Вычислить используя свойства определителя: Определитель матрицы или просто определитель и его вычисление

3. Вычисление определителя порядка n

Вычисление определителей произвольного порядка можно выполнять, используя их разложение по строке или столбцу, аналогично тому, как это сделано в случае определителя третьего порядка. При этом вычисление определителя порядка n сводится к вычислению определителей порядка n-1. Разложение определителей порядка n-1 сводит его вычисление к вычислению определителей порядка n-2 и т.д. до тех пор, пока не получим определители третьего или второго порядков, которые можно вычислить, используя приведенные выше правила.

Пример. Вычислить определитель:

.

Вычислим определитель разложив его по третьей строке.

==

=+

+(=

==0.

Обратим внимание на то, что при разложении определителя удобно выбирать ту строку (или столбец), которая содержит много нулей: выпадает необходимость вычислений соответствующих им алгебраических дополнений, так как умножение на нуль любого числа все равно дает нуль.

Пусть — квадратная матрица порядка n. Представим ее как систему n арифметических векторов-строк:

==.

Основные свойства определителей приведены в таблице на следующей странице. Опираясь на эти свойства, можно свести вычисление определителя к последовательности однотипных действий.

Прежде всего, обратим внимание на то, что при транспонировании столбцы матрицы становятся строками, а строки столбцами. Такая операция, согласно свойству симметричности, не меняет определителя этой матрицы. Поэтому, все остальные свойства (аддитивность, однородность, антикоммутативность), касающиеся строк, в равной мере относятся и к столбцам.

Опираясь на свойства определителей, выведем следующее важное утверждение.

Утверждение. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда система строк ( столбцов) матрицы линейно зависима.

Напомним, что система векторов является линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть представлен линейной комбинацией других ее векторов. Пусть система векторов строк матрицы A линейно зависима. Одна из ее строк является линейной комбинацией других. Пусть это будет первая строка:

Основные свойства определителей

Симметричность	Аддитивность по строкам	Однородность по строкам	Антикоммутативностьпо строкам
	=+	=	= —

==

Используя свойства аддитивности и однородности определителей, запишем:

++…. ++….+(*)

Каждый из определителей в правой части равенства (*) содержит 2 одинаковые строки.

Рассмотрим A_i=. Если поменять местами первую иi-тую строку в этом определителе, то он не изменится, так как эти строки состоят из одинаковых чисел. Но согласно свойству антикоммутативности, определитель при этом должен сменить знак:

A_i = — A_i.

Но существует единственное число, для которого справедливо подобного рода равенство – это нуль. Следовательно, A_i=0. Но тогда и все остальные определители в правой части равенства (*) равны нулю. Из этого вытекает, что 0.

Из рассмотренного утверждения вытекает следствие:

Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить любую линейную комбинацию других строк (столбцов) определителя, то определитель не изменится.

Следствие может быть использовано для сведения определителя к треугольному или диагональному виду, после чего вычисление определителя становится очень простым.

Покажем на примере, как вычисляются определители треугольных и диагональных матриц.

Пример.

.

Вычисляя определитель, мы последовательно раскладывали определители 4, 3, 2-го порядков по первому столбцу. Процедура вычисления не изменилась бы, если бы матрица определителя была нижнетреугольной или диагональной.

Вывод. Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Любой определитель, не равный нулю, можно свести к вычислению определителя треугольного или диагонального вида, пользуясь элементарными преобразованиями его матрицы.

№ п/п	Элементарные преобразования матрицы определителя	Операции с определителями
1	Умножение строки (столбца) на любое, отличное от нуля, число x.	Умножить определитель на число .
2	Деление строки на любое, отличное от нуля, число x.	Умножить определитель на число x.
3	Сложение любой строки (столбца) с линейной комбинацией других строк (столбцов).	Определитель не меняется.
4	Изменение порядка следования строк (столбцов)	Поменяв местами две любые строки (столбца) определителя, поставить перед определителем знак «-».

Пример.

Вычислить определитель, сведя его к треугольному виду:

======

==.

