Выясните рациональным или иррациональным является число: Рациональные и иррациональные числа

Что такое рациональность? / Хабр

Эта статья из цикла статей, возможно Вы что-то пропустили.

Эта статья является частью цикла «Занимательная картография (Краткое введение в рациональность)». Если вам непонятно зачем нагорожен этот забор, возможно это ещё не повод его сносить. Если же вы уверены, что понимаете зачем его построили и обладаете информацией о его бесполезности — смело сносите!

Причины рациональности

«Уточните значение слов, и вы избавите человечество от половины заблуждений» Рене Декарт

Чтобы дать определение рациональности в «пространстве вещей», я начну с аналогии. Данную аналогию я ввёл чуть выше по циклу. Так что, если что-то выглядит странно, возможно так и должно быть.

До этого мы говорили о картах и о территориях. Теперь мы наконец поговорим о путешественниках. А ещё о двух главных свойствах любого из них: любопытстве и прагматизме.

Любопытство путешественника проявляется в желании иметь как можно больше информации о территории. Эта информация хранится в виде карт. При этом под любопытством понимается интерес именно к ТОЧНЫМ картам (а не к любым).

Прагматизм путешественника проявляется в желании ДОСТИГАТЬ вполне конкретные точки маршрута. Именно в желании достигать, а не в желании идти к ним. Здесь акцент на конце пути, а не на самом пути.

Давайте посмотрим, какими бывают путешественники по отношению к этим качествам.

• Есть любопытство, а прагматизма нет. Эти путешественники собирают максимальное количество карт. Их жизнь посвящена постоянной оптимизации и составлению суперточной карты. Кажется, как будто они знают всё о каждом кусочке территории. Но есть одно «но». Они никогда не выходили из своей палатки. Они могли бы стать великими путешественниками, но отказались от этого в пользу изучения деталей территории.

• Нет любопытства, но есть прагматизм. Эти путешественники точно знают свою цель. Любые отклонения от маршрута для них — пустая трата времени. Они никогда не изучают что-либо кроме карты до своей цели. Зато на этом узком участке, они достигают поистине впечатляющей детализации и точности. Каждая кочка важна для них, если через них можно попасть к цели. Если дать такому путешественнику стопку точных карт других территорий, скорее всего он растопит ими костёр. Ведь это сэкономит время на поиск растопки, и позволит чуть быстрее достигнуть своей цели. К сожалению, таким путешественникам крайне трудно менять цели. Ведь придумать новую точку сложно, когда ВСЕ знания только об одном участке территории. Да и с чего бы им захотелось менять цель? Ведь у них отсутствует информация о том, что ещё существует на территории. Кстати, маршрут, который они постоянно шлифуют и уточняют не всегда оказывается оптимальным. Ведь если необходимо подняться по горнолыжному склону, иногда лучше будет идти назад, к подъёмнику. А о нём нужно ещё как то узнать.

• Нет ни любопытства, ни прагматизма. Эти путешественники отрицают ценность точных карт. Да и к какой-то конкретной точке маршрута они не стремятся. Больше всего их деятельность напоминает прогулку. Сегодня захотелось пойти туда, завтра сюда. Мир таких путешественников полон удивления. Каждый день, что-то новое – полная непредсказуемость. Увидели красивую опушку, остановились, полюбовались. Попали под лавину, расстроились. Они не управляют своим путешествием. Часть из них получает неплохую экскурсию, часть выживание на грани. Но не те, ни другие не выбирают свой маршрут. 

• Есть и любопытство и прагматизм. Эти путешественники понимают ценность точных карт, и постоянно обновляют информацию о территории. Более детальную о ближайших окрестностях, и хотя бы поверхностную обо всём остальном мире. Эти путешественники ставят себе цели. Но их информация о том, куда и как они могут попасть, постоянно возрастает. Это открывает широкие возможности к оптимизации маршрутов или даже выборе новых целей. Расплатой за любопытство становится то, что иногда они собирают карты совсем уж далёких от них территорий. Что ж, зато им есть, что обсудить с другими путешественниками.

