Вычислить определитель матрицы онлайн с решением подробно: Определитель матрицы онлайн с подробным решением

Ранг матрицы

Для ранга матрицы \(A\) используют обозначение \(\text{rang}A\).

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то её ранг равен её порядку n : ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы.
В частности, ранг единичной матрицы \(E\) порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то её ранг меньше её порядка : единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству её ненулевых диагональных элементов.

Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее.T = \text{rang} A \)

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её строк и столбцов.

Теорема о базисном миноре

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение.
Минор \(M\) матрицы \(M\) называют базисным, если выполнены два условия:
1) он не равен нулю
2) его порядок равен рангу матрицы А

Матрица \(A\) может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы \(A\), в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы \(A\), соответствующие любому её базисному минору \(M\), линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы \(A\), не входящие в \(M\), являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Следствие. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы.

Теорема. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема. Для любой матрицы её ранг равен максимальному количеству её линейно независимых строк (столбцов).

Следствие. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Вычисление ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Минор \(M’\) матрицы \(A\) называют окаймляющим для минора \(M\), если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы \(A\).
Ясно, что порядок окаймляющего минора \(M’\) на единицу больше, чем порядок минора \(M\).

Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров матрицы и состоит в следующем.
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.

Теорема. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

Метод элементарных преобразований

При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы её ранг не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.

Например с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, а любое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.

Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга.
При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из её базисных миноров.

При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением её вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это «сколько-то» должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это «сколько-то» должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое «сколько-то» (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

.

Возьмём минор

,

окаймляющими будут такие миноры:

.

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

,

,

,

.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2).

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 2. Найти ранг матрицы

.

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 3. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B, то .

Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B, вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

.

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на — 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу

.

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

.

Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.

Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

Вычисление определителя матрицы в EXCEL. Примеры и описание

Вычислим определитель (детерминант) матрицы с помощью функции МОПРЕД() или англ. MDETERM, разложением по строке/столбцу (для 3 х 3) и по определению (до 6 порядка).

Определитель матрицы (det) можно вычислить только для квадратных матриц, т.е. у которых количество строк равно количеству столбцов.

Для вычисления определителя в MS EXCEL есть специальная функция МОПРЕД() . В аргументе функции необходимо указать ссылку на диапазон ячеек (массив), содержащий элементы матрицы (см. файл примера ).

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A7:B8 , но и как массив констант , например =МОПРЕД({5;4:3;2}) . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Для матриц порядка 2 можно определитель можно вычислить без использования функции МОПРЕД() . Например, для вышеуказанной матрицы выражение =A7*B8-B7*A8 вернет тот же результат.

Для матрицы порядка 3, например размещенной в диапазоне A16:C18 , выражение усложняется =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18) (разложение по строке).

В файле примера для матрицы 3 х 3 определитель также вычислен через разложение по столбцу и по правилу Саррюса.

Свойства определителя

Теперь о некоторых свойствах определителя (см. файл примера ):

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
• Если в матрице все элементы хотя бы одной из строк (или столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю
• Если переставить местами две любые строки (столбца), то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак)
• Если все элементы одной из строк (столбца) умножить на одно и тоже число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k
• Если матрица содержит строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель =0
• det(А)=1/det(А ^-1 ), где А ^-1 — матрица обратная матрице А (А — квадратная невырожденная матрица).

Вычисление определителя матрицы по определению (до 6 порядка включительно)

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОПРЕД() .

Как было показано выше для вычисления матриц порядка 2 и 3 существуют достаточно простые формулы и правила. Для вычисления определителя матриц более высокого порядка (без использования функции МОПРЕД() ) придется вспомнить определение:

Определителем квадратной матрицы порядка n х n является сумма, содержащая n! слагаемых ( =ФАКТР(n) ). Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

где ( α ₁ , α ₂ ,…, α _n ) — перестановка чисел от 1 до n , N( α ₁ , α ₂ ,…, α _n ) — число инверсий в перестановке , суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .

Попытаемся разобраться в этом непростом определении на примере матрицы 3х3.

Для матрицы 3 х 3, согласно определения, число слагаемых равно 3!=6, а каждое слагаемое состоит из произведения 3-х элементов матрицы. Ниже приведены все 6 слагаемых, необходимых для вычисления определителя матрицы 3х3:

• а21*а12*а33
• а21*а32*а13
• а11*а32*а23
• а11*а22*а33
• а31*а22*а13
• а31*а12*а23

а21, а12 и т.д. — это элементы матрицы. Теперь поясним, как были сформированы индексы у элементов, т.е. почему, например, есть слагаемое а11*а22*а33, а нет а11*а22*а13.

Посмотрим на формулу выше (см. определение). Предположим, что второй индекс у каждого элемента матрицы (от 1 до n) соответствует номеру столбца матрицы (хотя это может быть номер строки (это не важно т.к. определители матрицы и ее транспонированной матрицы равны). Таким образом, второй индекс у первого элемента в произведении всегда равен 1, у второго — 2, у третьего 3. Тогда первые индексы у элементов соответствуют номеру строки и, в соответствии с определением, должны определяться из перестановок чисел от 1 до 3, т.е. из перестановок множества (1, 2, 3).

Теперь понятно, почему среди слагаемых нет а11*а22*а13, т.к. согласно определения ( в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А ), а в нашем слагаемом нет элемента из строки 3.

Примечание : Перестановкой из n чисел множества (без повторов) называется любое упорядочивание данного множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Например, дано множество их 3-х чисел: 1, 2, 3. Из этих чисел можно составить 6 разных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). См. статью Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Число перестановок множества из 3-х чисел =3!=6 (что, конечно, равно числу слагаемых в выражении для расчета определителя, т.к. каждому слагаемому соответствует своя перестановка). Для матрицы 3х3 все перестановки приведены в примечании выше. Можно убедиться, что в каждом слагаемом первые индексы у элементов равны соответствующим числам в перестановке. Например, для слагаемого а21*а12*а33 использована перестановка (2, 1, 3).