В фигурных скобках указаны выполняемые действия. Например, означает: из третьей и четвертой строк вычли вторую строку.

Если порядок матрицы велик, то сведение ее к треугольному виду удобно выполнять по следующему алгоритму:

1. Выделить разрешающий элемент. При вычислении определителя – это элемент, стоящий на главной диагонали .

2. Переписать строку, в которой стоит разрешающий элемент (

   разрешающую строку).

3. В столбце под разрешающим элементом (разрешающем столбце) записать нули.

4. Остальные элементы, стоящие ниже разрешающей строки и правее разрешающего столбца, вычислить по формуле: , (), которую легко запомнить какправило прямоугольника:

Натягиваем прямоугольник так, чтобы одна его диагональ соответствовала разрешающему элементу и вычисляемому элементу. На месте вычисляемого элемента записываем разность вычисляемого элемента и дроби, в числителе которой — произведение элементов, стоящих на другой диагонали прямоугольника, а в знаменателе – разрешающий элемент.

При вычислении определителя матрицы n-ного порядка последовательность действий 1- 4 выполняется за n—1 шаг: на первом шаге в качестве разрешающего элемента выбирают , на втором -и т.д., на шаге (n—1) — .

Применим данный алгоритм к решению следующего примера.

Пример.

Вычислить определитель матрицы:

Решение

Шаг 0. Запишем определитель: =

Шаг 1. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

=

Шаг 2. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

=

Шаг 3.

Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

=

Шаг 4. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

= .

Матрица имеет треугольный вид, следовательно, ее определитель равен произведению диагональных элементов:

=

Замечание. Правило прямоугольника широко применяется в Линейном программировании – специальной дисциплине, которая изучается на старших курсах студентами экономического профиля.

Лекция Определители. Определители второго и третьего порядков Основные свойства определителей Вычисление определителей.

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

Министерство образования и науки Украины

ГВУЗ „Донецкий национальный технический университет”

Улитин Г. М., Гончаров А.Н.

КУРС ЛЕКЦИЙ

по высшей математике

Части І — ІІ

 

Учебное пособие

Рекомендовано

Ученым советом ГВУЗ „ДонНТУ”

Протокол № 5 от 22.05.09

Донецк  2009

 

П Р Е Д И С Л О В И Е

В связи с существенным уменьшением аудиторных занятий по высшей математике в технических университетах возникла необходимость компактного изложения программного материала.

Настоящий конспект лекций написан на основе чтения авторами лекций на механическом факультете ДонНТУ, в связи с чем некоторые рас-смотренные вопросы и примеры носят характер приложений к задачам механики. Их количество незначительно и они могут либо совсем не рассматриваться, либо могут быть заменены на соответствующие согласно специальностям. Такие вопросы, а также примеры повышенной трудности отмечены знаком *.

Излагаемый материал в данном пособии, по возможности, имеет вид самостоятельных блоков, т.е. каждая лекция имеет завершенную логическую структуру, например, «Определители», «Кривые второго порядка» и т. д. Это создаёт для студентов более благоприятные условия для повторения пройденного материала, а также для изучения пропущенных лекций.

Курс лекций рассчитан на первые два семестра при лекционной нагрузке 3 часа в неделю. При меньшей нагрузке некоторые темы можно не рассматривать, если они являются не основными для выпускающей кафедрой, либо вынести на самостоятельное изучение. Естественно, некоторые вопросы можно объединять и сокращать. Однако все такие преобразования необходимо выполнять, не нарушая целостность излагаемого материала. В частности, для некоторых экономических специальностей необходимо рассмотреть дополнительные темы: «Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений», «Линейные преобразования», ”Квадратичные формы». Такие темы можно рассмотреть за счет исключения некоторых других тем, например, «Полярная система координат», «Поверхности».

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Лекция № 1. Тема 1 : Определители

1.1. Определители второго и третьего порядков

 

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

 (1)

Если первое уравнение системы (1) умножить на а₂₂ , второе на а₁₂ и полученные результаты сложить, то получим

Предположим, что выражение в скобках отлично от нуля, тогда находим

 (2)

Аналогично получаем

 (3)

Определение 1.  Определителем второго порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из четырех элементов, и определяемое по правилу

 (4)

Здесь   члены определителя, а  элементы определителя.

