Вычислить определитель матрицы разложением по строке онлайн: Определитель матрицы онлайн

Правила нахождения определителя разложением по столбцу

Примеры решенийРанг матрицыОбратная матрица Метод Гаусса Производная онлайн Определитель матрицыЭкстремум функции Линейная алгебра онлайн Правило СаррюсаМетод обратной матрицы

Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по столбцу.
Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем матрицу в виде:

A =

2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 1

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

2	-1	0
-1	2	-1
0	-1	1

Получаем:

∆ 1,1 =

2 -1 -1 1

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,1 = (2 • 1-(-1 • (-1))) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

2	-1	0
-1	2	-1
0	-1	1

Получаем:

∆ 2,1 =

-1 0 -1 1

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,1 = (-1 • 1-(-1 • 0)) = -1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

2	-1	0
-1	2	-1
0	-1	1

Получаем:

∆ 3,1 =

-1 0 2 -1

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,1 = (-1 • (-1)-2 • 0) = 1
Главный определитель:
∆ = (2 • 1-(-1 • (-1))+0 • 1) = 1

Задание №2. Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение.
Исходную матрицу запишем в виде:

A =

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0
1	1	1	0

Получаем:

∆ 1,1 =

0 1 1 1 1 0 1 1 0

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,1 = 0 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0
1	1	1	0

Получаем:

∆ 2,1 =

1 1 1 1 1 0 1 1 0

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,1 = 1 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0
1	1	1	0

Получаем:

∆ 3,1 =

1 1 1 0 1 1 1 1 0

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.

0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0
1	1	1	0

Получаем:

∆ 4,1 =

1 1 1 0 1 1 1 1 0

Найдем определитель для этого минора.
∆_4,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
В итоге основной определитель находим как:
∆ = (0 • 0-1 • 0+1 • (-1)-1 • (-1)) = 0

Примеры:
B = a₁¹•a₂²•a₃³ — a₁¹•a₃²•a₂³ — a₁²•a₂¹•a₃³ + a₁²•a₃¹•a₂³ + a₁³•a₂¹•a₃² — a₁³•a₃¹•a₂²
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

1 4 5 0 -2 5 0 0 2,5

=

= 1•(-2)•2.5 — 1•5•0 — 0•4•2.5 + 0•5•0 + 0•4•5 — 0•5•(-2) = -5

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Разложить определитель по строке или столбцу

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду. Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

— разложение по i-той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

— разложение по j-той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Сделаем ноль вместо элемента a₄₃=9. Для этого из строки

№4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3.
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₃ = 3 в столбце № 3. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2, и результат запишем в столбце №3, от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a₁₂=4. Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4. Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3, то и весь определитель увеличится в 3. А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 3.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₁ = 3 в строке № 1. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этой строкой.

Видим, что у нас остался один определитель второго порядка.

Найдем определитель по формуле: a₁₁×a₂₂ — a₂₁×a₁₂.

det(A)=3·(-14)·(-13)-(-6)·(-2)=510

Калькулятор расширения кофактора

Рассмотрим следующую матрицу 5×5 и найдем ее определитель путем расширения кофактора.

⌈	-1	-2	1	0	8	⌉
|	2	0	0	0	-1	|
|	4	-6	0	-1	0	|
|	1	2	3	2	1	|
⌊	0	0	1	-1	1	⌋

Видим, что во второй строке три нуля : произведем разложение на кофакторы по этой строке.

det(A) =
a 21 * C 21 + a 22 * C 22 + A 23 * C 23 + A 24 * C 24 + A 25 * C 25


Мы видим, что в принципе, мы вычислить целых ПЯТЬ определителей. К счастью,

A 22 = A 23 = A 24 = 0 ,

Таким образом, Формула уменьшается до:

DET (A) = A 21 * C 21 + AS. 25 * С 25 ,

, что равно:

det(A) = (-1) 2+1 * a 21 * det(A 21 ) + (-1) 2+5 * a 70 0 8 * det(A 25 )

Упрощая знаковые множители и подставляя коэффициенты a 21 = 2 и a 25 = -1 ) 5

, получаем:

-2 * det(A ₂₁ ) + 1 * det(A ₂₅ ) ,

где A 21 это следующая матрица:

⌈	-2	1	0	8	⌉
|	-6	0	-1	0	|
|	2	3	2	1	|
⌊	0	1	-1	1	⌋

и A 25 представляет собой следующую матрицу:

⌈	-1	-2	1	0	⌉
|	4	-6	0	-1	|
|	1	2	3	2	|
⌊	0	0	1	-1	⌋

Оказывается, что DET (A 21 ) = -212 и DET (A 25 ) = -84 (см. Ниже приведено для получения информации), SO:

55595 (см. Ниже приведено. det(A) = -2 * (-212) + 1 * (-84) = 424 — 84 = 340 .

Расширение кофактора 4×4

Чтобы показать вам, как решить проблему расширения кофактора 4×4 , теперь мы вычисляем det(A 25 ) , используя разложение кофактора еще раз. Во избежание путаницы обозначим рассматриваемую матрицу 4×4 через Б ; то есть B читается:

⌈	-1	-2	1	0	⌉
|	4	-6	0	-1	|
|	1	2	3	2	|
⌊	0	0	1	-1	⌋

Разложение выбираем по последней (четвертой) строке , так как она содержит два нуля ( b 41 = b 42 = 0 ). Следовательно,

det(B) =
(-1) 4+3 * b 43 * det(B 43 ) + (-1) 4+4 * b 94 * 9090 det(B 44 )

det(B) =
(-1) * 1 * det(B 43 ) + 1 * (-1) * det(B 44 )1313

det(B) = -det(B 43 ) - det(B 44 )

где B 43 равно:

⌈	-1	-2	0	⌉
|	4	-6	-1	|
⌊	1	2	2	⌋

и B 44 :

⌈	-1	-2	1	⌉
|	4	-6	0	|
⌊	1	2	3	⌋

Получается, что det(B 43 ) = 28 и det(B 44 ) = 56 (используйте коэффициент Сарруса ниже) , так что

det(B) = -28 - 56 = -84 .

Расширение кофактора 3×3

Наконец, мы покажем вам, как работать с расширением 3×3 кофактора . Возьмем вторую подматрицу выше и обозначим ее M . То есть М это:

⌈	-1	-2	1	⌉
|	4	-6	0	|
⌊	1	2	3	⌋

Разложение выбираем по последнему (третьему) столбцу , поскольку оно содержит ноль ( m 23 = 0 ), что упрощает расчеты. Следовательно,

det(M) =
(-1) 1+3 * m 13 * det(M 13 ) + (-1) 3+3 * m 98 * det(M 33 )

det(M) =
1 * 1 * det(M 13 ) + 1 * 3 * DET (M 33 )

DET (M) = DET (M 13 ) + 3 * DET (M 33 )

, где м 13 )

, где м 13 ) это:

⌈	4	-6	⌉
⌊	1	2	⌋

и M 33 это :

⌈	-1	-2	⌉
⌊	4	-6	⌋

Мы можем легко определить, что DET (M 13 ) = DET (M 33 ) = 14 , так:

DET (M) = 14 + 3 * 14 =. 56 .

Теперь твоя очередь! Попробуйте вычислить оставшиеся определители, чтобы подтвердить наши результаты. В случае сомнений, не стесняйтесь использовать наш калькулятор расширения кофактора !

Калькулятор определителя матрицы

Определитель квадратной матрицы A = ( a i j ) размерности n является действительным числом, которое линейно зависит от каждого вектора-столбца матрицы. Обозначим через det ( A ) или | А | определитель квадратной матрицы А.

Свойства определителей

• Определитель равен 0, если
  • Две строки в матрице равны.
  • В матрице хотя бы одна строка или столбец равны нулю. 907:50
  • Матрица уникальна.
• Вычитание строки i из строки j n раз не меняет значения определителя.
• Если поменять местами две строки или столбца, знак определителя изменится с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный.
• Определитель единичной матрицы равен 1, det (In) = 1
• Определители A и его транспонирования равны, дет ( А Т ) = дет ( А ) 907:50
• det (A - 1) = 1 det (A) = [det (A)] - 1
• Если матрицы A и B имеют одинаковую размерность, det ( A B ) = det ( A ) × det ( B )
• det ( c A ) = c n x det ( A )
• det ( А ) знак равно а п а 22 … а п п знак равно ∏ я знак равно 1 п а я я , если матрица A треугольная а я j = 0 эт я ≠ j , определитель равен произведению диагоналей матрицы. 907:50

Методы вычисления детерминанта

Расширение кофактора (разложение Лапласа)

Расширение кофактора используется для небольших матриц, поскольку оно становится неэффективным для больших матриц по сравнению с методами разложения матриц.

Формула для вычисления расширения Place дается следующим образом:

Где k — фиксированный выбор i ∈ {1, 2, …, n}, а det (A k j ) — минор элемента a i j .

Пример

Формула Лейбница

Где Sn ∈ {1, 2, …, n} — множество перестановок от 1 до n, и sign — это функция, определяющая знак множества Sn, которая возвращает +1 для четных перестановок и -1 для нечетных перестановок.

Пример

Исключение Гаусса

Исключение Гаусса также используется для нахождения определителя путем преобразования матрицы в форму сокращенного эшелона строк путем замены строк или столбцов местами, добавления к строке и умножения на другую строку, чтобы показать максимум нулей.

No related posts.