СОВЕТ : Для матрицы 4 порядка существует 4! перестановок, т.е. 26, что соответствует 26 слагаемым, каждое из которых является произведением различных 4-х элементов матрицы. Все 26 перестановок можно найти в статье Перебор всех возможных Перестановок в MS EXCEL .

Теперь, когда разобрались со слагаемыми, определим множитель перед каждым слагаемым (он может быть +1 или -1). Множитель определяется через четность числа инверсий соответствующей перестановки.

Примечание : Об инверсиях перестановок (и четности числа инверсий) можно почитать, например, в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Например, первому слагаемому соответствует перестановка (2, 1, 3), у которой 1 инверсия (нечетное число) и, соответственно, -1 в степени 1 равно -1. Второму слагаемому соответствует перестановка (2, 3, 1), у которой 2 инверсии (четное число) и, соответственно, -1 в степени 2 равно 1 и т.д.

Сложив все слагаемые:  (-1)*(а21*а12*а33)+(+1)*(а21*а32*а13)+(-1)*(а11*а32*а23)+(+1)*(а11*а22*а33)+(-1)*(а31*а22*а13)+(+1)*(а31*а12*а23) получим значение определителя.

В файле примера на листе 4+, и зменяя порядок матрицы с помощью элемента управления Счетчик , можно вычислить определитель матрицы до 6 порядка включительно.

Следует учитывать, что при вычислении матрицы 6-го порядка в выражении используется уже 720 слагаемых (6!). Для 7-го порядка пришлось бы сделать таблицу для 5040 перестановок и, соответственно, вычислить 5040 слагаемых! Т.е. без использования МОПРЕД() не обойтись (ну, или можно вычислить определитель вручную методом Гаусса).

Калькулятор определяющей матрицы 2×2 3×3 4×4 NxN

Поиск инструмента

Определитель матрицы

Инструмент для вычисления определителя матрицы. Определитель квадратной матрицы M — это полезное значение, вычисляемое из ее внутренних элементов и обозначаемое det (M) или | M |.

Результаты

Определитель матрицы — dCode

Метка (и): Матрица

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Вычислитель определителя матрицы 2×2

Погрузка…
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Калькулятор определителя матрицы 3×3

Загрузка …
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Калькулятор определителя Matrix 4×4

Загрузка …
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Калькулятор определителя матрицы NxN

Ответы на вопросы (FAQ)

Как вычислить определитель матрицы?

Для квадратной матрицы 2×2 (порядок 2) вычисление выглядит следующим образом:

$$ \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad — bc $$

Пример: $$ \ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {vmatrix} = 1 \ times 4 — 2 \ times 3 = -2 $$

Для матрицы большего размера, такой как порядок 3 (3×3), вычислите:

$$ \ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end {vmatrix} — b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} \\ = aei-afh + bfg-bdi + cdh-ceg $$

Вычисленные подматрицы называются минорами исходной матрицы.

Идея та же для матриц большего размера:

Для порядка 4 определитель матрицы 4×4 :

$$ \ begin {vmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \ end {vmatrix} — b \ begin {vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m & n & p \ end {vmatrix} — d \ begin {vmatrix} e & f & g \\ i & j & k \\ m & n & o \ end {vmatrix} \\ = \\ a (fkp — flo — gjp + gln + hjo — hkn) — b (ekp — elo — gip + glm + hio — hkm) + c (ejp — eln — fip + flm + hin — hjm) — d (ejo — ekn — fio + fkm + gin — gjm) \\ = \\ afkp — aflo — agjp + agln + ahjo — ahkn — bekp + belo + bgip — bglm — bhio + bhkm + cejp — celn — cfip + cflm + chin — chjm — dejo + dekn + dfio — dfkm — dgin + dgjm $$

Как вычислить определитель для неквадратной матрицы?

Определитель неквадратной матрицы не определен, он не существует согласно определению определителя.

По какой формуле вычисляется определитель матрицы порядка n?

Нет другой формулы, кроме приведенного выше объяснения для общего случая матрицы порядка n.

Как вычислить определитель матрицы 1х1?

Для матрицы 1×1 определитель является единственным элементом матрицы.

Пример: $$ | 1 | = 1 $$

Что такое определитель единичной матрицы?

Определитель единичной матрицы равен 1.

Пример: $$ \ begin {vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {vmatrix} = 1 \ times 1 — 0 \ times 0 $$

Пример: $$ \ begin {vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix} = (1 \ times 1 \ times 1) — (1 \ раз 0 \ раз 0) + (0 \ раз 0 \ раз 0) — (0 \ раз 0 \ раз 1) + (0 \ раз 0 \ раз 0) — (0 \ раз 1 \ раз 0) = 1 $ $

Только член, соответствующий умножению диагонали, будет равен 1, а остальные члены будут нулевыми.

Как найти определитель матрицы по ее собственным значениям?

Определитель матрицы является произведением ее собственных значений (включая комплексные значения и потенциальную кратность).

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Определитель матрицы». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любых алгоритмов, апплетов или фрагментов «Определителя матрицы» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие. Определитель функции Матрицы (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Определителя матрицы» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

определитель, матрица, дет, квадрат, тождество

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/matrix-determinant

Калькулятор определителя матрицы nxn

Как найти определитель матрицы?

Рассмотрим матрицу $ A = \ left [ \ begin {array} {cc} а & б \\ компакт диск \\ \ end {массив} \ right] $ размером $ 2 \ times2 $. Настоящее число $$ \ left | \ begin {array} {cc} а & б \\ компакт диск \\ \ end {массив} \ right | = ad-cb $$ — определитель матрицы $ A $.Точнее, чтобы найти определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, нам нужно выполнить следующие шаги:

• Умножьте элемент в первой строке и первом столбце на элементы во второй строке и втором столбце;
• Умножить элемент в первой строке и втором столбце на элемент во второй строке и первом столбце;
• Определитель матрицы $ 2 \ times 2 $ — это разница между вторым и первым произведением.

