Вычислить определитель матрицы онлайн с решением подробно: Определитель матрицы онлайн с подробным решением

Содержание

Определитель матрицы онлайн

Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы.

Этот онлайн калькулятор позволит вам определитель (детерминант) матрицы.

Для того чтобы вычислить определитель (детерминант) матрицы онлайн, выберите необходимый вам размер матрицы:

Размер матрицы: 2×23×34×45×56×67×7

Введите значения Матрицы:

Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Найти определитель

Смотрите также:
Нахождение обратной матрицы

Определитель матрицы онлайн

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите

определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн. Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн!

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при

вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Похожие сервисы:

Вычислить детерминант матрицы
Matrix problem solver

вычисление матриц

Вы искали вычисление матриц? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление матрицы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «вычисление матриц».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление матриц,вычисление матрицы,вычисление определителей онлайн,вычисление определителя 4 порядка онлайн,вычисление определителя 4 порядка онлайн с решением,вычисление определителя калькулятор онлайн,вычисление определителя матрицы,вычисление определителя матрицы калькулятор,вычисление определителя матрицы онлайн,вычисление определителя онлайн,вычисление определителя онлайн калькулятор,вычислите определитель 3 порядка,вычислите определитель матрицы онлайн,вычислитель определитель матрицы онлайн,вычислитель определителя онлайн,вычислить матрица,вычислить онлайн определитель 4 порядка,вычислить онлайн определитель второго порядка,вычислить определитель 2 порядка онлайн,вычислить определитель 4 го порядка онлайн,вычислить определитель 4 порядка калькулятор,вычислить определитель 4 порядка калькулятор онлайн,вычислить определитель 4 порядка онлайн,вычислить определитель 4 порядка онлайн калькулятор,вычислить определитель 4 порядка онлайн с подробным решением,вычислить определитель второго порядка онлайн,вычислить определитель второго порядка онлайн с решением,вычислить определитель используя свойства определителя онлайн,вычислить определитель калькулятор,вычислить определитель матрицы 4х4,вычислить определитель матрицы 4х4 онлайн с решением,вычислить определитель матрицы калькулятор,вычислить определитель матрицы калькулятор онлайн,вычислить определитель матрицы онлайн,вычислить определитель матрицы онлайн калькулятор,вычислить определитель матрицы онлайн с решением,вычислить определитель матрицы онлайн с решением подробно,вычислить определитель методом понижения порядка онлайн,вычислить определитель онлайн,вычислить определитель онлайн 4 порядка,вычислить определитель онлайн калькулятор,вычислить определитель онлайн с подробным решением,вычислить определитель онлайн с подробным решением онлайн,вычислить определитель с подробным решением онлайн,вычислить определитель третьего порядка,вычислить определитель четвертого порядка онлайн,вычислить определитель четвертого порядка онлайн с подробным решением,вычислить определитель четвертого порядка онлайн с решением,вычислить определитель четвертого порядка с решением онлайн,вычислить определить,вычислить определить онлайн,вычислить определить онлайн 4 на 4,детерминант матрицы 4 на 4,детерминант матрицы калькулятор,детерминант матрицы онлайн,детерминант матрицы онлайн калькулятор,детерминант онлайн,задачи определитель матрицы,используя свойства определителя вычислить определитель онлайн,как вычислить матрицу,как вычислить определитель 4 порядка онлайн с решением подробно,как вычислить определитель матрицы 4х4,как найти определитель матрицы,как найти определитель матрицы 4х4,как найти определитель матрицы 4х4 онлайн,как найти определитель матрицы 5х5,как посчитать матрицу 4 на 4,калькулятор визначників,калькулятор визначників онлайн,калькулятор вычисления определителя матрицы,калькулятор вычислить определитель,калькулятор вычислить определитель 4 порядка,калькулятор вычислить определитель 4 порядка онлайн,калькулятор вычислить определитель матрицы,калькулятор детерминант матрицы,калькулятор детерминанта матрицы,калькулятор для определителей,калькулятор матриц 4 порядка,калькулятор матриц матричный метод,калькулятор матриц матричным методом,калькулятор матриц онлайн определитель,калькулятор матриц онлайн определитель с решением,калькулятор матриц онлайн с решением определитель,калькулятор матриц определителей,калькулятор матриц определитель,калькулятор матриц определитель онлайн,калькулятор матрица определитель,калькулятор матрицы 4 порядка,калькулятор матрицы вычислить определитель,калькулятор матрицы вычислить определитель матрицы,калькулятор матрицы детерминант,калькулятор матрицы онлайн найти определитель,калькулятор матрицы определитель онлайн калькулятор с подробным решением,калькулятор матричный метод,калькулятор матричный метод онлайн,калькулятор матричный способ,калькулятор найти определитель матрицы,калькулятор онлайн вычисление определителя,калькулятор онлайн вычислить определитель матрицы,калькулятор онлайн вычислить определитель матрицы онлайн с решением,калькулятор онлайн матриц определитель,калькулятор онлайн матрица определитель,калькулятор онлайн матричный метод,калькулятор онлайн метод матричный,калькулятор онлайн найти определитель,калькулятор онлайн найти определитель матрицы,калькулятор онлайн обчислити визначник,калькулятор онлайн определителей,калькулятор онлайн определители,калькулятор онлайн определителя,калькулятор определения,калькулятор определителей,калькулятор определителей 4 порядка,калькулятор определителей матриц,калькулятор определителей матриц онлайн,калькулятор определителей матрицы,калькулятор определителей онлайн,калькулятор определители,калькулятор определители онлайн,калькулятор определитель,калькулятор определитель 4 порядка,калькулятор определитель матриц,калькулятор определитель матриц онлайн,калькулятор определитель матрицы,калькулятор определитель матрицы 4 порядка,калькулятор определитель третьего порядка онлайн с решением,калькулятор определителя,калькулятор определителя 4 порядка,калькулятор определителя 4 порядка онлайн,калькулятор определителя матрицы,калькулятор определителя матрицы онлайн,калькулятор определителя онлайн,калькулятор систем матриц,калькулятор союзной матрицы,линейная алгебра онлайн калькулятор,матрица 3 на 3 онлайн,матрица 4 порядка онлайн,матрица вычисление,матрица вычислить,матрица калькулятор онлайн определитель,матрица калькулятор определитель,матрица метод треугольника онлайн,матрица нахождение определителя,матрица онлайн калькулятор определитель,матрица онлайн определитель,матрица определитель калькулятор,матрица определитель калькулятор онлайн,матрица определитель онлайн,матрица определитель онлайн калькулятор,матрица четвертого порядка онлайн,матрицы onlinemschool,матрицы вычисление,матрицы калькулятор найти определитель матрицы,матрицы онлайн калькулятор найти определитель,матрицы определитель 4 порядка онлайн,матрицы считать,матричный калькулятор матричный способ,матричный калькулятор метод,матричный калькулятор онлайн матричный метод,матричный калькулятор онлайн метод матричный,матричный калькулятор определитель,матричный метод калькулятор,матричный метод калькулятор онлайн с подробным решением,матричный метод онлайн калькулятор с подробным решением,матричный способ калькулятор,матричный способ калькулятор онлайн,матричный способ онлайн калькулятор,метод матричный калькулятор,метод матричный онлайн калькулятор,метод матричный онлайн калькулятор с подробным решением,метод треугольника матрица онлайн,метод треугольника матрицы онлайн,метод элементарных преобразований матрицы онлайн калькулятор,модуль матрицы,найти детерминант матрицы онлайн,найти определитель калькулятор онлайн,найти определитель матрицы 3х3 онлайн,найти определитель матрицы 4х4,найти определитель матрицы 4х4 онлайн,найти определитель матрицы 4х4 онлайн с решением,найти определитель матрицы калькулятор онлайн,найти определитель матрицы онлайн,найти определитель матрицы онлайн 4х4,найти определитель матрицы онлайн калькулятор,найти определитель матрицы онлайн с подробным решением,найти определитель матрицы онлайн с решением,найти определитель матрицы с решением онлайн,найти определитель онлайн,найти определитель онлайн калькулятор,найти определить матрицы,нахождение детерминанта матрицы,нахождение определителя матрица,нахождение определителя матрицы 4 порядка онлайн,нахождение определителя матрицы онлайн,нахождение определителя матрицы онлайн с решением,нахождение определителя онлайн,обчислити визначник калькулятор онлайн,обчислити визначник онлайн калькулятор,онлайн вычисление определителей,онлайн вычисление определителя 4 порядка,онлайн вычисления определителя матрицы,онлайн вычислитель определителя,онлайн вычислить определитель четвертого порядка,онлайн детерминант,онлайн калькулятор визначників,онлайн калькулятор вычисление определителя,онлайн калькулятор вычислить определитель,онлайн калькулятор вычислить определитель 4 порядка,онлайн калькулятор вычислить определитель матрицы,онлайн калькулятор детерминант матрицы,онлайн калькулятор матриц определителей,онлайн калькулятор матриц определитель,онлайн калькулятор матриц определитель с решением,онлайн калькулятор матриц с решением определитель,онлайн калькулятор матрица определитель,онлайн калькулятор матрицы вычислить определитель,онлайн калькулятор матрицы детерминант,онлайн калькулятор матрицы найти определитель,онлайн калькулятор матричный метод,онлайн калькулятор матричный способ,онлайн калькулятор метод матричный,онлайн калькулятор метод саррюса,онлайн калькулятор найти определитель,онлайн калькулятор найти определитель матрицы,онлайн калькулятор обчислити визначник,онлайн калькулятор определение матрицы,онлайн калькулятор определителей,онлайн калькулятор определителей матриц,онлайн калькулятор определители,онлайн калькулятор определитель,онлайн калькулятор определитель 4 порядка,онлайн калькулятор определитель второго порядка,онлайн калькулятор определитель матриц,онлайн калькулятор определитель матрица,онлайн калькулятор определитель матрицы,онлайн калькулятор определитель матрицы 4 порядка,онлайн калькулятор определитель матрицы с подробным решением,онлайн калькулятор определитель матрицы с решением,онлайн калькулятор определителя,онлайн калькулятор определителя 4 порядка,онлайн калькулятор определителя матрицы,онлайн калькулятор присоединенная матрица,онлайн калькулятор решение определителей,онлайн матрица 3 на 3,онлайн определение определителя матрицы,онлайн определители,онлайн определители матриц,онлайн определитель 2 порядка,онлайн определитель 4 порядка,онлайн определитель матрицы 4 порядка,онлайн определитель матрицы 4х4,онлайн определитель матрицы с решением,онлайн определитель четвертого порядка,онлайн определить,онлайн подсчет определителя матрицы,онлайн расчет определителя матрицы,онлайн решение матриц 4 порядка,онлайн решение матриц методом,онлайн решение матрицы 3 на 3,онлайн решение матрицы определитель,онлайн решение определителей,онлайн решение определителей 4 порядка,онлайн решение определители,онлайн решение определитель,онлайн решение определитель матрицы,онлайн решение определителя,онлайн решение определителя 4 порядка,онлайн решить определитель,онлайн решить определитель 4 порядка,онлайн считать определитель,определение матрицы онлайн калькулятор,определение онлайн,определение определителя матрицы онлайн,определители 4 порядка онлайн,определители вычислить,определители калькулятор,определители калькулятор онлайн,определители матриц онлайн,определители онлайн,определители онлайн калькулятор,определители онлайн решение,определители решение онлайн,определитель 2 порядка онлайн,определитель 4 го порядка калькулятор онлайн,определитель 4 го порядка онлайн,определитель 4 порядка калькулятор,определитель 4 порядка калькулятор онлайн,определитель 4 порядка матрицы онлайн,определитель 4 порядка онлайн,определитель 4 порядка онлайн калькулятор,определитель 4 порядка онлайн с решением,определитель 4 порядка онлайн с решением подробно,определитель 4 порядка решить онлайн,определитель 5 порядка онлайн,определитель второго порядка онлайн калькулятор,определитель как считать,определитель калькулятор,определитель калькулятор матриц,определитель калькулятор онлайн,определитель матриц калькулятор,определитель матриц онлайн калькулятор,определитель матрица калькулятор онлайн,определитель матрица онлайн калькулятор,определитель матрицы 3х3 онлайн,определитель матрицы 4 порядка калькулятор,определитель матрицы 4 порядка онлайн,определитель матрицы 4 порядка онлайн калькулятор,определитель матрицы 4х4,определитель матрицы 4х4 найти,определитель матрицы 4х4 онлайн,определитель матрицы 4х4 формула,определитель матрицы 5х5,определитель матрицы калькулятор,определитель матрицы онлайн,определитель матрицы онлайн 4 порядка,определитель матрицы онлайн 4х4,определитель матрицы онлайн калькулятор,определитель матрицы онлайн калькулятор с подробным решением,определитель матрицы онлайн калькулятор с решением,определитель матрицы онлайн по строке,определитель матрицы онлайн решение,определитель матрицы онлайн с буквами,определитель матрицы онлайн с решением,определитель матрицы по строке онлайн,определитель матрицы рассчитать,определитель матрицы рассчитать онлайн,определитель матрицы решение онлайн,определитель матрицы с буквами онлайн,определитель матрицы с решением онлайн,определитель матрицы с решением онлайн калькулятор,определитель матрицы считать онлайн,определитель онлайн,определитель онлайн 2 порядка,определитель онлайн калькулятор,определитель онлайн решение,определитель онлайн решить,определитель посчитать,определитель решение матрицы онлайн,определитель решение онлайн,определитель решить,определитель решить онлайн,определитель считать,определитель считать онлайн,определитель третьего порядка онлайн калькулятор,определитель четвертого порядка калькулятор онлайн,определитель четвертого порядка онлайн,определить вычислить онлайн,определить матрицы калькулятор,определить матрицы онлайн,определить онлайн,определить онлайн матрицы,определить посчитать онлайн,подсчет определителя матрицы онлайн,поиск определителя матрицы онлайн,получить нули в строке матрицы онлайн калькулятор,посчитать детерминант матрицы онлайн,посчитать онлайн определитель,посчитать онлайн определитель 4 порядка,посчитать определитель,посчитать определитель 4 порядка онлайн,посчитать определитель матрицы,посчитать определитель матрицы онлайн,посчитать определитель онлайн,посчитать определить онлайн,приведение матрицы к диагональному виду онлайн,привести к диагональному виду матрицу онлайн,привести матрицу к диагональному виду онлайн,рассчитать определитель матрицы,рассчитать определитель матрицы онлайн,рассчитать определитель онлайн,расчет матрицы,расчет определителя матрицы онлайн,решение матриц 4 порядка онлайн,решение матриц 4х4,решение матриц методом онлайн,решение матриц онлайн 4 порядка,решение матриц онлайн методом,решение матрицы онлайн 3 на 3,решение матрицы онлайн определитель,решение матрицы определитель онлайн,решение онлайн матриц 4 порядка,решение онлайн определитель,решение онлайн определитель матрицы,решение онлайн определителя,решение определителей 4 порядка онлайн,решение определителей онлайн,решение определители онлайн,решение определитель матрицы онлайн,решение определитель онлайн,решение определителя 4 порядка онлайн,решение определителя онлайн,решить онлайн определитель,решить онлайн определитель 4 порядка,решить определитель 4 порядка онлайн,решить определитель онлайн,сделать линейные преобразования найти определитель,считать онлайн определитель,считать онлайн определитель матрицы,считать определитель,считать определитель матрицы онлайн,считать определитель онлайн,теорема лапласа онлайн калькулятор,упростить и вычислить определитель. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление матриц. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление определителей онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление матриц Онлайн?

