1 Вычислить производные данных функций.
Лабораторная работа №13
Вычисление производных
Необходимые понятия и теоремы: формулы для производных основных функций; правила дифференцирования, связанные с арифметическими действиями над функциями; производная сложной функции; дифференциал; производная обратной функции; производная функции, заданной параметрически; производная функции, заданной неявно.
Литература: [1] с. 232 – 243, [2] с. 146 – 157.
№ | |||
1 | 2 | 3 | 4 |
1.1 | ; | 1. | |
1.2 | 1.12 | ||
1.3 | 1.13 | ||
1.4 | 1.14 | ||
1 | 2 | 3 | 4 |
1.5 | 1.15 | ||
1. | 1.16 | ; ; | |
1.7 | 1.17 | ||
1.8 | 1.18 | ||
1.9 | 1.19 |
11
61 | 2 | 3 | 4 |
1. | 1.20 |
102 Пользуясь правилами дифференцирования, вычислить производные данных функций.
№ | № | ||
2.1 | 2.11 | ||
2.2 | 2.12 | ||
2.3 | 2.13 | ||
2. | 2.14 | ||
2.5 | 2.15 | ||
2.6 | |||
2.7 | 2.17 | ||
2.8 | 2.18 | ||
2.9 | 2. | ||
2.10 | 2.20 |
4
193 Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислить производную функции .
№ | № | ||
3.1 | 3.11 | ||
3.2 | 3.12 | ||
3.3 | 3. | ||
3.4 | 3.14 | ||
3.5 | 3.15 | ||
3.6 | 3.16 | ||
3.7 | 3.17 | ||
3.8 | 3.18 | ||
3.9 | 3. | ||
3.10 | 3.20 |
13
194 Найти производную функции .
№ | № | ||
1 | 2 | 3 | 4 |
4.1 | 4.11 | ||
4.2 | 4. | ||
4.3 | 4.13 | ||
4.4 | 4.14 |
1 | 2 | 3 | 4 |
4.5 | 4.15 | ||
4.6 | 4. | ||
4.7 | 4.17 | ||
4.8 | 4.18 | ||
4.9 | 4.19 | ||
4.10 | 4.20 |
16Калькулятор производных — MathCracker.com
Инструкции: Используйте этот калькулятор производной, чтобы найти производную функции, которую вы предоставляете, показывая все этапы процесса.
Пожалуйста, введите функцию, для которой вы хотите вычислить производную, в поле ниже.
93).
Предоставленная функция может быть полностью упрощена или нет, это не имеет значения, так как калькулятор сначала упростит функцию, если необходимо перед вычислением его производной.
После того, как действительная функция была предоставлена, вам просто нужно нажать «Рассчитать», подождать несколько секунд, и вам будут представлены все этапы расчета.
Дифференциация является основным инструментом, используемым в исчислении (наряду с интегрированием), и это важная операция, которая широко используется в более сложной математике.
Как вычислить производную функции?
Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием и состоит в определении мгновенной скорости изменения точки в точке
каждой точке области определения функции.
Какова мгновенная скорость изменения функции? Итак, начнем с определения скорости изменения: Рассмотрим функцию \(f\), и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция равна \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение \(f(x_1)\)
Затем изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) — f(x_0)\) (что также называется изменением y). Кроме того, изменение x определяется как \(\Дельта х = х_1 — х_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x.
Графически:
Производная формула
Таким образом, если \(\Delta x\) представляет собой изменение x, а \(\Delta y\) представляет собой изменение значения функции из-за изменения в x соответствующие скорость изменить это:
\[\text{Скорость изменения} = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Тогда какой будет мгновенная скорость изменения? Это соответствует анализу того, что произойдет, если \(\Delta x\) станет очень маленьким.
Можно было бы ожидать, что \(\Delta y\)
тоже станет маленьким, но что произойдет со скоростью между \(\Delta y\) и \(\Delta x\)?
Итак, в этом контексте мгновенная скорость изменения определяется как
\[\text{Мгновенная скорость изменения} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Итак, с точки зрения непрофессионала, мы устанавливаем \(x_0\) фиксированным и вычисляем скорость изменения для значений \(x_1\), которые все ближе и ближе к \(x_0\). Используя эту идею мгновенного скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\).
\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f (x_0)}{x_1 — x_0} \]
Если вышеуказанный предел выходит за пределы, мы говорим, что функция f дифференцируема в \(x_0\). Также будем говорить, что функция дифференцируема на множестве A, если функция
дифференцируема в каждой точке множества.
