Вычислить длину перпендикуляра опущенного из вершины на медиану: Даны вершины треугольника: А (-10;-13), В (-2;3), С (2;1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного

§2. Примеры решения задач

vk.com/club152685050

Если это условие выполняется, то прямые лежат в одной плоскости, то есть они или параллельны, если координаты направляющих векторов пропорциональны, или пересекаются, если координаты направляющих векторов не пропорциональны.

В противном случае, если сформулированное условие не выполня-

ется, то прямые скрещиваются.
Если даны две плоскости A1x B1 y C1z D1 0 и	A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

то уравнение всякой плоскости, проходящей через линию пересече-

ния	заданных	плоскостей,	имеет	вид:
A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0, где			— переменный	параметр.

Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей.

Пример 1.

Даны точки L( 6, 0), N(0, 8). Через середину отрезка LN провести прямую, отсекающую на оси ОХ отрезок втрое больший, чем на оси

OY.

Решение.

Найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка LN:

хм = ( 6 + 0)/ 2 = 3 , yм = (0 + 8)/ 2 = 4, тогда М( 3, 4). Уравнение

прямой будем искать в виде x / a + y / b = 1. По условию a = 3b, следовательно, уравнение примет вид x / 3b + y / b = 1. Для определения b используем условие прохождения искомой прямой через точку

М( 3, 4). Так как точка М лежит на искомой прямой, то ее координа-

ты удовлетворяют уравнению прямой, то есть ( 3)/(3b) + 4/ b = 1, откуда b = 3. Подставляя это значение в равенство a = 3b, получим a = 9. Таким образом, уравнение искомой прямой: x/ 9 + y/ 3 = 1 или

x + 3y 9 = 0.

Ответ. Уравнение прямой: x + 3y 9 = 0.

Пример 2.

Составить уравнения прямых, параллельных прямой x 3y = 0 и отсекающих от двух пересекающихся прямых 3x 2y 1 = 0,

4x 5y + 1 = 0 треугольник, площадь которого равна 3,5 кв. единиц.

Решение.

10

vk.com/club152685050

Уравнения искомых прямых имеют вид x 3y + с = 0. Коэффициент с определим, использовав площадь треугольника. Найдем координаты вершин треугольника, имеющего площадь 3,5; для чего решим следующие системы уравнений:

3x 2y 1 0,	3x 2y 1 0,		4x 5y 1 0,
		x 3y c 0;		x 3y c 0.
4x 5y 1 0;

Решая выписанные системы уравнений, получим координаты вершин соответственно:

А(1, 1), B 2c 3 / 7, 3c 1 / 7 , С 5c 3 / 7, 4c 1 / 7 .

Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника по известным координатам его вершин:

S 1/ 2 x1 y2 y3 x2 y3 y1 x3 y1 y2 .

Подставив в эту формулу найденные координаты вершин треугольника, получим выражение площади S = (c 2)2/ 14, по условию S = 3,5, поэтому (c 2)2 = 49, откуда получим два значения: с1 = 9, с2 = 5. Таким образом, уравнения искомых прямых будут иметь вид: x 3y + 9 = 0 и x 3y 5 = 0.

Ответ: x 3y + 9 = 0, x 3y 5 = 0.

Пример 3.

Даны вершины треугольника А(2, 2), В(3, 5) и С(5, 1). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине В.

Решение.

Чтобы составить уравнение перпендикуляра СD, опущенного на биссектрису угла B, необходимо знать угловой коэффициент этой биссектрисы, или (что то же самое) ее направляющий вектор. Направляющий вектор биссектрисы равен сумме (единичных) направляющих векторов сторон угла. Направляющий вектор стороны BA: (-1,3), стороны BC: (2,6). Соответствующие единичные вектора: (-1,3)/ 10 , (1,3)/ 10 , значит, направляющий вектор биссетрисы равен (0,6)/ 10 или (т.к. направляющий вектор определяется с точностью до множителя) (0,1). Тогда направляющий вектор перпендику — ляра к биссектрисе будет (1,0), т.е. эта прямая параллельна оси OX, откуда следует ее уравнение y=1.

Ответ. Уравнение перпендикуляра: y 1 = 0.

11

vk.com/club152685050

Пример 4.

Даны вершины треугольника А(12, 4), В(0, 5) и С( 12, 11). Найти: 1) длины сторон, 2) уравнения сторон, 3) уравнение высо-

ты, проведенной из вершины В, 4) длину этой высоты, 5) уравнение медианы, проведенной из точки А, 6) длину этой медианы, 7) уравнение биссектрисы угла С, 8) центр тяжести треугольника, 9) площадь треугольника, 10) угол С.