Решить задачу вычисление матриц вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Определитель 4 порядка. Калькулятор

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются - выделено красным)


В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников












Найденные значения подставляем в выходной детерминант

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников












Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.


По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений. В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций. Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.

теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание:

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.


Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Слишком сложно?

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение.{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.


Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце.{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$

$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$

Ответ. $\Delta=-80$


Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $\Delta$ - определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки - вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$

$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Калькулятор онлайн - Операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Вычисление определителя матрицы, обратной матрицы, ранга матрицы

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Матрицы и операции над ними

Виды матриц

Определение 1.
Матрицей размера \(m \times n \) называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из \(mn\) чисел, которые расположены в \(m\) строках и \(n\) столбцах. Составляющие матрицу числа называют элементами этой матрицы.

Как правило, их обозначают строчной буквой с двумя индексами, например \(a_{ij}\), где \(i\) — номер строки ( \(i=\overline{1,m} \) ), \(j\) — номер столбца ( \(j=\overline{1,n} \) ), в которых расположен этот элемент.

Матрицу записывают так:
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} $$

Если по тексту ясно, в каких пределах изменяются индексы \(i\) и \(j\), то сокращённо матрицу можно записать так: \( \left(a_{ij} \right) \). Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой: \(A\), \(B\) и т.д.

Элементами матриц могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты. Например, элементами матриц могут быть многочлены или матрицы.

Матрицу называют матрицей-строкой, если матрица имеет размер \(1 \times n \), т.е. если у матрицы всего одна строка. Число элементов в матрице-строке называют её длиной.
\(A=(a_1, \; ...,\; a_n) \)

Матрицу называют матрицей-столбцом, если матрица имеет размер \(m \times 1 \), т.е. если у матрицы один столбец. Число элементов в матрице-столбце называют её высотой.
\(A = \begin{pmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{m} \\ \end{pmatrix} \)

Матрицу называют квадратной порядка \(n\), если \( m=n\), т.е. когда матрица имеет столько же столбцов, сколько и строк :
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ а если \(m \neq n \) — прямоугольной.

У квадратных матриц выделяют последовательности элементов \( a_{11}, \; a_{22}, \; ..., \; a_{nn} \) — главную диагональ, и \( a_{n1}, \; a_{n-1,2}, \; ..., \; a_{1n} \) — побочную диагональ. Элементы главной диагонали называют диагональными. Понятия диагонального элемента и главной диагонали распространяют и на прямоугольные матрицы.

Если в квадратной матрице порядка \(n\) все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т.е. если матрица имеет вид
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$,
то её называют диагональной к обозначают \( \text{diag} (a_{11}, \; ..., \; a_{nn} ) \).
Если в диагональной матрице порядка \(n\) на диагонали стоят единицы, то её называют единичной и обозначают обычно \(E\) :
$$ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} $$,

Матрицу размера \(m \times n \), все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей соответствующего размера и обозначают буквой \(\Theta\) или цифрой 0.

Часто используют матрицы и других видов, например верхние треугольные матрицы
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$
у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, и нижние треугольные матрицы, у которых, наоборот, элементы над главной диагональю равны нулю:
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$

Ступенчатой матрицей (матрицей ступенчатого вида) называют матрицу размера \(m \times n \), если для любой её строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
Следующие матрицы имеют ступенчатый вид:
\( \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \)

Линейные операции над матрицами

Определение 2.
Две матрицы называют равными, если они имеют один и тот же размер и если у них совпадают соответствующие элементы.

Определение 3.
Суммой матриц \( A=(a_{ij}) \) и \( B=(b_{ij}) \) размера \(m \times n \) называют матрицу \( C=(c_{ij}) \) того же размера с элементами \( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \; i=\overline{1,m} , \; j=\overline{1,n} \)

В подробной записи:
\( A+B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} + \) \( \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{pmatrix} = \) \( \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\ \end{pmatrix} = C \)

Сумма определена только для матриц одного размера.

Определение 4.
Произведением матрицы \( A=(a_{ij}) \) размера \(m \times n \) на число \( k \in \mathbb{R}\) называют матрицу \( C=(c_{ij}) \) размера \(m \times n \) с элементами \( c_{ij} = k \cdot a_{ij} \).
Подробно это произведение выглядит так:
\( k \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} = \) \( \begin{pmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \cdots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \cdots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} & k \cdot a_{m2} & \cdots & k \cdot a_{mn} \\ \end{pmatrix} \)

Замечание. Операции сложения и умножения на число для матриц аналогичны одноименным операциям над векторами.{n+m}\).

Элементарные преобразования матриц

Следующие три операции называют элементарными преобразованиями строк матрицы :

1. Умножение строки матрицы на число не равное нулю.

2. Перестановка двух строк матрицы.

3. Суммирование одной строки с другой строкой, умноженной на число.

Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов.

Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную.

