Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование
Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.
Что такое иррациональные выражения?
При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.
Определение 1Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.
Основываясь на данном определении, мы имеем, что x-1, 83·36-12·3, 7-4·3·(2+3), 4·a2d5:d92·a35 — это все выражения иррационального типа.
При рассмотрении выражения x·x-7·x+7x+32·x-83 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.
Основные виды преобразований иррациональных выражений
При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ.
Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.
Преобразовать выражение 9+33-2+4·33+1-2·33.
Решение
Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что
81+33-2+4·33+1-2·33==9+33-2+4·33+1-2·33
Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим
9+33-2+4·33+1-2·33==9-2+1+33+4·33-2·33==8+3·33
Ответ: 9+33-2+4·33+1-2·33=8+3·33
Представить выражение x+352-2·x+35+1-9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.
Решения
x+352-2·x+35+1-9==x+35-12-9
Представляем 9 в виде 32, причем применим формулу разности квадратов:
x+35-12-9=x+35-12-32==x+35-1-3·x+35-1+3==x+35-4·x+35+2
Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.
Ответ:
x+352-2·x+35+1-9==x+35-4·x+35+2
Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.
Преобразование подкоренного выражения
Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1+6 можно заменить на 7 или 2·a54-6 на 2·a4·a4-6. Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.
Когда не существует а1, отличное от a, где справедливо неравенство вида an=a1n, тогда такое равенство возможно только при а=а1. Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.
Использование свойств корней
Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a·b=a·b, где a≥0, b≥0, тогда из иррационального вида 1+3·12 можно стать тождественно равным 1+3·12. Свойство …ankn2n1=an1·n2·,…,·nk , где a≥0 говорит о том, что x2+443 можно записать в форме x2+424.
Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то -7-814=-74-814 записать не можем, так как формула abn=anbn служит только для неотрицательного a и положительного b. Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 74814.
Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.
Внесение множителя под знак корня
Определение 3Внести под знак корня – значит заменить выражение B·Cn, а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1, равным выражением, которое имеет вид Bn·Cn или -Bn·Cn.
Если упростить выражение вида 2·x3, то после внесения под корень, получаем, что 23·x3. Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.
Вынесение множителя из-под знака корня
Если имеется выражение вида Bn·Cn, тогда его приводят к виду B·Cn, где имеется нечетные n, которые принимают вид B·Cn с четными n, В и C являются некоторыми числами и выражениями.
То есть, если брать иррациональное выражение вида 23·x3, вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2·x3. Или x+12·7 даст в результате выражение вида x+1·7, которое имеет еще одну запись в виде x+1·7.
Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.
Преобразование дробей, содержащих корни
Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида (2+3)·x4x2+53, то числитель примет вид 5·x4, а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x2+56. Исходную дробь можно будет записать в виде 5·x4x2+56.
Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что
-x+2·x-3·x2+74=x+2·x-(-3·x2+74)=x+2·x3·x2-74
Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что
3·x+43-1·xx+43-13 сокращаем на x+43-1.
Получим выражение 3·xx+43-12.
Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.
Если взять дробь вида 2·x-yx+y, то необходимо вводить новые переменные u=x и v=x, тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2·u2-v2u+v. Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что
2·u2-v2u+v=2·(u-v)·u+vu+v=2·u-v. После выполнения обратной замены придем к виду 2·x-y, которое равно исходному.
Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x3-10,5·x, тогда приведем к знаменателю x. для этого нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2·x, тогда получаем выражение x3-10,5·x=2·x·x3-10,5·x·2·x=2·x·x3-1x.
Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.
Избавление от иррациональности в знаменателе
Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x33. После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 93·x3.
Переход от корней к степеням
Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство amn=amn, то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5-23, то иначе имеем право записать его как 5-23. Эти выражения равнозначны.
Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула amn=amn не всегда применима. Если нужно заменить такие корни (-8)35 и (-16)24 степенями, тогда получаем, что -835 и -1624 по формуле amn=amn не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно.
Следует помнить о том, что формула amn=amn применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Idioms by The Free Dictionary
Таблица 2: Частота количества апикальных отверстий (%) в мезиальных и дистальных корнях первых моляров нижней челюсти, как сообщается в литературе.
Оценка морфологии корней и каналов первых постоянных моляров нижней челюсти в выборке пакистанского населения с помощью конусно-лучевой компьютерной томографии
Если это правда, то почти завершенный раунд финансирования Рута может соперничать с усилиями по сбору средств другого стартапа InsurTech в последние месяцы .
