Вычислить неопределенные и определенные интегралы: Несобственные интегралы

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a, ∞) и для всякого A≥a существует интеграл Предел называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Пример. Рассмотрим . Пусть α=1. Тогда . Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α≤1 расходится и при α>1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.
Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.
Теорема 2.4. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε≥0 существует A≥a такое, что для всех A

1,A₂ ≥ A выполнено неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Определение. Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства , критерий Коши выполнен и для интеграла
Обратное утверждение неверно.
Сходимость несобственного интеграла определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.
Для несобственного интеграла можем записать и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. В качестве точки выбирают обычно 0.

Пример. Рассмотрим интеграл По определению сходимости этого интеграла получаем

Следовательно, этот интеграл расходится.
С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к ∞ можем записать
Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел .
Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.
Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода
1. Если интеграл сходится, то для всякого b≥a интеграл сходится и
2. Если интеграл сходится, то сходится интеграл и имеет место равенство
3. Если интегралы и сходятся, то сходятся интегралы и имеет место равенство

Обратное утверждение не верно.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.
Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.
Теорема 2.5. Пусть для всякого x≥A(A≥a) выполнено неравенство |f(x)| ≤ |g(x). Тогда, если интеграл абсолютно сходится, то интеграл абсолютно сходится, а если интеграл абсолютно расходится, то интеграл абсолютно расходится.
Доказательство не сложно и основано на том, что если f(x)≥0, то — монотонно возрастающая функция от A и несобственный интеграл либо сходится, либо равен бесконечности.
Теорема 2.6. Если f(x) и g(x) бесконечно малые одного порядка малости, то есть , то интегралы и либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.
Доказательство. Так как , то . Возьмем 0<ε<|K|. По определению предела существует M>0 такое, что для всех x>M выполнено неравенство

а, следовательно, и неравенство
Из последнего неравенства и теоремы 2.5 получаем утверждение теоремы.

Примеры
1. Выяснить сходимость интеграла
Так как для всех x≥1, а интеграл сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.
2. Выяснить сходимость интеграла
Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции , получаем

Таким образом, порядок малости – 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и Пусть далее для всякого 0<δ<b-a существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Пример. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда
и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α<1 сходится и при α≥1 расходится. Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.7.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует δ>0. такое, что для всех δ₁, δ₂≤δ выполняется неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.8. Пусть для всякого b-δ≤x<b выполнено неравенство 0≤f(x)≤g(x). Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательство опустим.
Теорема 2.9. Если f(x) и g(x)бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Примеры 1. Выяснить сходимость интеграла

По определению имеем

2. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точках x=0 и x=1 Разбиваем интеграл на два
Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→0 относительно 1/x равен ½, а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→1 относительно равен 1.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Неопределенные и определенные интегралы.

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

№1.8. Вычислить  неопределенный интеграл

Решение.

Для вычисления данного интеграла будем использовать формулу интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Ответ:

 

№2.8. Вычислить  определенный интеграл

Решение.

 

Используем метод интегрирования по частям:

Обозначим: , . Найдем v 

Найдем :

Тогда

Для вычисления интеграла опять применим метод интегрирования по частям

  Обозначим: , . Найдем v 

Найдем :

Тогда

Тогда исходный интеграл равен

Ответ:

 

№3.8. Вычислить  неопределенный интеграл

Решение.

Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

 , где t = g(x)

В данном случае . Тогда

 

Ответ:

 

 

 

 

№4.8. Вычислить определенный интеграл

 

Решение.

Выполним замену переменной , тогда

При x=1  

При x= 4 

Переходя к новой переменной, получаем

Введем новую переменную . Тогда

При  

При  

Тогда

Ответ:

 

 

 

 

№5.8. Найти неопределенный интеграл

Решение.

Разделим числитель на знаменатель , в итоге получим

Представим дробь в виде суммы элементарных дробей

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:

Найдём искомые коэффициенты:

              

— умножим первую строку на 4 и прибавим к 3-ей

  

— умножим вторую строку на -2 и прибавим к 3-ей

  

Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:

Ответ:

№8. 8. Вычислить определенный интеграл

 

Решение.