Указания.

1). Длины сторон треугольника определяем по формуле расстоя-

ния между двумя точками d x2 x1 2 y2 y1 2 . Ответ: АВ = 15, АС = 25, ВС = 20.

2). Каждая сторона треугольника проходит через две точки, поэтому для составления уравнений сторон нужно воспользоваться

формулой (y y1) / (y2 y1) = (x x1) / (x2 x1).

Ответ: АВ: 3x + 4y 20 = 0,	AC: 7x 24y 180 = 0,
BC: 4x 3y + 15 = 0.

3). Чтобы составить уравнение высоты, проведенной из точки В на сторону AC, необходимо знать угловой коэффициент этой высоты. Прежде всего следует определить угловой коэффициент АС и из

условия перпендикулярности k1 · k2 = 1 можно будет определить угловой коэффициент прямой BD, перпендикулярной к АС. Уравнение

высоты составить, пользуясь формулой y y0 = k(x x0). Ответ: 3x + 4y 20 = 0.

4). Для определения длины высоты BD воспользуемся формулой

расстояния от точки В до прямой АС: d Ax0 By0 C / A2 B2 . Ответ: BD = 12.

5). Чтобы составить уравнение медианы, нужно сначала найти координаты точки М, являющейся серединой отрезка ВС, для этого

применим формулу хм = (хв + хс)/ 2, yм = (yв + yс)/ 2, М( 6, 3). Далее можно написать уравнение медианы АМ, используя форму-

лу нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки. Ответ: АМ: x + 18y + 60 = 0.

6). Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками А и М.

12

vk.com/club152685050

Ответ: AM 513

7). Для составления уравнения биссектрисы угла С, необходимо использовать свойство биссектрисы угла. А именно, направляющий вектор биссектрисы равен сумме (единичных) направляющих векторов сторон. Направляющий вектор стороны CA: (24,7), стороны CB: (12,16). Соответствующие единичные вектора: (24,7)/25, (3,4)/5. Складывая их, получаем направляющий вектор биссектрисы: (39,27)/ 25. Тогда уравнение биссектрисы угла C имеет вид:

	x 12		y 11			или 9x 13 y 35 .
39
				27
Ответ:				СK:		9x 13y 35 = 0.

8). Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан и определяется по формулам:

x0 = (x1 + x2 + x3) / 3, y0 = (y1 + y2 + y3) / 3.

Ответ: О(0, 10 / 3).

9). Площадь треугольника находится по формуле:

S 1 / 2		AB, AC		, АВ = { 12, 9, 0},	АC = { 24, 7, 0}.
Ответ:		SABC = 150 кв. единиц.

10) Чтобы определить угол С, необходимо знать угловые коэффициенты сторон ВС и АС, которые образуют этот угол. Воспользовавшись уравнениями сторон ВС и АС, полученными в п. 2 определяем:

kBC = 4/3, kAC = 7/24, тогда tgC = (kBC kAC) / (1 + kBC · kAC) = 1/4, тогда угол С = arctg (1/4).

Второй способ:

		(CA, CB)								, где СА = {24, 7}, CB = {12, 16}.
C arccos			CA				CB

Ответ: Угол С = arctg (1/4).

Пример 5.

Написать каноническое и параметрическое уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей:

3x 4 y 5z 10 0,
	z 17 0.
6x 5y

Решение.

Найдем координаты направляющего вектора данной прямой: a = [n1, n2], где n1, n2 — векторы нормали к данным плоскостям,

13

vk.com/club152685050

n1 = {3, 4, 5},										n2	= {6, 5, 1}.
		По правилу нахождения векторного произведения:
a		i	j	k					4	5		3	5		3	4			21, 27, 9 1 / 3 7, 9, 3 .
		3	4	5							,			,
									5	1		6	1		6	5
		6	5	1

Итак, в качестве направляющего вектора можно взять а = {7, 9, 3}. Выберем теперь какую-нибудь точку на данной прямой. Для этого нужно придать конкретное значение одной из координат, тогда значение двух других определяется системой уравнений.

Положим, например z = 0, тогда исходные уравнения примут вид: 3x 4y 10 = 0, 6x 5y 17 = 0. Решая эту систему, получим x0 = 2,

y0 = 1. Следовательно, на прямой выбрана точка М0(2, 1, 0). Зная направляющий вектор а и точку М0, можно составить каноническое

уравнение прямой: (x 2)/ 7 = (y + 1)/ 9 = z / 3. Тогда параметрическое уравнение прямой примет вид: x = 2 + 7t, y = 1 + 9t, z = 3t.

