Вычитание чисел со степенями с одинаковыми основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление КЧ. Возведение в степень и извлечение корня.

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 13Следующая ⇒ Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называетсяабсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами. Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты. Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.   Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i. Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.   Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число: ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:   1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены, 2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1. Деление.Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) — значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно. Возведение в степень: , где n – целое положительное число. (Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме) Извлечение корня из комплексного числа Определение Корнем-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений. Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 — 1754) — английский математик): Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник. Показательная функция. Формулы Эйлера. Логарифм комплексного числа Показательная функция Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией. · Область определения показательной функции: D (y)=R –множество всех действительных чисел. · Область значений показательной функции: E (y)=R+ — множество всех положительных чисел. · Показательная функция y=ax возрастает при a>1. · Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1 . Справедливы все свойства степенной функции: · а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. · а1=а Любое число в первой степени равно самому себе. · ax∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают. · ax:ay=ax-y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. · (ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают · (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей. · (a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби. · а-х=1/ax · (a/b)-x=(b/a)x. · Формула Эйлера   Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями и на множестве комплексных чисел:   . (1)   Доказательство формулы Эйлера основано на представлении этих функций в виде степенных рядов и при первом чтении может быть опущено без ущерба для понимания последующего изложения. Заметим, что и представляют собой соответственно вещественную и мнимую части экспоненциальной функции :   . (2)   Выполним в формуле Эйлера замену :   (3)   Выполнив почленное сложение и вычитание выражений в обеих частях равенств (1) и (3), получим     что влечет   . (4)   Таким образом, тригонометрические функции и представлены в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций и . Тангенс аргумента φ выражается через : Логарифм комплексного числа

Читайте также:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; просмотров: 991; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.

2}$. Сумма коэффициентов этих одночленов равна $0$. При умножении на ноль мы и в результате получим $0$. 

Другими словами, сумма противоположных одночленов равна нулю.

{"questions":[{"content":"Посчитайте, чему будет равен результат и выберите правильный ответ: $$18set+32est-50ets$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$80est$","$est$","$0$"],"answer":[2]}}}]}

5\)                                      [Упрощение]

 

Пример 3: В мастерской скульптора есть несколько скульптур одного типа. Высота самой маленькой скульптуры 2 см. Высота каждой последующей скульптуры в мастерской в ​​два раза превышает высоту предыдущей скульптуры. Какова разная высота фигур в мастерской, если высота самой высокой скульптуры 256 см?

 

 

 

98\) см.

Видео: Упрощение экспоненциальных выражений с помощью рациональных показателей

Стенограмма видео

Степени, индексы и экспоненты Главные экспоненты и три правила

логика и соглашения относительно степеней, индексов и показателей. На самом деле они все одинаковые вещь; но в зависимости от того, где вы живете, вы будете знать их по одному из этих имен. Мы также поговорим о три правила работы со степенями: правило сложения, правило вычитания и правило умножения. Итак, у нас есть степени, индексы или экспоненты. Но я просто назову их силами это видео. Они состоят из основного числа — здесь пять — это базовое число, а надстрочный индекс — это маленькое число, просто над ним — называется степенью или индексом или показателем степени.

В простых случаях мощность говорит ты сколько раз выписываешь основание числа а потом ставишь знаки умножения между ними и провести расчет. Итак, наша база из пяти выписана два раза, потому что мощность равна двум. Так пиши пятерку дважды, ставь знаки умножения между ними, а затем выполните вычисления: пять раз пять равно двадцати пяти. Теперь с тремя в степени четыре, три — основное число; четыре это сила. Итак, мы собираемся написать три четыре раз, мы собираемся поставить знаки умножения между ними, а затем мы собираемся провести расчет. Итак, трижды три — девять; три умножить на три девять. Таким образом, мы получили девять раз девять, что равно равно восьмидесяти одному. Итак, три в степени четыре, мы выписали три четыре раза, перемножили их вместе и получили ответ восемьдесят один.