Теорема. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Определители

Определители n-го порядка

В теории определителей n-го порядка используются понятия перестановки, подстановки и их четности. Всякое расположение чисел \( 1,\; 2,\; 3,\; ...,\; n \) в определенном порядке называют перестановкой из \(n\) чисел.
Из \(n\) чисел можно образовать \(n!\) различных перестановок.
В общем случае перестановку записывают в виде матрицы-строки \( \alpha = (\alpha_1,\; \alpha_2,\; ...,\; \alpha_n ) \)
Перестановку \( (1,\; 2,\; 3,\; ...,\; n) \) называют нормальной.

Два числа \(\alpha_i\) и \(\alpha_j\) в перестановке \( \alpha = (\alpha_1,\; ...,\; \alpha_n ) \) образуют инверсию, если \(\alpha_j > \alpha_i \) но при этом \(\alpha_i\) стоит в перестановке правее \(\alpha_j\) (т.е. \(i>j\) ).
Общее количество инверсий в перестановке \(\alpha \) обозначают \( |\alpha | \), и если это число четное, то перестановку называют четной, а если оно нечетное — нечетной.

Транспозицией перестановки называют такое её преобразование, при котором в ней меняются местами какие-либо два элемента, а другие остаются на своих местах.

Теорема. Любая транспозиция меняет четность перестановки.

Из двух перестановок \( ( \alpha_1,\; ...,\; \alpha_n ) \) и \( ( \beta_1,\; ...,\; \beta_n ) \) одних и тех же чисел можно составить новый объект
$$ \sigma = \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix} , \tag{1} $$
который называют подстановкой n-й степени.

Подстановку называют четной, если перестановки, из которых она состоит, имеют одинаковую четность, и нечетной в противоположном случае.
Четность подстановки \( (1) \) совпадает с четностью числа \( |\beta|+|\alpha| \) — общего количества инверсий в строках подстановки, которое обозначают \( |\sigma| \).

Транспозицией подстановки называют любую перестановку её столбцов. Поскольку транспозиция подстановки вызывает транспозиции и в образующих её перестановках, то, согласно предыдущей теореме, очевидно, что транспозиция подстановки не меняет её четность.

Каждая подстановка вида \( (1) \) задает взаимно однозначное отображение множества чисел \( 1,\; 2,\; 3,\; ...,\; n \) на себя, при котором \( \beta_1 \) отображается в \( \alpha_1 \; , \; \beta_2 \) — в \( \alpha_2\) и т.д.
В соответствии с интерпретацией подстановок как отображений две подстановки считают равными, если они отличаются только порядком записи своих столбцов.
Например, подстановки
\( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \;\; и \;\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix} \)
равны, так как вторая получается из первой перестановкой столбцов.

Соглашение о равенстве подстановок позволяет записать любую подстановку так, чтобы первая строка являлась нормальной перестановкой. Поэтому различных подстановок \(n\)-й степени имеется ровно \(n!\)

Определение.{|\sigma|} a_{1\alpha_1} a_{2\alpha_2} ... a_{n\alpha_n} \tag{3} $$ которая берется по всевозможным подстановкам вида
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix} \)

Определитель матрицы \(A\) часто называют просто определителем, или детерминантом, и обозначают
\( \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \)
или \( \det A\), называя \(A\) матрицей этого определителя.

Свойства определителей

Поскольку определители соответствуют квадратным матрицам, в их теорию легко переносится матричная терминология (порядок, элементы, строки, столбцы, диагональ, диагональные элементы, виды матриц и определителей, транспонирование, элементарные преобразования строк и столбцов, линейные комбинации строк и столбцов и др.T \right| \)

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Свойство 3. Если все элементы \(j\)-го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме \(j\)-го, такие же, как и в данном определителе, а \(j\)-й столбец первого определителя состоит из первых слагаемых \(j\)-го столбца данного определителя, а второго — из вторых слагаемых :
\( \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \alpha_{1j} + \beta_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \alpha_{2j} + \beta_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} + \beta_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \) \( \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \alpha_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \alpha_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & \alpha_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \) \( \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \beta_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \beta_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & \beta_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \) Аналогично для строки.

Свойство 4. Общий множитель элементов строки или столбца может быть вынесен за знак определителя.
Для умножения определителя на число достаточно умножить на это число элементы любой строки или любого столбца.

Свойство 5. Определитель равен нулю, если он имеет :
1) нулевую строку (столбец)
2) хотя бы две одинаковые строки (столбца)
3) хотя бы две строки (столбца), элементы которых пропорциональны
4) хотя бы одну строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов).

Свойство 6. Определитель не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбцец), умноженную на число.

В матрице \(A\) вычеркнем \(i\)-ю строку и \(j\)-й столбец, в которых стоит элемент \(a_{ij}\). Из оставшихся элементов можно составить новую квадратную матрицу (n-1)-го порядка, сдвинув строки и столбцы после вычеркивания.
Определитель построенной матрицы обозначают через \( M_{ij} \) и называют минором (матрицы \(A\) и её определителя \(\Delta\) ), соответствующим элементу \(a_{ij}\).{i+j} a_{ij} M_{ij} \tag{5} $$ ( разложение по \(j\)-му столбцу )

Разложения по строке (4) и столбцу (5) дают правила, в соответствии с которыми определитель n-го порядка сводится к n определителям (n-1)-го порядка, раскладывая которые получим n(n-1) определителей (n-2)-го порядка и т.д.
Эти вычисления получаются громоздкими, однако процесс упрощается, если среди элементов определителя имеется много нулей. Целесообразно раскладывать определитель по тому ряду (строке, столбцу), в котором больше нулей.
Если же в этом смысле некоторые ряды одинаковы, то удобнее выбирать тот из них, в котором элементы имеют большие значения по абсолютной величине, поскольку это упрощает выполнение арифметических вычислений.

Свойство 8. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали, т.е.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = $$ $$ a_{11}a_{22}.n a_{ii} $$

С помощью элементарных преобразований строк любая матрица приводится к ступенчатому виду. Квадратная матрица ступенчатого вида является частным случаем верхней треугольной матрицы, у которой диагональные элементы, начиная с некоторого, могут быть равны нулю. Определитель такой матрицы легко найти по свойству 8. В алгоритме приведения к ступенчатому виду используется перестановка строк, при которой определитель матрицы меняет знак. Изменение знака можно учесть, например, дополнительным умножением определителя или одной из строк на —1. Следовательно, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением значения её определителя.

Свойство 9. Определитель произведения двух квадратных матриц A, B равен произведению их определителей, т.е. \( |АВ| = |A||B| \).

Свойство 10. Определитель обратной матрицы: \( \left| А^{-1} \right| = \frac{1}{|A|} \)

Свойство 11.{1+3} a_{13} M_{13} = $$ $$ a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = $$ $$ a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} $$

Чтобы запомнить, какие произведения элементов берутся со знаком \( "+" \), а какие со знаком \( "-" \) можно использовать следующее правило треугольников.
Произведения элементов, стоящих на зелёных точках складываются, а на синих - вычитаются :

Также для вычисления определителя 3-го порядка существует правило Саррюса.
Первый и второй столбцы матрицы записываются справа от основной матрицы.
Произведения элементов, стоящих на зелёных линиях складываются, а на синих - вычитаются :

Обратная матрица и её свойства

Определение.{-1}\), обратную к \(A\), фактически надо решить матричное уравнение \(AX=E\).
Отметим, что если над матрицей \(A\) выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то это же преобразование осуществляется и над матрицей \(AX\), поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению её слева на соответствующую матрицу специального вида. Таким образом, если в уравнении \(AX=E\) над матрицами \(A\) и \(E\) одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить это равенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение \(A_1X=B_1\). Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, так как любое элементарное преобразование строк имеет обратное элементарное преобразование строк.
Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы на s-м шаге матрица \(A\) превратилась в единичную матрицу.
В результате этих s шагов получается уравнение \(A_sX=B_s\), где \(A_s=E\), т.{-1}\).

Ранг матрицы

Определение.
Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди её ненулевых миноров.

Для ранга матрицы \(A\) используют обозначение \(\text{rang}A\).

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то её ранг равен её порядку n : ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы.
В частности, ранг единичной матрицы \(E\) порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то её ранг меньше её порядка : единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству её ненулевых диагональных элементов.

Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее.T = \text{rang} A \)

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её строк и столбцов.

Теорема о базисном миноре

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение.
Минор \(M\) матрицы \(M\) называют базисным, если выполнены два условия:
1) он не равен нулю
2) его порядок равен рангу матрицы А

Матрица \(A\) может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы \(A\), в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы \(A\), соответствующие любому её базисному минору \(M\), линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы \(A\), не входящие в \(M\), являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Следствие. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы.

Теорема. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема. Для любой матрицы её ранг равен максимальному количеству её линейно независимых строк (столбцов).

Следствие. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Вычисление ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Минор \(M'\) матрицы \(A\) называют окаймляющим для минора \(M\), если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы \(A\).
Ясно, что порядок окаймляющего минора \(M'\) на единицу больше, чем порядок минора \(M\).

Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров матрицы и состоит в следующем.
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.

Теорема. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

Метод элементарных преобразований

При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы её ранг не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.

Например с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, а любое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.

Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга.
При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из её базисных миноров.

При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением её вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

- если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

.

Возьмём минор

,

окаймляющими будут такие миноры:

.

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

,

,

,

.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2).

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 2. Найти ранг матрицы

.

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 3. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B, то .

Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B, вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

.

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на - 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу

.

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

.

Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.

Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).

Поделиться с друзьями

Начало темы "Матрицы"

Продолжение темы "Матрицы"

Другие темы линейной алгебры

Вычисление определителя матрицы в EXCEL. Примеры и описание

Вычислим определитель (детерминант) матрицы с помощью функции МОПРЕД() или англ. MDETERM, разложением по строке/столбцу (для 3 х 3) и по определению (до 6 порядка).

Определитель матрицы (det) можно вычислить только для квадратных матриц, т.е. у которых количество строк равно количеству столбцов.

Для вычисления определителя в MS EXCEL есть специальная функция МОПРЕД() . В аргументе функции необходимо указать ссылку на диапазон ячеек (массив), содержащий элементы матрицы (см. файл примера ).

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A7:B8 , но и как массив констант , например =МОПРЕД({5;4:3;2}) . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Для матриц порядка 2 можно определитель можно вычислить без использования функции МОПРЕД() . Например, для вышеуказанной матрицы выражение =A7*B8-B7*A8 вернет тот же результат.