С учетом определения (4) формулам (2) и (3) можно придать более компактный вид

 где 

Пример 1. Вычислить

Аналогично, рассматривая систему трёх уравнений с тремя неиз—вестными, приходим к определению определителя третьего порядка.

Определение 2. Определителем третьего порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из девяти элементов, и определяемое по правилу

. (5)

Замечание. Выражение (5) является громоздким. Его запомнить будет проще, если использовать следующую схему вычислений

 



 

Пример 2. Вычислить

1.2. Основные свойства определителей

Все рассмотренные свойства легко проверить непосредственно на примере определителей третьего порядка, хотя они справедливы и в общем случае.

1. При замене столбцов строками с тем же номером (при транспони-ровании) определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы у определителя равноправны.

Таким образом, требуется доказать равенство

2. Определитель, содержащий строку (столбец) из нулей, равен нулю.

Действительно, так как в этом случае каждый член определителя содержит множителем элемент этой строки (или столбца), равный нулю.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказывается непосредственно, как и свойство 1.

4. Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.

Сделаем перестановку этих строк. Тогда из свойства 3 получим 

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Действительно, это можно сделать, так как этот множитель содержится в каждом члене определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбцы) равен нулю.

Доказательство этого свойства следует из свойств 45.

7. Если все элементы строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, каждый из которых имеет строку (столбец) из соответствующих слагаемых элементов.

Например,

Доказывается непосредственно, исходя из определения определителя третьего порядка.

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответст-вующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель своего значения не изменит.

Доказательство следует из свойств 67.

1.3. Вычисление определителей

Определение 3. Алгебраическим дополнением  некоторого элемента  данного определителя называется определитель, получаемый при вычеркивании из данного определителя строки и столбца, содержащих этот элемент, и взятый со знаком .

Пример 1. Найти  и  определителя 

Тогда имеет место следующая

Теорема.  Пусть в некотором определителе произвольно выбрана строка (столбец). Тогда сумма произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна значению определителя.

Например, для строки 

для столбца 

Приведенные формулы легко доказать непосредственно для любых .

Замечание 1. Из теоремы видно, что вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Анало-гично, исходя из этого факта, можно получить определение определителя п-го порядка через определитель (п  1)-го порядка.

Например, для определения определителя 4-го порядка имеет место формула

 (6)

где   определители третьего порядка.

Замечание 2. Используя свойство 8 определителей, можно упростить их вычисление, делая в строке (столбце) все элементы равные нулю, кроме одного.

Пример 3. Вычислить определитель .

1 шаг: Прибавим ко 2-ому столбцу третий столбец;

2 шаг: Прибавим к 4-ому столбцу 3-й столбец, умноженный на 2:

В результате во 2-й строке остался один элемент , неравный нулю.

Воспользуемся формулой (6):

 

 

Свойства определителей — Свойства, формулы, примеры

Свойства определителей нужны для нахождения значения определителя с наименьшими вычислениями. Свойства определителей основаны на элементах, операциях со строками и столбцами, и это помогает легко найти значение определителя.

В этой статье мы узнаем больше о свойствах определителей и рассмотрим некоторые решенные примеры для лучшего понимания концепции.

1.	Каковы свойства определителей?
2.	Свойства определителей
3.	Часто задаваемые вопросы о свойствах определителей

Каковы свойства определителей?

Свойства определителей помогают легко вычислить значение определителя с помощью простых шагов и с минимальными вычислениями. Вот семь важных свойств определителей.