Корень, как сообщается, приближается к завершению раунда финансирования в размере 350 миллионов долларов: отчет WSJ
d) Фактически, из-за сильной семантической нагрузки корней довольно сложно определить различие между нелинейным корнем и словами, образованными шаблоном, с одной стороны. , и линейная основа плюс суффиксные слова с другой.
Линейное и нелинейное словообразование на иврите — слова, оканчивающиеся на -он
Корни поддерживают живые ветви и листья над землей.
Как добраться до корня проблем дерева
Подвижность зубов при ортодонтическом лечении становится возможной благодаря биологической реакции тканей, которая приводит к воспалительной резорбции корня и ремоделированию кости, прилегающей к структуре корня зуба. необратимые последствия для поддержания зубов.1,3 Это присутствовало почти во всех зубах, которые изучались для гистологического исследования после их ортодонтического лечения.
РЕЗОРБЦИЯ КОРНЯ ЧЕРЕЗ 4 МЕСЯЦА ПОСЛЕ НАЧАЛА ЛЕЧЕНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ ОРТОДОНТИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ
Авторы выдвигают идею о том, что бактерии могут индуцировать корнеобразование на различных черенках растений (Bassil et al., 1991; Esitken et al., 2003; Ercisli et al., 2003; Kaymak et al., 2008; Erturk et al.
, 2008; Эртюрк и др., 2010).
ВЛИЯНИЕ НЕКОТОРЫХ РИЗОБАКТЕРИЙ И ИНДОЛ-3-МАСЛЯНОЙ КИСЛОТЫ НА Укоренение черенков лиственной древесины шелковицы черной и белой
Согласно критериям оценки, 254 (72,8%) корня показали желаемый результат (успех), тогда как 95 (27,2%) корни представили нежелательный результат (неудача).
Качество пломбирования корневых каналов, выполненное студентами бакалавриата, и сопутствующие факторы, влияющие на результат лечения: последующее наблюдение через 2–5 лет
Как мои корни, но не такие, жидкие, мягкие, медленнее, меньше.
Неоднозначное существо
Если посадку необходимо отложить, я держу дерево в прохладе, а его корни влажными, храня его на прохладной северной стороне моего дома, прикрывая корни влажной почвой или мульчей.
Деревья с голыми корнями хорошо растут при осторожной посадке Дерево: Соблюдайте еженедельный график полива
[Таблица 1] показывает распространенность различных морфологий корневых каналов, выявленных в премолярах верхней челюсти, в зависимости от количества корней.
Морфология корневых каналов премоляров верхней челюсти у пожилых людей
Наконец, количество корней, длина корня (см), масса корня в свежем и сухом виде (г), количество листьев, количество побегов, длина побега, длина побега и процент выживания (%) каждого черенка регистрировали через 90 дней после посадки.
Клональное размножение гуавы (Psidium guajava) черенками мягкой древесины с использованием IBA в туннеле с низким содержанием пластика
Срединный нерв (MN) представляет собой одну из концевых ветвей плечевого сплетения, которая образуется путем соединения двух корешков, латерального и медиального.
Исследование анатомических вариаций формирования срединного нерва и его связи с артериями в подмышечной впадине и руке/Estudio de las Variaciones Anatomicas en la Formacion del Nervio Mediano y su Relacion con las Arterias de la Axila y el Brazo
Диагностика корня дилацерации до начала лечения корневых каналов необходимы для правильного и безопасного использования эндодонтических инструментов в пределах искривленных корней.
Эндодонтическое лечение бокового резца верхней челюсти с необычной дилацерацией корня, диагностированной с помощью конусно-лучевой компьютерной томографии
исследовали путем проведения опытов по вытягиванию корневой системы однокорневых растений в почву при циклическом замораживании-оттаивании.
Исследование изменения прочности систем корень-глина при воздействии замораживания-оттаивания
[USPRwire, понедельник, 26 августа 2019 г.] Ожидается, что рынок масла корня валерианы вырастет с однозначными темпами роста на уровне 7,9% в прогнозируемый период.
К 2026 году рынок валерианового корня будет быстро расти и развиваться
Идиомы из «Свободного словаря»
«Что-то в этом роде», — ответил он, и в тот же момент, к моему ужасу, соскользнул боком со скалы и, как я тогда подумал, просто по счастливой случайности приземлился среди раскидистых ветвей разновидности пальмы, которая пускала свои выносливые корни вдоль уступа внизу, изгибала свой ствол вверх в воздух и представляла собой густую массу листвы вокруг.