Для матрицы порядка 3, например размещенной в диапазоне A16:C18 , выражение усложняется =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18) (разложение по строке).

В файле примера для матрицы 3 х 3 определитель также вычислен через разложение по столбцу и по правилу Саррюса.

Свойства определителя

Теперь о некоторых свойствах определителя (см. файл примера ):

  • Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
  • Если в матрице все элементы хотя бы одной из строк (или столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю
  • Если переставить местами две любые строки (столбца), то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак)
  • Если все элементы одной из строк (столбца) умножить на одно и тоже число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k
  • Если матрица содержит строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель =0
  • det(А)=1/det(А -1 ), где А -1 - матрица обратная матрице А (А - квадратная невырожденная матрица).

Вычисление определителя матрицы по определению (до 6 порядка включительно)


СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОПРЕД() .

Как было показано выше для вычисления матриц порядка 2 и 3 существуют достаточно простые формулы и правила. Для вычисления определителя матриц более высокого порядка (без использования функции МОПРЕД() ) придется вспомнить определение:

Определителем квадратной матрицы порядка n х n является сумма, содержащая n! слагаемых ( =ФАКТР(n) ). Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

где ( α 1 , α 2 ,..., α n ) - перестановка чисел от 1 до n , N( α 1 , α 2 ,..., α n ) - число инверсий в перестановке , суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .

Попытаемся разобраться в этом непростом определении на примере матрицы 3х3.

Для матрицы 3 х 3, согласно определения, число слагаемых равно 3!=6, а каждое слагаемое состоит из произведения 3-х элементов матрицы. Ниже приведены все 6 слагаемых, необходимых для вычисления определителя матрицы 3х3:

  • а21*а12*а33
  • а21*а32*а13
  • а11*а32*а23
  • а11*а22*а33
  • а31*а22*а13
  • а31*а12*а23

а21, а12 и т.д. - это элементы матрицы. Теперь поясним, как были сформированы индексы у элементов, т.е. почему, например, есть слагаемое а11*а22*а33, а нет а11*а22*а13.

Посмотрим на формулу выше (см. определение). Предположим, что второй индекс у каждого элемента матрицы (от 1 до n) соответствует номеру столбца матрицы (хотя это может быть номер строки (это не важно т.к. определители матрицы и ее транспонированной матрицы равны). Таким образом, второй индекс у первого элемента в произведении всегда равен 1, у второго - 2, у третьего 3. Тогда первые индексы у элементов соответствуют номеру строки и, в соответствии с определением, должны определяться из перестановок чисел от 1 до 3, т.е. из перестановок множества (1, 2, 3).

Теперь понятно, почему среди слагаемых нет а11*а22*а13, т.к. согласно определения ( в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А ), а в нашем слагаемом нет элемента из строки 3.

Примечание : Перестановкой из n чисел множества (без повторов) называется любое упорядочивание данного множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Например, дано множество их 3-х чисел: 1, 2, 3. Из этих чисел можно составить 6 разных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). См. статью Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Число перестановок множества из 3-х чисел =3!=6 (что, конечно, равно числу слагаемых в выражении для расчета определителя, т.к. каждому слагаемому соответствует своя перестановка). Для матрицы 3х3 все перестановки приведены в примечании выше. Можно убедиться, что в каждом слагаемом первые индексы у элементов равны соответствующим числам в перестановке. Например, для слагаемого а21*а12*а33 использована перестановка (2, 1, 3).

СОВЕТ : Для матрицы 4 порядка существует 4! перестановок, т.е. 26, что соответствует 26 слагаемым, каждое из которых является произведением различных 4-х элементов матрицы. Все 26 перестановок можно найти в статье Перебор всех возможных Перестановок в MS EXCEL .

Теперь, когда разобрались со слагаемыми, определим множитель перед каждым слагаемым (он может быть +1 или -1). Множитель определяется через четность числа инверсий соответствующей перестановки.

Примечание : Об инверсиях перестановок (и четности числа инверсий) можно почитать, например, в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Например, первому слагаемому соответствует перестановка (2, 1, 3), у которой 1 инверсия (нечетное число) и, соответственно, -1 в степени 1 равно -1. Второму слагаемому соответствует перестановка (2, 3, 1), у которой 2 инверсии (четное число) и, соответственно, -1 в степени 2 равно 1 и т.д.

Сложив все слагаемые:  (-1)*(а21*а12*а33)+(+1)*(а21*а32*а13)+(-1)*(а11*а32*а23)+(+1)*(а11*а22*а33)+(-1)*(а31*а22*а13)+(+1)*(а31*а12*а23) получим значение определителя.

В файле примера на листе 4+, и зменяя порядок матрицы с помощью элемента управления Счетчик , можно вычислить определитель матрицы до 6 порядка включительно.

Следует учитывать, что при вычислении матрицы 6-го порядка в выражении используется уже 720 слагаемых (6!). Для 7-го порядка пришлось бы сделать таблицу для 5040 перестановок и, соответственно, вычислить 5040 слагаемых! Т.е. без использования МОПРЕД() не обойтись (ну, или можно вычислить определитель вручную методом Гаусса).

Калькулятор определяющей матрицы 2x2 3x3 4x4 NxN

Поиск инструмента

Определитель матрицы

Инструмент для вычисления определителя матрицы. Определитель квадратной матрицы M - это полезное значение, вычисляемое из ее внутренних элементов и обозначаемое det (M) или | M |.

Результаты

Определитель матрицы - dCode

Метка (и): Матрица

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Вычислитель определителя матрицы 2x2

Погрузка...
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Рассчитать

Калькулятор определителя матрицы 3x3

Загрузка ...
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Рассчитать

Калькулятор определителя Matrix 4x4

Загрузка ...
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Рассчитать

Калькулятор определителя матрицы NxN

Ответы на вопросы (FAQ)

Как вычислить определитель матрицы?

Для квадратной матрицы 2x2 (порядок 2) вычисление выглядит следующим образом:

$$ \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad - bc $$

Пример: $$ \ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {vmatrix} = 1 \ times 4 - 2 \ times 3 = -2 $$

Для матрицы большего размера, такой как порядок 3 (3x3), вычислите:

$$ \ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end {vmatrix} - b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} \\ = aei-afh + bfg-bdi + cdh-ceg $$

Вычисленные подматрицы называются минорами исходной матрицы.

Идея та же для матриц большего размера:

Для порядка 4 определитель матрицы 4x4 :

$$ \ begin {vmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \ end {vmatrix} - b \ begin {vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m & n & p \ end {vmatrix} - d \ begin {vmatrix} e & f & g \\ i & j & k \\ m & n & o \ end {vmatrix} \\ = \\ a (fkp - flo - gjp + gln + hjo - hkn) - b (ekp - elo - gip + glm + hio - hkm) + c (ejp - eln - fip + flm + hin - hjm) - d (ejo - ekn - fio + fkm + gin - gjm) \\ = \\ afkp - aflo - agjp + agln + ahjo - ahkn - bekp + belo + bgip - bglm - bhio + bhkm + cejp - celn - cfip + cflm + chin - chjm - dejo + dekn + dfio - dfkm - dgin + dgjm $$

Как вычислить определитель для неквадратной матрицы?

Определитель неквадратной матрицы не определен, он не существует согласно определению определителя.

По какой формуле вычисляется определитель матрицы порядка n?

Нет другой формулы, кроме приведенного выше объяснения для общего случая матрицы порядка n.

Как вычислить определитель матрицы 1х1?

Для матрицы 1x1 определитель является единственным элементом матрицы.

Пример: $$ | 1 | = 1 $$

Что такое определитель единичной матрицы?

Определитель единичной матрицы равен 1.

Пример: $$ \ begin {vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {vmatrix} = 1 \ times 1 - 0 \ times 0 $$

Пример: $$ \ begin {vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix} = (1 \ times 1 \ times 1) - (1 \ раз 0 \ раз 0) + (0 \ раз 0 \ раз 0) - (0 \ раз 0 \ раз 1) + (0 \ раз 0 \ раз 0) - (0 \ раз 1 \ раз 0) = 1 $ $

Только член, соответствующий умножению диагонали, будет равен 1, а остальные члены будут нулевыми.

Как найти определитель матрицы по ее собственным значениям?

Определитель матрицы является произведением ее собственных значений (включая комплексные значения и потенциальную кратность).

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Определитель матрицы». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любых алгоритмов, апплетов или фрагментов «Определителя матрицы» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие. Определитель функции Матрицы (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Определителя матрицы» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

определитель, матрица, дет, квадрат, тождество

Ссылки


Источник: https: // www.dcode.fr/matrix-determinant

© 2021 dCode - Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Калькулятор определителя матрицы nxn

Как найти определитель матрицы?

Рассмотрим матрицу $ A = \ left [ \ begin {array} {cc} а & б \\ компакт диск \\ \ end {массив} \ right] $ размером $ 2 \ times2 $. Настоящее число $$ \ left | \ begin {array} {cc} а & б \\ компакт диск \\ \ end {массив} \ right | = ad-cb $$ - определитель матрицы $ A $.Точнее, чтобы найти определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, нам нужно выполнить следующие шаги:

  • Умножьте элемент в первой строке и первом столбце на элементы во второй строке и втором столбце;
  • Умножить элемент в первой строке и втором столбце на элемент во второй строке и первом столбце;
  • Определитель матрицы $ 2 \ times 2 $ - это разница между вторым и первым произведением.
Минор элемента любого определителя матрицы $ n \ times n $ является определителем матрицы $ (n-1) \ times (n-1) $.Если мы удалим строку и столбец, содержащие элемент, то получим соответствующий минор. Например, младший элемент $ a $, элемент в первой строке и первом столбце определителя Чтобы вычислить определитель матрицы $ n \ times n $, нам нужно разложить определитель на миноры. Сначала выбираем строку в матрице. В каждой позиции в строке мы умножаем элемент на его незначительный знак, умноженный на его позицию, и сложить все суммы для всей строки. Знаки позиции в матрице - плюс или минус в зависимости от позиции элемента.Например, знаки положения в матрице $ 3 \ times 3 $: $$ \ left [ \ begin {array} {ccc} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \\ \ end {массив} \ right] $$ Это означает, что $$ \ begin {align} det (A) = | A | & = \ left | \ begin {array} {ccc} а & b & c \\ d & e & f \\ г & ч & я \\ \ end {массив} \ право | \\ & = a \ left | \ begin {array} {cc} е & е \\ Здравствуй \\ \ end {массив} \ right | -b \ left | \ begin {array} {cc} д & е \\ г & я \\ \ end {массив} \ right | + c \ left | \ begin {array} {cc} d & e \\ г & ч \\ \ end {массив} \ right | \ end {align} $$ Если мы применим этот метод для вычисления определителя $ 4 \ times 4 $, мы получим $$ \ begin {align} det (A) = | A | & = \ left | \ begin {array} {cccc} а & b & c & d \\ e & f & g & h \\ я & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \ end {массив} \ право | \\ & = a \ left | \ begin {array} {ccc} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \\ \ end {массив} \ right | -b \ left | \ begin {array} {ccc} e & g & h \\ я & к & л \\ м & о & п \\ \ end {массив} \ right | + c \ left | \ begin {array} {ccc} e & f & h \\ я & j & l \\ m & n & p \\ \ end {массив} \ right | -d \ left | \ begin {array} {ccc} e & f & g \\ я & j & k \\ м & н & о \\ \ end {массив} \ право | \ end {align} $$ Для каждого элемента исходной матрицы его минор является определителем $ 3 \ times 3 $.

