Разложение многочленов на множители. Алгебра. 7 класс
Разложение многочленов на множители Алгебра 7 класс
Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно
(3 x – 5)( х + 4) =
3 x 2 + 12 х – 5 х – 20 = 3 x 2 + 7 х – 20
(3 x – 5)( х + 4) = 3 x 2 + 7 х – 20
или
3 x 2 + 7 х – 20 = (3 x – 5)( х + 4)
Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители .
Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно
Решить уравнение:
3 x 2 + 7 х – 20 = 0
(3 x – 5)( х + 4) = 0
Если произведение двух множителей равно нулю , то один из множителей
или
х + 4 = 0
3 x – 5 = 0
3 x = 5
х = -4
x = 5/3
Ответ: -4; 5/3.
Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно
Из материалов ЕГЭ по математике:
Вынесение общего множителя за скобки
Вынести за скобки общий множитель:
3 x + 12 у =
3 ( x + 4 у )
а 3 ( а 2 – 1)
а 5 – а 3 =
5 x 4 + 10 х 2 =
5 х 2 ( x 2 + 2)
9 т 4 + 6 т 2 – 15 т 3 =
3 т 2 (3 т 2 + 2 – 5 т )
16 а 4 с 5 – 12 а 2 с 4 =
4 а 2 с 4 (4 а 2 с – 3)
Вынесение общего множителя за скобки
Алгоритм отыскания общего множителя
нескольких одночленов:
- Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, ‒ он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).
- Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
- Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.
Вынесение общего множителя за скобки
Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.
Вынести за скобки общий множитель:
1,4 (4 x + у )
5,6 x + 1,4 у =
0,13 а 3 (5 а 2 – 1)
0,65 а 5 – 0,13 а 3 =
Вынесение общего множителя за скобки
Разложить на множители:
‒ х 2 ( х 2 у 3 + 2 ху 2 ‒ 5)
‒ х 4 у 3 ‒ 2 х 3 у 2 + 5 х 2 =
5 а 4 – 10 а 3 + 15 а 5 =
5 а 3 ( а – 2 + З а 2 )
2 x ( x – 2) + 5( x – 2)( x – 2) =
2 x ( x – 2) + 5 ( x – 2) 2 =
= ( x – 2) ( 2 x + 5( x – 2) ) =
( x – 2)(2 x + 5 x – 10) =
= ( x – 2)(7 x – 10)
Способ группировки
Разложить на множители многочлен:
(2 а 2 + 6 а ) + ( ab + 3 b ) =
2 а 2 + 6 а + ab + 3 b =
= 2 а ( а + 3) + b ( a + 3) =
( а + 3) (2 а + b )
( ху + 3 x ) + (– 6 – 2 у ) =
ху – 6 + З x – 2 у =
= x ( у + 3) – 2 ( 3 + у ) =
( у + 3) ( x – 2)
Способ группировки
Разложить на множители многочлен:
аb 2 – 2 аb + З а + 2 b 2 – 4 b + 6 =
= ( аb 2 – 2 аb + З а ) + (2 b 2 – 4 b + 6) =
= а ( b 2 – 2 b + 3) + 2 ( b 2 – 2 b + 3) =
= ( b 2 – 2 b + 3) ( а + 2)
Способ группировки
Разложить на множители многочлен:
х 2 – 7
х 2 – З x – 4 x + 12 =
= ( х 2 – З х ) + (– 4 x + 12) =
x ( x – 3) – 4 ( x – 3) =
= ( x – 3)( x – 4)
Способ группировки
Решить уравнение:
х 2 – 7 x + 12 = 0
( x – 3)( x – 4) = 0
x – 3 = 0
x – 4 = 0
или
x = 3
x = 4
Ответ: 3; 4.
Способ группировки
Решить уравнение:
x 3 – 2 x 2 + З x – 6 = 0
x 3 – 2 x 2 + З x – 6 =
( x 3 – 2 x 2 ) + (З x – 6) =
( х – 2)( x 2 + 3)
= x 2 ( x – 2) + 3( х – 2) =
( x – 2)( x 2 + 3) = 0
или
x – 2 = 0
x 2 + 3 = 0
x = 2
нет решений
Ответ: 2.