То есть любопытство неизбежно требует хорошего навыка утончения карт. А прагматизм требует навыков передвижения по территории и оптимизации маршрутов. Путешественников, которые обладают такими навыками в разумном балансе, и стремятся к их улучшению, я и называю рациональными. Причём одни могли приобрести эти навыки по своему желанию, а другие получить в следствии сложившихся обстоятельств. Нет смысла их разделять, ведь в голове у них очень похожая прошивка. 

Как это работает?

Существует немалое число людей, которые потратили достаточное количество адекватности на то, чтобы понять, как выработать такие навыки. Я назову только некоторых (возможно, вы захотите дополнить этот список):

Пьер-Симон Лаплас, Эдвин Джейнс, Даниэль Каннеман, Даниэл Деннет, Элиезер Юдковский, Скотт Александер

Что же полезного этим людям удалось выяснить о «картографии»?

Карты предсказывают картинку, которую мы должны увидеть на территории. При этом карты влияют только на прогноз картинки, но никак не на территорию. Каждый раз, когда прогнозы карт сбываются, мы называем это свидетельством «За» карту. Каждый раз, когда прогноз не сбывается, мы называем это свидетельством «Против» карты. Теория вероятностей говорит нам о том, как баланс свидетельств «За» и «Против» должен влиять на нашу уверенность в картах. Теория принятия решений говорит нам о том, как на основе имеющихся карт выбирать маршруты близкие к оптимальным. 

И всё? Так нужно взять эти формулы и захватить мир прямо сегодня! Ну или хотя бы начать строить точные карты и принимать оптимальные решения. Эта идея с разгона влетает в две вещи:

• Сложность вычислений непригодную для практической реализации (или для краткости Хаос).

• Не самую удачную архитектуру нашего основного инструмента вычислений, который систематически выдаёт одни и те же ошибки. Эволюция «проектировала» наш мозг под совершенно иные задачи (но об этом в другой раз). 

Значит это так не работает? Это работает почти так. И в нюансах, которые составляют это почти, кроется вся работа. Методы рационального мышления позволяют рассеивать часть Хаоса у нас в голове вопреки несовершенству нашего мозга. Что в сущности уже весьма неплохо.

Именно о таких методах, и их практическом применении я планирую писать сюда. Но сначала нужно развеять немного Хаоса вокруг самой рациональности.

Джентельменский набор стереотипов о рациональности.

«Рациональность – это про идеальный интеллект и отрицание интуиции»

Как раз наоборот. Для анализа и вычислений не всегда есть время. И в таких случаях решение принимается быстро и в особом порядке. Это можно назвать интуицией. Даниэль Каннеман, Амос Тверски и ещё ряд исследователей подробно изучили этот особый порядок. И если вы хотите лучше принимать решения в мире, где большинство решений принимаются быстро, вам придётся оптимизировать этот процесс. Я вернусь к этому в отдельном цикле статей (примерно в таком стиле).

«Рациональность – это про эгоизм и получить всё здесь и сейчас»

Рациональное мышление не подразумевает эгоизм и недальновидность. Скорее напротив. Рациональный путешественник более склонен к взаимовыгодной кооперации. Ведь многие маршруты оптимальнее преодолевать вместе. А стремление построить точные карты всегда ведёт к честному обмену информацией. И в обоих случаях репутация – это стратегический ресурс. Желание «кинуть» или «хапнуть» не возникает потому, что оно не выгодно стратегически.

«Рациональность – это про обладание истиной»

Нет, это не про хитрый способ доказать, что мы всегда правы. Это про хитрый способ понять когда мы неправы, несмотря на то, что изнутри кажется, что мы всегда правы. Поэтому рациональность, это скорее про призыв обменяться свидетельствами и сделать выводы по общим правилам. И призыв ни в коем случае не подкреплённый силой.

«Рациональным можно стать»

Нет такого набора действий, которые сделают вас пожизненно рациональным. Нет такой кнопки, которая переключает вас в режим идеального Байесовского агента до конца времени. Рациональным нельзя стать, но можно быть. То есть рациональность – это про постоянное стремление к улучшению.

«Рациональность – это про отсутствие эмоций»

Рациональное мышление не подразумевает отсутствие эмоций. Именно горящие глаза являются двигателем. Если цель не вызывает радости, а карта не вызывает интереса — то мотивации не будет. Так что наслаждение красотами территории для такого путешественника может быть даже более ярким. Однако рациональность против эмоций, порождённых неточными картами. Против страха несуществующих монстров, против радости от несуществующих сокровищ.