Ответ. Каноническое уравнение: (x 2)/ 7 = (y + 1)/ 9 = z / 3. Параметрическое уравнение: x = 2 + 7t, y = 1 + 9t, z = 3t.

Пример 6.

Написать уравнение проекции прямой (x 2) / 6 = (y + 1) / ( 5) = = (z 5) / 4 на плоскость x 3y + 2z 7 = 0.

Решение.

Проекция прямой на плоскость представляет собой линию пересечения этой плоскости и плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости. Составим уравнение плос-

кости, проходящей через прямую (x 2) / 6 = (y + 1) / ( 5) = (z 5) / 4 перпендикулярно плоскости x 3y + 2z 7 = 0. Пусть M(x, y, z) — произвольная точка искомой плоскости, М0(2, 1, 5) — принадлежащая ей точка прямой, тогда векторы М0М = {x 2, y + 1, z 5}, а ={6, 5, 4},

n = {1, 3, 2} лежат в одной плоскости, поэтому их смешанное произ — ведение равно нулю, то есть М0М · а · n = 0 или в координатах:

x 2	y 1	z 5			0.
6	5	4
1	3	2

14

vk.com/club152685050

Раскладывая определитель по первой строке, получим уравнение плоскости: (x 2) · 2 (y + 1) · 8 + (z 5) ( 13) = 0, которое после упроще-

ний примет вид: 2x 8y 13z + 53 = 0.

Таким образом, искомая проекция определяется уравнениями:

x 3y + 2z 7 = 0, 2x 8y 13z + 53 = 0.

Ответ. Уравнение проекции, заданное пересечением плоскостей: x 3y + 2z 7 = 0, 2x 8y 13z + 53 = 0.

Пример 7.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2, 3, 5), перпендикулярно двум данным прямым:

(x 1) / ( 1) = (y 3) / 2 = (z + 5) / 2 , (x 2) / 6 = (y + 1) / 3 = (z + 7) / ( 2).

Решение.

Уравнение прямой ищем в виде (x 2) / m = (y + 3) / n = (z 5) / p. Коэффициенты m, n, p, определяемые с точностью до постоянного множителя, в силу условия перпендикулярности прямых должны удовлетворять системе двух уравнений:

( 1)m 2n 2 p 0,6m 3n 2 p 0.

Складывая и вычитая почленно эти уравнения получим

5m + 5n = 0, 3m 2n = 0, откуда m = n, m = (2 / 3) p. Полагая, например, р = 3, получим m = 2, n = 2. Следовательно, уравнение прямой принимает вид: (x 2) / 2 = (y + 3) / ( 2) = (z 5) / 3.

Ответ. Уравнение прямой (x 2) / 2 = (y + 3) / ( 2) = (z 5) / 3.

Пример 8.

Найти точку пересечения плоскости 3x 4y + 5z + 16 = 0 и прямой

x = 6 + 2t,

y = 7 t, z = 8 3t.

Решение.

Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости:

3( 6 + 2t) 4(7 t) + 5(8 3t) + 16 = 0.

После упрощения получим: 5t + 10 = 0, откуда t = 2. Из уравне-

ния прямой при t = 2 находим координаты точки пересечения x = 2, y = 5, z = 2.

Ответ. Искомой точкой пересечения является точка S( 2, 5, 2).

15

4. Варианты индивидуальных заданий

Вариант № 1

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и и перпендикулярно к прямой .

2. Через начало координат провести прямую так, чтобы она прошла на одинаковом расстоянии от точек и .

Вариант № 2

1. Даны две вершины треугольника , его высоты пересекаются в точке . Определить координаты третьей вершины.

2. Составить уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямой равно .

Вариант № 3

1. Средняя линия трапеции имеет уравнение . Составить уравнения оснований трапеции, если известно, что точка лежит на одном из оснований.

2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения высот и : и , где — точка пересечения высот.

Вариант № 4

1. Даны вершины треугольника . Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из вершины .

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми и лежит на прямой .

Вариант № 5

1. В равнобедренном треугольнике известно уравнение основания , уравнение одной из его боковых сторон и точка на другой боковой стороне. Вычислить расстояние от вершины при основании до боковой стороны.

2. На прямой найти точку, равноудаленную от точек и .

Вариант № 6

1. Даны вершины треугольника . Составить уравнения: а) трех сторон треугольника; б) медианы ; в) биссектрисы ; г) высоты .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой .

Вариант № 7

1. Составить уравнения катетов прямоугольного треугольника, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла (треугольник равнобедренный).

2. Через точку проведена прямая так, что ее расстояние от точки равно . Найти угловой коэффициент этой прямой.