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
Формулы сокращенного умножения:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 – квадрат суммы
- a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 – квадрат разности
- a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) – разность квадратов
- a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) – разность кубов
- a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) – сумма кубов
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b)3 – куб суммы
- a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = (a – b) 3 – куб разности
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
Разложить на множители:
a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b )
(6 x ) 2 – 8 2 =
(6 х – 8)(6 x + 8)
36 x 2 – 64 =
(3 x – 2) 2 – 49 =
(3 х – 2) 2 – 7 2 =
= ((3 x – 2) – 7)((3 x – 2) + 7)
= (3 x – 9)(3 x + 5)
(9 а 4 ) 2 – (25 с 2 ) 2 =
81 а 8 – 625 с 4 =
=(9 а 4 – 25 с 2 )(9 а 4 + 25 с 2 )=
((3 а 2 ) 2 – (5 с ) 2 )(9 а 4 + 25 с 2 )=
= (3 а 2 – 5 с )(3 а 2 + 5 с )(9 а 4 + 25 с 2 )
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
Разложить на множители:
a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + аb + b 2 )
(3 x ) 3 – 4 3 =
(3 х – 4)(9 x 2 + 12 x + 16)
27 x 3 – 64 =
216 n 3 + m 6 =
(6 n ) 3 + ( m 2 ) 3 =
= (6 n + m 2 )(36 n 2 – 6 m 2 n + m 4 )
( а 4 – с 2 )( а 8 + a 4 с 2 + c 4 )=
а 12 – с 6 =
( а 4 ) 3 – ( с 2 ) 3 =
= (( а 2 ) 2 – с 2 )( а 8 + a 4 с 2 + c 4 )=
= ( а 2 – с )( а 2 + с )( а 8 + a 4 с 2 + c 4 )
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
Разложить на множители:
a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b ) 2
a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2
(5 х – 2) 2
(5 x ) 2 – 2 · 5 x · 2 + 2 2 =
25 x 2 – 20 x + 4 =
n 4 + 4 mn 2 + 4 m 2 =
( n 2 ) 2 + 2 n 2 · 2 m + (2 m ) 2 =
= ( n 2 + 2 m ) 2
(4 а 4 ) 2 – 2 · 4 а 4 · с 3 + ( c 3 ) 2 =
16 а 8 – 8 a 4 c 3 + с 6 =
= (4 а 4 – с 3 ) 2
Использованы ресурсы
- Алгебра 7 класс. Учебник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Москва: Мнемозина, 2015г.
Учебник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Москва: Мнемозина, 2015г. Биномиальная теорема: примеры | Purplemath
Формула
Purplemath
Типичные упражнения с использованием биномиальной теоремы требуют, чтобы вы расширили бином до некоторой степени, достаточно большой, чтобы вы вряд ли проверили свой ответ, умножая числа вручную.
- Расширить ( x 2 + 3) 6
Мало того, что биномиальное выражение возводится в степень, переменная внутри биномиального выражения также возводится в степень. Если я попытаюсь сделать это разложение полностью в уме, я знаю, что с большей вероятностью (чем обычно) испорчу показатели.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Так что сейчас не время беспокоиться о том квадрате на x внутри биномиального выражения. Вместо этого мне нужно начать свой ответ с подстановки двух членов бинома вместе с внешней степенью в биномиальную теорему.
Первый член в двучлене равен « x 2 «, второй член в «3», а степень n для этого разложения равна 6. Итак, считая от 0 до 6, биномиальная теорема дает мне эти семь терминов:
Биномиальные коэффициенты (то есть выражения 6 C k ) можно вычислить с помощью моего калькулятора.
Я могу применить правила экспоненты, чтобы упростить переменные члены. И я также могу ввести числовые значения в свой калькулятор. В результате получится:
Теперь я перемножу различные коэффициенты (опять же, интенсивно используя свой калькулятор). Мой окончательный результат:
x 12 + 18 x 10 + 135 x 8 + 540 x 6
+ 1215 x 4 + 1458 x 2 + 729
- Expand (2 x − 5 y ) 7
Я подставлю «2 x », «−5 y » и «7» в биномиальную теорему, считая от нуля до семи, чтобы получить каждый член. (И я должен быть осторожен, чтобы не забыть знак «минус», который стоит перед вторым членом бинома.)