Этапы использования формулы производной
- Шаг 1: Четко определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать
- Шаг 2: Убедитесь, что вы максимально упростили f, иначе поиск требуемого предела может оказаться излишне сложным
- Шаг 3: Решите, будете ли вы работать с общей точкой x0 или вы задаете конкретную числовую точку для x0
- Шаг 4: На основе определения функции используйте формулу \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f(x_0)}{x_1 — х_0}\). Это, подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраически
- Шаг 5: Упростите как можно больше, ПРЕЖДЕ ЧЕМ использовать лимит
- Шаг 6: Иногда проще установить x1 = x0 + h, а затем вычислить предел, когда h сходится к 0
Обратите внимание, что шаг 6 — это шаг 6, который некоторым нравится по умолчанию. Действительно, альтернативная производная формула, которая может показаться более простой для упрощения:
\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) — f(x_0)}{h} \]
, это формула, которую вы можете найти в своем учебнике, вместо другой.
Производные правила
Казалось бы, чертовски много работы, чтобы вычислить производную, используя формулу. И действительно, это мог бы быть трудоемкий процесс, если бы мы решили проработать каждый процесс дифференцирования по формуле производной.
К счастью, есть ряд функций (а именно полиномы, тригонометрические функции) для которых мы точно знаем, каковы их производные.
Кроме того, у нас есть правила дифференцирования, которые позволяют нам найти производную функции, которая является составной функцией и/или комбинацией элементарных функций (для которых мы знаем их производную), в терминах элементарных производных.
Каковы шаги для вычисления производной?
- Шаг 1: Определите функцию f, которую вы хотите выделить. Упростите, насколько это возможно, ПЕРЕД вычислением производной
- Шаг 2: Определите, требуется ли вам использовать производную формулу или нет
- Шаг 3: Если необходимо использовать производную формулу, используйте \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f(x_0)}{x_1 — x_0 } \), или ты можно использовать \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) — f(x_0)}{h} \), если кажется, что проще приблизиться к
- Шаг 4: Если вам не требуется использовать формулу производной, вы можете использовать основные правила дифференцирования: Линейность, Правило продукта, правило частного и Цепное правило, которое поможет вам свести расчет производной к использованию основных известных производных
Часто функция, для которой вы пытаетесь найти производную, не является простой функцией, а является базовой комбинацией нескольких простых функций.
Например,
функция
\[f(x) = x + \cos(x) + \sin(x)\]
сама по себе не является элементарной функцией, а является составной функцией трех элементарных функций, \(x\), \(\sin x\) и \(\cos x\).
Применение производных
Кто-то может подумать: «Ну, производные предполагают пределы, и это сверхтеоретически, поэтому у них не должно быть слишком много применений», но вы совершенно ошибаетесь. Магия производных в том, что они, по сути, связаны со скоростью изменения функций, которые могут представлять различные типы процессов. 92\right)\)
Таким образом, мы получаем следующий график для функции на интервале \([-5, 5]\):
Пример: Калькулятор производных
Найдите производную от \( f( х) = \displaystyle \frac{4}{x}\). Везде ли он четко определен? График это.
Решение. Функция, для которой требуется производная, имеет вид \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}\).
Дальнейшее упрощение не требуется, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению его производной: 92}\)
Графически:
Подробнее о производных и функциях
Функции являются чрезвычайно важными конструкциями в математике.
Обычно вам нужно иметь возможность упростить функцию в качестве преамбулы других более специализированных вычислений.
Существуют специальные типы функций, которые позволяют вам выполнять определенные операции, например, то, что вы делаете с полиномиальными операциями.
Интересно, что множество важных элементов, таких как нахождение координат вершины параболы, которые можно вывести умным способом, используя геометрические аргументы, можно легко получить с помощью дифференцирования.
Нахождение производной функции
Исчисление
Вопрос задан 19.01.20Найдите производную данной функции.
f(x)=6x 3 -9x+4
Подписаться І 2
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Дана Х.
ответил 21.01.20
Репетитор
5,0 (982)
Кандидат прикладных математических наук, опыт преподавания в колледже и средней школе.
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Найдите производную от f(x) = 6x 3 — 9x + 4
Для этого нам понадобятся три великих правила производных:
Степенное правило: Если F(x) = x n , то F'(x) = nx n-1
Производная кратного: Если F(x) = cf(x), то F'( x) = cf'(x) c — константа
Производная суммы: Если F(x) = f(x) + g(x), то F'(x) = f'(x) + g'( x)
Итак, мы имеем
f'(x) = (6x 3 — 9x + 4)’
= (6x 3 )’ — (9x)’ + (4)’ ← производная суммы.
= (6∗3x 2 ) — 9 ← Степенное правило и производная от кратного
= 18x 2 — 9
Голосовать за 0 Понизить
Подробнее
Отчет
Патрик Б.