Вариант № 8

1. Через точку пересечения прямых и провести прямую, которая: а) проходит через начало координат; б) параллельна оси абсцисс; в) проходит через точку .

2. Даны вершины четырехугольника . Найти точку пересечения его диагоналей и и вычислить угол между ними.

Вариант № 9

1. Диагонали ромба длиной в и единиц приняты за оси координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

2. Дано уравнение стороны треугольника и уравнения , двух его высот. Найти уравнения двух других сторон треугольника.

Вариант № 10

1. Даны середины сторон треугольника: . Составить уравнения сторон этого треугольника.

2. Уравнение одной из сторон угла , а уравнение биссектрисы . Найти уравнение второй стороны угла.

Вариант № 11

1. Пусть известны уравнения сторон треугольника : Найти точку пересечения его высот.

2. Даны вершины треугольника: . Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла .

Вариант № 12

1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника: и , а также уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

2. При каком значении параметра уравнения и определяют параллельные прямые.

Вариант № 13

1. Даны две вершины треугольника и и точка пересечения его высот . Составить уравнения сторон треугольника.

2. Даны две прямые: и . Найти точку, которая бы находилась на расстоянии 5 единиц как от одной, так и от другой прямой.

Вариант № 14

1. Вершинами треугольника служат точки и . Его медианы пересекаются в точке . Составить уравнение высоты треугольника, проходящей через вершину .

2. Определить расстояние между параллельными прямыми и .

Вариант № 15

1. Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон и , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке .

2. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты и для того, чтобы прямые проходили через одну и ту же точку?

Вариант № 16

1. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

2. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через центр тяжести треугольника со сторонами: .

Вариант № 17

1. Вычислить координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами .

2. Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми:

.

Вариант № 18

1. Даны вершины треугольника: . Найти угол между высотой и медианой, проведенными из вершины .

2. Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была равна 3-м квадратным единицам.

Вариант № 19

1. Найти углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

, , .

2. Отрезок, соединяющий точки и , точками и делится на три равные части. Найти точки и .

Вариант № 20

1. Составить уравнения сторон треугольника, для которого точки , и являются серединами сторон.

2. Дано уравнение одной из сторон квадрата и точка пересечения его диагоналей . Найти уравнения трех остальных сторон этого квадрата.

Вариант № 21

1. Найти проекцию точки на прямую, проходящую через точки и .

2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку и образующих с прямой угол .

Вариант № 22

1. Дана прямая и на ней две точки и с ординатами . Составить уравнение высоты треугольника .

2. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой , концы которого лежат на осях координат.

Вариант № 23

1. Известны уравнения двух сторон ромба: и , а также уравнение его диагонали . Найти уравнение двух других сторон ромба и его высоты.

2. Проверить, что точки служат вершинами трапеции и найти ее высоту.

Вариант № 24

1. Найти угол наклона прямой к положительному направлению оси , если известно, что отрезок прямой расположен между осями координат и точка делит этот отрезок в отношении (считая от оси абсцисс к оси ординат).

2. Пусть известны уравнения двух сторон квадрата: . Составить уравнения двух других сторон при условии, что точка лежит на стороне этого квадрата.

Вариант № 25

1. Даны две противоположные вершины ромба и и уравнение одной из его сторон . Найти уравнения остальных сторон ромба.

2. Дан треугольник с вершинами: . Написать уравнение медианы .

< Предыдущая		Следующая >

геометрия — Построить треугольник, зная высоту, медиану и биссектрису угла для вершины.

Пара доказываемых ниже лемм помогает нам сжато пояснить предлагаемую конструкцию. Если не указано иное, мы используем выражение «$\mathrm{угол\пространственная биссектриса}$» для обозначения $\mathrm{внутреннего\пространственного угла\пространственной биссектрисы}$ угла. $\mathbf{Лемма\space 1.1}$

Высота и медиана, опущенные из данной вершины всех разносторонних треугольников, лежат по обе стороны от биссектрисы внутреннего угла в этой вершине.

$\mathbf{Доказательство\space 1.1}$

Рассмотрим $\mathrm{Fig.\space 1}$, где $M, D$ и $H$ — соответствующие основания медианы, биссектрисы угла, а высота опущена из вершины $A$ разностороннего треугольника $ABC$.