Тогда упрощение дает мне:
Выполняя умножение в моем калькуляторе и упрощая каждый член, я получаю:
Пожалуйста, обратите внимание на знаки «минус» в приведенном выше ответе!
Всякий раз, когда второй член исходного двучлена вычитается (а не прибавляется) к первому члену, вы получите эту чередующуюся схему знаков «минус» в вашем окончательном упрощении.
Каждый член разложения, который имеет четную степень второго члена бинома, будет «плюсом», но каждый член разложения с нечетной степенью этого второго члена будет «минусом». Если у вас не получилось именно этого чередующегося (то есть «каждого второго») узора со знаками «минус», то вернитесь и проверьте свою работу, ведь где-то ошибка.
В дополнение к расширению биномов вас также могут попросить найти определенный член в расширении, идея состоит в том, что упражнение будет очень простым, если вы запомнили формулу теоремы, но будет трудным или невозможным делать, если вы этого не сделали. Так что да; запомнить формулу теоремы, чтобы вы могли получить легкие точки.
- Какой четвертый член в разложении (3 x − 2) 10 ?
Я уже расширил этот бином на предыдущей странице, так что давайте поднимем этот первый шаг в процессе расширения и посчитаем, чтобы найти четвертый член:
Итак, четвертый член — это не тот, где я досчитал до 4, а тот, где я досчитал только до 3.
(Опять же, это потому, что, как и в Javascript, счет начинается с 0, не с 1.)
Обратите внимание, что в любом разложении на один член больше, чем число в степени. Например:
вторая степень, поэтому у него три члена:
( х + у ) 2 = х 2 + 2 xy + y 2
в третьей степени, поэтому у него четыре члена:
( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
sourth power, поэтому у него пять членов:
( х + у ) 4 = х 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
Returning to the exercise:
The expansion в этом упражнении (3 x − 2) 10 имеет степень n = 10, поэтому разложение будет иметь одиннадцать членов, и количество членов будет увеличиваться, а не от 1 до 10 или от 1 до 11.
, но от 0 до 10.
Вот почему четвертым членом будет не тот, где я использую «4» в качестве счетчика, а тот, где я использую «3».
- Найдите десятый член разложения ( x + 3) 12 .
Чтобы найти десятый член, я подставляю x , 3 и 12 в биномиальную теорему, используя число 10 − 1 = 9 в качестве счетчика:
- Найдите средний член в разложении (4 х − у ) 8 .
Поскольку этот бином находится в степени 8, в разложении будет девять членов, что делает пятый член средним. Так что я подключу 4 x , − y и 8 в биномиальную теорему, используя число 5 − 1 = 4 в качестве счетчика.
В редких случаях вас могут попросить перейти от развернутой формы к исходному биномиальному выражению в обратном порядке.
- Express 1296 x 12 − 4320 x 9 y 2 + 5400 x 6 y 4 − 3000 x 3 y 6 + 625 y 8 в форме ( a + b ) n .
Я знаю, что первый член имеет вид a n , потому что для любого числа n первый член равен n C 0 (что всегда равно 91), умноженному на 901. n умножить на b 0 (что также равно 1). Таким образом, 1296 x 12 = а n . По той же причине последний член равен b n , поэтому 625 y 8 = b n .
А так как знаки «плюс» и «минус» чередуются, я по опыту знаю, что знак в середине должен быть «минус». (Если бы все знаки были «плюсами», то средний знак также был бы «плюсом». Но в этом случае я ищу двучлен в форме «( a − b ) n «.)
Я знаю, что для любой степени n разложение имеет n + 1 член. Поскольку здесь 5 членов, это говорит мне, что n = 4. a и b , мне нужно только взять 4-й корень из первого и последнего членов расширенного многочлена:
Тогда a = 6 x 3 , 5 9 = 91519 0 2 , посередине знак «минус», и:
Пусть вас не пугает биномиальная теорема.