1. Свойство обмена: Значение определителя остается неизменным, если поменять местами строки или столбцы определителя.
2. Sign Свойство: Знак значения определителя меняется, если поменять местами любые две строки или любые два столбца.
3. Zero Свойство: Значение определителя равно нулю, если любые две строки или любые два столбца содержат одинаковые элементы.
4. Свойство умножения: Значение определения становится в k раз прежним значением определителя, если каждый из элементов определенной строки или столбца умножается на константу k.
5. Сумма Свойство: Если несколько элементов строки или столбца выражены в виде суммы термов, то определитель может быть выражен как сумма двух или более определителей.
6. Свойство инвариантности: Если к каждому элементу строки и столбца определителя добавить равнократные элементы другой строки или столбца определителя, то значение определителя останется неизменным. Это может быть выражено в виде формулы R _i  → R _i  + kR _j  , или C _i  → C _i  + kC _j .
7. Треугольность Свойство: Если элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, то значение определителя равно произведению элементов диагонали матрицы.

Свойства определителей

Давайте подробно проверим следующие семь свойств определителя. Принцип работы и формулы, а также объяснение каждого из свойств также представлены ниже.

1.

Свойство обмена

Значение определителя остается неизменным, если поменять местами строки или столбцы определителя.

A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\), A’ = \(\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3}\end{vmatrix)

Det(A) = Det(A’)

Из этого свойства следует, что если строки и столбцы матрицы поменять местами, то получается транспонирование матрицы и значение определителя и определитель транспонирования равны равный.

2. Свойство знака

Знак значения определителя меняется, если поменять местами любые две строки или любые два столбца.

A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\), B = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix0}5)

Det(A) = -Det(B)

Значение определителя меняет знак только в том случае, если строка или столбец меняются местами один раз. В приведенной выше матрице A вторая строка была заменена на третью строку, чтобы получить матрицу B, и мы имеем Det(A) = -Det(B). Если значение определителя равно D, а строки или столбцы меняются местами n раз, то новое значение определителя равно (-1) ⁿ D.

3. Свойство нуля

Значение определителя равно нулю, если любые две строки или любые два столбца содержат одни и те же элементы.

A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\)

Здесь элементы первой и второй строк идентичны. Следовательно, значение определителя равно нулю.

Det(A) = 0

4. Свойство умножения

Значение определения становится в k раз прежним значением определителя, если каждый из элементов конкретной строки или столбца умножается на константу k.

A = \(\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}\), B = \(\begin{vmatrix}ka_1&kb_1&kc_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_5&c_3\end{vma0}\end)

Det(B) = k× Det(B)

Элементы первой строки умножаются на константу k, и значение определителя также умножается на константу k. Это свойство помогает взять общий множитель из каждой строки или столбца определителя. Также, если соответствующие элементы любых двух строк или столбцов равны, то значение определителя равно нулю.

5. Свойство суммы

Если несколько элементов строки или столбца выражены в виде суммы термов, то определитель может быть выражен как сумма двух или более определителей.

\(\begin{vmatrix}a_1+b_1&a_2 + b_2&a_3+b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}\) = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2 &a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&dma_3}\d_2&dmatrix}\ \) + \(\begin{vmatrix}b_1& b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}\)

Элементы первой строки представляют собой сумму термов, которую можно разбить на два разных определителя. Кроме того, новые определители также имеют те же вторую и третью строки, что и предыдущий определитель.

6. Свойство инвариантности

Если к каждому элементу строки и столбца определителя добавить равнократные элементы другой строки или столбца определителя, то значение определителя останется неизменным. Это может быть выражено в виде формулы как R _i  → R _i  + kR _j  , или C _i  → C _i  + kC _j .

A = \(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\), B = \(\begin{vmatrix}a_1+kc_1&a_2+kc_2&a_3+kc_3\\b_1&b_2&b&c&c\\_&end {vmatrix}\)

Det(A) = Det(B)

Элементы первой строки матрицы A заменены суммой элементов первой строки, а третья строка умножена на константу чтобы получить новую матрицу B. Здесь и после этой операции определитель A равен определителю B.

7. Свойство треугольности

Если элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, то значение определителя равно произведению элементов диагональной матрицы.

\(\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\0&b_2&b_3\\0&0&c_3\end{vmatrix}\) = \(\begin{vmatrix}a_1&0&0\\a_2&b_2&0\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}\) = a _{61  1 b 2  c 3}

Похожие статьи

Следующие темы помогут лучше понять свойства определителей.

