— Как мы можем решить $x$ в $|x+1|-|1-x|=2$?
Это то же решение, что и m.k. написал; Я просто упоминаю полезный и понятный способ, как это записать.
Меня учили всегда составлять такую таблицу, деля реальную прямую на точки, в которых изменяется выражение для абсолютного значения. $$\begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} x\in & (-\infty,-1\rangle && \langle-1,1\rangle && \langle1,\infty) \\\hline |х+1| & -1-x &|& x+1 && x+1 \\\hline |1-х| & 1-x && 1-x &|& x-1 \\\hline \end{массив}$$
Если вы считаете, что это полезно для вас, вы также можете отметить в таблице, где выражение для каждого из абсолютных значений меняется, как я сделал выше. (Это то, о чем эти дополнительные столбцы. Я не знал, как лучше отобразить это в разметке LaTeX.)
Без этих меток таблица выглядит так: $$\begin{массив}{|с|с|с|с|} x\in & (-\infty,-1\rangle & \langle-1,1\rangle & \langle1,\infty) \\\hline |х+1| & -1-x & x+1 & x+1 \\\hline |1-х| & 1-x & 1-x & x-1 \\\hline \end{массив}$$
Например, для $x\in\langle1,\infty)$ я смотрю в таблице, что это уравнение можно переписать так: $$\begin{выравнивание} |х+1|-|1-х|&=2\\ (х+1)-(х-1)&=2\\ 2&=2 \end{align}$$
Таким образом, каждое действительное число является решением этого уравнения, но поскольку исходное уравнение эквивалентно последнему только для $x\in\langle1,\infty)$, пока я знаю только, что решения $\mathbb R\cap\langle1,\infty)=\langle1,\infty)$ — одна часть множества решений. Приходится искать решения и в оставшихся двух интервалах.
И для $x\in\langle-1,1\rangle$ я получаю $2x=2$, что имеет $x=1$ как единственное решение. Обратите внимание, что я уже посчитал это решение в предыдущем случае.
Для $x\in(-\infty,-1\rangle$ я не получаю решений, так как теперь уравнение $-2=2$.
Теперь я просто собрал три набора решений: $\emptyset\ чашка \ {1 \} \ чашка \ langle1, \ infty) = \ underline {\ underline {\ langle1, \ infty)}} $.
В целом работает тот же принцип — разбить задачу на случаи, решить для каждого случая и взять только те решения, которые лежат в этом интервале, затем взять объединение всех этих решений.
Полезно, на мой взгляд, еще и график своей функции набросать — зачастую это не так уж и сложно. Взгляните на этот график WolframAlpha для $|x+1|$ и $|1-x|$, а также на этот график для $|x+1| — |1-x|$ и $2$.
Существует также геометрическая интерпретация $|x+1|=|x-(-1)|$ расстояния от $x$ до $-1$ . Точно так же $|x-1|$ — это просто расстояние от $1$.
Итак решение $$|x+1|-|x-1|=2$$ просто означает поиск таких точек, что расстояние от $-1$ больше, чем расстояние от $1$ на $2$.
Мы видим, что $x=1$ обладает этим свойством, как и все точки справа от $1$. Но если двигаться влево от $1$, то эта разница уменьшается.
Итак, множество всех решений — это интервал $[1,\infty)$.
Здесь также объясняется геометрический подход.
ПРИМЕЧАНИЕ: Я специально сделал это CW. Если кто-то чувствует, что может добавить что-то полезное к этому объяснению или как-то улучшить пост, пожалуйста, сделайте это.
алгебраическое предварительное исчисление — Как мне решить это уравнение; $х^4+4х-1=0$?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Я знаю, что могу легко решить это с помощью уравнения $4$-й степени, но неужели нет более умного способа? Это олимпиадная задача, так что это не должна быть формула, а скорее найти формулу.