Пусть $\измеренный угол B \gt \измеренный угол C$. Следовательно, $CA \gt AB$. Мы знаем, что по определению $BM = MC = \frac{1}{2}BC$. Мы также знаем, что $DC :BD = CA : AB$. Следовательно, $DC \gt BD$, а значит, $DC \gt \frac{1}{2}BC =MC$. $$\следовательно\quad M\пробел \mathrm{лежит\промежуток между}\пробел D\пробел \mathrm{и}\пробел C. \tag{1} $$

Поскольку $\измеренный угол B \gt \измеренный угол C$, мы имеем $\измеренный угол HAB \lt \измеренный угол CAH$. Это означает, что $\measuredangle HAB \lt \measuredangle DAB = \frac{1}{2}\measuredangle A$ или $H$ лежит между $B$ и $D$. $$\следовательно\quad H\пробел \mathrm{лежит\пробел между}\пробел B\пробел \mathrm{и}\пробел D \tag{2}$$ Утверждения (1) и (2) вместе доказывают лемму 1.1.

$\mathbf{Lemma\space 1.2}$

Если основания любых двух указанных выше прямых совпадают, то основание оставшейся прямой совпадает с основаниями двух других.

$\mathbf{Доказательство\space 1.2}$

Например, если основание медианы совпадает с основанием биссектрисы угла, мы имеем $$BD = DC \quad\стрелка вправо\quad \frac{BC\cdot AB}{AB+CA} = \frac{BC\cdot CA}{AB+CA} \quad\стрелка вправо\quad AB = CA. $$

Это доказывает, что треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной в точке $A$. В равнобедренном треугольнике основания всех трех упомянутых выше прямых совпадают.

Другие случаи можно доказать, используя аналогичные рассуждения.

$\mathbf{Лемма\пробел 2}$

Точка пересечения биссектрисы расширенного угла данной вершины разностороннего треугольника и серединного перпендикуляра к противоположной стороне этой вершины лежит на описанной окружности этого треугольника.

$\mathbf{Proof\space 2}$

Рассмотрим биссектрису угла $\measuredangle A$ (т.е. $AE$) и биссектрису стороны $BC$, показанную на $\mathrm{Рис. \пробел 2}$. Эти две линии встречаются в точке $F$. Пусть $\измеренный угол BCA = \phi$ и $\измеренный угол CAE = EAB = \alpha$. Тогда $\measuredangle CEF$, являющийся одним из внешних углов треугольника $AEC$, равен $\left( \alpha + \phi\right)$. Это также один из внешних углов треугольника $DFE$. Поэтому, $$\измеренный угол DFE = \alpha + \phi – 9о. \тег{4}$$ Уравнения (3) и (4) подтверждают, что треугольник $OFA$ равнобедренный. Таким образом, $OF = OA$ = окружность-радиус, то есть $F$ лежит на описанной окружности $ABC$.

Обратите внимание, что эта лемма неприменима к равнобедренным и равносторонним треугольникам, так как невозможно определить точку $F$.

$\mathbf{Построение}$

Построение треугольника $ABC$ осуществляется в два отдельных этапа. На первом этапе прямая, на которой лежит сторона $BC$, находится после разложения в пространстве отрезков, представляющих заданные высоту, биссектрису угла и медиану. На втором этапе описанная окружность $ABC$ строится после нахождения ее центра и точки, лежащей на его окружности. Две вершины $B$ и $C$ являются точками пересечения описанной окружности и прямой, содержащей сторону $BC$. $\mathbf{Этап\пространство 1}$

Мы используем тот факт, что сторона $BC$, высота и биссектриса угла образуют прямоугольный треугольник, чтобы расположить эти три прямые в пространстве, как показано на $\mathrm{Рис. \space 3}$. Сначала рисуется круг, диаметр которого равен $AD$, с центром в точке $P$, которая является серединой биссектрисы угла $AD$. Нарисована вторая окружность, имеющая длину высоты в качестве радиуса и $A$ в качестве центра. Любая из двух точек пересечения этих двух окружностей может быть выбрана как $H$, основание высоты. Прямая $HD$ содержит сторону $BC$.

Теперь постройте другую окружность с длиной медианы в качестве радиуса и $A$ в качестве центра, чтобы разрезать расширенный $HD$ в точках $M$ и $N$. В соответствии с леммой 1.1 мы должны выбрать $AM$ в качестве медианы. Если мы вместо этого выберем $AN$, мы поместим высоту и медиану на одну и ту же сторону биссектрисы угла. Выбор $AM$ в качестве медианы определяет $M$ как середину стороны $BC$.

