Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках: Объем тетраэдра

Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

1.	,	,	,	.
2.	,	,	,	.
3.	,	,	,	.
4.	,	,	,	.
5.	,	,	,	.
6.	,	,	,	.
7.	,	,	,	.
8.	,	,	,	.
9.	,	,	,	.
10.	,	,	,	.
11.	,	,	,	.
12.	,	,	,	.
13.	,	,	,	.
14.	,	,	,	.
15.	,	,	,	.
16.	,	,	,	.
17.	,	,	,	.
18.	,	,	,	.
19.	,	,	,	.
20.	,	,	,	.
21.	,	,	,	.
22.	,	,	,	.
23.	,	,	,	.
24.	,	,	,	.
25.	,	,	,	.
26.	,	,	,	.
27.	,	,	,	.
28.	,	,	,	.
29.	,	,	,	.
30.	,	,	,	.

Даны вершины треугольника : . Найти:

а) уравнение стороны ;

б) уравнение высоты ;

в) уравнение медианы ;

г) уравнение биссектрисы ;

д) точку пересечения медианы и высоты ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ;

ж) расстояние от точки до прямой .

Решение:

а) Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:

.

Значит, уравнение стороны проходящей через точки и будет следующим:

,

откуда

или

Таким образом, .

б) Составим уравнение высоты . Так как — высота, то прямые и перпендикулярны.

I способ: Для того, чтобы прямые и были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были связаны соотношением .

Угловой коэффициент прямой равен , так как или . Тогда .

Уравнение высоты ищем в виде:

,

где — координаты точки, принадлежащей прямой, — угловой коэффициент искомой прямой.

Прямая проходит через точку с угловым коэффициентом . Получим:

II способ: Для составления уравнения высоты используем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором :

.

В данном случае прямая проходит через точку , в качестве нормального вектора берем вектор , т.е. . Получим:

Таким образом, :

в) Пусть точка — середина стороны . Координаты точки определим из соотношений:

.

Получим: .

Таким образом, точка .

Уравнение медианы составляем по двум точкам и , используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Таким образом, .

г) Найдем уравнение биссектрисы . Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.

.

Имеем:

.

Отсюда .

Значит, .

Определим координаты точки L, делящей отрезок BC в отношении :

Получили точку .

Биссектриса проходит через две точки и . Её уравнение имеет вид:

откуда или .

Получили уравнение биссектрисы : .

д) Найдем точку пересечения медианы и высоты . Для этого решим систему:

Таким образом, .

Заметим, что точка совпала с точкой , значит, стороны и взаимно перпендикулярны и треугольник — прямоугольный. Кроме того, высота СН совпадает со стороной АС.

е) Составим уравнение прямой, проходящей через вершину , параллельно стороне .

Так как угловой коэффициент прямой ( ) , то для прямой, параллельной стороне .

Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид:

Прямая проходит через точку , параллельно стороне .

ж) Для определения расстояния от точки до прямой используем формулу:

.

Значит, расстояние от точки до прямой равно:

(ед.).

Рисунок 1

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) (ед.).

5.6. Вычисление объёмов многогранников

5.6. Вычисление объёмов многогранников

В этом параграфе будет получено несколько формул, удобных для вычисления объёмов некоторых многогранников, в первую очередь тетраэдра. Но вначале докажем одну полезную теорему, которую часто используют при решении различных стереометрических задач.

Теорема 5.5 (об отношении объёмов треугольных пирамид)

Рассмотрим три прямые, не лежащие в одной плоскости и проходящие через общую точку D. Пусть A1 и A2 — какие-то две точки на одной прямой, B1 и B2 — на другой, C1 и C2 — на третьей, V1 — объём тетраэдра (треугольной пирамиды) A1B1C1D, V2 — объём тетраэдра A2B2C2D. Тогда

Доказательство. Обозначим через h2 и h3 соответственно расстояния от точек C1 и C2 до плоскости DA1B1 (она же плоскость DA2B2, рис. 96). Имеем

Рис. 96

Следовательно,

(В последнем равенстве мы использовали планиметрический факт, что площади треугольников DA1B1 и DA2B2, у которых углы при вершине D либо равны, либо дополняют друг друга до 180°, относятся как произведения сторон, выходящих из вершины D.) ▼

Замечание. Если точки A2, B2 и C2 лежат не на лучах DA1, DB1 и DC1, а на соответствующих прямых, то тетраэдры DA1B1C1 и DA2B2С2 могут быть расположены не так, как на рисунке 96. Заключение теоремы при этом не меняется.

Теорема 5.6 (объём описанного многогранника)

Объём описанного многогранника может быть вычислен по формуле

(5)

где r — радиус вписанного шара, S — площадь полной поверхности многогранника.

Доказательство. Соединим центр вписанного шара со всеми вершинами многогранника. Многогранник окажется разделённым на несколько пирамид. Основанием каждой пирамиды является соответствующая грань многогранника, а вершиной — центр шара. Объём каждой такой пирамиды равен где Sk — площадь соответствующей грани. Сложив объёмы этих пирамид, получим объём многогранника. При этом сумма Sk равна S — площади полной поверхности многогранника. ▼

Замечание. Формула (5) верна для любого тетраэдра, поскольку в любой тетраэдр можно вписать шар.

В двух следующих теоремах содержатся формулы для вычисления объёма тетраэдра.

Теорема 5.7 (вычисление объёма тетраэдра через площади двух граней, двугранный угол и ребро)

Пусть P и Q — площади двух граней тетраэдра, a — длина их общего ребра, a — величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объём тетраэдра может быть вычислен по формуле

(6)

Рис. 97

Доказательство. Рассмотрим тетраэдр ABCD, в котором площади граней ABC и BCD равны P и Q, a — угол между этими гранями, BC = a (рис. 97). Пусть d — высота к стороне BC в треугольнике BCD, . Тогда для высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, имеет место равенство

Значит ,

▼

Теорема 5.8 (вычисление объёма тетраэдра через два противоположных ребра, расстояние и угол между ними)

Рис. 98

Пусть a и b — длины двух противоположных рёбер тетраэдра, d — расстояние между прямыми, содержащими эти рёбра, j — угол между ними. Тогда объём тетраэдра может быть найден по формуле

(7)

Доказательство. Рассмотрим тетраэдр ABCD; пусть AB и CD — рёбра, о которых говорится в условии теоремы. Достроим тетраэдр до параллелепипеда AKBMQCLD (рис. 98), проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру (этот приём был рассмотрен в главе 4). Площади граней AKBM и LCQD равны , расстояние между ними d. Значит, объём параллелепипеда равен . Отрезая от параллелепипеда четыре треугольные пирамиды (ABCK и т. д.), получим рассматриваемый тетраэдр ABCD. Объём каждой из отрезанных пирамид составляет объёма параллелепипеда. Значит, объём V тетраэдра ABCD равен объёма параллелепипеда AKBMQCLD, т. е. . ▼

Задачи, задания, вопросы

1(в). Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а площади боковых граней равны S, P и Q. Найдите объём пирамиды.

2(в). Два отрезка, длины которых равны a и b, расположены на перпендикулярных скрещивающихся прямых. Расстояние между прямыми равно d. Найдите объём тетраэдра с вершинами в концах данных отрезков.

3.Найдите объём пирамиды ABCD, в которой AB = 4, BC = 5, AD = 6, BD = 7, CA = 8, а двугранный угол с ребром AB равен 60°.

4.Пять рёбер пирамиды равны 1. Вершины пирамиды расположены на поверхности сферы радиуса 1. Найдите объём этой пирамиды.

5(вп). Объём пирамиды ABCD равен V. На рёбрах DA, DB и DC взяты точки K, L и M так, что , , , P — середина AB, G — точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите объёмы следующих пирамид: KLMC, KLMP, KLMG, DLMG, BMPG.

6(в). Объём пирамиды ABCD равен 1. На рёбрах AD, BD и CD взяты точки K, L и M так, что 2AK = KD, BL = 2LD, 2CM = 3MD. Найдите объём многогранника ABCKLM.

7(в). Объём треугольной пирамиды равен 1. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан граней этой пирамиды.

8.Ребро CD пирамиды ABCD равно 1 и перпендикулярно плоскости ABC, AB = 2, BC = 3, ∠  ABC = 90°. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD.

9.На диагонали грани единичного куба взяты точки M и N, а на скрещивающейся с ней диагонали соседней грани взяты точки P и Q. Известно, что , . Найдите объём тетраэдра MNPQ.

10.Объём тетраэдра ABCD равен V. На ребре AB взяты точки M и N, а на ребре CD — точки P и Q. Известно, что MN = a AB, PQ = b CD. Найдите объём тетраэдра MNPQ.

11.Объём тетраэдра ABCD равен V. На рёбрах CD, DB и BA взяты точки K, L и M так, что 2CK = CD, 3DL = DB, 5BM = 2AB. Найдите объём тетраэдра KLMD.

12(т). На рёбрах AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD объёмом V взяты соответственно точки K, L, M и N так, что 2AK = AB, 3BL = BC, 4CM = CD, 5DN = DA. Найдите объёмы тетраэдров NKLB, NMLB, KNMB, KLMB и KLMN.

13.Высота цилиндра равна h. В каждое основание вписан правильный треугольник, причём один из этих треугольников повёрнут относительно другого на угол 60°. Сторона каждого треугольника равна a. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины этих треугольников.

14(т). Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды равна 6, двугранные углы при основании равны 60°. Радиус вписанного шара равен r . Найдите объём пирамиды. В каких пределах может меняться r ?

15(п). Пусть ABCD — прямоугольник, AB = a, AC = b. Прямая MN параллельна AB, MN = c, расстояние от MN до плоскости ABCD равно h. Найдите объём многогранника ABCDMN.

16.Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник со стороной a. Отрезок MN параллелен одной из сторон шестиугольника, равен его стороне и расположен на расстоянии h от его плоскости. Найдите объём тела ABCDEFMN.

17(т). На рёбрах AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD объёмом 1 взяты соответственно точки K, L, M и N так, что , , , . Найдите объём тетраэдра KLMN.

линейная алгебра — Как рассчитать объем тетраэдра по 4 точкам

спросил 2 года, 7 месяцев назад

Изменено 2 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я хочу рассчитать объем тетраэдра, определяемый этими 4 точками:

$$ P_1 = (-0,0865403, -0,122347, 0,898904)\\ P_2 = (-0,436523, -0,30131, 1,92251)\\ P_3 = (-0,459102, -0,0670386, 1,68168)\\ Р_4 = (0,0,0) $$

Как бы вы рассчитали этот объем?

Я делаю

$$B_1 = P_1-P_4 = P_1\\B_2 = P_2-P_4 = P_2\\B_3 = P_3-P_4 = P_3$$

это уравнение, которое я нашел (это правильно ?)

затем

$$V = \frac{|B_1\cdot(B_2\times B_3)|}{6} = \frac{|(-0,0865403, -0,122347, 0,898904)\cdot((-0,436523, -0,30131, 1,92251)\times (-0,459102, -0,0670386, 1,68168))|}{6}$$

Что составляет 0,00786195 согласно wolfram alpha (см. здесь и разделите на 6).

У меня 2 вопроса: правильно ли я вычисляю объем тетраэдра? Имеет ли значение порядок точек в уравнении?

• линейная алгебра
• геометрия
• тригонометрия

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Более удобная формула для объема: $$V = \frac{1}{3!} \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ х_2 и у_2 и z_2 и 1 \\ х_3 и у_3 и z_3 и 1 \\ x_4&y_4&z_4&1\ \end{матрица}\right|$$ где вершины $(x_i, y_i, z_i)$ для $i = 1, 2, 3, 4$ в любом порядке. Возьмите абсолютное значение результата.

В WolframAlpha вы можете вычислить это с помощью ввода

 Abs[Det[{{-0.0865403, -0.122347, 0.898904, 1},
 {-0,436523, -0,30131, 1,92251, 1},
 {-0,459102, -0,0670386, 1,68168, 1},
 {0, 0, 0, 1}}]/3!]
 

Преимущество этого подхода состоит в том, что, поскольку одна из ваших вершин является началом координат, вы можете довольно легко вычислить определитель вручную, поскольку он сводится к определителю $3 \times 3$.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

векторов — Объем тетраэдра с использованием перекрестного и скалярного произведения

спросил 6 лет, 10 месяцев назад

Изменено 25 дней назад

Просмотрено 92к раз

$\begingroup$

Рассмотрим тетраэдр на изображении: Докажите, что объем тетраэдра равен $\frac16 |a \times b \cdot c|$.

Я знаю, что объем тетраэдра равен произведению площади основания на высоту, а здесь высота равна $h$, а площадь основания я считаю площадью треугольника $BCD$.

Итак, что у меня есть:

$$\begin{выравнивание} \text{базовая площадь} &= \frac12 \lvert a \times b \rvert \\ \text{высота $h$} &= \lvert c\rvert \cos \theta \end{align}$$

Таким образом, объем равен $$V=\frac12 \lvert a \times b\rvert \cdot \lvert c\rvert \cos \theta $$

Но я не знаю, как добраться отсюда при $\frac16 |a \times b \cdot c|$.

Пожалуйста, сообщите.

• векторы
• объем
• перекрестное произведение

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вот один из способов думать об этом. Тетраэдр — это $\dfrac{1}{6}$ объема параллелепипеда, образованного $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. Объем параллелепипеда равен скалярному тройному произведению $|(a \times b) \cdot c|$. Таким образом, объем тетраэдра равен $\dfrac{1}{6} |(a \times b) \cdot c|$

Чтобы решить вопрос так, как вы пытаетесь, заметьте, что через $V = \ dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{6}||a \times b|| \cdot ч$. Тогда $h = ||c|| \cdot |\cos(\theta)|$. Таким образом, имеем $V = \dfrac{1}{6}||a \times b|| \cdot ||с|| \cdot |\cos(\theta)|$. Теперь видим, что $|c \cdot (a \times b)| = ||с|| \cdot ||(a \times b)|| \cdot |\cos(\theta)|$ и, таким образом, $V = \dfrac{1}{6}|(a \times b) \cdot c|$.

Я также хотел бы сказать, что используемые вами обозначения немного странные. Во избежание путаницы $|x|$ обозначает абсолютное значение, а $||x||$ обозначает величину.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Подсказка: $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ «указывает прямо вверх». Следовательно, она параллельна показанной вами линии $h$. Следовательно, он имеет с $c$ тот же угол, что и угол $h$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Объем будет (площадь основания) x 1/3 высоты —————-(1) теперь в этом случае, если взять за основу треугольник BCD, его площадь будет

= 1/2 |a||b||sin(m)| = 1/2 |а х б| ———————(2)

где m — угол между a и b, следовательно, b sin(m) — длина проекции b перпендикулярно а , т.