в двадцати футах ниже того места, где мы таким образом внезапно остановились.
Посмотреть в контексте
Успешный результат эндодонтического лечения зависит от определенных факторов, наиболее важным из которых является подготовка корневого канала. остатки, микроорганизмы или их побочные продукты в пространстве канала.
Оценка морфологии корней и каналов первых постоянных моляров нижней челюсти в выборке населения Пакистана методом конусно-лучевой компьютерной томографии
[USPRwire, понедельник, 26 августа 2019 г.] Ожидается, что рынок масла корня валерианы вырастет с однозначными темпами роста на уровне 7,9% в прогнозируемый период.
Рынок масла корня валерианы настроен на быстрый рост и тенденцию к 2026 году
[ClickPress, понедельник, 26 августа 2019 г.] Ожидается, что рынок масла корня валерианы вырастет с однозначными темпами роста на уровне 7,9% в прогнозируемый период.
Рынок валерианового корня масла с 2018 по 2026 г. Акции, отчет о тенденциях и росте -рост-до-3-65-млрд-оценка-11566222378?utm_source=I.I.I.+Daily+Newsletter&utm_campaign=b18d86d7dd-EMAIL_CAMPAIGN_2019_08_20_12_26&utm_medium=email&utm_term=0_092139a76a-b18d86d7dd-122044385) Об этом сообщает The Wall Street Journal.
Сообщается, что корень близок к завершению раунда финансирования в размере 350 миллионов долларов: отчет WSJ
Корень в каждом примере появляется во многих других словах, ни одно из которых не может рассматриваться как основа для суффиксации.
Линейное и нелинейное словообразование на иврите — слова, оканчивающиеся на -on
Признаки и симптомы, которые могут указывать на проблемы с корнями, включают снижение кроны дерева, обычно начинающееся с вершины, но иногда затрагивающее одну сторону или основные ветви по всей длине навес.
Приступая к корням проблем
Движение зубов при ортодонтическом лечении возможно благодаря биологической реакции тканей, которая приводит к воспалительной резорбции корня и ремоделированию кости, прилегающей к корневой структуре зубов.
РЕСОРБЦИЯ КОРНЯ ЧЕРЕЗ 4 МЕСЯЦА ПОСЛЕ НАЧАЛА ТЕРАПИИ НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ ОРТОДОНТИЧЕСКИМ АППАРАТОМ
Авторы выдвигают идею о том, что бактерии могут индуцировать корнеобразование при черенковании различных растений (Bassil et al., 1991; Esitken et al., 2003; Ercisli et al., 2003). ; Kaymak et al., 2008; Erturk et al., 2008; Erturk et al., 2010).
ВЛИЯНИЕ НЕКОТОРЫХ РИЗОБАКТЕРИЙ И ИНДОЛ-3-МАСЛЯНОЙ КИСЛОТЫ НА Укоренение черенков лиственных пород шелковицы черной и белой рентгенологический апекс и его плотность (отсутствие пустот внутри корневого пломбировочного материала) (2).
Качество пломбирования корневых каналов, выполненное студентами бакалавриата, и сопутствующие факторы, влияющие на результат лечения: наблюдение в течение 2–5 лет
вторые премоляры верхней челюсти), записанные с помощью Promax 3D Max (Planmeca Oy, Хельсинки, Финляндия), были выбраны на основе следующих критериев: (i) полная структура корня, отсутствие перелома; (ii) чистая морфология корневого канала без абсорбции, кальцификации и корневого пломбировочного материала; (iii) никаких штифтов, коронок или искусственных коронок; и (iv) четкое и полное изображение зуба.
Морфология корневых каналов премоляров верхней челюсти у пожилых людей.
Клональное размножение гуавы (Psidium guajava) черенками мягкой древесины с использованием IBA в низкопластическом туннеле
Морфологическая изменчивость корней MN (корневая изменчивость типа II).
Исследование анатомических вариаций формирования срединного нерва и его связи с артериями в подмышечной впадине и руке/Estudio de las Variaciones Anatomicas en la Formacion del Nervio Mediano y su Relacion con las Arterias de la Axila y el Brazo
Конусно-лучевая компьютерная томография, подготовка полости лабиального доступа, латеральный резец верхней челюсти, обработка корневых каналов, дилацерация корней.
Эндодонтическое лечение латерального резца верхней челюсти с необычным расширением корня, диагностированным с помощью конусно-лучевой компьютерной томографии
Эти исследования в основном были сосредоточены на механических механизмах укрепления почвы корневой системой растений.