$\mathbf{Stage\space 2}$

Проведите перпендикуляр $MF$ к $HD$ в точке $M$, чтобы пересечь биссектрису расширенного угла $AD$ в точке $F$, как показано на $\mathrm{Рис. .\пробел 4}$. Согласно лемме 2 $F$ лежит на описанной окружности искомого треугольника $ABC$. Следовательно, $AF$ является хордой описанной окружности, центр которой лежит на $EQ$, серединном перпендикуляре к $AF$. Кроме того, поскольку точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $MF$ перпендикулярна стороне $BC$, центр описанной окружности $ABC$ также лежит на стороне $MF$. Это означает, что точка пересечения $EQ$ и $MF$ является центром описанной окружности $O$ $ABC$. Теперь, чтобы завершить построение, нарисуйте описанную окружность, радиус которой равен $AO$, а центр – $O$, чтобы разрезать расширенную $HD$ в точках $B$ и $C$.

$\mathbf{Дополнительная\пространственная информация}$

Пусть для краткости высота, медиана и биссектриса равны $h$, $m$, $d$ соответственно.

Описанная выше конструкция дает единственный треугольник, если и только если $m \gt d \gt h \gt 0$. Случай, упомянутый в лемме 1.2, т. е. $m = d = h \gt 0$, где искомый треугольник либо равнобедренный, либо равносторонний, может привести к бесконечному числу решений. Сведение высоты, медианы и биссектрисы угла к одной линии делает этот случай недоопределенной задачей и позволяет стороне $BC$ иметь любое значение.

Этап 1 строительства мог быть осуществлен еще двумя способами. Во-первых, вместо уже упомянутого прямоугольного треугольника мы могли бы построить прямоугольный треугольник, образованный стороной $BC$, высотой и медианой, и соответственно продолжить. Во-вторых, поскольку одна из сторон обоих прямоугольных треугольников имеет высоту, можно также скопировать один из них на другой, соблюдая лемму 1.1. Последний метод имеет преимущество перед двумя другими, потому что нам нечего исключать. 92} \tag{5}$$

Этот треугольник имеет ту же высоту и медиану, что и искомый треугольник. Но предписанная длина биссектрисы угла соответствует длине биссектрисы внешнего угла. Такой исход возможен и правилен, поскольку лемма 1.1 неприменима к расслоению высоты, медианы и биссектрисы внешнего угла. Если значения $h$, $m$ и $d$ поддерживают знак равенства (5) (например, $h=12$, $m=20$ и $d=15$), полученный треугольник — вырожденный треугольник с $BC=0$.

Объяснение урока: Медианы треугольников

В этом объяснении мы научимся определять медианы треугольника и использовать их свойства пропорциональности, чтобы найти недостающую длину.

Медианы треугольников — это специальные линии с особыми свойствами. Давайте начнем с определением медианы.

Определение: Медиана

Медианы треугольника — это три отрезка, идущие от каждой вершины к середина противоположной стороны.

На следующей диаграмме показан пример, содержащий медиану треугольника и две другие линии в треугольнике, которые не являются медианами.

Так как в треугольнике 3 вершины, то и 3 медианы. Когда мы рисуем все мы видим, что все они пересекаются. Это общее свойство медиан которые мы изложим в следующей теореме.

Теорема: совпадение медиан треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (то есть они параллельны). Точка их пересечения называется точкой совпадение медиан.

Другое свойство медиан треугольника состоит в том, что относительное положение точка пересечения медиан всегда одна и та же. Действительно, точка совпадение расположено на двух третях длины медианы от вершина.

Давайте представим себе это. Мы можем разделить каждую медиану на три трети, как показано на диаграмма. Две трети находятся между вершиной и точкой пересечения, и одна треть находится между точкой пересечения и серединой сторона.

Эквивалентно это означает, что длина сегмента между вершиной и точка совпадения в два раза больше, чем между точкой совпадения и середина противоположной стороны.

Это можно найти и с помощью алгебры.

Если 𝐴𝑃=23⋅𝐴𝐸 и 𝑃𝐸=13⋅𝐴𝐸, то из второго уравнения (умножая обе части на 3) получаем 𝐴𝐸=3𝑃𝐸, и заменив 𝐴𝐸 на 3𝑃𝐸 в первое уравнение, получаем 𝐴𝑃=23⋅3𝑃𝐸, что дает 𝐴𝑃=2𝑃𝐸.

Подведем итоги.

Теорема: положение точки пересечения медиан треугольника

Расстояние от каждой вершины треугольника до точки пересечения его medians составляет две трети длины медианы от этой вершины.

Эквивалентно расстоянию от точки пересечения медиан до вершина в два раза больше, чем расстояние до противоположной средней точки.

Давайте посмотрим на наш первый пример, где нам нужно использовать свойство, указанное в эта теорема о положении точки пересечения медиан треугольник.

Пример 1: Свойства точки пересечения медиан треугольника

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝑀 является точкой совпадение его медиан. Если 𝐴𝐷 медиана, тогда 𝐴𝑀=𝑀𝐷.