Существует другой способ вычисления определителя $ 3 \ times 3 $, хорошо известный как правило Сарруса или схема Сарруса.

• Расширить определитель, переписав первые два столбца чисел:
• Сложите произведения красных диагоналей и вычтите произведения синих диагоналей, т. Е. $$ det (A) = aei + bfg + cdh-ceg-afh-bdi $$ Это правило можно запомнить, вспомнив о диагоналях расширенного определителя. читать диагонали означает плюс $ (aei + bfg + cdh) $, а синие диагонали означают минус $ (- ceg-afh-bdi) $.

Добро пожаловать в калькулятор определителя матрицы , где у вас будет возможность вычислить, ну, детерминанты матрицы, используя простую в использовании формулу определителя для любой квадратной матрицы размером до 4×4. Кроме того, мы рассмотрим некоторые из основных свойств определителей , которые могут помочь в решении более крупных, таких как определитель матрицы 4×4.

« Что такое детерминант и почему меня это должно волновать? » Мы покажем вам определение детерминанта через некоторое время, но давайте просто скажем, что, помимо прочего, он чрезвычайно полезен при работе с системами уравнений. По сути, , как решить систему из трех уравнений, совпадает с тем, как найти определитель матрицы 3×3 .

Убеждены? Воодушевлены? В восторге? Тогда идем дальше, ладно?

Что такое определитель?

Почему бы нам не начать с , что такое матрица ? Вы не поверите, но это не только классика научной фантастики 90-х.В математике это имя, которое мы даем массиву элементов (обычно чисел) с заданным количеством строк и столбцов . Пример матрицы

Как видите, числа заключены в две большие квадратные скобки: [ и ] .Также мы говорим, что, например, число 2 равно в ячейке во второй строке и втором столбце .

Определение определителя утверждает, что это число , полученное путем умножения и сложения ячеек квадратной матрицы в соответствии с заданным правилом . Давайте подробнее рассмотрим здесь несколько важных вещей.

• Как следует из определения определителя, нам нужна квадратная матрица , чтобы даже начать вычисления.Это означает, что мы можем найти определитель матрицы 2×2 или определитель матрицы 4×4, но не, например, чего-то похожего на приведенную выше A , которая является матрицей 3×2 (три строки и два столбца);
• Формула детерминанта для больших матриц становится довольно сложной . Количество его слагаемых равно количеству перестановок числа, являющегося стороной матрицы. Это означает, что определитель матрицы 2×2 имеет только два слагаемых, но для матриц 5×5 мы получаем 120 слагаемых;
• Есть способы упростить вычисления .Например, поиск определителя матрицы 4×4 можно превратить в задачу о том, как найти определитель матрицы 3×3. Мы рассмотрим некоторые из таких свойств определителей в разделе «Свойства определителей»; и
• Определитель матрицы , A обозначается | A | (просто замените квадратные скобки матрицы вертикальными линиями | ) или det (A) . Не путайте первое обозначение с абсолютным значением! В общем, определитель может быть отрицательным числом .

Итак, что такое определитель? Это число, мы многому научились. Но почему это полезно? Где это появляется?

Определитель матрицы — чрезвычайно полезный и часто используемый инструмент в линейной алгебре. Когда у нас есть матрица и мы хотим ее понять, определитель — это одно из первых, к чему мы обращаемся. Например, любая система линейных уравнений может быть описана матрицей, и ее определители помогают нам найти решение, например, с помощью правила Крамера.Более того, когда мы используем матрицы для описания линейного преобразования, часто лучше диагонализовать их . Как мы это делаем? Конечно, с детерминантами. Определитель матрицы также сообщает нам, есть ли у матрицы обратная матрица и нужно ли аппроксимировать обратную матрицу псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза. Наконец, нам обычно нужны собственные значения такого преобразования. Да, вы догадались — для этого , мы также используем определители .

Надеюсь, нам удалось убедить вас в том, что стоит изучить определение детерминанта. Но как это вычислить? Есть ли какая-нибудь короткая и понятная формула для определения определяющих факторов для повседневного использования?

Общая детерминантная формула

Прежде чем мы рассмотрим некоторые конкретные примеры, например, как найти определитель матрицы 3×3, давайте взглянем на чудовищность, которая составляет общее определение определителя .

Пусть A — квадратная матрица размером n , где n — некоторое натуральное число. Обозначим ячейки A через _{i, j} , где i — номер строки, а j — номер столбца.Тогда:

| A | = Σ (-1) ^{знак (σ)} Π a _{i, σ (i)}

где,

• Σ — это некоторые из всех перестановок набора {1,2, ..., n} ; и
• Π является произведением i -s от 1 до n .

Красиво, не правда ли? Если перевести забавные символы в нечто более понятное, это означает примерно следующее:

Чтобы вычислить определитель, посмотрите на свою матрицу, возьмите n чисел, по одному из каждой строки и каждого столбца, и умножьте их вместе.Возьмите все такие числа n , иногда меняйте их знак и просуммируйте все это.

Не волнуйтесь, теперь, когда мы опубликовали это общее определение детерминанта, мы больше не будем об этом думать . Мы будем придерживаться , простых случаев , где матрица не слишком велика, чтобы показать, что это на самом деле означает.

Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4

Как это часто бывает в жизни, размер имеет значение. В данном конкретном случае чем меньше матрица, тем легче определить формулу .Для единообразия мы использовали те же обозначения, что и в калькуляторе определителя матрицы.

Если

, затем определитель A равен

| A | = а₁ * - а₂ * .

Обратите внимание, что это эквивалентно взятию числа одной из диагоналей квадратной матрицы (из верхнего левого угла в нижний правый) за вычетом другой (из верхнего правого угла в нижний левый).