• Свойства матриц
• Типы матриц
• Добавление матриц
• Умножение матриц
• Транспонирование матрицы

Часто задаваемые вопросы о свойствах определителей

Каковы свойства определителей?

Три важных свойства определителей заключаются в следующем. .

• Свойство 1: Строки или столбцы определителя можно поменять местами без изменения значения определителя.
• Свойство 2: Строку или столбец определителя можно умножить на константу или взять общий множитель из элементов строки или столбца.
• Свойство 3: две одинаковые строки или столбцы определителя делают значение определителя равным нулю.

Каково использование свойств определителей?

Свойства определителей позволяют легко найти значение определителя с минимальными вычислениями. На основе элементов и операций со строками и столбцами можно легко вычислить значение определителя.

Чем свойства определителей отличаются от свойств матриц?

Свойства определителей отличаются от свойств матриц настолько, насколько определитель отличается от матрицы. Например, в определителе элементы определенной строки или столбца можно умножить на константу, а в матрице умножение матрицы на константу умножает каждый элемент матрицы.

Как использовать свойства определителей?

Мы можем использовать различные свойства определителей для решения различных математических задач в зависимости от задачи и свойств, необходимых для решения задач.

Объяснение урока: Свойства определителей

В этом объяснении мы научимся определять свойства определителей и использовать их для решения задач.

Определитель квадратной матрицы — это полезное число, которое может помочь нам определить информацию об этой матрице и решить уравнения с матрицами. Хотя мы можем найти определитель любой квадратной матрицы, в этом объяснении мы сосредоточимся исключительно на матрицах 2×2 и 3×3.

Начнем с того, что вспомним, как вычислять определители этих двух разных размеров матриц.

Определение: определитель матрицы два на два

Определитель матрицы 2×2 (записывается как |𝐴| или det(𝐴)) — это разность произведений элементов на ее диагоналях.

Определитель матрицы 𝑎𝑏𝑐𝑑 равен |||𝑎𝑏𝑐𝑑|||=𝑎𝑑−𝑏𝑐.

Аналогичным образом можно найти определитель матрицы 3×3.

Определение: определитель матрицы три на три

Если 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, тогда мы можем вычислить определитель 𝐴, расширив строку 𝑖, |𝐴|=(−1)𝑎|𝐴|=(−1)𝑎|𝐴|+(−1)𝑎|𝐴|+(−1)𝑎|𝐴|,  или развернув столбец 𝑗, |𝐴|=(−1)𝑎|𝐴|=(−1)𝑎|𝐴|+(−1)𝑎|𝐴|+(−1)𝑎|𝐴|,  где 𝐴 — минор матрицы 𝐴, полученный удалением строки 𝑖 и столбца 𝑗 из матрицы 𝐴.

Это можно распространить на любую квадратную матрицу. Формула для оценки определителя может включать множество вычислений; это означает, что можно легко сделать ошибки. Используя определение определителя, мы можем сформулировать и доказать некоторые полезные свойства, облегчающие нахождение значения определителя.

Мы начнем с перечисления свойств определителя, прежде чем вдаваться в подробности о каждом из них.

Свойства: определители матриц

1. Если 𝐴 — любая квадратная матрица порядка 𝑛×𝑛 и 𝑘∈ℝ, то |𝑘𝐴|=𝑘|𝐴|. 
2. Если 𝐴 — любая квадратная матрица, то |𝐴|=|𝐴|.
3. Если 𝐴 и 𝐵 — квадратные матрицы одного порядка, то |𝐴𝐵|=|𝐴||𝐵|.
4. Определитель любой квадратной треугольной матрицы является произведением всех элементов на ее главной диагонали.

Важно понимать, что каждое свойство, которое мы будем обсуждать, работает для любой квадратной матрицы, независимо от ее размера. Однако для целей этого объяснения мы будем работать только с матрицами 2×2 и 3×3.

Можно доказать все четыре свойства из определения определителя. Мы докажем эти свойства для матриц более низкого порядка.