Существует другой способ вычисления определителя $ 3 \ times 3 $, хорошо известный как правило Сарруса или схема Сарруса.

  • Расширить определитель, переписав первые два столбца чисел:
  • Сложите произведения красных диагоналей и вычтите произведения синих диагоналей, т. Е. $$ det (A) = aei + bfg + cdh-ceg-afh-bdi $$ Это правило можно запомнить, вспомнив о диагоналях расширенного определителя. читать диагонали означает плюс $ (aei + bfg + cdh) $, а синие диагонали означают минус $ (- ceg-afh-bdi) $.
Правило Сарруса не применимо для вычисления определителя $ 4 \ times 4 $, оно требует некоторых модификаций. Например, найдем определитель матрицы $ 3 \ times 3 $ $$ \ left | \ begin {array} {ccc} 10 и 20 и 10 \\ 4 и 5 и 6 \\ 2 и 3 и 5 \\ \ end {массив} \ right | $$ Используя правило Сарруса, получаем $$ \ left | \ begin {array} {ccc | cc} 10 и 20 и 10 и 10 и 20 \\ 4 и 5 и 6 и 4 и 5 \\ 2 и 3 и 5 и 2 и 3 \\ \ end {массив} \верно.= 10 \ cdot5 \ cdot5 + 20 \ cdot6 \ cdot2 + 10 \ cdot4 \ cdot 3-10 \ cdot5 \ cdot2-10 \ cdot6 \ cdot3-20 \ cdot4 \ cdot5 = -70 $$ Работа с определителем матрицы $ n \ times n $ с шагами показывает полное пошаговое вычисление для нахождение определителя $ 3 \ times 3 $ матрицы $ A $ по формуле определителя. Для любые другие матрицы, просто укажите действительные числа в качестве элементов матрицы и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы и люди, изучающие математику, используют этот калькулятор определителя матрицы nxn для создания работать, проверять результаты определителя матрицы, полученные вручную, или эффективно выполнять домашние задания.Ученики начальной школы также могут использовать этот калькулятор для решения системы линейных уравнений. Калькулятор определителя матрицы

Добро пожаловать в калькулятор определителя матрицы , где у вас будет возможность вычислить, ну, детерминанты матрицы, используя простую в использовании формулу определителя для любой квадратной матрицы размером до 4x4. Кроме того, мы рассмотрим некоторые из основных свойств определителей , которые могут помочь в решении более крупных, таких как определитель матрицы 4x4.

" Что такое детерминант и почему меня это должно волновать? " Мы покажем вам определение детерминанта через некоторое время, но давайте просто скажем, что, помимо прочего, он чрезвычайно полезен при работе с системами уравнений. По сути, , как решить систему из трех уравнений, совпадает с тем, как найти определитель матрицы 3x3 .

Убеждены? Воодушевлены? В восторге? Тогда идем дальше, ладно?

Что такое определитель?

Почему бы нам не начать с , что такое матрица ? Вы не поверите, но это не только классика научной фантастики 90-х.В математике это имя, которое мы даем массиву элементов (обычно чисел) с заданным количеством строк и столбцов . Пример матрицы

А =
3 –1
| 0 2
1 –1

Как видите, числа заключены в две большие квадратные скобки: [ и ] .Также мы говорим, что, например, число 2 равно в ячейке во второй строке и втором столбце .

Определение определителя утверждает, что это число , полученное путем умножения и сложения ячеек квадратной матрицы в соответствии с заданным правилом . Давайте подробнее рассмотрим здесь несколько важных вещей.

  • Как следует из определения определителя, нам нужна квадратная матрица , чтобы даже начать вычисления.Это означает, что мы можем найти определитель матрицы 2x2 или определитель матрицы 4x4, но не, например, чего-то похожего на приведенную выше A , которая является матрицей 3x2 (три строки и два столбца);
  • Формула детерминанта для больших матриц становится довольно сложной . Количество его слагаемых равно количеству перестановок числа, являющегося стороной матрицы. Это означает, что определитель матрицы 2x2 имеет только два слагаемых, но для матриц 5x5 мы получаем 120 слагаемых;
  • Есть способы упростить вычисления .Например, поиск определителя матрицы 4x4 можно превратить в задачу о том, как найти определитель матрицы 3x3. Мы рассмотрим некоторые из таких свойств определителей в разделе «Свойства определителей»; и
  • Определитель матрицы , A обозначается | A | (просто замените квадратные скобки матрицы вертикальными линиями | ) или det (A) . Не путайте первое обозначение с абсолютным значением! В общем, определитель может быть отрицательным числом .

Итак, что такое определитель? Это число, мы многому научились. Но почему это полезно? Где это появляется?

Определитель матрицы - чрезвычайно полезный и часто используемый инструмент в линейной алгебре. Когда у нас есть матрица и мы хотим ее понять, определитель - это одно из первых, к чему мы обращаемся. Например, любая система линейных уравнений может быть описана матрицей, и ее определители помогают нам найти решение, например, с помощью правила Крамера.Более того, когда мы используем матрицы для описания линейного преобразования, часто лучше диагонализовать их . Как мы это делаем? Конечно, с детерминантами. Определитель матрицы также сообщает нам, есть ли у матрицы обратная матрица и нужно ли аппроксимировать обратную матрицу псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза. Наконец, нам обычно нужны собственные значения такого преобразования. Да, вы догадались - для этого , мы также используем определители .

Надеюсь, нам удалось убедить вас в том, что стоит изучить определение детерминанта. Но как это вычислить? Есть ли какая-нибудь короткая и понятная формула для определения определяющих факторов для повседневного использования?

Общая детерминантная формула

Прежде чем мы рассмотрим некоторые конкретные примеры, например, как найти определитель матрицы 3x3, давайте взглянем на чудовищность, которая составляет общее определение определителя .

Пусть A - квадратная матрица размером n , где n - некоторое натуральное число. Обозначим ячейки A через i, j , где i - номер строки, а j - номер столбца.Тогда:

| A | = Σ (-1) знак (σ) Π a i, σ (i)

где,

  • Σ - это некоторые из всех перестановок набора {1,2, ..., n} ; и
  • Π является произведением i -s от 1 до n .

Красиво, не правда ли? Если перевести забавные символы в нечто более понятное, это означает примерно следующее:

Чтобы вычислить определитель, посмотрите на свою матрицу, возьмите n чисел, по одному из каждой строки и каждого столбца, и умножьте их вместе.Возьмите все такие числа n , иногда меняйте их знак и просуммируйте все это.

Не волнуйтесь, теперь, когда мы опубликовали это общее определение детерминанта, мы больше не будем об этом думать . Мы будем придерживаться , простых случаев , где матрица не слишком велика, чтобы показать, что это на самом деле означает.

Определитель матрицы 2x2, 3x3 и 4x4

Как это часто бывает в жизни, размер имеет значение. В данном конкретном случае чем меньше матрица, тем легче определить формулу .Для единообразия мы использовали те же обозначения, что и в калькуляторе определителя матрицы.

Если

А =
и b₁
и b₂

, затем определитель A равен

| A | = а₁ * - а₂ * .

Обратите внимание, что это эквивалентно взятию числа одной из диагоналей квадратной матрицы (из верхнего левого угла в нижний правый) за вычетом другой (из верхнего правого угла в нижний левый).

Далее, если

и b₁ c₁
B = | и b₂ c₂
и b₃ c₃

, затем определитель B равен

| B | = a₁ * b₂ * c₃ + a₂ * b₃ * c₁ + a₃ * b₁ * c₂ - a₃ * b₂ * c₁ - a₁ * b₃ * c₂ - a₂ * b₁ * c₃ .

Здесь мы снова можем использовать диагонали, чтобы запомнить формулу. Чтобы это было ясно, давайте снова напишем две верхние строки под матрицей:

| и b₁ c₁
| и b₂ c₂
| и b₃ c₃
и b₁ c₁
и b₂ c₂

Теперь, как и в случае 2x2, начинается с диагонали исходной квадратной матрицы, которая идет от верхнего левого угла к нижнему правому - это первое слагаемое, a₁ * b₂ * c₃ .Затем мы берем всю эту диагональ и перемещаем ее на один шаг вниз на , т.е. в каждом столбце берем элемент под тем, который мы взяли ранее. Здесь развернутый массив, который мы нарисовали выше, помогает нам увидеть, что это дает второе слагаемое, a₂ * b₃ * c₁ . Мы делаем это еще раз, чтобы получить a₃ * b₁ * c₂ и , на этом заканчиваются диагонали вниз-вправо и слагаемые, которые появляются со знаком плюс .

Затем, , мы переходим к другой диагонали исходной матрицы (от верхнего правого угла до нижнего левого) и получаем первое отрицательное слагаемое в формуле a₃ * b₂ * c₁ .Делаем то же самое, что и раньше - перемещаем диагональ вниз на . Развернутая форма выше позволяет нам легко увидеть, что это дает два других отрицательных слагаемых, a₁ * b₃ * c₂ и a₂ * b₁ * c₃ .