Далее, если

, затем определитель B равен

| B | = a₁ * b₂ * c₃ + a₂ * b₃ * c₁ + a₃ * b₁ * c₂ - a₃ * b₂ * c₁ - a₁ * b₃ * c₂ - a₂ * b₁ * c₃ .

Здесь мы снова можем использовать диагонали, чтобы запомнить формулу. Чтобы это было ясно, давайте снова напишем две верхние строки под матрицей:

Теперь, как и в случае 2×2, начинается с диагонали исходной квадратной матрицы, которая идет от верхнего левого угла к нижнему правому — это первое слагаемое, a₁ * b₂ * c₃ .Затем мы берем всю эту диагональ и перемещаем ее на один шаг вниз на , т.е. в каждом столбце берем элемент под тем, который мы взяли ранее. Здесь развернутый массив, который мы нарисовали выше, помогает нам увидеть, что это дает второе слагаемое, a₂ * b₃ * c₁ . Мы делаем это еще раз, чтобы получить a₃ * b₁ * c₂ и , на этом заканчиваются диагонали вниз-вправо и слагаемые, которые появляются со знаком плюс .

Затем, , мы переходим к другой диагонали исходной матрицы (от верхнего правого угла до нижнего левого) и получаем первое отрицательное слагаемое в формуле a₃ * b₂ * c₁ .Делаем то же самое, что и раньше — перемещаем диагональ вниз на . Развернутая форма выше позволяет нам легко увидеть, что это дает два других отрицательных слагаемых, a₁ * b₃ * c₂ и a₂ * b₁ * c₃ .

Наконец, если

, то определитель такой матрицы 4×4 равен

| C | = a₁ * b₂ * c₃ * d₄ - a₂ * b₁ * c₃ * d₄ + a₃ * b₁ * c₂ * d₄ - a₁ * b₃ * c₂ * d₄ + a₂ * b₃ * c₁ * d₄ - a₃ * b₂ * c₁ * d₄ + a₃ * b₂ * c₄ * d₁ - a₂ * b₃ * c₄ * d₁ + a₄ * b₃ * c₂ * d₁ - a₃ * b₄ * c₂ * d₁ + a₂ * b₄ * c₃ * d₁ - a₄ * b₂ * c₃ * d₁ + a₄ * b₁ * c₃ * d₂ - a₁ * b₄ * c₃ * d₂ + a₃ * b₄ * c₁ * d₂ - a₄ * b₃ * c₁ * d₂ + a₁ * b₃ * c₄ * d₂ - a₃ * b₁ * c₄ * d₂ + a₂ * b₁ * c₄ * d₃ - a₁ * b₂ * c₄ * d₃ + a₄ * b₂ * c₁ * d₃ - a₂ * b₄ * c₁ * d₃ + a₁ * b₄ * c₂ * d₃ - a₄ * b₁ * c₂ * d₃ .

Уф, это был длинный, не так ли? Теперь вы можете видеть, что очень легко найти определитель матрицы 2×2, и мы можем узнать, как найти определитель матрицы 3×3 за час или около того. Но определитель матрицы 4×4 — это совершенно новая проблема . Не поймите нас неправильно, это вполне выполнимо, но кто будет платить нам за то время, которое мы потратили на вычисления и, позже, на поиск, где мы взяли a₁ вместо a₂ ?

Итак, как мы можем использовать здесь диагональный трюк? Ответ прост: мы не .К сожалению, это не работает для матриц от 4 и более.

« Итак, как я могу эффективно вычислить, что такое определитель 4х4? Или 5х5? » Ну, как удобно с вас спросить! Мы покажем вам это в следующем разделе.

Свойства определителей

Теперь мы перечислим несколько важных свойств детерминантов , которые могут оказаться полезными. Мы начинаем с простых и выносим большие пушки в самом конце.

1. Определитель продукта является произведением определяющих факторов. Другими словами, если мы умножаем две квадратные матрицы и хотим найти определитель результата, то мы можем получить ответ, вычислив определители факторов и умножив их вместе.

2. Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования. По сути, если вместо матрицы, с которой мы начали, мы «перевернем ее», так что ее первая строка будет первым столбцом, первый столбец будет первой строкой и т. Д. (Это называется транспонированием матрица ), то их определители будут одинаковыми.Например:

3. Если мы поменяем местами две строки или два столбца, определитель останется тем же, но с противоположным знаком. Это означает, что, например, если мы хотим знать, как найти определитель матрицы 3×3, то мы можем заменить, скажем, ее первый столбец третьим, чтобы получить то же число, но с другим знаком (см. пример ниже).

4. Мы можем добавить любое ненулевое кратное строки к некоторой другой строке (или столбцу к столбцу) и не изменять определитель .Это похоже на то, что мы делаем в методе исключения Гаусса, когда мы хотим найти эшелонированную форму строки системы уравнений, за исключением того, что здесь мы имели дело только со строками (которые соответствовали уравнениям). Это свойство означает, что если мы добавим, скажем, две копии первой строки ко второй, мы получим матрицу с тем же определителем. Например:

что дает,

5. ( разложение Лапласа ) Помните вопрос « Что является определителем матрицы 5×5? » из приведенного выше раздела? Наконец, мы можем коснуться этой темы и представить мощный инструмент , который поможет нам с формулой детерминанта.

Пусть A будет квадратной матрицей размером n . Скажем, что j -я строка (или столбец) A имеет элементы a₁ , a₂ , …, aₙ . Обозначим через Aᵢ матрицу, полученную из A путем удаления всей строки и столбца, в которых у нас было aᵢ (тогда Aᵢ представляет собой квадратную матрицу размером n-1 ). Тогда

| A | = (-1) ^{j + 1} * a₁ * | A₁ | + (-1) ^{j + 2} * a₂ * | A₂ | +… + (-1) ^{j + n} * aₙ * | Aₙ |.