Начнем с первого свойства. Пусть 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎, а 𝑘 — скалярное значение. Тогда определитель 𝑘𝐴 определяется выражением | 𝑘𝐴 | = || 𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎 || = ||| 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎 ||| = (𝑘𝑎) (𝑘𝑎) — (𝑘𝑎) (𝑘𝑎) = 𝑘 (𝑎𝑎 — 𝑎𝑎) = 𝑘 | 𝐴 | . 100005

Мы также можем доказать это для матрицы 3 × 3 𝐴 и скаляра 𝑘, вычислив определитель, разложив первую строку следующим образом: | 𝑘𝐴 | = |||| 𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 |||| = ||||| 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎 |||| = ( — 1) 𝑘𝑎 ||| 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎 |||+( — 1) 𝑘𝑎 ||| 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎 |||+( — 1) 𝑘𝑎 ||| 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎 ||| = ( — 1) 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑎 — 𝑘𝑎𝑎+( — 1) 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑎 — 𝑘𝑎𝑎+( — 1) 𝑘𝑎𝑘𝑎𝑎 — 𝑘𝑎𝑎 .  

Затем мы можем вынести значение 𝑘 и использовать определение определителя 𝐴: |𝑘𝐴|=𝑘(−1)𝑎(𝑎𝑎−𝑎𝑎)+(−1)𝑎(𝑎𝑎−𝑎𝑎)+(−1)𝑎(𝑎𝑎−𝑎𝑎)=𝑘|𝐴|.

Доказательство для матриц более высокого порядка очень похоже.

Для второго свойства, если 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎, то транспонирование 𝐴 определяется как Мы можем оценить определитель транспонирования следующим образом: | 𝐴 | = || 𝑎𝑎𝑎𝑎 || = 𝑎𝑎 — 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎- = | 𝐴 | .

для третьему свойству положим

Затем мы можем найти 𝐴𝐵 следующим образом: 𝐴𝐵 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏. 

Следовательно, мы можем найти определитель 𝐴𝐵 следующим образом: | 𝐴𝐵 | = ||| 𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏 ||| = (𝑎𝑏+𝑎𝑏) (𝑎𝑏+𝑎𝑏) — (𝑎𝑏+𝑎𝑏) (𝑎𝑏+𝑎𝑏) = 𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏- 𝑎𝑏𝑎𝑏 — 𝑎𝑏𝑎𝑏 — 𝑎𝑏𝑎𝑏 — = 𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏 — 𝑎𝑏𝑎𝑏 — 𝑎𝑏𝑎𝑏.   

Затем мы можем разложить и упростить следующим образом: | 𝐴𝐵 | = 𝑎𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑎𝑏−𝑎𝑏𝑎𝑏-𝑎𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎 (𝑏𝑏 — 𝑏𝑏) −𝑎𝑎 (−𝑏𝑏+𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 — 𝑎𝑎) (𝑏𝑏 — 𝑏𝑏) = | 𝐴 || 𝐵 | .   

Наконец, мы покажем четвертое свойство нижней треугольной матрицы 3×3. Однако это свойство выполняется для верхних треугольных матриц и квадратных треугольных матриц любого другого порядка.

Если 𝐴 — нижняя треугольная матрица 3 × 3 такая, что 𝐴=𝑎00𝑎𝑎0𝑎𝑎𝑎, то мы можем оценить определитель 𝐴, расширив первую строку следующим образом: |𝐴|=𝑎|𝐴|−𝑎|𝐴|+𝑎|𝐴|=𝑎|||𝑎0𝑎𝑎|||−0|||𝑎0𝑎𝑎|||+0|||𝑎𝑎𝑎𝑎|||=𝑎||| 𝑎0𝑎𝑎 ||| = 𝑎 (𝑎𝑎 — 0 × 𝑎) = 𝑎𝑎𝑎.

Давайте рассмотрим несколько примеров того, как мы можем использовать эти свойства для вычисления определителей матриц и решения задач, связанных с определителем матрицы.