Наконец, если

С =
и b₁ c₁ d₁
| и b₂ c₂ d₂
| и b₂ c₃ d₃
и b₄ c₄ d₄

, то определитель такой матрицы 4x4 равен

| C | = a₁ * b₂ * c₃ * d₄ - a₂ * b₁ * c₃ * d₄ + a₃ * b₁ * c₂ * d₄ - a₁ * b₃ * c₂ * d₄ + a₂ * b₃ * c₁ * d₄ - a₃ * b₂ * c₁ * d₄ + a₃ * b₂ * c₄ * d₁ - a₂ * b₃ * c₄ * d₁ + a₄ * b₃ * c₂ * d₁ - a₃ * b₄ * c₂ * d₁ + a₂ * b₄ * c₃ * d₁ - a₄ * b₂ * c₃ * d₁ + a₄ * b₁ * c₃ * d₂ - a₁ * b₄ * c₃ * d₂ + a₃ * b₄ * c₁ * d₂ - a₄ * b₃ * c₁ * d₂ + a₁ * b₃ * c₄ * d₂ - a₃ * b₁ * c₄ * d₂ + a₂ * b₁ * c₄ * d₃ - a₁ * b₂ * c₄ * d₃ + a₄ * b₂ * c₁ * d₃ - a₂ * b₄ * c₁ * d₃ + a₁ * b₄ * c₂ * d₃ - a₄ * b₁ * c₂ * d₃ .

Уф, это был длинный, не так ли? Теперь вы можете видеть, что очень легко найти определитель матрицы 2x2, и мы можем узнать, как найти определитель матрицы 3x3 за час или около того. Но определитель матрицы 4x4 - это совершенно новая проблема . Не поймите нас неправильно, это вполне выполнимо, но кто будет платить нам за то время, которое мы потратили на вычисления и, позже, на поиск, где мы взяли a₁ вместо a₂ ?

Итак, как мы можем использовать здесь диагональный трюк? Ответ прост: мы не .К сожалению, это не работает для матриц от 4 и более.

" Итак, как я могу эффективно вычислить, что такое определитель 4х4? Или 5х5? " Ну, как удобно с вас спросить! Мы покажем вам это в следующем разделе.

Свойства определителей

Теперь мы перечислим несколько важных свойств детерминантов , которые могут оказаться полезными. Мы начинаем с простых и выносим большие пушки в самом конце.

  1. Определитель продукта является произведением определяющих факторов. Другими словами, если мы умножаем две квадратные матрицы и хотим найти определитель результата, то мы можем получить ответ, вычислив определители факторов и умножив их вместе.

  2. Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования. По сути, если вместо матрицы, с которой мы начали, мы "перевернем ее", так что ее первая строка будет первым столбцом, первый столбец будет первой строкой и т. Д. (Это называется транспонированием матрица ), то их определители будут одинаковыми.Например:

| 1 4 –1 | 1 0 6
| 0 2 -3 = | 4 2 11
| 6 11 5 | –1 -3 5
  1. Если мы поменяем местами две строки или два столбца, определитель останется тем же, но с противоположным знаком. Это означает, что, например, если мы хотим знать, как найти определитель матрицы 3x3, то мы можем заменить, скажем, ее первый столбец третьим, чтобы получить то же число, но с другим знаком (см. пример ниже).
| 1 4 –1 | –1 4 1
| 0 2 -3 = | -3 2 0
| 6 11 5 | 5 11 6
  1. Мы можем добавить любое ненулевое кратное строки к некоторой другой строке (или столбцу к столбцу) и не изменять определитель .Это похоже на то, что мы делаем в методе исключения Гаусса, когда мы хотим найти эшелонированную форму строки системы уравнений, за исключением того, что здесь мы имели дело только со строками (которые соответствовали уравнениям). Это свойство означает, что если мы добавим, скажем, две копии первой строки ко второй, мы получим матрицу с тем же определителем. Например:
| 1 4 –1 | 1 4 –1
| 0 2 -3 = | 0 + 2 * 1 2 + 2 * 4 -3 + 2 * (- 1)
| 6 11 5 | 6 11 5

что дает,

| 1 4 –1 | 1 4 –1
| 0 2 -3 = | 2 10 -5
| 6 11 5 | 6 11 5
  1. ( разложение Лапласа ) Помните вопрос « Что является определителем матрицы 5x5? » из приведенного выше раздела? Наконец, мы можем коснуться этой темы и представить мощный инструмент , который поможет нам с формулой детерминанта.

Пусть A будет квадратной матрицей размером n . Скажем, что j -я строка (или столбец) A имеет элементы a₁ , a₂ , ..., aₙ . Обозначим через Aᵢ матрицу, полученную из A путем удаления всей строки и столбца, в которых у нас было aᵢ (тогда Aᵢ представляет собой квадратную матрицу размером n-1 ). Тогда

| A | = (-1) j + 1 * a₁ * | A₁ | + (-1) j + 2 * a₂ * | A₂ | +... + (-1) j + n * aₙ * | Aₙ |.

Вот это полезный инструмент, если мы когда-либо его видели. И пользоваться им довольно весело! Например, если нас спросят, как найти определитель матрицы 3x3, мы можем взять лист бумаги, выбрать, скажем, третью строку матрицы и с энтузиазмом написать:

| 1 4 –1
| 0 2 -3
| 6 11 5
= (-1) 3 + 1 * 6 * +

Чтобы прочитать всю эту теорию, должно быть, потребовались века, так почему бы нам, наконец, не взглянуть на пример ?

Пример: использование калькулятора определителя матрицы

Скажем, вы хотите вычислить определитель следующей матрицы :

А =
2 5 1 3
| 4 1 7 9
| 6 8 3 2
7 8 1 4

Определитель матрицы 4х4 , а? Мы видели формулу определителя для одного в разделе «Определитель матрицы 2x2, 3x3 и 4x4», поэтому мы знаем, что будет не очень интересным , не так ли? Но с тех пор мы узнали некоторые свойства детерминантов, так почему бы нам не заставить их работать в нашу пользу ?

Прежде чем мы это сделаем, давайте, , воспользуемся калькулятором определителя матрицы , чтобы увидеть, как наш инструмент упрощает такие задачи.Прежде всего, мы имеем дело с матрицей 4x4, поэтому нам нужно сообщить об этом калькулятору , выбрав соответствующий вариант в разделе «Размер матрицы ».

Это покажет нам пример такой матрицы с символической нотацией для ее элементов . Как мы видим, a₁ , b₁ , c₁ и d₁ обозначают числа в первой строке, поэтому давайте прокрутимся туда, где мы вводим данные, и загрузим калькулятор определителя матрицы тем, что у нас есть в нашем упражнении. :

a₁ = 2 , b₁ = 5 , c₁ = 1 , d₁ = 3 .

Аналогично для остальных строк имеем:

a₂ = 4 , b₂ = 1 , c₂ = 7 , d₂ = 9 ,

a₃ = 6 , b₃ = 8 , c₃ = 3 , d₃ = 2 ,

a₄ = 7 , b₄ = 8 , c₄ = 1 , d₄ = 4 .

В тот момент, когда мы напишем последнее число, калькулятор определителя матрицы сотворит чудеса и выдаст ответ :

| A | = 630 .

Хорошо, теперь, когда у нас есть этот спойлер ответа, давайте посмотрим, , как мы можем получить этот ответ вручную . Очевидно, один из способов - просто использовать формулу детерминанта из 24 членов, но нам нужны дополнительные баллы для творчества и мы хотим, чтобы использовал свойства детерминантов .

Мы будем использовать расширение Лапласа, но с умом. Мы выбираем произвольную строку или столбец, скажем, первую строку матрицы, и пытаемся немного упростить раскрытие.В конце концов, если мы сразу воспользуемся формулой, мы получим сумму четырех определителей 3x3. Не страшно, но и не здорово. Однако мы можем сделать что-нибудь сначала - использовать элементарные операции с столбцами .

В предыдущем разделе мы видели, что если мы добавим ненулевое кратное столбцу к другому столбцу, определитель останется прежним. Итак, , почему бы нам не добавить (-2) , кратное третьему столбцу, к первому ?

| A | =
| 2 + (- 2) * 1 5 1 3
| 4 + (- 2) * 7 1 7 9
| 6 + (- 2) * 3 8 3 2
| 7 + (- 2) * 1 8 1 4

что дает,

| A | =
| 0 5 1 3
| -10 1 7 9
| 0 8 3 2
| 5 8 1 4

И зачем мы это сделали? Напомним, что в разложении Лапласа слагаемые были такими: (-1) в некоторой степени, умноженной на элемент строки или столбца, который мы выбрали, умноженный на меньший определитель.Следовательно, если теперь развернуть | A | по отношению к первой строке, слагаемое, соответствующее первой ячейке в первой строке, будет равно (-1) до некоторой степени, умноженной на 0 умноженной на некоторый определитель. И это ноль , потому что все, умноженное на ноль, равно нулю.

Отлично, мы уменьшили количество слагаемых на одно! Так как насчет повторить процедуру и получить еще меньше ? Для этого мы хотим иметь больше нулей в первой строке, поэтому давайте превратим 5 и 3 в 0 -s.Как и раньше, , мы добавляем к этим столбцам правое число, кратное третьему столбцу (тот, у которого 1 ):

| A | =
| 0 5 + (- 5) * 1 1 3 + (- 3) * 1
| -10 1 + (- 5) * 7 7 9 + (- 3) * 7
| 0 8 + (- 5) * 3 3 2 + (- 3) * 3
| 5 8 + (- 5) * 1 1 4 + (- 3) * 1

что дает,

| A | =
| 0 0 1 0
| -10 -34 7 -12
| 0 -7 3 -7
| 5 3 1 1

Теперь это больше нравится! В этой форме, если мы используем разложение Лапласа для первой строки, мы получим только одно слагаемое, потому что три других будут в 0 умножить на что-то, что составляет 0 .Если быть точным, получаем

| A | = (-1) 1 + 3 * 1 *
| -10 -34 -12
| 0 -7 -7
| 5 3 1

И мы хорошо знаем, как найти определитель матрицы 3x3, не так ли? Но помните, что , если вы хотите немного повеселиться, , вы можете снова использовать расширение Лапласа, чтобы получить определитель матрицы 2x2.В противном случае мы можем просто использовать формулу определителя и на основе приведенного выше получить:

| A | = (-1) ⁴ * (-10 * (- 7) * 1 + (-34) * (- 7) * 5 + (-12) * 0 * 5 - (-12) * (- 7) * 5 - (-10) * (- 7) * 3 - (-34) * 0 * 1) = 630 .