Вот это полезный инструмент, если мы когда-либо его видели. И пользоваться им довольно весело! Например, если нас спросят, как найти определитель матрицы 3×3, мы можем взять лист бумаги, выбрать, скажем, третью строку матрицы и с энтузиазмом написать:

Чтобы прочитать всю эту теорию, должно быть, потребовались века, так почему бы нам, наконец, не взглянуть на пример ?

Пример: использование калькулятора определителя матрицы

Скажем, вы хотите вычислить определитель следующей матрицы :

Определитель матрицы 4х4 , а? Мы видели формулу определителя для одного в разделе «Определитель матрицы 2×2, 3×3 и 4×4», поэтому мы знаем, что будет не очень интересным , не так ли? Но с тех пор мы узнали некоторые свойства детерминантов, так почему бы нам не заставить их работать в нашу пользу ?

Прежде чем мы это сделаем, давайте, , воспользуемся калькулятором определителя матрицы , чтобы увидеть, как наш инструмент упрощает такие задачи.Прежде всего, мы имеем дело с матрицей 4×4, поэтому нам нужно сообщить об этом калькулятору , выбрав соответствующий вариант в разделе «Размер матрицы ».

Это покажет нам пример такой матрицы с символической нотацией для ее элементов . Как мы видим, a₁ , b₁ , c₁ и d₁ обозначают числа в первой строке, поэтому давайте прокрутимся туда, где мы вводим данные, и загрузим калькулятор определителя матрицы тем, что у нас есть в нашем упражнении. :

a₁ = 2 , b₁ = 5 , c₁ = 1 , d₁ = 3 .

Аналогично для остальных строк имеем:

a₂ = 4 , b₂ = 1 , c₂ = 7 , d₂ = 9 ,

a₃ = 6 , b₃ = 8 , c₃ = 3 , d₃ = 2 ,

a₄ = 7 , b₄ = 8 , c₄ = 1 , d₄ = 4 .

В тот момент, когда мы напишем последнее число, калькулятор определителя матрицы сотворит чудеса и выдаст ответ :

| A | = 630 .

Хорошо, теперь, когда у нас есть этот спойлер ответа, давайте посмотрим, , как мы можем получить этот ответ вручную . Очевидно, один из способов — просто использовать формулу детерминанта из 24 членов, но нам нужны дополнительные баллы для творчества и мы хотим, чтобы использовал свойства детерминантов .

Мы будем использовать расширение Лапласа, но с умом. Мы выбираем произвольную строку или столбец, скажем, первую строку матрицы, и пытаемся немного упростить раскрытие.В конце концов, если мы сразу воспользуемся формулой, мы получим сумму четырех определителей 3×3. Не страшно, но и не здорово. Однако мы можем сделать что-нибудь сначала — использовать элементарные операции с столбцами .

В предыдущем разделе мы видели, что если мы добавим ненулевое кратное столбцу к другому столбцу, определитель останется прежним. Итак, , почему бы нам не добавить (-2) , кратное третьему столбцу, к первому ?

что дает,

И зачем мы это сделали? Напомним, что в разложении Лапласа слагаемые были такими: (-1) в некоторой степени, умноженной на элемент строки или столбца, который мы выбрали, умноженный на меньший определитель.Следовательно, если теперь развернуть | A | по отношению к первой строке, слагаемое, соответствующее первой ячейке в первой строке, будет равно (-1) до некоторой степени, умноженной на 0 умноженной на некоторый определитель. И это ноль , потому что все, умноженное на ноль, равно нулю.

Отлично, мы уменьшили количество слагаемых на одно! Так как насчет повторить процедуру и получить еще меньше ? Для этого мы хотим иметь больше нулей в первой строке, поэтому давайте превратим 5 и 3 в 0 -s.Как и раньше, , мы добавляем к этим столбцам правое число, кратное третьему столбцу (тот, у которого 1 ):

что дает,

Теперь это больше нравится! В этой форме, если мы используем разложение Лапласа для первой строки, мы получим только одно слагаемое, потому что три других будут в 0 умножить на что-то, что составляет 0 .Если быть точным, получаем

И мы хорошо знаем, как найти определитель матрицы 3×3, не так ли? Но помните, что , если вы хотите немного повеселиться, , вы можете снова использовать расширение Лапласа, чтобы получить определитель матрицы 2×2.В противном случае мы можем просто использовать формулу определителя и на основе приведенного выше получить:

| A | = (-1) ⁴ * (-10 * (- 7) * 1 + (-34) * (- 7) * 5 + (-12) * 0 * 5 - (-12) * (- 7) * 5 - (-10) * (- 7) * 3 - (-34) * 0 * 1) = 630 .

Ура, согласен с тем, что у нас было выше! Видите, сколько времени может сэкономить калькулятор определителя матрицы? Вы знаете, сколько страниц нашей любимой книги мы могли прочитать за это время?

Определитель матрицы

Определитель матрицы — это специальное число , которое можно вычислить из квадратной матрицы.

Матрица — это массив чисел:

Матрица
(в ней 2 строки и 2 столбца)

Определитель этой матрицы (расчеты объяснены позже):

3 × 6 — 8 × 4 = 18 — 32 = −14

Для чего это нужно?

Определитель помогает нам найти обратную матрицу, говорит нам о матрице, которая полезна в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом.

Символ

Символ для определителя — это две вертикальные линии с каждой стороны.

Пример:

| A | означает определитель матрицы A

(точно такой же символ, что и абсолютное значение.)