Пример 1. Использование свойств определителей для вычисления выражения

Если 𝐴 — квадратная матрица порядка 2×2 и |2𝐴|=12, то |3𝐴|=. Ответ

Мы хотим найти значение |3𝐴|. Мы можем сделать это, сначала найдя значение |𝐴|. Напомним, что для любой квадратной матрицы 𝐴 порядка 𝑛×𝑛 и 𝑘∈ℝ |𝑘𝐴|=𝑘|𝐴|. 

Поскольку 𝐴 — матрица порядка 2×2, мы можем использовать ее, чтобы найти |𝐴| следующее: |2𝐴|=122|𝐴|=12|𝐴|=3.

Далее мы хотим использовать свойства определителя, чтобы найти выражение для |3𝐴| через |𝐴|. 𝐴 по-прежнему является матрицей порядка 2 × 2, поэтому |3𝐴|=3|𝐴|=9|𝐴|.

Наконец, напомним, что транспонирование квадратной матрицы не меняет ее определитель.

Следовательно, 9|𝐴|=9|𝐴|=9(3)=27.

Это вариант C, |3𝐴|=27.

Пример 2. Нахождение определителя матрицы по определителю произведения матриц

Если det(𝐴𝐵)=18 и det(𝐴)=2, найти det(𝐵).

Ответ

Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 — квадратные матрицы одного порядка, то detdetdet(𝐴𝐵)=(𝐴)×(𝐵).

Чтобы применить это свойство, заметим, что det(𝐴) существует, поэтому 𝐴 должна быть квадратной матрицей. Точно так же существует det(𝐴𝐵), поэтому 𝐴𝐵 также является квадратной матрицей. Пусть 𝐴 — матрица 𝑛×𝑛, а 𝐵 — матрица 𝑚×𝑙. Тогда по свойствам матричного умножения 𝐴𝐵 будет иметь такое же количество строк, как 𝐴, 𝑛, и такое же количество столбцов, как 𝐵, 𝑙. Поскольку эта матрица квадратная, мы должны иметь 𝑛=𝑙. Наконец, поскольку мы можем умножить матрицу 𝐴 на матрицу 𝐵 справа, мы должны иметь 𝑛=𝑚, поэтому 𝐵 также является матрицей 𝑛×𝑛.

Следовательно, 18=(𝐴𝐵)=(𝐴)×(𝐵)=2×(𝐵),детдетдетдетдет которые мы можем переставить, чтобы получить дет(𝐵)=9.

Пример 3. Вычисление выражения с использованием свойств определителей

Если det(𝐴)=2, det(𝐵)=3, а размер 𝐴 и 𝐵 равен 2×2, найти значение detdetdet( 2𝐴)+(3𝐵)+(𝐴𝐵), используя свойства определителей.

Ответ

Напомним, что если 𝐴 — любая квадратная матрица порядка 𝑛×𝑛 и 𝑘∈ℝ, то detdet(𝑘𝐴)=𝑘(𝐴). Следовательно, поскольку 𝐴 и 𝐵 — матрицы размера 2 × 2, положим 𝑛=2, так что Детдет(2𝐴)=2(𝐴)=4×2=8.

Аналогично, detdet(3𝐵)=3(𝐵)=9×3=27.

Далее напомним, что если 𝐴 и 𝐵 — квадратные матрицы одного порядка, то detdetdet(𝐴𝐵)=(𝐴)(𝐵).

Это дает нам det(𝐴𝐵)=2×3=6.

Подстановка этих значений в выражение дает нам детдетдет(2𝐴)+(3𝐵)+(𝐴𝐵)=8+27+6=41.

В нашем следующем примере мы оценим определитель треугольной матрицы и исследуем другое свойство определителя матриц.

Пример 4. Вычисление определителя матрицы с использованием свойств определителя

Найти значение ||||5−1−80260000||||.

Ответ

В этом вопросе нас просят оценить определитель данной матрицы три на три.

Мы видим, что каждая запись в матрице ниже главной диагонали равна нулю: ||||5−1−80260000||||.

