любой точке, используя строгое определение:

 def d_fun(x):
    h = 1e-5 #теоретически h является бесконечно малым
    возврат (веселье (х+ч)-весело (х))/ч
 

Вы также можете использовать симметричную производную для лучших результатов:

 def d_fun(x):
    ч = 1е-5
    вернуть (весело (x + h)-весело (xh))/(2 * h)
 

В вашем примере полный код должен выглядеть примерно так:

 def fun(x):
    вернуть х**2 + 1
защита d_fun(x):
    ч = 1е-5
    вернуть (весело (x + h)-весело (xh))/(2 * h)
 

Теперь вы можете численно найти производную при x=5 :

 В [1]: d_fun(5)
Выход[1]: 9,999999999621423
 

3

Я добавлю в кучу еще один метод. ..

scipy.interpolate Многие интерполирующие сплайны способны давать производные. Таким образом, при использовании линейного сплайна ( k=1 ) производная сплайна (при использовании метода производная() ) должна быть эквивалентна прямой разнице. Я не совсем уверен, но я считаю, что использование производной кубического сплайна будет похоже на производную центрированной разности, поскольку для построения кубического сплайна используются значения до и после.

 из импорта scipy.interpolate InterpolatedUnivariateSpline
# Получить функцию, которая оценивает линейный сплайн при любом x
f = Интерполированный одномерный сплайн (x, y, k = 1)
# Получить функцию, которая вычисляет производную линейного сплайна при любом x
dfdx = f.производная()
# Вычислить производную dydx в каждой позиции x...
dyx = dfdx (х)
 

2

Вы можете использовать scipy , что довольно просто:

scipy. misc.derivative(func, x0, dx=1.0, n=1, args=(), order=3)

Найдите энную производную функции в точке.

В вашем случае:

 из производного импорта scipy.misc
защита f(x):
    вернуть х**2 + 1
производная(f, 5, dx=1e-6)
# 10.00000000139778
 

Для расчета градиентов сообщество машинного обучения использует Autograd:

«Эффективно вычисляет производные кода numpy».

Для установки:

 pip установить автоград
 

Вот пример:

 импортировать autograd.numpy как np
из автоград импорт град
функция защиты (х):
    у = х**2+1
    вернуть у
град_фкт = град(фкт)
печать (град_фкт (1.0))
 

Он также может вычислять градиенты сложных функций, например. многомерные функции.

2

В зависимости от требуемого уровня точности вы можете определить его самостоятельно, используя простое доказательство дифференцирования:

 >>> (((5 + 0,1) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0,1
10.
No related posts.