Ответ

Напомним, что медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Нарисуем все медианы треугольник 𝐴𝐵𝐶 с точкой 𝑀 совпадение. 𝐴𝐷 — медиана, соединяющая вершину 𝐴 с 𝐷; следовательно, 𝐷 — середина стороны 𝐵𝐶.

Мы знаем из теоремы о точке пересечения трех медиан треугольника, что расстояние от каждой вершины до точки пересечения медиан составляет две трети длины медианы от этой вершины. Это значит у нас тут 𝐴𝑀=23𝐴𝐷.

Это означает, что если мы разрежем 𝐴𝐷 на три равных сегмента, 𝐴𝑀 будет сделан из двух из них. Следует, что 𝑀𝐷 состоит из третьего. Поэтому, 𝐴𝑀 в два раза длиннее 𝑀𝐷.

Следовательно, 𝐴𝑀=2𝑀𝐷.

Во втором примере нам нужно определить медианы, а затем использовать свойство точка пересечения медиан, чтобы найти длину от вершины до точки согласия.

Пример 2. Определение медиан и использование свойства их точки пересечения с Найдите недостающую длину

Найдите длину 𝐴𝑀, учитывая, что 𝐴𝐸=54.

Ответ

Глядя на диаграмму, мы видим, что оба 𝐴𝐸 и 𝐶𝐷 — отрезки, соединяющие вершину с середина противоположной стороны. Следовательно, 𝐴𝐸 и 𝐶𝐷 медианы треугольника 𝐴𝐵𝐶. Таким образом, точка 𝑀 является точкой совпадения медиан треугольника 𝐴𝐵𝐶.

Напомним, что длина 𝐴𝑀, т. е. расстояние от вершины до точки пересечения составляет две трети от медианы 𝐴𝐸: 𝐴𝑀=23⋅𝐴𝐸=23⋅54=36.

Таким образом, длина 𝐴𝑀 равна 36.

Теперь рассмотрим пример, где мы используем наши знания о медианах треугольник, чтобы составить и решить линейное уравнение.

Пример 3. Использование свойств точки пересечения медиан Треугольник для формирования и решения линейного уравнения

В △𝐾𝑀𝐻, 𝐾𝑄=2 и 𝑄𝑃=(5𝑥−7). Найдите 𝑥.

Ответ

В треугольнике 𝐾𝑀𝐻 точка 𝑄 совпадение его медиан. 𝐾 является вершиной и 𝑃 — середина противоположной стороны, 𝐻𝑀. Напомним, что расстояние от каждой вершины треугольника до точки совпадение его медиан составляет две трети общей длины медианы из этой вершины. Следовательно, для медианы 𝐾𝑃 имеем 𝐾𝑄=23𝐾𝑃 и 𝑄𝑃=13𝐾𝑃.

Как 𝐾𝑄=2×13𝐾𝑃, Мы видим, что 𝐾𝑄=2𝑄𝑃.

В вопросе сказано, что 𝐾𝑄=2 и 𝑄𝑃=5𝑥−7.

Отсюда имеем 2=2(5𝑥−7).

Деление обеих частей этого уравнения на 2 дает 1=5𝑥−7.

Прибавление 7 к обеим сторонам дает 8=5𝑥.

И, наконец, разделив обе части на 5, находим, что 𝑥=85=1,6.

Теперь посмотрим на медианы прямоугольного треугольника. Помните, что право треугольник является половиной прямоугольника, как показано на следующей диаграмме, где 𝐴𝐵𝐶𝐷 — прямоугольник, а △𝐴𝐵𝐶 и △𝐶𝐷𝐴 — конгруэнтные прямоугольные треугольники.

В △𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐸 является медианой. В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐵𝐸 составляет половину диагонали. Так как диагонали прямоугольников делят друг друга пополам (это свойство параллелограмма) и равны по длине (это свойство прямоугольники; это происходит от того, что △𝐴𝐵𝐶 и △𝐶𝐷𝐴 конгруэнтны), имеем 𝐵𝐷=𝐴𝐶, поэтому 12𝐵𝐷=12𝐴𝐶, то есть 𝐵𝐸=𝐴𝐸=𝐸𝐶.

Мы доказали следующее свойство.

Теорема: длина медианы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной из вершины правого треугольника угол равен половине длины гипотенузы треугольника.

Стоит отметить, что одно из следствий этой теоремы состоит в том, что медиана, проведенная из вершины прямого угла всегда делит прямоугольный треугольник на два равнобедренные треугольники.