Вычисление определителя

Прежде всего, матрица должна быть квадратных (т.е. иметь такое же количество строк, как и столбцов). Тогда это просто арифметика. Вот как:

Для матрицы 2 × 2

Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца):

Определитель:

| A | = ad — bc
«Определитель A равен a, умноженному на d минус b, умноженному на c»

Пример:

| B | = 4 × 8 — 6 × 3

= 32–18

= 14

Для матрицы 3 × 3

Для матрицы 3 × 3 (3 строки и 3 столбца):

Определитель:

| A | = a (ei — fh) — b (di — fg) + c (dh — eg)
«Определитель A равен… etc »

Может показаться сложным, но есть шаблон :

Для определения определителя матрицы 3 × 3 :

• Умножьте a на определитель матрицы 2 × 2 , то есть не в строке или столбце .
• Аналогично для b и для c
• Суммируйте, но помните минус перед цифрой b

В виде формулы (вспомните, что вертикальные полосы || означают «определитель») :

«Определитель A равен умноженному на определитель… etc »

Пример:

| C | = 6 × (−2 × 7 — 5 × 8) — 1 × (4 × 7 — 5 × 2) + 1 × (4 × 8 — (−2 × 2))

= 6 × (−54) — 1 × (18) + 1 × (36)

= −306

Для матриц 4 × 4 и выше

Шаблон продолжается для матриц 4 × 4:

• плюс a , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце ,
• минус b , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце b ,
• плюс c , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце c ,
• минус d , умноженное на определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце d ,

В виде формулы:

Обратите внимание на шаблон + — + — (+ a… −b … + c … −d …). Это важно помнить.

Шаблон продолжается для матриц 5 × 5 и выше. Обычно для таких случаев лучше использовать Матричный калькулятор!

Не единственный путь

Этот метод расчета называется «разложением Лапласа», и мне он нравится, потому что его легко запомнить. Но есть и другие методы (чтобы вы знали).

Сводка

• Для матрицы 2 × 2 определитель равен ad — bc
• Для матрицы 3 × 3 умножьте a на определитель матрицы 2 × 2 , который равен , а не в строке или столбце a , аналогично для b и c , но помните, что b имеет отрицательный знак!
• Шаблон продолжается и для больших матриц: умножьте a на определитель матрицы , которая равна , а не , в строке или столбце , продолжайте таким же образом по всей строке, но помните + — + — шаблон.

Определитель матрицы 3 x 3 (общий и сокращенный метод)

Определитель матрицы 3 x 3 (общий и сокращенный метод)

Как мы видели в прошлых уроках, чтобы определить, что является определителем матрицы, нам нужно вернуться к нашему определению матрицы. Помните, что мы узнали, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Этот список также можно назвать прямоугольным массивом, и он обеспечивает упорядоченный способ отображения «списка» информационных элементов.Если вы хотите более подробно ознакомиться с определением матрицы, вы можете вернуться к нашему уроку о нотации матриц.

Матрица описывает линейное преобразование или линейную карту, которая является своего рода транскрипцией между двумя типами алгебраических структур, такими как векторные поля. Таким образом, мы можем разрешить системы линейных уравнений, представив линейную систему в виде матрицы. Матричное представление линейной системы создается с использованием всех переменных коэффициентов, найденных в системе, и использования их в качестве элементов для построения прямоугольного массива расширенной матрицы соответствующего размера.В такой матрице результаты каждого уравнения из системы будут помещены справа от вертикальной линии, которая представляет знак равенства.

Зная это, в этом уроке основное внимание будет уделено процессу оценки определителя матрицы 3×3 и двум возможным методам, которые можно использовать.

Какой определитель матрицы

Используя знание того, что матрица представляет собой массив, содержащий информацию о линейном преобразовании, и что этот массив может быть согласован с коэффициентами каждой переменной в системе уравнений, мы можем описать функцию определителя: определитель будет масштабироваться линейное преобразование из матрицы, это позволит нам получить обратную матрицу (если она есть) и поможет в решении систем линейных уравнений, создав условия, при которых мы можем ожидать определенных результатов или характеристик от система (в зависимости от определителя и типа линейной системы, мы можем знать, можем ли мы ожидать уникального решения, более одного решения или вообще ни одного решения для системы).

Но есть условие для получения определителя матрицы, матрица должна быть квадратной матрицей, чтобы ее можно было вычислить. Следовательно, упрощенное определение состоит в том, что определитель — это значение, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, чтобы помочь в разрешении систем линейных уравнений, связанных с такой матрицей. Определителя неквадратной матрицы не существует, математически определены только определители квадратных матриц.

Определитель матрицы можно обозначить просто как det A, det (A) или | A |.Это последнее обозначение происходит от обозначения, которое мы непосредственно применяем к матрице, определитель которой мы получаем. Другими словами, мы обычно записываем матрицы и их определители очень похожим образом:

Обратите внимание на разницу: матрица записана в прямоугольных скобках, а компоненты определителя матрицы окружены двумя прямыми линиями.

Сегодняшний урок будет сосредоточен на процессе вычисления определителя матрицы 3×3, используя подход свойств определителя матрицы, которые были кратко рассмотрены на прошлых уроках.Помните, что мы рассмотрим эту полную тему на следующем уроке, который называется: свойства детерминантов. Тем не менее, важно помнить об этих свойствах при выполнении расчетов упражнений в последнем разделе этого урока.

Как найти определитель матрицы 3×3

Существует два метода нахождения определителя матрицы 3×3: общий метод и сокращенный метод. Так же, как звучат названия каждого из них, общий метод — это «формальный» метод, который можно использовать математически, следуя всем правилам и производя некоторые второстепенные вычисления определителя матрицы по пути нахождения окончательного решения.Хотя метод быстрого доступа — это более хитрый прием, который мы можем использовать для упрощения вычислений, при этом стараясь не забыть числа, порядок, в котором они должны быть умножены, и некоторые перестановки элементов в матрице.

После того, как вы взглянете на оба метода, чтобы найти определитель матрицы 3×3, вы всегда можете выбрать тот, который вам больше всего подходит, и использовать его для своих исследований, но помните, что важно знать оба из них, на случай, если вас когда-нибудь спросят сравнить результаты с ними.