«Рациональность – это про критику других людей»

Рациональность это про критику себя и своих убеждений. Рациональность начинается (и продолжается) с признания того факта, что лично мои убеждения неидеальны. Лично мои прогнозы сбываются реже, чем хотелось бы. Рациональность это не про то, что в интернете кто-то неправ. А про то, что в интернете не прав я.

«Рациональность – это про высмеивание штук вроде гомеопатии, астрологии и плоской земли»

Рациональность это инструмент, чтобы отличать точные карты от ещё более точных. А совместное высмеивание неточных карт хоть и укрепляет командный дух, но не тренирует необходимые навыки. И прежде чем объявить какую то карту неточной, очень полезно бывает преодолеть кое-какую ограду. Я бы даже сказал забор, который назвали в честь одного дядьки (подробнее про это в отдельной статье).

«Рациональность — это про риторику и умение донести свою позицию»

Это важные инструменты. Но они работают симметрично для любой позиции. Снять крутой фильм, который все объяснит? Возможно для любого убеждения. Привести ряд фактов, которые кажутся убедительными? Тем легче, чем сложнее тема. Написать книгу? Ох, о чём только не пишут книги. .. Получается все можно использовать одинаково, вне зависимости от точности убеждений? Нет не всё! Но об этом в отдельной статье.

«Рациональность — это о шагании по головам. Ведь любая победа — за чужой счёт»

Эй, мы же не в монополию играем. В реальной жизни намного чаще встречаются игры с ненулевой суммой (выбор в какие игры играть, тоже часть стратегии). Не обязательно отнимать у других, чтобы получить это самому. К тому же подумайте о репутации такого путешественника. Мы кажется установили, что это ВАЖНО! Но доля правды здесь все же есть. Рационалист — это тот, кто использует выигрышную стратегию. А вовсе не тот, кто называет свою стратегию рациональной, но почему-то систематически проигрывает.

«Рациональность — это про борьбу за правду»

Любой новообращенный всегда фанатик, и многие чувствуют свой долг в том, чтобы стать воинами правды. В большинстве случаев это быстро проходит. А долину плохой рациональности (остальные случаи) предлагаю обсудить в другой раз.

P.S.

Очень рассчитываю на ваши дружеские пинки. Нет, я серьёзно. Надеюсь на вашу обратную связь, которая позволит мне обновлять баланс свидетельств чуть быстрее.

Если тема заинтересовала, думаю, вам интересно было бы ознакомиться с моим блогом. А ещё с тем, что успели написать о рациональности вот эти ребята (или что успели перевести на русский вот эти).

Мой канал в телеграмм

Мой канал на ютуб

Числовые множества

Главная / i / t

• Что такое множество
• N – Натуральные числа
• Z – Целые числа
• Q – Рациональные числа
• I – Иррациональные числа
• R – Действительные (вещественные) числа

Для дальнейшего изучения математики нам необходимо познакомиться с некоторыми терминами.

Что такое множество

Множеством называется набор каких-либо объектов. Например, множеством может быть совокупность всех книг в библиотеке, множество всех библиотек в городе, множество всех слонов в каком-нибудь зоопарке или множество всех селедок в мире.

Чтобы легче понять всю структуру и иерархию числовых множеств, разберем точно такую же структуру и иерархию множеств животного мира. Отличаются множества чисел от этих множеств животных только тем, что они состоят не из чисел и тем, что они конечны, их структура и буквенное обозначение абсолютно такое же.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества. Чтобы отличить одно множество от другого их обозначают разными латинскими буквами. Для примера назовем множество всех селедок в мире буквой N, а какую-нибудь конкретную селедку буквой a, значит, элемент a будет являться одним из элементов множества N, тогда говорят, что элемент a принадлежит множеству N. Принадлежность элемента a множеству N обозначают символом ∈:

a ∈ N

Читается эта запись так: «a принадлежит N».

Изобразим множество N в виде фигуры, внутрь которой мысленно поместим все селедки в мире.

Назовем множество всех рыб в мире буквой Z, так как каждая селедка является рыбой, то элемент a принадлежит и множеству Z:

a ∈ Z

Нарисуем множество всех рыб Z так, чтобы каждая селедка из множества N оказалась еще и внутри множества рыб Z. Тогда будет видно, что любая селедка принадлежит множествам N и Z.

Если каждый элемент из множества селедок N является еще и элементом множества рыб Z, то N называют подмножеством Z и обозначают символом ⊂. Следующая запись означает, что множество N является подмножеством множества Z:

N ⊂ Z

Обозначим множество всех морских животных буквой Q, тогда наша селедка a будет принадлежать и этому множеству:

a ∈ Q

А так как любая рыба – это морское животное, то множество всех рыб Z будет еще и подмножеством всех морских животных Q:

Z ⊂ Q

Значит, нарисуем множество Q так, чтобы его частью было множество Z.

Множество сухопутных животных назовем заглавной латинской буквой I. Это множество стоит совершенно отдельно от множества морских животных и не имеет с ним ни одного общего элемента.

Осталось только объединить всех морских и сухопутных животных в одно множество, которое мы обозначим буквой R. Теперь точно можно сказать, что любое животное будет принадлежать этому множеству R.

По этому рисунку легко определить, что селедка принадлежит сразу четырем множествам N, Z, Q, и R, т. е. она является селедкой, рыбой, морским животным и вообще животным из множества R. Акула принадлежит множествам Z, Q, R, значит она – рыба морское животное и просто животное одновременно. Морская звезда – элемент множеств Q и R, потому что она не селедка, не рыба, а морское животное и вообще животное. Кот принадлежит множествам сухопутных животных I и просто животных R.

Каждое из множеств животных N, Z, Q, I, R состоит из огромного, но конечного количества элементов, но множества могут содержать и бесконечное количество элементов, к таковым относятся всевозможные числовые множества, элементами которого являются числа. Далее подробно разберем каждое из числовых множеств, после тренировки на селедках это будет гораздо проще.

N – Натуральные числа

Это самое легкое для понимания множество чисел, которое всем известно еще с детства. Элементами этого множества являются такие числа как:

1; 2; 3; 4; 5 …

Такими числами обозначают количество неделимых объектов, например, количество людей в городе или стране, количество сортов колбасы, количество квартир в доме. Еще натуральными числами нумеруют всевозможные объекты: квартиры, дома, страницы в книге. Не существует квартир с номером 1.5 или минус третьей страницы в книге.

Количество натуральных чисел бесконечно и все они положительные. Один – наименьшее натуральное число, наибольшего натурального числа не существует – всегда найдется число еще больше: миллион больше тысячи, а миллиард больше миллиона и т. д:

1; 2; 3; 4; 5; …; 100; …; 1000; …; 1000000; …; 1000000000; …; 9563615827; …

Множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N. Когда хотят сказать, что число a является натуральным, пишут так:

a ∈ N

Такая запись означает, что число a принадлежит множеству N, в котором находятся только натуральные числа, а значит, и само a является натуральным.

Z – Целые числа

Если к множеству натуральных чисел присовокупить число ноль и все целые отрицательные числа, то получится множество целых чисел, которое принято обозначать буквой Z. К целым относятся такие числа как:

… −5;   −4;   −3;   −2;   −1;   0;   1;   2;   3;   4;   5; …

Получается, что множество натуральных чисел N является подмножеством целых чисел Z:

N ⊂ Z

Значит, любое натуральное число будет еще и целым, но не каждое целое будет натуральным, подобно тому, как каждая селедка является рыбой, но не каждая рыба является селедкой. Число 4 будет являться как натуральным, так и целым, а число −4 является целым, но не является натуральным.

4 ∈ N,       4 ∈ Z,       −4 ∈ Z

Целые числа не будут иметь не только самого большого числа, но и самого маленького, потому что они бесконечны как в положительную сторону, так и в отрицательную:

…; −1937499345; …; −1000000000; …; −1000000; …; −1000; …; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; …

Q – Рациональные числа

Число x называется рациональным, если его можно представить в виде дроби, где числителем является целое число, а знаменателем – натуральное:

Попробуем выяснить, является ли число −2.5 рациональным числом. Для этого представим его в виде дроби. Очевидно, что −5 деленое на 2 будет равно −2.5:

В получившейся дроби числитель −5 – целое число, а знаменатель 2 – натуральное, значит, −2.5 – рациональное число.

Число 0.25 также можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем:

Каждое целое (а значит, и натуральное) число является еще и рациональным, потому что целое число всегда можно представить в виде дроби, у которой целый числитель и натуральный знаменатель. Таким дробям равны числа 2 и −2, поэтому они рациональные:

Не обязательно знаменатель должен быть равен единице, числа 2 и −2 можно представить и в виде других дробей:

Следовательно, число 2 является сразу и натуральным, и целым, и рациональным; число −2 – целым и рациональным; а число 0.25 – рациональным. Подобно тому как селедка – это с одной стороны – рыба, с другой – морское животное, а морская звезда – только морское животное.

Сразу не удастся понять какой дроби равно число 12.96875, тогда умножим и разделим его на 100000, оно от этого не изменится:

Числитель 1296875 – целое число, Знаменатель 100000 – натуральное, значит, 12. 96875 ∈ Q.

Хотя любое число в виде десятичной дроби с конечным количеством цифр после десятичной запятой (или точки) всегда является рациональным, потому что его всегда можно представить в виде дроби. В числе 12.96875 после десятичной точки стоит пять цифр, а пять – конечное число, значит, число 12.96875 – точно рациональное.

Если все-таки число в виде десятичной дроби имеет бесконечное количество цифр после десятичной точки или запятой, но при этом с некоторой очередной цифры начинает повторяться один и тот же набор цифр, то такое число тоже рациональное. Например, это число рациональное, потому что в нем бесконечно повторяется сочетание цифр 2, 7 и 0:

1.4270270270270270270…

Его можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем:

Разделим в столбик 264 на 185, чтобы убедиться, что цифры 2, 7, 0 будут постоянно повторяться до бесконечности.

Вот еще примеры рациональных чисел с повторяющимся набором цифр 3, 15, 123, 2376, 142857:

На самом деле повторяющиеся цифры есть в любом рациональном числе, просто если эта повторяющаяся цифра – ноль, то ее обычно не пишут. Например, в числе 12.96875 после цифры пять можно написать любое количество нулей, но значение этого числа от того не изменится:

12.96875= 12.96875000000000000…

В любом целом числе, которое тоже считается рациональным, идет бесконечное количество нулей, но писать их как правило нет нужды:

8=8.00000000000…

Среди целых чисел можно найти два таких, между которыми других целых чисел нет. Например, на числовой прямой между числами 3 и 6 есть два других целых числа 4 и 5, а между числами 8 и 9 ни одного другого целого числа нет.

А среди рациональных найти такую пару разных чисел не получится: между любыми двумя разными рациональными числами всегда есть бесконечное количество других рациональных чисел: например, между числом 0. 1 и 0.2 есть числа 0.15, 0.16, 0.17, и найти их там можно сколько угодно.

I – Иррациональные числа

Иррациональными называются числа, которые не являются рациональными. Такие числа невозможно представить в виде дроби, у которой целый числитель и натуральный знаменатель. Иррациональные числа, представленные в виде десятичной дроби, имеют бесконечный набор цифр после десятичной запятой или точки, только в отличие от рациональных, там никогда не будет повторяющегося одинакового набора цифр. Например, число π и число e – оба иррациональные:

Значит, эти числа принадлежат множеству иррациональных чисел, которое обозначают буквой I:

Через несколько разделов этого сайта мы обязательно познакомимся с числами π и e значительно ближе, оба они играют очень важную роль в мире математики.

Попробуем подобрать число, которое при умножении на себя будет равно 7. Число 2 при умножении на само себя меньше семи, а 3 – больше семи:

2∙2=4

3∙3=9

Значит, чтобы получить 7, нужно подобрать число больше двух и меньше трех, попробуем 2.6:

2.6∙2.6=6.76

Уже ближе к семи, попробуем число 2.64:

2.64∙2.64=6.9696

Можно подобраться еще ближе:

2.645∙2.645= 6.996025

И еще:

2.6457∙2.6457= 6.99972849

2.64575∙2.64575= 6.9999930625

2.645751∙2.645751= 6.999998354001

И сколько бы мы не добавляли еще цифр к числу 2.64575, мы никогда не получим ровно 7, а будем только приближаться к семи, и никогда не встретим повторяющегося набора цифр, как это было в рациональном числе.

Поэтому число, которое при умножении на само себя равно 7, является иррациональным. Представить точное значение этого числа (как и любого другого иррационального) в виде десятичной дроби невозможно, потому что для этого понадобится написать бесконечное количество цифр. Вот близкое, но все же только приближенное значение этого числа:

2.6457513110645905905016…

И если умножить его на само себя, то получится хоть и очень близкое к семи число, но все-таки не семь.

R – Действительные (вещественные) числа

Если объединить рациональные и иррациональные числа в одно большое множество, то получится множество действительных чисел, которое также называют множеством вещественных чисел и обозначают буквой R. Любое число из множества натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел неизбежно является еще и действительным числом. Например, все эти числа действительные:

Хотя каждое из этих чисел также принадлежит и другим множествам:

Сориентироваться во всем этом многообразии поможет следующий рисунок, на котором изображено множество R со всеми подмножествами.

На множестве R числа не заканчиваются, существуют и другие множества чисел, для которых R – это лишь их подмножество, но это уже выходит за пределы школьной математики.

Определение рациональных и иррациональных чисел

Результаты обучения

• Определение рациональных чисел из списка чисел
• Определите иррациональные числа из списка чисел

Теперь еще раз взглянем на типы чисел, с которыми мы работали на всех предыдущих уроках. Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы будем практиковаться в их использовании так, как будем использовать при решении уравнений и выполнении других процедур в алгебре.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

счет чисел	[латекс]1,2,3,4\точки [/латекс]
целые числа	[латекс]0,1,2,3,4\точки[/латекс]
целых чисел	[латекс]\точки -3,-2,-1,0,1,2,3,4\точки [/латекс]

Рациональные числа

Какие числа вы бы получили, если бы начали со всех целых чисел, а затем включили все дроби? Числа, которые вы получили бы, образуют множество рациональных чисел. Рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде [латекс]{\большой\разрыв{р} {q}}[/латекс], где [латекс]р[/латекс] и [ latex]q[/latex] — целые числа, а [latex]q\ne o[/latex].

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Несколько примеров

[латекс]\Large\frac{4}{5}\normalsize,-\Large\frac{7}{8}\normalsize,\Large\frac{13}{4}\normalsize,\text{and} -\Large\frac{20}{3}[/latex]

Каждый числитель и каждый знаменатель являются целыми числами.

Нам нужно просмотреть все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы рассмотрим счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.

Являются ли целые числа рациональными числами? Чтобы решить, является ли целое число рациональным, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Самый простой способ сделать это — записать дробь со знаменателем один.

[латекс]3=\Large\frac{3}{1}\normalsize ,\space-8=\Large\frac{-8}{1}\normalsize ,\space0=\Large\frac{0}{ 1}[/latex]

Поскольку любое целое число можно представить как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа тоже целые, а значит, они тоже рациональны.

Как насчет десятичных знаков? Являются ли они рациональными? Давайте рассмотрим несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа являются рациональными числами. Целое число [латекс]-8[/латекс] можно записать как десятичное число [латекс]-8.0[/латекс]. Итак, ясно, что некоторые десятичные дроби рациональны.

Подумайте о десятичной дроби [латекс]7.3[/латекс]. Можем ли мы записать это как отношение двух целых чисел? Поскольку [latex]7.3[/latex] означает [latex]7\Large\frac{3}{10}[/latex], мы можем записать его в виде неправильной дроби: [latex]\Large\frac{73}{10 }[/латекс]. Итак, [латекс]7,3[/латекс] — это отношение целых чисел [латекс]73[/латекс] и [латекс]10[/латекс]. Это рациональное число.

В общем, любое десятичное число, которое заканчивается после нескольких цифр, таких как [латекс]7.3[/латекс] или [латекс]-1.2684[/латекс], является рациональным числом. Мы можем использовать разрядное значение последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби.

пример

Запишите каждое как отношение двух целых чисел:

1. [латекс]-15[/латекс]

2. [латекс]6.81[/латекс]

3. [латекс]-3\Large \frac{6}{7}[/latex]

Решение:

1.
	[латекс]-15[/латекс]
Запишите целое число в виде дроби со знаменателем 1.	[латекс]\большой\фрак{-15}{1}[/латекс]

2.
	[латекс]6.81[/латекс]
Запишите десятичную дробь как смешанное число.	[латекс]6\Большой\фракция{81}{100}[/латекс]
Затем преобразуйте его в неправильную дробь.	[латекс]\большой\фрак{681}{100}[/латекс]

3.
	[латекс]-3\большой\фрак{6}{7}[/латекс]
Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.	[латекс]-\Большой\фрак{27}{7}[/латекс]

 

попробуй

Давайте посмотрим на десятичную форму известных нам рациональных чисел. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку [latex]a=\Large\frac{a}{1}[/latex] для любого целого числа [latex]a[/latex]. Мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.

Целое [латекс]-2,-1,0,1,2,3[/латекс]

Десятичное [латекс]-2.0,-1.0,0.0,1.0,2.0,3.0[/латекс]

Эти десятичные цифры останавливаются.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму дробей, которые мы только что рассмотрели.

Отношение целых чисел [латекс]\Large\frac{4}{5}\normalsize ,\Large\frac{7}{8}\normalsize ,\Large\frac{13}{4}\normalsize ,\Large\ frac{20}{3}[/latex]

Десятичные формы [латекс]0,8,-0,875,3,25,-6,666\ldots,-6.\overline{66}[/latex]

Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.

О чем говорят вам эти примеры? Каждое рациональное число можно записать как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассмотрели, выраженные в виде отношения целых чисел и десятичных дробей.

Рациональные числа
	Дроби	Целые числа
Номер	[латекс]\Large\frac{4}{5}\normalsize,-\Large\frac{7}{8}\normalsize,\Large\frac{13}{4}\normalsize,\Large\frac{- 20}{3}[/латекс]	[латекс]-2,-1,0,1,2,3[/латекс]
Отношение целого числа	[латекс]\Large\frac{4}{5}\normalsize ,\Large\frac{-7}{8}\normalsize ,\Large\frac{13}{4}\normalsize ,\Large\frac{- 20}{3}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{-2}{1}\normalsize ,\Large\frac{-1}{1}\normalsize ,\Large\frac{0}{1}\normalsize ,\Large\frac{ 1}{1}\normalsize ,\Large\frac{2}{1}\normalsize ,\Large\frac{3}{1}[/latex]
Десятичное число	[латекс]0,8,-0,875,3,25,-6. \overline{6}[/латекс]	[латекс]-2.0,-1.0,0.0,1.0,2.0,3.0[/латекс]

Иррациональные числа

Существуют ли десятичные дроби, которые не заканчиваются и не повторяются? Да. Число [латекс]\пи [/латекс] (греческая буква пи, произносится как «пирог»), очень важное для описания кругов, имеет десятичную форму, которая не заканчивается и не повторяется.

[латекс]\pi =\text{3.141592654…….}[/латекс]

Точно так же десятичные представления квадратных корней чисел, которые не являются полными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются. Например,

[латекс]\sqrt{5}=\текст{2.236067978…..}[/латекс]

Десятичное число, которое не заканчивается и не повторяется, не может быть записано как отношение целых чисел. Мы называем такие числа иррациональными числами.

Иррациональное число

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Его десятичная форма не прерывается и не повторяется.

Давайте обобщим метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.
Если десятичная форма числа

• останавливается или повторяется, число является рациональным.
• не останавливается и не повторяется, число иррациональное.

пример

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

1. [латекс]0,58\overline{3}[/латекс]
2. [латекс]0,475[/латекс]
3. [латекс]3,605551275\ точки [/латекс]

Показать решение

 

попробуйте

 

Давайте теперь подумаем о квадратных корнях. Квадратные корни из полных квадратов всегда являются целыми числами, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются идеальными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны.

пример

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:
1. [латекс]\sqrt{36}[/латекс]
2. [латекс]\sqrt{44}[/латекс]

Показать решение

 

попробуйте

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как определить, является ли число иррациональным или рациональным.

Как узнать, рациональный радикал или иррациональный?

Рациональные числа, такие как положительные и отрицательные целые числа, дроби и иррациональные числа, являются примерами действительных чисел. Множество действительных чисел, обозначенное R, является объединением множества рациональных чисел (Q) с множеством иррациональных чисел. Это означает, что действительные числа включают в себя натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Например, 3, 0, 1,5, 3/2, 5 и т. д. — все это действительные числа.

Рациональное число

Любое целое число, которое может быть выражено в виде дроби p/q, называется рациональным числом. В дроби числитель равен «p», а знаменатель — «q», где «q» не равно нулю. Натуральное число, целое число, десятичное или целое число — все это примеры рациональных чисел.

1/2, -2/3, 0,5 и 0,333, например, являются рациональными числами.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это набор действительных чисел, который не может быть представлен в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, а числитель q не равен нулю (q ≠0).

 Иррациональные числа, такие как (пи), являются одним из примеров. 3.14159265.

Десятичное значение в этом случае никогда не заканчивается. В результате к иррациональным числам относятся такие числа, как 2, -7 и так далее.

Радикал 

Радикал и корень числа — это одно и то же. Корнем может быть квадратный корень, кубический корень или вообще корень n-й степени. В результате под радикалом понимается любое число или выражение, в котором используется корень. Радикал может использоваться для объяснения нескольких типов корней числа, таких как квадрат, куб, четверть и т. д. Номер индекса или степень — это число, написанное перед корнем. Это число показывает, сколько раз надо умножить подкоренное число на себя, чтобы получить число.

Символ «√» для корня числа известен как радикал и записывается как радикал x n или n ^-й корень из x.

Как узнать, является ли радикал рациональным или иррациональным?

Решение: 

Радикал является рациональным только тогда, когда квадратный корень любого числа сам является числом в результате или если число является полным квадратом радикала, тогда это рациональное число, в противном случае это иррациональное число. Например: 

√25 = Квадратный корень из 25 равен 5, 

Что является полным квадратом из 5. Следовательно, 5 можно представить в виде p/q,

 Поэтому √25 является рациональным радикалом.

√15 = Квадратный корень из 15 равен 3,87298334…

Который не является полным квадратом, следовательно, он не может быть представлен как p/q и не завершается и не повторяется после десятичного числа.

Следовательно, √15 — иррациональный радикал.

Примеры вопросов

Вопрос 1: Как узнать, является ли число √16 рациональным или нет?

Решение:

Дано, √16

Здесь квадратный корень из 16 равен 4.

Что показывает, что это полный квадрат, и 4 можно представить в виде 4/1.

Следовательно, √16 — рациональный радикал.

Вопрос 2: Проверьте, является ли радикал числа 8 рациональным или нет?

Решение:  

Радикал рациональный только тогда, когда квадратный корень любого числа сам является числом в результате или если число является полным квадратом радикала, тогда это рациональное число, в противном случае это иррациональное число.

Здесь дано: √8 

Квадратный корень из 8 равен 2,828427.., что не является полным квадратом.

Следовательно, радикал 8 не является рациональным числом.

Вопрос 3: Проверьте, является ли радикал 100 рациональным или нет?

Решение: 

Радикал является рациональным только тогда, когда квадратный корень любого числа сам является числом в результате или если число является полным квадратом радикала, тогда это рациональное число, в противном случае это иррациональное число.

Здесь дано: √100

Квадратный корень из 100 равен 10, что является полным квадратом.

Следовательно, радикал 100 — рациональное число.

Вопрос 4. Проверьте, является ли радикал числа 5 рациональным или нет?

Решение:  

Радикал рациональный только тогда, когда квадратный корень любого числа сам является числом в результате или если число является полным квадратом радикала, тогда это рациональное число, в противном случае это иррациональное число.

Здесь дано: √5

Квадратный корень из 5 равен 2,236067.., что не является полным квадратом.

Следовательно, радикал 5 — иррациональное число.

Вопрос 5. Проверьте, является ли радикал числа 144 рациональным или нет?

Решение: 

Радикал является рациональным только тогда, когда квадратный корень любого числа сам является числом в результате или если число является полным квадратом радикала, тогда это рациональное число, в противном случае это иррациональное число.

Здесь дано: √144

Квадратный корень из 144 равен 12, что является полным квадратом.

Следовательно, радикал 144 — рациональное число.

Вопрос 6. Проверьте, является ли радикал числа 133 рациональным или нет?

Решение:  

Радикал рациональный только тогда, когда квадратный корень любого числа сам является числом в результате или если число является полным квадратом радикала, тогда это рациональное число, в противном случае это иррациональное число.

No related posts.