Ура, согласен с тем, что у нас было выше! Видите, сколько времени может сэкономить калькулятор определителя матрицы? Вы знаете, сколько страниц нашей любимой книги мы могли прочитать за это время?

Определитель матрицы

Определитель матрицы - это специальное число , которое можно вычислить из квадратной матрицы.

Матрица - это массив чисел:


Матрица
(в ней 2 строки и 2 столбца)

Определитель этой матрицы (расчеты объяснены позже):

3 × 6 - 8 × 4 = 18 - 32 = −14

Для чего это нужно?

Определитель помогает нам найти обратную матрицу, говорит нам о матрице, которая полезна в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом.

Символ

Символ для определителя - это две вертикальные линии с каждой стороны.

Пример:

| A | означает определитель матрицы A

(точно такой же символ, что и абсолютное значение.)

Вычисление определителя

Прежде всего, матрица должна быть квадратных (т.е. иметь такое же количество строк, как и столбцов). Тогда это просто арифметика. Вот как:

Для матрицы 2 × 2

Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца):

Определитель:

| A | = ad - bc
"Определитель A равен a, умноженному на d минус b, умноженному на c"

Легко вспомнить, когда вы думаете о кресте:

  • Синий положительный (+ ad),
  • Красный отрицательный (-bc)

Пример:

| B | = 4 × 8 - 6 × 3

= 32–18

= 14

Для матрицы 3 × 3

Для матрицы 3 × 3 (3 строки и 3 столбца):

Определитель:

| A | = a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)
«Определитель A равен... etc »

Может показаться сложным, но есть шаблон :

Для определения определителя матрицы 3 × 3 :

  • Умножьте a на определитель матрицы 2 × 2 , то есть не в строке или столбце .
  • Аналогично для b и для c
  • Суммируйте, но помните минус перед цифрой b

В виде формулы (вспомните, что вертикальные полосы || означают «определитель») :


"Определитель A равен умноженному на определитель... etc »

Пример:

| C | = 6 × (−2 × 7 - 5 × 8) - 1 × (4 × 7 - 5 × 2) + 1 × (4 × 8 - (−2 × 2))

= 6 × (−54) - 1 × (18) + 1 × (36)

= −306

Для матриц 4 × 4 и выше

Шаблон продолжается для матриц 4 × 4:

  • плюс a , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце ,
  • минус b , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце b ,
  • плюс c , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце c ,
  • минус d , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце d ,

В виде формулы:

Обратите внимание на шаблон + - + - (+ a... −b ... + c ... −d ...). Это важно помнить.

Шаблон продолжается для матриц 5 × 5 и выше. Обычно для таких случаев лучше использовать Матричный калькулятор!

Не единственный путь

Этот метод расчета называется «разложением Лапласа», и мне он нравится, потому что его легко запомнить. Но есть и другие методы (чтобы вы знали).

Сводка

  • Для матрицы 2 × 2 определитель равен ad - bc
  • Для матрицы 3 × 3 умножьте a на определитель матрицы 2 × 2 , который равен , а не в строке или столбце a , аналогично для b и c , но помните, что b имеет отрицательный знак!
  • Шаблон продолжается и для больших матриц: умножьте a на определитель матрицы , которая равна , а не , в строке или столбце , продолжайте таким же образом по всей строке, но помните + - + - шаблон.

Определитель матрицы 3 x 3 (общий и сокращенный метод)

Определитель матрицы 3 x 3 (общий и сокращенный метод)

Как мы видели в прошлых уроках, чтобы определить, что является определителем матрицы, нам нужно вернуться к нашему определению матрицы. Помните, что мы узнали, что матрица - это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Этот список также можно назвать прямоугольным массивом, и он обеспечивает упорядоченный способ отображения «списка» информационных элементов.Если вы хотите более подробно ознакомиться с определением матрицы, вы можете вернуться к нашему уроку о нотации матриц.

Матрица описывает линейное преобразование или линейную карту, которая является своего рода транскрипцией между двумя типами алгебраических структур, такими как векторные поля. Таким образом, мы можем разрешить системы линейных уравнений, представив линейную систему в виде матрицы. Матричное представление линейной системы создается с использованием всех переменных коэффициентов, найденных в системе, и использования их в качестве элементов для построения прямоугольного массива расширенной матрицы соответствующего размера.В такой матрице результаты каждого уравнения из системы будут помещены справа от вертикальной линии, которая представляет знак равенства.

Зная это, в этом уроке основное внимание будет уделено процессу оценки определителя матрицы 3x3 и двум возможным методам, которые можно использовать.

Какой определитель матрицы

Используя знание того, что матрица представляет собой массив, содержащий информацию о линейном преобразовании, и что этот массив может быть согласован с коэффициентами каждой переменной в системе уравнений, мы можем описать функцию определителя: определитель будет масштабироваться линейное преобразование из матрицы, это позволит нам получить обратную матрицу (если она есть) и поможет в решении систем линейных уравнений, создав условия, при которых мы можем ожидать определенных результатов или характеристик от система (в зависимости от определителя и типа линейной системы, мы можем знать, можем ли мы ожидать уникального решения, более одного решения или вообще ни одного решения для системы).

Но есть условие для получения определителя матрицы, матрица должна быть квадратной матрицей, чтобы ее можно было вычислить. Следовательно, упрощенное определение состоит в том, что определитель - это значение, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, чтобы помочь в разрешении систем линейных уравнений, связанных с такой матрицей. Определителя неквадратной матрицы не существует, математически определены только определители квадратных матриц.

Определитель матрицы можно обозначить просто как det A, det (A) или | A |.Это последнее обозначение происходит от обозначения, которое мы непосредственно применяем к матрице, определитель которой мы получаем. Другими словами, мы обычно записываем матрицы и их определители очень похожим образом:

Уравнение 1: Разница между обозначениями матрицы и определителя

Обратите внимание на разницу: матрица записана в прямоугольных скобках, а компоненты определителя матрицы окружены двумя прямыми линиями.

Сегодняшний урок будет сосредоточен на процессе вычисления определителя матрицы 3x3, используя подход свойств определителя матрицы, которые были кратко рассмотрены на прошлых уроках.Помните, что мы рассмотрим эту полную тему на следующем уроке, который называется: свойства детерминантов. Тем не менее, важно помнить об этих свойствах при выполнении расчетов упражнений в последнем разделе этого урока.

Как найти определитель матрицы 3x3

Существует два метода нахождения определителя матрицы 3x3: общий метод и сокращенный метод. Так же, как звучат названия каждого из них, общий метод - это «формальный» метод, который можно использовать математически, следуя всем правилам и производя некоторые второстепенные вычисления определителя матрицы по пути нахождения окончательного решения.Хотя метод быстрого доступа - это более хитрый прием, который мы можем использовать для упрощения вычислений, при этом стараясь не забыть числа, порядок, в котором они должны быть умножены, и некоторые перестановки элементов в матрице.

После того, как вы взглянете на оба метода, чтобы найти определитель матрицы 3x3, вы всегда можете выбрать тот, который вам больше всего подходит, и использовать его для своих исследований, но помните, что важно знать оба из них, на случай, если вас когда-нибудь спросят сравнить результаты с ними.

Итак, без дальнейших задержек, давайте определим определитель матрицы 3x3 A, как показано ниже, чтобы мы могли наблюдать, как его можно вычислить обоими методами:

Уравнение 2: Определитель матрицы A
  • Общий метод

    Общий метод получения определителя матрицы 3x3 состоит из разбиения матрицы на вторичные матрицы меньших размеров в процессе, называемом «расширением первой строки». Этот процесс использует элементы из первой строки матрицы 3x3 и использует их как множители в сумме умножений, при которой большая матрица перераспределяется.

    Давайте шаг за шагом рассмотрим, как вычислить определитель матрицы 3x3:

    1. Сначала вы берете первый элемент первой строки и умножаете его на вторичную матрицу 2x2, которая получается из элементов, оставшихся в матрице 3x3, которые не принадлежат строке или столбцу, к которому принадлежит ваш первый выбранный элемент.

      Взяв в качестве ссылки определитель матрицы 3x3, показанный в уравнении 2, мы строим первую часть результата этой операции, выбирая первый элемент первой строки и столбца (который является константой "a"), а затем умножаем его на матрица, созданная из четырех элементов, которые не принадлежат ни одной строке столбца, в котором находится "a".Умножьте «a» на полученную вторичную матрицу 2x2, и это будет первый член решения.

    2. Второй член начинается со второго элемента в верхней строке (константа «b»), сопровождаемого отрицательным знаком, который теперь умножает вторичную матрицу 2x2, которая снова получается из четырех элементов в матрице, которые не принадлежат в любой столбец строки, в которой находится "b".
    3. Повторяем первый шаг, но уже с третьим элементом из верхней строки матрицы.

    Итак, определитель матричной формулы 3x3 для общего метода:

    Уравнение 3: Уравнение для определителя матрицы 3x3 посредством общего метода

    Процесс называется расширением первой строки, потому что, как вы можете видеть в уравнении 3, все элементы из первой строки исходной матрицы 3x3 остаются основными факторами в расширении, для которого необходимо решить. Все матрицы 2x2 в раскрытии - это то, что мы называем «вторичными матрицами», и их можно легко разрешить, используя уравнение, изученное на определителе на уроке по матрице 2x2.

    Итак, принимая во внимание формулу для определителя квадратной матрицы размером 2x2, мы видим, что уравнение 3 дает:

    Уравнение 4: Уравнение для определителя матрицы 3x3 посредством общего метода (часть 2)

    На этом этапе вы, возможно, заметили, что поиск определителя матрицы размером больше 2x2 становится долгим испытанием, но логика процесса остается той же, и поэтому сложность аналогична, единственный ключевой момент - отслеживать операции вы прорабатываете даже больше с матрицами даже большего размера, чем 3x3.

  • Сокращенный метод

    Определитель метода быстрого доступа к матрице 3x3 - это хитрый трюк, который упрощает вычисление определителя большой матрицы путем прямого умножения и добавления (или вычитания) всех элементов в их необходимом виде, без необходимости пройти через матричное расширение первой строки и без необходимости оценивать детерминанты вторичных матриц.