Итак, без дальнейших задержек, давайте определим определитель матрицы 3×3 A, как показано ниже, чтобы мы могли наблюдать, как его можно вычислить обоими методами:

• Общий метод

  Общий метод получения определителя матрицы 3×3 состоит из разбиения матрицы на вторичные матрицы меньших размеров в процессе, называемом «расширением первой строки». Этот процесс использует элементы из первой строки матрицы 3×3 и использует их как множители в сумме умножений, при которой большая матрица перераспределяется.

  Давайте шаг за шагом рассмотрим, как вычислить определитель матрицы 3×3:

  1. Сначала вы берете первый элемент первой строки и умножаете его на вторичную матрицу 2×2, которая получается из элементов, оставшихся в матрице 3×3, которые не принадлежат строке или столбцу, к которому принадлежит ваш первый выбранный элемент.

     Взяв в качестве ссылки определитель матрицы 3×3, показанный в уравнении 2, мы строим первую часть результата этой операции, выбирая первый элемент первой строки и столбца (который является константой «a»), а затем умножаем его на матрица, созданная из четырех элементов, которые не принадлежат ни одной строке столбца, в котором находится «a».Умножьте «a» на полученную вторичную матрицу 2×2, и это будет первый член решения.

  2. Второй член начинается со второго элемента в верхней строке (константа «b»), сопровождаемого отрицательным знаком, который теперь умножает вторичную матрицу 2×2, которая снова получается из четырех элементов в матрице, которые не принадлежат в любой столбец строки, в которой находится «b».
  3. Повторяем первый шаг, но уже с третьим элементом из верхней строки матрицы.

  Итак, определитель матричной формулы 3×3 для общего метода:

  Уравнение 3: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода

  Процесс называется расширением первой строки, потому что, как вы можете видеть в уравнении 3, все элементы из первой строки исходной матрицы 3×3 остаются основными факторами в расширении, для которого необходимо решить. Все матрицы 2×2 в раскрытии — это то, что мы называем «вторичными матрицами», и их можно легко разрешить, используя уравнение, изученное на определителе на уроке по матрице 2×2.

  Итак, принимая во внимание формулу для определителя квадратной матрицы размером 2×2, мы видим, что уравнение 3 дает:

  Уравнение 4: Уравнение для определителя матрицы 3×3 посредством общего метода (часть 2)

  На этом этапе вы, возможно, заметили, что поиск определителя матрицы размером больше 2×2 становится долгим испытанием, но логика процесса остается той же, и поэтому сложность аналогична, единственный ключевой момент — отслеживать операции вы прорабатываете даже больше с матрицами даже большего размера, чем 3×3.

• Сокращенный метод

  Определитель метода быстрого доступа к матрице 3×3 — это хитрый трюк, который упрощает вычисление определителя большой матрицы путем прямого умножения и добавления (или вычитания) всех элементов в их необходимом виде, без необходимости пройти через матричное расширение первой строки и без необходимости оценивать детерминанты вторичных матриц.

  Весь процесс того, как оценить определитель матрицы 3×3, используя сокращенный метод, можно увидеть в уравнении ниже:

  Уравнение 5: Быстрый метод получения определителя матрицы 3×3

  Теперь давайте поясним метод быстрого доступа:

  При вычислении определителя матрицы размера nxn (в данном случае матрицы 3×3), как показано выше, обратите внимание, что мы сначала переписываем матрицу, сопровождаемую повторением двух первых столбцов, которые теперь записываются снаружи с правой стороны.

  Тогда значение определителя будет результатом вычитания между сложением произведений всех умножений вниз-вправо и умножений вниз-влево. Сказано более ясно, в общей сложности будет три полных диагонали, идущих от верхнего левого угла до нижнего правого, и еще один набор из трех полных диагоналей, идущих от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

  Мы умножим элементы каждой диагонали вместе, а затем сложим их с результатами, полученными на других диагоналях.Есть кое-что, что нужно иметь в виду, все умножения диагоналей, идущие от верхнего левого угла к нижнему правому, имеют собственный положительный знак, умноженный на них, в то время как все умножения диагоналей, идущие сверху справа налево, имеют внутренний отрицательный знак умножения. к ним, и поэтому при сложении результатов всех умножений будет получено вычитание, подобное тому, которое показано в уравнении 5.

  Хотя этот метод проще в применении, чем общий метод, его немного сложно объяснить из-за того, что все операции умножения и сложения выполняются одновременно, поэтому мы рекомендуем вам использовать уравнение 5 в качестве руководства и уделять пристальное внимание к видео, где демонстрируются примеры этого метода.

  В последнем разделе этого урока мы проработаем набор из трех различных матриц 3×3 и их детерминанты. Мы рекомендуем вам сравнить процессы для обоих методов, чтобы лучше понять их.

Определитель большой матрицы

Процесс оценки определителя матрицы большей размерности, чем 3×3, следует той же логике, что и то, что мы видели до сих пор. Используя общий метод на матрице A 4×4, где ее первая (верхняя) строка соответствует элементам a, b, c и d, мы вычисляем определитель матрицы следующим образом:

Мы еще раз расширили определитель на его первую строку и получили вторичные матрицы, которые в данном случае являются матрицами 3×3, каждая из которых может быть расширена и разбита на матрицы 2×2.Шаблон в процессе повторяется, вы можете продолжать работать таким образом с еще более крупными квадратными матрицами, и он всегда будет работать, но если вам больше нравится метод ярлыков, то вас ждет удовольствие, поскольку метод работает точно так же как и в случае с матрицами 3×3, он просто увеличивает количество элементов, с которыми вы работаете, но логика и перестановка точно такие же (умножение сверху слева вниз справа имеет положительный знак, умножения из верхнего правого угла в нижний левый имеют внутренний отрицательный знак).

Вы взволнованы, увидев, как сокращенный метод работает с матрицами большего размера? Мы рекомендуем вам попробовать это самостоятельно, чтобы вы могли увидеть весь процесс. Вы всегда можете вернуться и решить ту же матрицу, используя общий метод, и доказать, что ваш результат верен.