Применяем подстановку , тогда ,

При x=   

При x=  

Переходя к новой переменной, получаем

Представим дробь в виде суммы элементарных дробей

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:

Найдём искомые коэффициенты:

        

Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:

Ответ:

 

№9.8. Вычислить определенный интеграл

 

Решение.

Применяем подстановку , тогда

При x= 0  

При x=  

Переходя к новой переменной, получаем

Представим дробь в виде суммы элементарных дробей

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:

Найдём искомые коэффициенты:

        

Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:

Ответ:

 

№10. 8. Вычислить определенный интеграл

 

Решение.

Так как , то

Так как , то

Так как , то

Тогда

Ответ:

 

исчисление — Выражение неопределенного интеграла с использованием определенного интеграла с той же функцией

Вот полный Монти, т. Е. чрезмерно педантичный ответ на вопрос, извлеченный из обсуждения с @ParamanandSingh, чьи комментарии указывают нам на правильность направление.

Проблема с курсами и учебниками по математическому анализу (в отличие от курсов и учебников по реальному анализу) заключается в том, что цель состоит в том, чтобы научить студентов вычислительным методам работать с производными и интегралами без обязательного полного понимания того, что они делают или что является строгим фундаменты действительно есть.

Вот некоторые детали, которые следует знать по этому вопросу.

1. Если $f:(a,b)\to \mathbb R$ — функция, определенная на открытом интервале $(a,b)$, то утверждение $$\int f(x)\,dx = F(x) + C $$ означает, что $F'(x)=f(x)$ для всех $x$ в открытом интервале $(a,b)$ и что $C$ представляет собой произвольную константу. x f(t)\,dt \tag{1}$$ является примитивом для $f$ на интервале $(a,b)$. Здесь интеграл интерпретируется в смысле Римана.

2. Эта формула (1) всегда дает примитив для непрерывного $f$, но в особых случаях, как обнаружит каждый изучающий математику, существуют методы (интегрирование по частям, подстановка и т. д.), которые позволяют вам написать явная формула для $F(x)$. Эти методы могут дать сбой даже для очень простых функций $f$. Это не означает, что нет примитивного или неопределенного интеграла, это просто означает, что

   (1) или какой-то ряд или предел и т. д. будет вашим единственным выбором для формулы.

3. Эта формула (1) предлагает конструктивный метод (метод интегрирования по Риману) для определения первообразной из непрерывной функции. Теоретически мы всегда можем работать с примитивами непрерывных функций, даже если нет ряда или формулы и т.д.

4. Теперь отбросим непрерывность. Дана функция $f:(a,b)\to \mathbb R$. Как мы узнаем, что это производная , т. е. как мы узнаем, имеет ли она неопределенный интеграл на этом интервале?

Может быть, если повезет, вы сможете построить функцию $F(x) $ и проверить в каждой точке, что $F'(x)=f(x)$.

Если нет, то, возможно, поищите другие свойства $f$, которые подразумевают, что это производная. Проблема в этой общности не имеет в настоящее время удовлетворительного решения. Есть частные случаи, но и они не элементарны.

Таким образом, выходя из мира непрерывных функций, общая проблема определения условий, при которых функция является или не является производной, не является элементарной и не особенно доступной. 9х f(t)\,dt + С ? \tag{2}$$

(i) Если известно, что $f $ является производной от $(a,b)$ и если $f $ интегрируема по Риману на каждом интервале $[s,t]\subset (a,b)$ тогда (2) верно. (Легкое доказательство математических вычислений.)

(ii) Если известно, что $f$ является производной от $(a,b)$ и если $f $ интегрируема по Лебегу на каждом интервале $ [s,t]\subset (a,b) $ тогда

(2) верно. (Подтверждение уровня реального анализа.)