Давайте воспользуемся этой последней теоремой в нашем следующем примере и одновременно обнаружим его следствием в специальном прямоугольном треугольнике, а именно, 30∘-60∘ прямоугольный треугольник.

Пример 4. Нахождение длины меньшей стороны прямоугольного треугольника с углами 30°-60° с помощью свойства его медианы, проведенной под прямым углом

Определите длины 𝐵𝐷 и 𝐴𝐵.

Ответ

Из диаграммы видно, что △𝐴𝐵𝐶 — прямоугольный треугольник в точке 𝐵, а поскольку 𝐷 — середина 𝐴𝐶, 𝐵𝐷 — медиана △𝐴𝐵𝐶 нарисовано под прямым углом.

Напомним, что в прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной из вершина прямого угла равна половине длины гипотенуза треугольника. Следовательно, у нас есть 𝐵𝐷=12𝐴𝐶=12×49=24.5.cm

Нас также просят найти длину 𝐴𝐵. Мера угла при вершине 𝐶 указана на диаграмме: это 30∘. Так как угол в 𝐵 — прямой угол, это означает, что мера угла при вершина 𝐴 равна 180−(30+90)=60∘. Кроме того, как мы нашли выше, что 𝐵𝐷=12𝐴𝐶, это означает, что 𝐵𝐷=𝐴𝐷.

Значит, △𝐴𝐵𝐷 равнобедренный, значит, два угла, образованные каждой конгруэнтной стороной и третьей стороной, равны, то есть 𝑚∠𝐴𝐵𝐷=𝑚∠𝐴=60.∘

Это означает, что третий угол в △𝐴𝐵𝐷 также имеет меру 60∘ (поскольку 180−(60+60)=60∘), и поэтому △𝐴𝐵𝐷 равносторонний. Таким образом, у нас есть 𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐴𝐷=24.5.cm

Обратите внимание, что в последнем примере мы используем тот факт, что △𝐴𝐵𝐷 равнобедренный, чтобы доказать, что 𝑚∠𝐴𝐵=60∘. Мы могли бы также заметили, что △𝐵𝐷𝐶 равнобедренный, Который означает, что 𝑚∠𝐷𝐵𝐶=𝑚∠𝐶=30. ∘

Отсюда, как 𝑚∠𝐴𝐵𝐷=90−30=60.∘

Подытожим наши выводы из последнего примера.

Теорема: Длина меньшей стороны в прямоугольном треугольнике 30°-60°

В треугольнике 30°-60° прямоугольного треугольника, длина меньшей стороны (т. е. стороны, противоположной угол 30∘) равен половине длина гипотенузы треугольника.

В нашем последнем примере мы будем использовать свойства медиан и их точку согласие на решение задачи по геометрии.

Пример 5. Нахождение периметра треугольника с помощью медиан треугольника

Учитывая, что 𝐴𝐷=9см и 𝐸𝐵=𝐴𝐵, найдите периметр △𝑀𝐷𝐸.

Ответ

Нас попросили найти периметр △𝑀𝐷𝐸. Заметим, что длины 𝐶𝐷 и 𝐷𝐵 отмечены на диаграмме как равны, поэтому 𝐷 является средней точкой. Сходным образом, 𝐶𝐸=𝐸𝐴, поэтому 𝐸 также является средней точкой. Следовательно, 𝐸𝐷 — это отрезок, соединяющий середины двух сторон △𝐴𝐵𝐶, а 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸, которые соединяют каждую вершину △𝐴𝐵𝐶 с середина противоположной стороны, две медианы △𝐴𝐵𝐶.

Напомним, что теорема о середине треугольника утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника параллельны третьей стороне и равны половину своей длины. 𝐸𝐷 поэтому параллелен 𝐴𝐵 и составляет половину его длины; то есть половина от 12 см, или 6 см.

Теперь мы можем найти длину 𝑀𝐸 и 𝑀𝐷, вспомнив, что расстояние от каждого вершины треугольника до точки пересечения его медиан составляет две трети длина медианы от этой вершины. Отсюда следует, что расстояние от точки совмещения с серединой одной стороны составляет одну треть длины медиана от вершины, противоположной этой стороне. Следовательно, у нас есть 𝑀𝐸=13𝐸𝐵 и 𝑀𝐷=13𝐴𝐷.

Дано, что 𝐸𝐵=𝐴𝐵 и указано на на схеме 𝐴𝐵=12см. Следовательно, 𝐸𝐵=12см. Нам также дано, что 𝐴𝐷=9см. Подставляя эти значения в приведенные выше уравнения, мы получаем 𝑀𝐸=13×12=4см и 𝑀𝐷=13×9=3.