Точно так же работает способ с дробями: основание здесь половина, а мощность четыре. Итак, мы выписали половину четвертого раз, поставь между ними наши знаки умножения, и я их умножу вместе: один раз один раз один раз один сверху один, а два раза два раз два раза два внизу — два, четыре, восемь — шестнадцать. Так что ответ на один больше шестнадцать. Теперь также стоит упомянуть, что есть немного другой способ написать это, потому что у нас есть один раз один раз один в числителе, мы можем записать один в степени четыре в числителе, и мы два раза два раза два раза два в знаменателе, мы можем записать два в степень четырех в знаменателе.

Эти две вещи взаимозаменяемые и абсолютно одинаковые. Итак, вы, возможно, заметили, что я использовал скобка вокруг моей первоначальной дроби, и это говорит нам, что это все в скобка в степени четыре: одна сверху и две снизу нижний. Если бы я написал свою дробь как это: половина в степени четыре, это будет больше похоже на то, что был в степени четыре, и два не будут включены в это. Вот почему наш главный совет — использовать скобки, чтобы все было ясно. Если вы хотите, чтобы вся дробь возвести в степень четыре, заключить в скобки, чтобы было красиво и понятно.

Силы также могут быть применены к основания с отрицательными числами, но снова скобки настоятельно рекомендуются для ясности. Попробуйте ввести минус три в степень двойки на вашем калькуляторе, как здесь написано. Это небольшой тест того, как точен ваш калькулятор. Технически сила двойки имеет более высокий приоритет, чем отрицательный знак. Это означает, что калькулятор следует сначала возвести три в квадрат, а затем применить отрицательный знак, чтобы получить ответ минус девять; это правильный ответ. Если вы хотите возвести в квадрат отрицательный три, то вы должны поставить минус три в скобках. Отрицательная тройка ко всем к власти из двух это означает отрицательное три раза отрицательное три. И в этом случае отрицательные времена негатив делает позитив. Так что этот ответ будет положительным девять.

Формат очень важен; так используйте скобки для ясности. Теперь вы также должны быть довольно будьте осторожны с отрицательными знаками и подумайте, является ли сила нечетной или даже. Итак, давайте рассмотрим несколько Примеры. Отрицательные два все в степени четыре: мы написали минус два четыре раза, мы поставили наше умножение знаки между ними, и теперь мы собираемся сделать расчет. Таким образом, мы можем соединить их в пару: отрицательный два раза минус два дает плюс четыре; отрицательный два раза отрицательный два также составляет положительную четверку. Теперь умножая их вместе, положительное четыре раза положительное четыре равно положительному шестнадцати. Итак, при четных степенях наши негативы в паре, чтобы сделать положительные числа. И когда мы умножили все положительные числа вместе, мы получили положительный ответ.

Теперь давайте посмотрим на нечетную мощность: минус два в степени пять. Мы написали минус два из пяти раз и поставить знаки умножения между ними, и теперь мы собираемся сделать расчет. Снова соединив их, отрицательный Дважды отрицательное два равно положительному четырем; отрицательный два раза отрицательный два положительный четыре. Но теперь у нас есть один отрицательный два ушел сам по себе. Итак, с нечетной силой мы объединяемся негативы, чтобы сделать позитивы. И это будет работать до конца через, но у нас останется одно отрицательное число в конце. Итак, у нас будет положительная четверка. умножить на положительное четыре раза на отрицательное два. И в этом случае шестнадцать раз минус два — это минус тридцать два. Итак, с нечетной силой, мы собираемся чтобы получить отрицательный ответ.

Итак, общее правило: если у вас есть отрицательное основание с четной степенью, результат будет положительным, потому что все отрицательные пары образуют положительные, когда вы умножаете их вместе. Если у вас есть отрицательная база к нечетная степень, результат будет отрицательным, потому что все отрицательные основные числа объединятся в пары, чтобы получить положительные числа, а затем у вас останется еще одно отрицательное число, на которое нужно умножить его в конце. И результат будет отрицательный.