Следовательно, это верхняя треугольная матрица, и мы помним, что мы можем вычислить определитель квадратной матрицы этого типа, взяв произведение ее главной диагонали. Итак, у нас есть ||||5−1−80260000||||=5×2×0=0.

Следовательно, определитель этой матрицы равен 0.

В предыдущем примере мы нашли определитель квадратной треугольной матрицы, найдя произведение ее главной диагонали. Однако есть еще один метод, который мы могли бы использовать, а именно использование свойств определителей. Напомним, что мы можем вычислить определитель квадратной матрицы, разложив ее по любой строке или столбцу. Если мы расширим третью строку, мы получим ||||41−8036000||||=0||1−836||−0||4−806||+0||4103||=0.

Поскольку существует целая строка записи 0, мы видим, что коэффициент каждого минора равен 0, и поэтому определитель матрицы равен 0. Это будет верно для любой матрицы со строкой или столбцом нулей. Это дает нам следующее свойство: если каждый элемент в одной строке или столбце квадратной матрицы 𝐴 равен нулю, то определитель матрицы 𝐴 равен нулю.

В следующем примере мы будем использовать наши знания о свойствах определителей, чтобы найти значение переменной.

Пример 5. Вычисление выражения с использованием определителя диагональной матрицы

Рассмотрим уравнение ||||𝑥−1000𝑥+𝑥+10001||||=2.

Определите значение 𝑥.

Ответ

В этом вопросе нам дан определитель матрицы 3 × 3 с переменной 𝑥 и нужно найти значение 𝑥. Мы можем сделать это, найдя выражение для определителя этой матрицы. Мы также могли бы сделать это, используя определение определителя и расширив строку или столбец. Однако мы также замечаем, что каждый элемент не на главной диагонали этой матрицы равен 0. Другими словами, эта матрица является диагональной.

Мы также знаем, что определитель любой квадратной треугольной матрицы является произведением всех членов на ее главной диагонали, где мы используем тот факт, что диагональная матрица также является верхней и нижней треугольной матрицей.

Следовательно, ||||𝑥−1000𝑥+𝑥+10001||||=(𝑥−1)𝑥+𝑥+1(1)=𝑥+𝑥+𝑥−𝑥−𝑥−1=𝑥−1. 

Этот определитель равен 2. Следовательно, 𝑥−1=2𝑥=3.

Возведение в квадрат обеих частей уравнения дает нам 𝑥=3𝑥=9.

В нашем последнем примере мы будем использовать свойства определителя для вычисления определителя треугольной матрицы.

Пример 6: вычисление определителя треугольной матрицы для определения значений переменных

дет𝑥120𝑦300𝑧.

Ответ

В этом вопросе нас просят оценить определитель данной матрицы 3×3. Мы могли бы сделать это, используя определение определителя. Однако мы также можем заметить, что каждая запись ниже ведущей диагонали равна нулю. Другими словами, это верхняя треугольная матрица.

Напомним, что определитель любой квадратной треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Следовательно, det𝑥120𝑦300𝑧=𝑥𝑦𝑧.

Чтобы определить значение этого выражения, мы оценим три определителя, указанные в вопросе. Напомним, что определитель матрицы 2×2 — это разность произведения ее диагоналей. Это дает нам 0=𝑥44𝑦0=𝑥𝑦−16,дет. затем 0=𝑦99𝑧0=𝑦𝑧−81,дет. и наконец 0=𝑥11𝑧0=𝑥𝑧−1.det

Преобразуя эти три уравнения, мы имеем 𝑥𝑦=16,𝑦𝑧=81,𝑥𝑧=1.

Мы можем заметить, что произведение этих трех уравнений включает выражение 𝑥𝑦𝑧, которое является определителем матрицы 3×3: (𝑥𝑦)×(𝑦𝑧)×(𝑥𝑧)=16×81×1(𝑥𝑦𝑧)=1296𝑥𝑦𝑧=±36.

Следовательно, определитель треугольной матрицы равен либо 36, либо −36.

Мы закончим повторением некоторых ключевых моментов этого объяснения.

Ключевые моменты

• Свойства определителя могут упростить процесс оценки определителей.

  No related posts.