(iii) Если известно, что $f$ является производной от $(a,b)$, то $f$ должна быть интегрируемой по Данжуа-Перрону-Хенстоку-Курцвейлю на каждом интервале $[s,t]\subset (a,b)$ и (2) действителен. (Доказательство уровня реального анализа.)

В случае (i) существует простой конструктивный процесс (согласно Коши и Риману) для нахождения первообразной из $f$.

В случае (ii) существует конструктивный метод Лебега для нахождения первообразной из $f$.

В случае (iii) методы Перрона и Хенстока-Курцвейла не являются конструктивными. Метод Денжуа конструктивен, но он слишком сложен, чтобы даже делать наброски здесь.

Краткий ответ : Для непрерывных функций FTC делает всю работу, и история очень красивая и понятная. Для прерывистых функций — настоящая банка червей.

Модуль 18 — Первообразные как неопределенные интегралы и дифференциальные уравнения

На этом уроке исследуется взаимосвязь между первообразными и неопределенными интегралами, а также обсуждаются семейства кривых.

---

Математику можно изучить с помощью TI-89., как показано в Модуле 2 и Модуле 10. При индуктивном обучении возникает чувство сопричастности и интереса. Просмотрите процесс открытия-обучения, который был описан в Модуле 2 и Модуле 10 и показан ниже.

• Изучите несколько связанных примеров
• Опишите устно закономерность результатов
• Предсказать результат
• Подтвердить прогноз
• Расширить типы исследуемых примеров
• Обобщить

Определение неопределенных интегралов

Напомним, что первообразной функции f называется функция F , производная которой равна .

Основная теорема устанавливает связь между первообразной F и функция f .

, где F’ ( x ) = f ( x ) и a — любая константа.

Модифицированное обозначение используется для обозначения производных f . Новое обозначение называется неопределенным интегралом, а первообразные f записываются как

Определенные и неопределенные интегралы В неопределенном интеграле нет пределов интегрирования. Определенный интеграл представляет собой число, когда нижняя и верхняя границы равны константам . Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, производные которых равны ф . Разница между любыми двумя функциями в семействе есть константа.

Использование интегрального ключа

Интегральный ключ, который используется для нахождения определенных интегралов, также может быть использован для нахождения неопределенных интегралов, просто опуская пределы интегрирования.

Неопределенный интегральный синтаксис Синтаксис для нахождения неопределенного интеграла: .

Изучение

Изучите первообразную каждой из следующих функций, имеющих форму x ⁿ , и найдите закономерность, которая приведет вас к общему правилу нахождения .

• Оценивать
• Оценивать
• Оценивать

Обратите внимание, что произвольная константа C не является частью результата, выдаваемого TI-89.

ti.com/images/online_courses/t3/calculus/images/pd/TechTipsBackground.gif»> Добавление константы к синтаксису Indefinite Integral Синтаксис добавления константы c к неопределенному интегралу следующий:

Описание шаблона и предсказание

18.1.1 Опишите закономерность, которую вы обнаружили при вычислении вышеприведенных неопределенных интегралов, и используйте ее для предсказания .
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

18.1.2 Подтвердите свой прогноз на своем ТИ-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Расширение примеров

Расширьте исследование примеров, предсказав следующие неопределенные интегралы.

• Оценивать
• Оценивать

18. 1.3 Подтвердите свои прогнозы, введя интегралы на TI-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Обобщение шаблона

18.1.4 Предсказать общее правило для и подтвердите это, введя интеграл на вашем TI-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Проверка неопределенных интегралов

Потому что вы можете проверить результат каждого неопределенного интеграла, найдя производную результата. Например, можно проверить, взяв производную от результата: . Поскольку результатом дифференцирования является исходная функция, интегрирование подтверждается.

Обобщенное правило

Обобщенная версия этого правила , где а C — константа. Напомним, что производная константы равна 0, поэтому для любой константы C .

Иллюстрирующий

Неопределенный интеграл может быть проиллюстрировано графическим изображением семейства кривых , которые представлены для разных значений C .