Упражнения по вычислению определителя матрицы 3×3

В следующих упражнениях мы решим определитель матрицы 3×3, предоставленной в каждом случае, с помощью соответствующего метода, а в конце мы сравним полученные результаты.

Обратите внимание, что матрицы A, B и C, представленные в обоих разделах упражнений выше, абсолютно одинаковы. Это было сделано специально, чтобы вы могли сравнить результаты обоих методов и посмотреть, как они дают одинаковые значения.

Чтобы завершить этот урок, мы хотели бы порекомендовать вам эту статью о том, как вычислить определители, и другую статью о определителе квадратной матрицы, где вы найдете гораздо больше примеров, чем приведенные здесь.

Надеемся, этот урок был интересным и полезным, до встречи в следующем!

Калькулятор определителя | Матрица | 3 * 3, 4 * 4, 5 * 5

Итак, сегодня мы поговорим о матричном калькуляторе определителя. (расчет).Концепция детерминантов и матриц превзошла во всех областях науки. Помогает в решении не только линейных уравнения, но также векторные и скалярные произведения. Мы все знаем о линейные уравнения, и они могут иметь один или бесконечный набор решений. Итак, каковы детерминанты? Что такое матрица детерминант? Ответы на эти вопросы появятся в следующем статья.

Определители эквивалентны квадрату матрицы с вещественными элементы.Он обозначается как det (A), | A | и det A. Они используются для решения линейных уравнений и, следовательно, нахождения неопределенного переменные. Аналогично, det (A) 2×2 матрицы A будет:, что заслуживает

Теперь матрицы обозначены квадратными скобками, но определитель обозначает вертикальные стержни. Det (A) будет одиночным число в массив цифр матриц. Также этот калькулятор получил предназначен для нахождения det (A) для значений матрицы, таких как 2×2, 3×3 и 4х4.

Как найти определитель матричного калькулятора?

Поскольку теперь мы знаем, что такое det (A), теперь мы узнаем, как найти определитель матрицы. Следующие шаги расскажут вам, как учитывайте ценности и находите решения. Это: · Во-первых, возьмем пример для матрицы 2×2 для det A. Теперь, если
Тогда результат будет:

• Итак, как вы видите пример выше, вы могли заметить, что у одного сделано.
• Правило №1: Вы должны использовать несколько значений в первой строке. и первый столбец к элементу во второй строке и втором столбец.
• Правило № 2: Тогда будет полезно, если вы умножите значение на вторая строка и второй столбец к первой строке и первому столбец.
• Указанные выше пункты могут быть простыми, определяемыми как разница между первым и вторым товаром. Кроме того, это был пример значений матрицы 2×2.
• Теперь, следующий шаг впереди для det (A) 3×3 и 4×4. матрица.

Знаю несовершеннолетних

Как узнать несовершеннолетних? Определены миноры для матрицы det (A) размера nxn как (n-1) x (n-1). Для лучшего понимания предположим, что у нас есть Матрица 3×3 det (A). Теперь мы временно удаляем третий столбец и row, то остальные элементы будут считаться второстепенными.

Теперь, чтобы оценить матрицу nxn, нужно разложить det (A) несовершеннолетними.Во-первых, мы выбираем ряд, а затем начать умножение. Во-вторых, умножаем знак позиции, несовершеннолетние и элементы ряда, которые мы определили. В приведенных ниже примерах вы увидите, как увеличивать и оценивать решение. Что вам нужно помнить, так это то, что вы должны помните правила знаков, которые также упоминаются позже в статья.

Как уже упоминалось, для det (A) 4×4, det (A) 3×3 несовершеннолетние.После того, как вы выберете строку или столбец, каждый его элемент необходимо умножить на -1 или +1. Они зависят от того, суммирование элементов строки и столбца может быть четным или нечетным. Следовательно, произведение второстепенного компонента и числа +1 или -1 равно известные как кофакторы.

Калькулятор определителя 3×3

Вычислители определителя 3×3 матрицы были определены как
, которое выводится как

Как вы видите, вывод позволяет теперь посмотрим на пример, который находится ниже:
Far, после этого расширьте второй столбец.Также помните, что вы должны получить второстепенные элементы, 2×2, во второй столбец, например
Теперь начните использовать кофакторы для этих результатов, например

Калькулятор определителя 4х4

Мы, конечно, видели выше выводы с примерами. Но сейчас мы увидим случай решателя определителя для 4×4.

Прежде всего, давайте посмотрим на пример, который нам нужно оценить:
, где вы расширяете четвертый ряд с несовершеннолетними, как

• Теперь каждый из определителей в приведенном выше примере должен получить расширен тремя несовершеннолетними.
• Кроме того, не забудьте сначала решить функцию det (A) с большим количеством нулей как это может упростить решение уравнения.
• Хотя легко рассчитаться с калькулятором определителя.
• Детерминантный поиск также может иметь дело с реальным миром проблемные уравнения во всех областях науки. Как это могло бы решить векторные и скалярные уравнения.

Как пользоваться калькулятором определителя матрицы?

Следующие шаги предложат вам, как использовать матрицу калькулятор определителя, а они следующие:

• Как упоминалось выше, матрицы содержат действительные числа и поэтому поместите значения в расч.
• После помещения всех значений матрицы в поле нажмите кнопку Кнопка «Создать работу», чтобы начать решение.
• Результатом также будет действительное число, которое предоставит вам с большим количеством информации об уравнении.

Как вычислить определитель матрицы с помощью NumPy?

Специальное число, которое может быть вычислено из квадратной матрицы, известно как определитель квадратной матрицы.Numpy предоставляет нам возможность вычислять определитель квадратной матрицы с помощью функции numpy.linalg.det () .

Синтаксис:

 numpy.linalg.det (массив)
 

Пример 1: Вычисление определителя матрицы 2X2 Numpy с использованием функции numpy.linalg.det ()

Python3

print ( : « )

print (n_array)

det = np.linalg.det (n_array)

Выход: