Матрицы и действия над ними
Похожие презентации:
Линейная алгебра. Матрицы и действия над ними
Матрицы. Действия над матрицами. Определители и их свойства
Матрицы и определители
Алгебра: Матрицы. Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства
Матрицы. Элементарные преобразования и действия над матрицами
Матрицы, определители. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений элементы векторной алгебры
Матрицы и действия над ними
Матрицы и действия над ними
Матрицы и их виды. Действия над матрицами. Тема 2
Матрицы и действия над ними
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Матрицы и действия
над ними
Челябинск, 2018
2. Задание 10. Разложить данный определитель по элементам по 3-ей строки
ЗАДАНИЕ 10. РАЗЛОЖИТЬ ДАННЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬПО ЭЛЕМЕНТАМ ПО 3-ЕЙ СТРОКИ
3. 1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:
1) РАЗЛОЖИМ ДАННЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬЭЛЕМЕНТАМ 3-ЕЙ СТРОКИ:
ПО
det D a31 A31 a32 A32 a33 A33 a34 A34
a31 1 M 31 a32 1 M 32
4
5
a33 1 M 33 a34 1 M 34
6
7
5.
Сложение матрицСЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ5
6. Сложение матриц
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ6
7. Вычитание матриц
ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ7
8. Выполните действие над матрицей
ВЫПОЛНИТЕ ДЕЙСТВИЕ НАД МАТРИЦЕЙОтвет: А+В = решений нет, так как сложение выполняется в том
случае, когда они одинакового размера
8
9. Умножение матриц
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ9
10. Умножение матриц
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦНайти А × В
10
11. Выполнить действия над матрицами
ВЫПОЛНИТЬ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ11
12. Выполнить действия над матрицами
ВЫПОЛНИТЬ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ12
13. Выполнить действия над матрицами
ВЫПОЛНИТЬ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ13
14. Выполнить действия над матрицами
ВЫПОЛНИТЬ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ14
15. Доказать, что АВ ВА
ДОКАЗАТЬ, ЧТО АВВА
15
16. Вычислить определитель 2-го порядка
ВЫЧИСЛИТЬ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 2-ГО ПОРЯДКА16
17. Вычислить определитель 3-го порядка
ВЫЧИСЛИТЬ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 3-ГО ПОРЯДКА17
18.
Разложить определитель 3-го порядка по элементам а) 1-ой строки Б) 2-го столбцаРАЗЛОЖИТЬОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 3-ГО ПОРЯДКА
ПО ЭЛЕМЕНТАМ А) 1-ОЙ СТРОКИ Б) 2-ГО
СТОЛБЦА
18
19. Вычислить алгебраическое дополнение
ВЫЧИСЛИТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ19
20. Вычислить алгебраическое дополнение
ВЫЧИСЛИТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ20
21. Вычислить алгебраическое дополнение и миноры
ВЫЧИСЛИТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ ИМИНОРЫ
21
22. Вспомним, как находим обратную матрицу
ВСПОМНИМ, КАК НАХОДИМ ОБРАТНУЮ МАТРИЦУ22
ВСПОМНИМ, КАК НАХОДИМ ОБРАТНУЮ МАТРИЦУ
23
24. Вычислить обратную матрицу
ВЫЧИСЛИТЬ ОБРАТНУЮ МАТРИЦУ24
English Русский Правила
Как перемножить две матрицы. (37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры. Произведение двух матриц
Умноже́ниема́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется
Произведением матрицы размеровна матрицуразмеровназывается матрицаразмеров, элементы которой вычисляются по формуле
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матрицсогласована . В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.
Найти произведения матриц AB и BA , если
и
Р е ш е н и е: Имеем
назад в содержание
(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.
Коммутативность = Перестановочность.
Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны
: .Какие матрицы можно умножать?
Чтобы
матрицу можно
было умножить на матрицу нужно, чтобы
число столбцов матрицы равнялось
числу строк матрицы .
Пример: Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
Значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
Следовательно, выполнить умножение невозможно:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение
назад в содержание
(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?
Пусть a – квадратная матрица порядка n. Обратной к ней матрице называется такая матрица A -1 , что A -1 *A=E (здесь A -1 и E – квадратные матрицы того же порядка, причём E – единичная матрица).
Это определение
вовсе не подразумевает, что обратная
матрица существует для любой матрицы
A.
(0 0) – эта строка приводит к тому, что первая строка произведения этой матрицы на любую другую состоит из одних нулей (в единичной матрице это не так)
Определения с википедии: | ||||
Обратная матрица — такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E : Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю. | ||||
Нахождение
обратной матрицы методом Гаусса.
Исходная матрица А. |
Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .
Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .
Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов .
В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.
Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами
Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:
Данная матрица состоит из шести элементов :
Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:
Это просто таблица (набор) чисел!
Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!
Рассматриваемая матрица имеет две строки:
и три столбца:
СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».
Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».
Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют
На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.
Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .
Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.
Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.
Обратный пример: . Выглядит безобразно.
Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :
Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .
2) Действие второе. Умножение матрицы на число .
Пример:
Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.
Еще один полезный пример:
– умножение матрицы на дробь
Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :
Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).
И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:
Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.
Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:
А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
Пример:
В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.
3) Действие третье. Транспонирование матрицы .
Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Пример:
Транспонировать матрицу
Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:
– транспонированная матрица.
Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.
Пошаговый пример:
Транспонировать матрицу
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец:
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.
4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .
Сумма матриц действие несложное.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
Пример:
Сложить матрицы и
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :
Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .
Пример:
Найти разность матриц ,
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет.
Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
5) Действие пятое. Умножение матриц .
Какие матрицы можно умножать?
Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
Значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
Следовательно, выполнить умножение невозможно:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение
За неколько секунд сервер выдаст точное решение.
Умножением матриц онлайн будет являться матрица , каждый элемент которой вычисляется как скалярное произведение строк первой матрицы на соответствующие столбцы второй матрицы по правилу умножения матриц . При умножении матриц онлайн , каждый элемент полученной матрицы будет результатом умножения строк одной матрицы на столбцы другой матрицы согласно правилу произведения матриц . Найти онлайн произведение двух матриц допустимых размерностей сводится к нахождению матрицы соответствующей им размерности. Операция умножения онлайн двух матриц размерностей NxK и KxM сводится к нахождению матрицы размерности MxN. Элементы этой матрицы составляют скалярное произведение умножаемых матриц , это результат умножения матриц онлайн . Задача по нахождению произведения матриц онлайн или операция умножения матриц онлайн заключается в умножении строк на столбцы матриц согласно правилу умножения матриц .
www.сайт находит произведение матриц заданных размерностей в режиме онлайн . Умножение матриц онлайн заданной размерности — это нахождение соответствующей размерности матрицы, элементами которой будут скалярные произведения соответствующих строк и столбцов умножаемых матриц . Нахождение произведения матриц онлайн широко распространено в теории матриц , а так же линейной алгебры. Произведение матриц онлайн используется для определения результирующей матрицы от умножения заданных матриц . Для того, чтобы вычислить произведение матриц или определить умножение матриц онлайн , необходимо затратить не мало времени, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет произведение матриц онлайн от умножения двух заданных матриц онлайн . При этом ответ по нахождению произведения матриц будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при умножении матриц онлайн будут иррациональными.
На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть произведение матриц онлайн может быть представлено в общем символьном виде при умножении матриц онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи на умножение матриц онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции умножения матриц онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему умножение матриц онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки умножения матриц онлайн .
Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент
которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .
Из этого определения следует формула элемента матрицы C :
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:
.
A B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B C = AB — 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1.
Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB .
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке «Компьютеры и программирование».
Возведение матрицы в степень
Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .
Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Дана матрица
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы ,
произведение транспонированной матрицы и
данной матрицы.
Свойства произведения двух матриц
Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
—
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :
Умножать две матрицы можно только при условии, что в первой из них ровно такое же количество столбцов, сколько строк во второй.
Сами же значения при этом могут быть не только целыми, но и дробными. Получив расшифровку вычисления этой задачи, вы сможете понять, как происходит перемножение. Это сэкономит ваше время и поможет лучше разобраться в вычислительных тонкостях.
Допустим, у вас имеется две матрицы, и вам предстоит найти их произведение. Сделать это оперативно и с наивысшей точностью вам поможет данный онлайн-калькулятор. Он не просто умножит две матрицы без затруднений за пару минут, но и позволит вам детальнее разобраться в самом алгоритме этих расчётов. Таким образом, применение онлайн-калькулятора способствует закреплению пройденного в теории материала. Можно также сначала производить вычисления вручную, а затем проверять их здесь, это превосходная тренировка для мозга.
Инструкция пользования данным онлайн-калькулятором не представляет сложности. Чтобы умножить матрицы онлайн для начала укажите количество имеющихся столбцов и строк в первой матрице посредством нажатия на иконки «+» или «-» слева от матрицы и под ней.
Затем введите числа. Повторите те же операции для второй матрицы. Далее остаётся лишь кликнуть кнопку «Вычислить» — и перед вами откроется искомое значение вместе с детальным алгоритмом вычислений.
Элементарные матричные операции
Существует три типа элементарных матричных операций.
- Поменять местами две строки (или столбца).
- Умножить каждый элемент в строке (или столбце) на ненулевое число.
- Умножить строку (или столбец) на ненулевое число и добавить результат в другую строку (или столбец).
Когда эти операции выполняются над строками, они называются элементарные операции со строками ; и когда они выполняются на столбцы, они называются элементарными операциями со столбцами .
Обозначение элементарной операции
Во многих источниках вы встретите компактное обозначение для описания
элементарные операции.
Это обозначение показано ниже.
| Описание операции | Обозначение |
|---|---|
| Рядные операции | |
| 1. Поменять местами ряды и и и | Р и <--> Р и |
| 2. Умножить строку i на s , где s ≠ 0 | СР и —> Р и |
| 3. Добавить s раз строку i к строке j | sR i + R j —> R j |
| Операции со столбцами | |
| 1. Взаимозаменяемые колонны i и j | С и <--> С и |
| 2. Умножить столбец i на s , где s ≠ 0 | СК и —> С и |
3. Добавить s раз столбец i в столбец й | SC i + C j —> C j |
Элементарные операторы
Каждый тип элементарной операции может быть выполнен матричным умножением, используя квадратные матрицы, называемые элементарные операторы .
Например, предположим, что вы хотите поменять местами строки 1 и 2 матрицы А . Для этого можно предварительно умножить A по E для производства B , как показано ниже.
| Ч 1 <--> Ч 2 = |
|
| |||||||||||||||
| Е | А |
| Ч 1 <--> Ч 2 = |
|
| Ч 1 <--> Ч 2 = |
| = Б |
Здесь E — элементарный оператор.
Он работает на A для получения требуемых чередующихся строк в Б . То, что мы хотели бы знать, конечно,
как найти E . Читать дальше.
Как выполнять элементарные операции со строками
Чтобы выполнить элементарную операцию со строками на A , матрица r x c , возьмем следующие шаги.
- Чтобы найти E , оператор элементарной строки , применить операцию к r x r единичная матрица.
- Для выполнения элементарной операции со строками выполните предварительное умножение А по Е .
Мы проиллюстрируем этот процесс ниже для каждого из трех типов элементарных рядовые операции.
Поменять местами два ряда .
Предположим, мы хотим обменять
вторая и третья строки A , матрица 3 x 2. К
создаем элементарный оператор строки E , меняем местами
вторая и третья строки единичной матрицы я 3 .1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 I 3 Е Затем поменять местами второй и третий ряды А , предварительно умножаем A на E , т.
к.
показано ниже.Ч 2 <--> Ч 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 3 4 5 Е А Ч 2 <--> Ч 3 = 1*0 + 0*2 + 0*4 1*1 + 0*3 + 0*5 0*0 + 0*2 + 1*4 0*1 + 0*3 + 1*5 0*0 + 1*2 + 0*4 0*1 + 1*3 + 0*5 Ч 2 <--> Ч 3 = 0 1 4 5 2 3 Умножить строку на число .
Предположим, мы хотим
умножьте каждый элемент во второй строке матрицы А на 7. Предположим, что A является матрицей 2 x 3. К
создаем элементарный оператор строки E , мы умножаем каждый
элемент во второй строке единичной матрицы I 2 по 7.1 0 0 1 ⇒ 1 0 0 7 I 2 Е Затем, чтобы умножить каждый элемент в второй ряд А на 7, мы предварительно умножаем A на E .
7R 2 —> R 2 = 1 0 0 7 0 1 2 3 4 5 Е А 7R 2 —> R 2 = 1*0 + 0*3 1*1 + 0*4 1*2 + 0*5 0*0 + 7*3 0*1 + 7*4 0*2 + 7*5 7R 2 —> R 2 = 0 1 2 21 28 35 Умножить строку и добавить ее к другой строке .
Предположим, что A представляет собой матрицу 2 x 2. Предположим, мы хотим
умножьте каждый элемент в первой строке A на 3; и мы хотим добавить этот результат во вторую строку А . Для этого
операция создания элементарного оператора строки представляет собой двухэтапный процесс.
Сначала мы умножаем каждый
элемент в первой строке единичной матрицы I 2 на 3. Далее складываем результат
это умножение на вторую строку я 2 для производства E .1 0 0 1 ⇒ 1 0 0 + 3*1 1 + 3*0 ⇒ 1 0 3 1 I 2 Е Затем, чтобы умножить каждый элемент в первую строку A на 3 и добавить этот результат в второй ряд, мы предварительно умножаем А по Е .
3R 1 + R 2 —> R 2 = 1 0 3 1 0 1 2 3 Е А 3R 1 + R 2 —> R 2 0 0= 4 4 1*0 + 0*2 1*1 + 0*3 3*0 + 1*2 3*1 + 1*3 3R 1 + R 2 —> R 2 0 0= 4 4 0 1 2 6
Как выполнять операции с элементарными столбцами
Чтобы выполнить операцию с элементарными столбцами A , матрица r x c , возьмем следующие
шаги.
- Чтобы найти E , оператор элементарного столбца , применить операцию к c x c единичная матрица.
- Чтобы выполнить элементарную операцию столбца, постумножить А по Е .
Давайте рассмотрим элементарную операцию столбца, чтобы проиллюстрировать процесс. Например, предположим, что мы хотим поменять местами первый и второй столбцы A , матрица 3 x 2. К создаем оператор элементарного столбца E , меняем местами первый и второй столбцы единичной матрицы я 2 .
| ⇒ |
| ||||||||||||
| I 2 | Е |
Затем поменять местами первый и второй столбцы А ,
мы умножаем A на E , как
показано ниже.
| C 1 <--> C 2 = |
|
| |||||||||||||||
| А | Е |
| C 1 <--> C 2 = |
|
| C 1 <--> C 2 = |
|
Обратите внимание, что процесс выполнения элементарной операции столбца над r x c матрица очень похожа на процесс выполнения
элементарная операция со строками. Основные отличия:
- Для работы на r x c матрице A , оператор строки E создается из r x r единичная матрица; тогда как оператор столбца E создается из c x c единичная матрица.
- Чтобы выполнить операцию строки, A равно , предварительно умноженному на E ; тогда как для выполнения операции столбца, A равно , умноженному на . по E .
Проверьте свое понимание
Задача 1
Предположим, что A представляет собой матрицу 4 x 3. Предположим, вы хотите умножить каждый элемент во втором столбце матрицы A на 9. Найдите оператор элементарного столбца E .
Решение
Чтобы найти оператор элементарного столбца E , мы умножаем каждый
элемент во втором столбце единичной матрицы I 3 по 9.
| ⇒ |
| ||||||||||||||||||||||
| I 3 | Е |
Последний урок Следующий урок
Матрица Операции со строками: примеры (стр. 2 из 2) На практике чаще всего Процедура представляет собой комбинацию умножения строк и сложения строк. мышление вернуться к решению линейных систем из двух уравнений сложением, вы чаще всего должен был умножить одну строку на некоторое число, прежде чем вы добавили ее к другой строка. Например, дано: …вы бы умножили первую строку на 2 перед добавлением во вторую строку: При использовании матриц вышеуказанное система выглядит так: Возьмите бумагу для заметок для расчета строки: …и выполнить операцию строки: «2 Р 1 + Р 2 »
означает «Я умножил строку один на 2,
а затем добавил результат во вторую строку». Кстати, для выполнения операций таким образом, вы, вероятно, захотите использовать много бумаги для заметок, так что вы можете быть осторожны с вашими расчетами. Или еще вы хотите выяснить как заставить ваш графический калькулятор делать грязные части. Например, мой калькулятор может сделать «2 Р 1 + Р 2 » такая операция: Обратитесь к руководству по инструкции для вашей модели калькулятора. Возвращаясь к последнему матрица выше, вот как будет выглядеть полный расчет: Не забудьте сделать наброски
на черновой бумаге, а не на полях домашнего задания. Вышеуказанные матричные расчеты соответствуют решению линейной системы « х + 2 у = 1, -2 х + 3 у = 5″ чтобы получить решение « x = -1, y = 1″. Научиться довольно просто три операции со строками матрицы, но на самом деле выполнение операций может расстраиваться. Удивительно легко сделать маленькие арифметические ошибки которые испортят все ваши расчеты. Так что делайте свою работу очень четко, ясно обозначая операции со строками, которые вы выполняете. Чем ты опрятнее, тем больше скорее всего, в конце концов вы получите правильный ответ, но даже если вы получите неправильный ответ, аккуратную работу намного легче проверить. Если вам необходимо
делайте работу вручную, но у вас есть графический калькулятор, спросите у инструктора
если нормально делать операции в калькуляторе (а не на пустом месте
бумаги), просто записывая шаги, которые вы предприняли, и копируя результаты,
потому что это действительно может сократить количество ошибок. |