Это основное, что вам нужно знать о самых простых случаях полномочий. Когда сила положительная целое число, оно соответствует многократному умножению основания. Итак, 𝑎 в степени 𝑥 равно 𝑎 раз 𝑎 раз 𝑎 раз 𝑎 раз 𝑎. И мы пишем 𝑎 𝑥 раз а затем умножить их в целом. Вы должны быть немного будьте осторожны с тем, как вы описываете это, потому что часто говорят, что сила говорит вам, сколько раз вы умножаете основание само на себя, но это не совсем Правильно. Например, с пятью в степени из двух нельзя умножить пять на себя дважды; ты пишешь цифру пять дважды, а затем вы перемножаете эти числа вместе. Таким образом, вы умножаете его только один раз. Таким образом, этот сокращенный метод записи число, умножить его само на себя много раз — это соглашение, которое использовалось математиков на протяжении сотен лет. И это даже было расширено с положительные целые степени в отрицательные степени и даже дробные степени, но это история на другой день.

Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножить два числа в степенной форме с одним и тем же основанием. У нас есть три в степени два умножить на три в степени четыре. Итак, у нас выписаны две тройки вот перемножить и у нас тут выписано четыре тройки перемножить вместе. Итого у нас получилось шесть их. Итак, трижды трижды три умножить на три раза на три раза на три равно трем в шестой степени. Итак, что мы сделали, так это добавили эти два и эти четыре все на странице, так что два плюс четыре, что дает нам шесть из этих тройки, умноженные вместе.

А давайте еще: с семи до степень три умножить на семь в степени пять. У меня есть три семерки, умноженные вместе здесь и пять семерок, умноженных вместе здесь. Если я умножу их вместе, я получил одну большую длинную строку из трех плюс пять восемь семерок. Так что будет семь до сила восьмерки. Это семь записано восемь раз и все это перемножается.

Сейчас очень важно, чтобы у нас было та же база; в противном случае вы не сможете просто добавить полномочия. Например, два в степени трижды три в степени четыре. У нас есть три двойки, умноженные вместе, и у нас есть четыре тройки, перемноженные вместе, но мы не можем совместить их; мы не можем упростить это дальше. Это не два в степени семи и это не три в седьмой степени; это просто два в тройной степени три в степени четыре. Поэтому, когда у вас нет того же база, вы не можете просто добавить полномочия. Для описания этого процесса мы могли бы скажем, при умножении двух чисел в степенной форме с одним и тем же основанием мы просто добавляем степени или 𝑎 в степени 𝑥 раз 𝑎 в степени 𝑦 дает нам 𝑎 в степени из 𝑥 плюс 𝑦.

Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда делим два числа в степенной форме с одинаковым основанием. У нас есть три в степени четыре разделить на три в степени двойки. Значит трижды три раз три раза три сверху — это три в степени четыре — и три умноженное на три внизу — это наши три в квадрате. Теперь я могу разделить вершину на три и я могу разделить нижнюю часть на три, так что я сокращаю эти две тройки. Я могу разделить вершину на три, и я может разделить нижнюю часть на три, поэтому я исключаю эти тройки. Но теперь нет ничего другого, что я можно отменить, так что у меня осталось трижды три сверху и один снизу нижний. Ну разделив на один, мы можем просто оставьте это, что означает, что я только что ушел с тремя в квадрате. Итак, оглядываясь назад, мы начали прочь, четыре тройки умножились вместе наверху, потому что у нас было три степени четырех, и мы фактически убрали два из них — мы вычеркнули два из те, отменил две из них — потому что у нас было два в знаменателе, что мы собираюсь отменить. Итак, мы начали с четырех троек; мы забрали двух из них, что оставило нас с двумя.

Еще один быстрый пример, пять к степень шести, деленная на пять в степени три. У нас шесть пятерок сверху и три пятерки внизу. Мы можем отменить три набора пятерок. Таким образом, мы можем убрать эту тройку из это шесть, что оставляет нас с тремя оставшимися. Итак, мы вычитаем силы; начнем с шести пятерок, уберем три пятерки, останемся с пятью в степени три. Для описания этого процесса мы могли бы скажем, при делении двух чисел в степенной форме с одинаковым основанием мы просто вычитаем полномочия. И у нас есть 𝑎 на 𝑥 разделены на 𝑎 к 𝑦; мы просто вычитаем степени 𝑎 в степени 𝑥 отнимаем 𝑦. Опять же, очень важно, чтобы вы должны иметь ту же основу для этого, чтобы работать. Если бы у нас было пять в степени три разделить на семь в степени четыре, у нас есть пятерки наверху, семерки на дно. Ничто не отменяет; мы не можем упростить что. Силы не могут быть вычтены в этот случай.

Наконец, давайте взглянем на что произойдет, если мы возведем основание в степень, а затем возведем это число в степень другая власть. Итак, сколько двоек мы заканчиваем умножить вместе здесь? Ну, два в степени трех означает, что мы получили три двойки, умноженные вместе. Но поскольку все это для сила четырех, мы собираемся сделать это четыре раза. Итак, у нас есть четыре партии из трех двойки, так что мы собираемся перемножить эти две силы вместе, чтобы получить два сила двенадцати.

Еще один быстрый пример, пять к степени двойки в степени семерки. Ну, пять в степени двойки всего две пятерки, выписанные и перемноженные вместе, и мы проделали это семь раз; берем вот эту скобку и повторяем ее семь раз — умножаем на себя семь раз. Итак, сколько пятерок я умножил вместе в сумме? Ну, это семь лотов по два; это четырнадцать пятерок. Таким образом, умножая силы вместе, это дает мне ответ, который я ищу, при условии, что у меня есть то же самое база.

Чтобы описать этот процесс, мы могли бы скажем, когда возводим базовое число в степень, а затем возводим этот результат в другую мощности, мы просто умножаем степени вместе или 𝑎 в степени 𝑥 все в степень 𝑦 равна 𝑎 в степени 𝑥, умноженной на 𝑦. Нам нужно быть очень осторожными, когда написание этого; так что снова скобки короля. Потому что если мы просто напишем 𝑎 в 𝑥 к 𝑦, как здесь, соглашение состоит в том, чтобы сначала преобразовать 𝑥 в 𝑦 а затем возведите 𝑎 в эту степень; это не то же самое, что 𝑎 в степени 𝑥 в сила 𝑦. Так, например, если мы написали два в степень трех в степени четырех, как у нас здесь, это означает два в степени числа три в степени четыре, что равно двум в степени восемьдесят один. И ответ больше двух септиллион; это число больше, чем может обработать мой калькулятор. так что я не знаю что это за цифры, но в основном это двойка с двадцатью четырьмя другими цифрами после этого. Но если бы я сделал два в степени три, все в степени четыре, значит, два в степени три равно восьми, восемь в степени четыре, а восемь в степени четыре — это только четыре тысячи и девяносто шесть. Так ясно, что эти две вещи очень, очень разные ответы. Так что используйте скобки для ясности; в противном случае вы можете в конечном итоге сделать неверный расчет.

Итак, короткое резюме, 𝑎 to сила 𝑥: 𝑎 — это база, а сила там 𝑥 — иногда называемая мощность, иногда называемая индексом, а иногда называемая показателем степени. Когда мы пишем наш номер в этом формат, мы называем это силовой формой. Когда мы делаем фактический расчет и придумываем число, просто называем его обычным числом. Когда мы применяем это к дробям, скобкой указываем, что всю дробь нужно возвести в мощность, которую мы указываем. И когда мы распаковали это, мы можем видим, что у нас есть два в степени три и три в степени три в данном конкретном случае. Когда мы имеем дело с негативом оснований, если у нас нечетная степень, мы получим отрицательный ответ; если мы иметь четную мощность, мы получим положительный ответ.