Уравнение прямой
Уравнение прямойНавигация по странице:
- Определение прямой
- Уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- Уравнение прямой в отрезках на осях
- Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
- Параметрическое уравнение прямой на плоскости
- Каноническое уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в пространстве
- Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
- Параметрическое уравнение прямой в пространстве
- Каноническое уравнение прямой в пространстве
- Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Онлайн калькулятор. Уравнение прямой по координатам двух точек
Прямая (прямая линия) — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
A x + B y + C = 0
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду
y = k x + b
где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.
k = tg φ
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
x | + | y | = 1 |
a | b |
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки M(x1, y1) и N(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
x — x1 | = | y — y1 |
x2 — x1 | y2 — y1 |
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x0y = m t + y0
где N(x0, y0) — координаты точки лежащей на прямой, a = {l, m} — координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки N(x0, y0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = {l; m} (l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
x — x0 | = | y — y0 |
l | m |
Пример 1. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 7) и N(2, 3).
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x — 12 — 1 = y — 73 — 7
Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой
x — 11 = y — 7-4
Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
y — 7 = -4(x — 1)
y = -4x + 11
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.
MN = {2 — 1; 3 — 7} = {1; -4}
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1y = -4t + 7
Пример 2. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 3) и N(2, 3).
Решение. Так как My — Ny = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.
MN = {2 — 1; 3 — 3} = {1; 0}
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1y = 3
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки M(x1
, y1, z1) и N(x2, y2, z2), такие что x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулуx — x1 | = | y — y1 | = | z — z1 |
x2 — x1 | y2 — y1 | z2 — z1 |
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x0 | |
y = m t + y0 | |
z = n t + z0 |
где (x0, y0, z0
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки M(x0, y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
x — x0 | = | y — y0 | = | z — z0 |
l | m | n |
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений
A1x + B1y + C1z + D 1 = 0 | |
A2x + B2y + C2z + D2 = 0 |
при условии, что не имеет место равенство
A1 | = | B1 | = | C1 | . |
A2 | B2 | C2 |
Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты
3-8спросил
Изменено 4 года, 1 месяц назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Я пытался решить это уравнение на дополнительном уроке математики в школе, и даже учитель не смог сделать его методом исключения (как нас просили).