    Весь процесс того, как оценить определитель матрицы 3x3, используя сокращенный метод, можно увидеть в уравнении ниже:

    Уравнение 5: Быстрый метод получения определителя матрицы 3x3

    Теперь давайте поясним метод быстрого доступа:

    При вычислении определителя матрицы размера nxn (в данном случае матрицы 3x3), как показано выше, обратите внимание, что мы сначала переписываем матрицу, сопровождаемую повторением двух первых столбцов, которые теперь записываются снаружи с правой стороны.

    Тогда значение определителя будет результатом вычитания между сложением произведений всех умножений вниз-вправо и умножений вниз-влево. Сказано более ясно, в общей сложности будет три полных диагонали, идущих от верхнего левого угла до нижнего правого, и еще один набор из трех полных диагоналей, идущих от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

    Мы умножим элементы каждой диагонали вместе, а затем сложим их с результатами, полученными на других диагоналях.Есть кое-что, что нужно иметь в виду, все умножения диагоналей, идущие от верхнего левого угла к нижнему правому, имеют собственный положительный знак, умноженный на них, в то время как все умножения диагоналей, идущие сверху справа налево, имеют внутренний отрицательный знак умножения. к ним, и поэтому при сложении результатов всех умножений будет получено вычитание, подобное тому, которое показано в уравнении 5.

    Хотя этот метод проще в применении, чем общий метод, его немного сложно объяснить из-за того, что все операции умножения и сложения выполняются одновременно, поэтому мы рекомендуем вам использовать уравнение 5 в качестве руководства и уделять пристальное внимание к видео, где демонстрируются примеры этого метода.

    В последнем разделе этого урока мы проработаем набор из трех различных матриц 3x3 и их детерминанты. Мы рекомендуем вам сравнить процессы для обоих методов, чтобы лучше понять их.

Определитель большой матрицы

Процесс оценки определителя матрицы большей размерности, чем 3x3, следует той же логике, что и то, что мы видели до сих пор. Используя общий метод на матрице A 4x4, где ее первая (верхняя) строка соответствует элементам a, b, c и d, мы вычисляем определитель матрицы следующим образом:

Уравнение 6: Определитель матрицы 4x4

Мы еще раз расширили определитель на его первую строку и получили вторичные матрицы, которые в данном случае являются матрицами 3x3, каждая из которых может быть расширена и разбита на матрицы 2x2.Шаблон в процессе повторяется, вы можете продолжать работать таким образом с еще более крупными квадратными матрицами, и он всегда будет работать, но если вам больше нравится метод ярлыков, то вас ждет удовольствие, поскольку метод работает точно так же как и в случае с матрицами 3x3, он просто увеличивает количество элементов, с которыми вы работаете, но логика и перестановка точно такие же (умножение сверху слева вниз справа имеет положительный знак, умножения из верхнего правого угла в нижний левый имеют внутренний отрицательный знак).

Вы взволнованы, увидев, как сокращенный метод работает с матрицами большего размера? Мы рекомендуем вам попробовать это самостоятельно, чтобы вы могли увидеть весь процесс. Вы всегда можете вернуться и решить ту же матрицу, используя общий метод, и доказать, что ваш результат верен.

Упражнения по вычислению определителя матрицы 3x3

В следующих упражнениях мы решим определитель матрицы 3x3, предоставленной в каждом случае, с помощью соответствующего метода, а в конце мы сравним полученные результаты.

Обратите внимание, что матрицы A, B и C, представленные в обоих разделах упражнений выше, абсолютно одинаковы. Это было сделано специально, чтобы вы могли сравнить результаты обоих методов и посмотреть, как они дают одинаковые значения.

Чтобы завершить этот урок, мы хотели бы порекомендовать вам эту статью о том, как вычислить определители, и другую статью о определителе квадратной матрицы, где вы найдете гораздо больше примеров, чем приведенные здесь.

Надеемся, этот урок был интересным и полезным, до встречи в следующем!

Калькулятор определителя | Матрица | 3 * 3, 4 * 4, 5 * 5

Итак, сегодня мы поговорим о матричном калькуляторе определителя. (расчет).Концепция детерминантов и матриц превзошла во всех областях науки. Помогает в решении не только линейных уравнения, но также векторные и скалярные произведения. Мы все знаем о линейные уравнения, и они могут иметь один или бесконечный набор решений. Итак, каковы детерминанты? Что такое матрица детерминант? Ответы на эти вопросы появятся в следующем статья.

Определители эквивалентны квадрату матрицы с вещественными элементы.Он обозначается как det (A), | A | и det A. Они используются для решения линейных уравнений и, следовательно, нахождения неопределенного переменные. Аналогично, det (A) 2x2 матрицы A будет:, что заслуживает

Теперь матрицы обозначены квадратными скобками, но определитель обозначает вертикальные стержни. Det (A) будет одиночным число в массив цифр матриц. Также этот калькулятор получил предназначен для нахождения det (A) для значений матрицы, таких как 2x2, 3x3 и 4х4.

Как найти определитель матричного калькулятора?

Поскольку теперь мы знаем, что такое det (A), теперь мы узнаем, как найти определитель матрицы. Следующие шаги расскажут вам, как учитывайте ценности и находите решения. Это: · Во-первых, возьмем пример для матрицы 2x2 для det A. Теперь, если
Тогда результат будет:

  • Итак, как вы видите пример выше, вы могли заметить, что у одного сделано.
  • Правило №1: Вы должны использовать несколько значений в первой строке. и первый столбец к элементу во второй строке и втором столбец.
  • Правило № 2: Тогда будет полезно, если вы умножите значение на вторая строка и второй столбец к первой строке и первому столбец.
  • Указанные выше пункты могут быть простыми, определяемыми как разница между первым и вторым товаром. Кроме того, это был пример значений матрицы 2x2.
  • Теперь, следующий шаг впереди для det (A) 3x3 и 4x4. матрица.

Знаю несовершеннолетних

Как узнать несовершеннолетних? Определены миноры для матрицы det (A) размера nxn как (n-1) x (n-1). Для лучшего понимания предположим, что у нас есть Матрица 3x3 det (A). Теперь мы временно удаляем третий столбец и row, то остальные элементы будут считаться второстепенными.

Теперь, чтобы оценить матрицу nxn, нужно разложить det (A) несовершеннолетними.Во-первых, мы выбираем ряд, а затем начать умножение. Во-вторых, умножаем знак позиции, несовершеннолетние и элементы ряда, которые мы определили. В приведенных ниже примерах вы увидите, как увеличивать и оценивать решение. Что вам нужно помнить, так это то, что вы должны помните правила знаков, которые также упоминаются позже в статья.

Как уже упоминалось, для det (A) 4x4, det (A) 3x3 несовершеннолетние.После того, как вы выберете строку или столбец, каждый его элемент необходимо умножить на -1 или +1. Они зависят от того, суммирование элементов строки и столбца может быть четным или нечетным. Следовательно, произведение второстепенного компонента и числа +1 или -1 равно известные как кофакторы.

Калькулятор определителя 3x3

Вычислители определителя 3x3 матрицы были определены как
, которое выводится как

Как вы видите, вывод позволяет теперь посмотрим на пример, который находится ниже:
Far, после этого расширьте второй столбец.Также помните, что вы должны получить второстепенные элементы, 2x2, во второй столбец, например
Теперь начните использовать кофакторы для этих результатов, например

Калькулятор определителя 4х4

Мы, конечно, видели выше выводы с примерами. Но сейчас мы увидим случай решателя определителя для 4x4.

Прежде всего, давайте посмотрим на пример, который нам нужно оценить:
, где вы расширяете четвертый ряд с несовершеннолетними, как

  • Теперь каждый из определителей в приведенном выше примере должен получить расширен тремя несовершеннолетними.
  • Кроме того, не забудьте сначала решить функцию det (A) с большим количеством нулей как это может упростить решение уравнения.
  • Хотя легко рассчитаться с калькулятором определителя.
  • Детерминантный поиск также может иметь дело с реальным миром проблемные уравнения во всех областях науки. Как это могло бы решить векторные и скалярные уравнения.

Как пользоваться калькулятором определителя матрицы?

Следующие шаги предложат вам, как использовать матрицу калькулятор определителя, а они следующие:

  • Как упоминалось выше, матрицы содержат действительные числа и поэтому поместите значения в расч.
  • После помещения всех значений матрицы в поле нажмите кнопку Кнопка «Создать работу», чтобы начать решение.
  • Результатом также будет действительное число, которое предоставит вам с большим количеством информации об уравнении.

Как вычислить определитель матрицы с помощью NumPy?

Специальное число, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, известно как определитель квадратной матрицы.Numpy предоставляет нам возможность вычислять определитель квадратной матрицы с помощью функции numpy.linalg.det () .

Синтаксис:

 numpy.linalg.det (массив)
 

Пример 1: Вычисление определителя матрицы 2X2 Numpy с использованием функции numpy.linalg.det ()

Python3

00 9237 numpy as np n_array = np.массив ([[ 50 , 29 ], [ 30 , 44 ]])

print ( : « )

print (n_array)

det = np.linalg.det (n_array)

"\ nДетерминант данной матрицы 2X2:" )

print ( int (det))

import

Выход:

в приведенном выше примере , мы вычисляем определитель квадратной матрицы 2X2.

Пример 2: Расчет детерминанта матрицы 3X3 Numpy с использованием функции numpy.linalg.det ()

Python3

import numpy as np

numpy as np

= np.array ([[ 55 , 25 , 15 ],

[ 30 2 ],

[ 11 , 45 , 77 ]])

Матрица

является: " )

print (n_array)

det 90 238 = нп.linalg.det (n_array)

print ( "\ nДетерминант данной квадратной матрицы 3X3:" )

print (int ) (int )

Вывод:

В приведенном выше примере мы вычисляем определитель квадратной матрицы 3x3.

Пример 3: Расчет определителя матрицы 5X5 Numpy с использованием numpy.linalg.det () функция

Python3

import numpy as np

n_array = [5237 2 , 1 , 4 , 6 ],

[ 9 , 4 , 2 , 2 5 , 2 ],

[ 11 , 5 , 7 , 3 ] ] ]

[ 5 , 6 , 6 , 7 , 2 ],

[ 7 , 5 , 9 , 3 ] 3 ] 3

печать ( "Матрица Numpy:" )

печать (n_array)

9023 9023 linalg.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта